Technische Mechanik III SoSe 2014 25.09.2014 Name : Vorname : Matrikelnummer : Klausurnummer : Aufgabe Punkte 1 20 2 8 3 22 P 50 Allgemeine Hinweise: alle Blätter mit Namen und Matrikelnummer beschriften! keine grüne oder rote Farbe benutzen! alle Rechnungen müssen nachvollziehbar sein! Skizzen (Freikörperbilder) groÿ und sauber zeichnen! neue Aufgabe = neues Blatt! Lösungen müssen eindeutig sein, falsche Lösungswege durchstreichen! Die Klausurnummer bitte merken oder notieren! Zulässige Hilfsmittel: Formelblatt, 2-seitig, ohne Lösungswege. Taschenrechner, nicht programmierbar. Technische Mechanik III H14-1 Aufgabe 1 20 Punkte Zum Zeitpunkt t0 = 0s wird im Punkt A eine Masse m1 losgeworfen. Zu einem späteren Zeitpunkt wird eine Masse m2 durch die um ∆w gespannte Feder (Federsteigkeit c) beschleuningt und im Punkt B zum Zeitpunkt t1 = t0 + ∆t losgelassen. Die Masse m2 bewegt sich zunächst reibungsfrei bis zum Punkt C und danach auf einer rauhen Oberäche (Reibungskoezient µ). g y A m1 vA α x ` h ∆w m2 111 000 000 111 1111 0000 000 1111 111 0000 B µ C D a) Zu welchem Zeitpunkt t2 landet die Masse m1 in D? b) Berechnen Sie die Stecke BD. c) Wie groÿ ist die Geschwindigkeit der Masse m2 im Punkt C ? d) Zu welchem Zeitpunkt t1 muss die Masse m2 im Punkt B losgelassen werden, damit die beiden Massen m1 und m2 im Punkt D zusammenstoÿen? m1 = m2 = 1kg, g = 10 sm2 , c = 40000 kg s2 , ∆w = 0, 1m, µ = 0, 5, ` = 20m, h = 75m, √ α = 45o , vA = 10 2 ms Gegeben: Technische Mechanik III H14-2 Aufgabe 2 8 Punkte Ein Güterwaggon rollt von einem Ablaufberg der Höhe H auf drei stehende zusammenhängende Waggons. Alle Waggons haben die Masse m. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der Waggons nach dem Zusammenstoÿ, wenn a) von einer Stoÿzahl e = 0,8 ausgegangen wird. b) sich die Waggons nach dem Stoÿ gemeinsam weiter bewegen. Die Bewegung erfolgt reibungsfrei. m H Gegeben: m m = 20 t; H = 1 m; g = 10 m s2 . m m Technische Mechanik III H14-3 Aufgabe 3 22 Punkte Gegeben sei die dargestellte Anordnung, bei der zwei Massen m1 und m3 an einem über eine Rolle laufenden Seil befestigt seien. R m2 m3 g m1 H Die Rolle der Masse m2 und dem Radius R ist als homogene Kreisscheibe zu behandeln. a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf. b) Aus der Lösung der Bewegungsgleichung ist die Geschwindigkeit zu ermitteln, mit der die Masse m3 auf den Boden auftrit, wenn das System ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen wird. c) Kontrollieren Sie das Ergebnis mit dem Energiesatz. Gegeben: m1 ; m2 ; m3 ; R; H . Technische Mechanik III Musterlösung H14-1 Aufgabe 1 Musterlösung a) Schiefer Wurf Bedingung: y(t2 ) = −h = −75m m ÿ = −g = −10 2 s m m ẏ = −10 2 t + y˙0 y˙0 = vA sin 45o = 10 s s m m ẏ = −10 2 t + 10 s s m 2 m y = −5 2 t + 10 t + y0 (y0 = 0) s s y(t2 ) = −75m m m → −75m = −5 2 t22 + 10 t2 s s 2 2 t2 = −2s t2 − 15s = 0 √ t2 = 1 ± 1 + 15s → t2 = 5s b) ges.: x(t2 ) x¨0 = 0 x˙0 = vA cos 45o = 10 ẋ = x˙0 m s m x = 10 t + x0 (x0 = 0) s m x(t2 ) = 10 t 5s = 50m s m s ẋ = 10 c) Arbeitssatz: EK1 − EK0 = W01 1 W01 = c∆w2 2 1 kg kgm2 = 40000 2 (0, 1m)2 = 200 2 = 200N m 2 s s 1 2 1 2 EK1 − EK0 = mvC − mv0 = 200N m (v0 = 0) 2 2 s → vC = 2 · 200N m m = 20 1kg s d) ges.: t1 Zeit, welche die Masse m2 von B nach vc = 20 C benötigt: t3 m ; ` = 20m → t3 = 1s s Zeit, welche die Masse m2 von nach C D benötigt: t4 FR = µm2 g = 0, 5 · 1kg · 10 m = 5N s2 NEWTON: X F = m2 ẍ2 = −5N 5N m = −5 2 1kg s m m m ẋ2 = −5 2 t + x20 = −5 2 t + 20 s s s m 2 m x2 = −2, 5 2 t + 20 t + x20 (x20 = 0) s s x2 (t4 ) = BD − ` = 50m − 20m = 30m m m x2 (t4 ) = 30m = −2, 5 2 t24 + 20 t4 s s m 2 m → −2, 5 2 t4 + 20 t4 − 30m = 0 s s 2 t4 − 8s t4 + 12s2 = 0 √ t41/2 = 4 ± 16 − 12s → t41 = 6s; t42 = 2s m m m ẋ2 (t41 ) = −5 2 · 6s + 20 = −10 < 0 ! s s s ẍ2 = − → richtiges Kontrolle: Ergebnis: t41 = 2s √ m m m · 2s + 20 = 10 > 0 s2 s s m2 von B nach D benötigt: ẋ2 (t42 ) = −5 Gesamtzeit, welche die Masse t3 + t42 = 1s + 2s = 3s Gesuchte Zeit t1 = t2 − (t3 + t42 ), Ergebnis aus a): t2 = 5s → t1 = 5s − 3s = 2s Technische Mechanik III Musterlösung H14-2 Aufgabe 2 a) ges.: Geschwindigkeiten vor dem Stoÿ Energiesatz: mgH = 12 mv12 √ v1 = 2gH = 4.47m/s nach dem Stoÿ Musterlösung v̄1 , v̄2 bei e = 0, 8 v̄1 = v̄2 = v1 m−e3mv1 = −1.57m/s 4m v1 m+emv1 = 2.01m/s 4m b) ges.: Geschwindigkeiten v̄1 , v̄2 bei e=0 nach dem Stoÿ v̄ = v1 m 4m = 1.12m/s Technische Mechanik III Musterlösung H14-3 Aufgabe 3 Musterlösung a) ges.: Bewegungsgleichung 1. Freikörper S1 S1 − m1 ẍ = m1 g ⇒ S1 = m1 (g + ẍ) (1) x m1 2. Freikörper M M = θφ̈ mit M = −S1 R + S2 R θ = 12 m2 R2 φ̈ = Rẍ ⇒ 12 m2 Rẍ = −S1 R + S2 R ⇒ 12 m2 ẍ = −S1 + S2 (2) φ m2 S1 S2 3. Freikörper S2 S2 + m3 ẍ = m3 g ⇒ S2 = m3 (g − ẍ) (3) x (1) und (3) in (2): 1 m ẍ = −m1 (g + ẍ) + m3 (g − ẍ) 2 2 ⇒ 12 m2 + m1 + m3 ẍ = (m3 − m1 )g 3 −m1 ⇒ ẍ = 1 mm g +m1 +m3 2 2 b) ges.: ẋ(t1 ) mit x(t1 ) = H m3 Integrieren: ẋ = x= m3 −m1 1 m +m1 +m3 2 2 m3 −m1 1 2 12 m2 +m1 +m3 gt + C1 gt2 + C1 t + C2 Integrationskonstanten: Randbedingung Randbedingung x(t1 ) = H = q ⇒ t1 = 2H g ẋ(t1 ) = 1 2 ẋ(t = 0) = 0 ⇒ C1 = 0 x(t = 0) = 0 ⇒ C2 = 0 m3 −m1 1 m +m1 +m3 2 2 gt21 1 m +m1 +m3 2 2 m3 −m1 m3 −m1 1 m +m1 +m3 2 2 gt1 q 1 m +m1 +m3 m3 −m1 2 2 ẋ(t1 ) = 1 m2 +m1 +m3 g 2H g m3 −m1 2 q m3 −m1 ẋ(t1 ) = 2gH 1 m2 +m1 +m3 2 Einsetzen der gegebenen Werte: ẋ(t1 ) = q √ √ 4m−m 2gH 1 2m+m+4m = gH ≈ 40 ms 2 c) ges.: ẋ(t1 ) mit Energiesatz t = 0: ẋ1 = ẋ2 = ẋ3 = 0 ⇒ Ekin = 0 Epot1 = 0 Epot3 = m3 gH t = t1 : ẋ1 = ẋ2 = ẋ3 Ekin1 = 12 m1 ẋ21 Ekin3 = 12 m3 ẋ23 Rotationsenergie: Ekin2 = 12 θω 2 ω = φ̇ = ẋR2 ⇒ Ekin2 = 12 12 m2 R2 Epot = m1 gH mit ẋ2 2 R = 14 m2 ẋ22 Energiesatz: Ekin (t = 0) + Epot (t = 0) = Ekin (t = t1 ) + Epot (t = t1 ) ⇒ m3 gH = 21 m1 ẋ21 + 41 m2 ẋ22 + 12 m3 ẋ23 + m1 gH ⇒ m3 gH = 21 m1 ẋ21 + 12 m2 ẋ22 + m3 ẋ23 + m1 gH dehnstarres Seil und kein Seilschlupf: ẋ(t1 ) = ẋ1 = ẋ2 = ẋ3 1 2 ⇒ (m3 − mq m1 + 12 m2 + m3 2 )gH = 2 ẋ(t1 ) 3 −m1 ⇒ ẋ(t1 ) = 2gH 1 mm 2 +m1 +m3 2