1 σ-Algebren und messbare Funktionen

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σ-Algebren und messbare Funktionen
Sei X 6= ∅ eine Menge und sei P(X) die Potenzmenge von X. Für A ⊂ X schreiben wir
Ac = X \ A = {x ∈ X; x ∈
/ A}.
Für B ⊂ A sei A \ B = A ∩ B c .
Definition 1.1. Eine Menge M ⊂ P(X) heißt σ-Algebra auf X, falls
(i) ∅ ∈ M,
(ii) für jedes A ∈ M auch Ac ∈ M gehört,
(iii) für jede Folge (Ak )k∈N in M auch
S
k∈N
Ak ∈ M gilt.
Bemerkung 1.2. Seien M, Mi (i ∈ I) σ-Algebren auf X.
(a) Dann ist X = ∅c ∈ M und mit jeder Folge (Ak )k∈N gehört auch
!c
\
[
c
∈ M.
Ak =
Ak
k∈N
k∈N
(b) Mit A1 , . . . , An ∈ M gehören auch
A1 ∪ . . . ∪ An = A1 ∪ . . . ∪ An ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ . . . ∈ M,
A1 ∩ . . . ∩ An = A1 ∩ . . . ∩ An ∩ X ∩ X ∩ . . . ∈ M.
(c) Der Durchschnitt
T
i∈I
M, ist eine σ-Algebra auf X.
(d) Ist (Ak )k∈N eine Folge in M, so existiert eine Folge (Bk )k∈N in M mit
[
Ak =
k∈N
[
Bk und Bi ∩ Bj = ∅ für i, j ∈ N mit i 6= j.
k∈N
Zum Beweis setze man
B0 = A0 , Bn = An ∩ (A0 ∪ . . . ∪ An−1 )c (n ≥ 1).
Induktiv folgt, dass
Sn
k=0
Bk =
Sn
k=0
Ak für alle n ∈ N.
Beispiele 1.3. Sei X eine beliebige Menge.
(a) {∅, X} und P(X) sind σ-Algebren auf X.
(b) M = {A ⊂ X; A ist abzählbar oder Ac ist abzählbar} ist eine σ-Algebra auf X. Die Bedingungen (i)
und (ii) aus Definition 1.1 sind offensichtlich erfüllt. Ist (Ak )k∈N eine beliebige Folge in M, so ist im Fall,
S
dass alle Ak abzählbar sind, auch k∈N Ak abzählbar. Ist ein An nicht abzählbar, so ist Acn abzählbar
und damit auch
!c
[
⊂ Acn .
Ak
k∈N
1
Definition 1.4. Sei F ⊂ P(X) beliebig. Die σ-Algebra (siehe Bemerkung 1.2(c))
σ(F) =
\
(M ⊂ P(X); M ist σ-Algebra auf X mit F ⊂ M)
heißt die von F erzeugte σ-Algebra auf X.
Offensichtlich ist σ(F) die kleinste σ-Algebra auf X, die alle Mengen F ∈ F enthält.
Beispiel 1.5. Sei (X, d) ein metrischer Raum. Dann heißt
B(X) = σ({U ⊂ X; U ist offen})
die Borelsche σ-Algebra auf X.
Satz 1.6. Die Borelsche σ-Algebra B(Rn ) auf Rn wird auch erzeugt von den Mengensystemen
(a) F1 = {F ; F ⊂ Rn abgeschlossen},
(b) F2 =
Sn
i=1
−1
πi ((−∞, b]); b ∈ R , wobei πi : Rn → R, (x1 , . . . , xn ) 7→ xi die Projektion auf die i-te
Koordinate ist,
Qn
(c) F3 = { i=1 (ai , bi ]; a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈ R mit ai < bi für i = 1, . . . , n}.
Beweis. Sei Mi = σ(Fi ) (i = 1, 2, 3). Da M2 ⊃ F2 eine σ-Algebra ist, enthält M2 auch jede Menge der
Form
n
Y
(ai , bi ] =
i=1
n
\
{x ∈ Rn ; xi ≤ b} ∩ {x ∈ Rn ; xi ≤ ai }c
i=1
(a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈ R mit ai < bi für alle i). Also gilt M2 ⊃ M3 . Da F2 aus abgeschlossenen
Teilmengen von Rn besteht, gilt M1 ⊃ M2 . Jede σ-Algebra auf Rn , die alle offenen Teilmengen von Rn
enthält, enthält auch deren Komplemente, also alle abgeschlossenen Teilmengen von Rn . Damit gilt auch
B(Rn ) ⊃ M1 . Da für a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈ R mit ai < b1 für alle i = 1, . . . , n die Darstellung
n
Y
(ai , bi ) =
i=1
∞ Y
n [
1
ai , bi −
k
i=1
k=1
gilt, enthält M3 alle offenen (achsenparallelen) Quader. Um den Beweis zu beenden, genügt es zu zeigen,
dass jede offene Menge U ⊂ Rn abzählbare Vereinigung solcher offenen Quader ist. Für > 0 und a ∈ Rn
bezeichnen wir mit
Q (a) = {x ∈ Rn ; kx − ak∞ < }
die offene Kugel um a bezüglich der Maximumnorm. Mengen dieser Form sind offene achsenparallele
Quader. Sei U ⊂ Rn offen und sei a(k) k∈N∗ eine Abzählung von Qn ∩ U . Eine einfache Überlegung zeigt,
dass
U=
[
Q 1j a(k) ; (j, k) ∈ (N∗ )2 mit Q 1j a(k) ⊂ U .
2
Da U offen ist und Qn ⊂ Rn dicht ist, gibt es zu jedem x ∈ U ein j ∈ N∗ mit Q 1j (x) ⊂ U und dazu ein
k ∈ N∗ mit a(k) ∈ Q 2j1 (x). Mit der Dreiecksungleichung für die Maximumnorm folgt, dass
x ∈ Q 2j1 a(k) ⊂ Q 1j (x) ⊂ U.
Damit ist die nicht-triviale Inklusion der behaupteten Mengengleichheit gezeigt. Also enthält M3 alle
offenen Mengen und damit auch B(Rn ).
Satz 1.7. Ist M eine σ-Algebra auf X und f : X → Y eine Abbildung, so definiert
−1
N = B ⊂ Y ; f (B) ∈ M
eine σ-Algebra auf Y .
−1
−1
−1
Beweis. Wegen f (∅) = ∅ ∈ M ist ∅ ∈ N. Ist B ∈ N, so folgt aus f (B c ) = f (B)c ∈ M, dass auch
B c ∈ N gilt. Für jede Folge (Bk )k∈N in N zeigt die Darstellung
!
[
[ −1
−1
f (Bk ) ∈ M,
f
Bk =
k∈N
dass
S
k∈N
k∈N
Bk ∈ N. Also ist N eine σ-Algebra auf Y .
Möchte man zeigen, dass die Urbilder der Mengen aus einer σ-Algebra N auf Y unter einer Abbildung
f : X → Y zu einer gegebenen σ-Algebra M auf X gehören, genügt es, dies für die Mengen eines beliebigen
Erzeugendensystems von N zu prüfen.
Korollar 1.8. Sei f : X → Y eine Abbildung, M eine σ-Algebra auf X und N = σ(F) die von einem
−1
Mengensystem F ⊂ P(Y ) erzeugte σ-Algebra auf Y . Dann gilt f (B) ∈ M für alle B ∈ N genau dann,
−1
wenn f (B) ∈ M ist für alle B ∈ F.
−1
Beweis. Nach Satz 1.7 ist {B ⊂ Y ; f (B) ∈ M} eine σ-Algebra auf Y . Mit F enthält diese σ-Algebra
auch die von F erzeugte σ-Algebra N = σ(F).
Definition 1.9. (a) Ein messbarer Raum ist ein Paar (X, M) aus einer Menge X 6= ∅ und einer σAlgebra M auf X.
(b) Sei (X, M) ein messbarer Raum und (Y, d) ein metrischer Raum. Eine Abbildung f : X → Y heißt
messbar (oder Borel-messbar ), falls
−1
f (B) ∈ M für alle B ∈ B(Y ).
Bemerkung 1.10. (a) In der Situation von Definition 1.9(b) ist eine Abbildung f : X → Y nach Korollar
−1
1.8 messbar genau dann, wenn f (U ) ∈ M für alle offenen Mengen U ⊂ Y ist.
3
(b) Sind (X, d), (Y, d0 ) metrische Räume, so ist jede stetige Abbildung f : X → Y messbar auf (X, B(X)),
−1
denn für jede offene Menge U ⊂ Y ist f (U ) ⊂ X offen und damit in B(X) enthalten.
(c) Sei (X, M) ein messbarer Raum und seien (X, d), (Z, d0 ) metrische Räume. Ist f : X → Y messbar
und ist g : Y → Z stetig, so ist die Komposition g ◦ f : X → Z messbar. Zur Begründung beachte man,
−1
dass für jede offene Menge U ⊂ Z die Menge g (U ) ⊂ Y offen ist und daher
−1 −1
g (U ) ∈ M
{x ∈ X; g ◦ f (x) ∈ U } = f
gilt.
(d) In Teil (c) kann man die Stetigkeitsforderung für g natürlich auch ersetzen durch die schwächere
Bedingung, dass g : Y → Z messbar ist als Abbildung auf dem messbaren Raum (Y, B(Y )).
Seien Rn und Cn ∼
= R2n im Folgenden mit der euklidischen Metrik
n
X
d(x, y) = kx − yk =
! 21
2
|xi − yi |
i=1
versehen.
Satz 1.11. Sei (X, M) ein messbarer Raum.
(a) Eine Funktion f = (g, h) : X → Rm ×Rn ist messbar genau dann, wenn g : X → Rm und h : X → Rn
beide messbar sind.
(b) Sind f, g : X → Rm messbar, so ist auch f + g : X → Rm messbar.
(c) Mit f : X → Rm ist auch die Funktion kf k : X → R messbar.
(d) Sind f, g : X → R (bzw. C) messbar, so ist auch f · g : X → R (bzw. C) messbar.
Beweis. (a) Ist f = (g, h) : X → Rm × Rn messbar, so ist g (und entsprechend auch h) messbar als
Komposition von f und der stetigen Abbildung
Rm × Rn → Rm , (x, y) 7→ x
(Bemerkung 1.10(c)). Seien umgekehrt g : X → Rm und h : X → Rn beide messbar und sei
U ⊂ Rm × Rn = Rm+n offen. Der Beweis von Satz 1.6 zeigt, dass offene Mengen Vk ⊂ Rm , Wk ⊂
Rn (k ∈ N) existieren mit
U=
[
(Vk × Wk ).
k∈N
Dann ist aber
−1
f (U ) =
[
−1
f (Vk × Wk ) =
k∈N
[
k∈N
Also ist f = (g, h) messbar.
4
−1
−1
g (Vk )∩ h (Wk ) ∈ M.
(b) Sind f, g : X → Rm messbar, so ist nach Teil (a) die Abbildung (f, g) : X → Rm × Rm messbar.
Bemerkung 1.10(c) zeigt, dass f +g als Komposition von (f, g) und der stetigen Abbildung Rm ×Rm →
Rm , (x, y) 7→ x + y messbar ist.
(c) und (d). Die Teile (c) und (d) folgen genauso wie (b), indem man die Stetigkeit der Abbildungen
R
m
m
X
→ R, (xi ) → k(xi )k =
! 12
|xi |
2
i=1
und
R × R → R (bzw. C × C → C), (x, y) 7→ xy
benutzt.
Satz 1.12. Sei (X, M) ein messbarer Raum und sei (Y, d) ein metrischer Raum. Sind fk : X → Y
(k ∈ N) messbare Funktionen und ist f : X → Y eine Funktion mit
lim fk (x) = f (x)
k→∞
für alle x ∈ X, so ist f messbar.
Beweis. In [Ana2] (Beispiel 2.15) wurde gezeigt, dass für eine Menge ∅ 6= A ⊂ Y die Abstandsfunktion
dA : Y → R, dA (y) = inf{d(y, a); a ∈ A}
−1
stetig ist. Sei V ( Y offen. Es genüg zu zeigen, dass f (V ) ∈ M ist. Zum Beweis beachte man, dass die
Mengen
An =
1
y ∈ Y ; dV c (y) ≥
n
⊂Y
abgeschlossen sind mit
An ⊂
y ∈ Y ; dV c (y) >
für alle n ≥ 1. Also ist
V ⊂
∞
[
∞
[
An ⊂
n=1
1
n+1
⊂ Int(An+1 )
Int(An+1 ) ⊂ V.
n=1
Da die Folge (fk )k∈N punktweise gegen f konvergiert, erhält man für jede offene Menge U ⊂ Y die
Inklusion
−1
f (U ) ⊂
∞ [
∞
\
−1
fk
(U )
i=1 k=i
und für jede abgeschlossene Menge A ⊂ Y die Inklusion
∞ [
∞
\
−1
fk
−1
(A) ⊂ f (A).
i=1 k=i
5
Die Inklusionskette
∞ \
∞ [
∞
[
−1
fk
(An ) ⊂
n=1 i=1 k=i
=
∞
[
−1
−1
f (An ) = f (V )
n=1
∞
[
−1
f (Int(An )) ⊂
n=1
∞ \
∞ [
∞
[
−1
fk
(Int(An ))
n=1 i=1 k=i
−1
zeigt, dass alle vorkommenden Mengen gleich sind und dass daher f (V ) ∈ M gehört.
Definition 1.13. Seien (X, M) ein messbarer Raum und (Y, d) ein metrischer Raum. Eine Funktion
f : X → Y heißt einfach, falls f messbar ist und f (X) ⊂ Y endlich ist.
Man sieht sehr leicht, dass eine Funktion f : X → Y einfach ist genau dann, wenn es endlich viele
Sr
paarweise disjunkte Mengen A1 , . . . , Ar ∈ M gibt mit X = i=1 Ai so, dass f |Ai konstant ist für alle
i = 1, . . . , r.
Satz 1.14. Sei (X, M) ein messbarer Raum. Eine Funktion f : X → K n (K = R oder K = C) ist messbar
genau dann, wenn es eine Folge (fk )k≥1 einfacher Funktionen fk : X → K n gibt mit f (x) = limk→∞ fk (x)
für alle x ∈ X.
Beweis. Ist f punktweiser Limes einer Folge einfacher Funktionen, so ist f nach Satz 1.12 messbar.
Für den Beweis der umgekehrten Implikation dürfen wir annehmen, dass K = R und n = 1 ist, denn
Cn ∼
= R2n und hat man Folgen (fik )k (i = 1, . . . , n) von einfachen Funktionen fik : X → R gefunden
so, dass (fik )k≥1 punktweise gegen die i-te Koordinatenfunktion konvergiert, so sind die Funktionen
fk = (fik )ni=1 : X → Rn messbar mit nur endlich vielen Werten (also einfach) und konvergieren punktweise
gegen f : X → Rn . Man beachte bei dieser Reduktion auch, dass nach Satz 1.11(a) eine Rn -wertige
Funktion genau dann messbar ist, wenn alle ihre Koordinatenfunktionen messbar sind.
Sei also f : X → R eine messbare Abbildung. Für k ∈ N∗ definieren wir eine einfache Funktion fk : X → R
durch die Vorschriften
j j+1
j
fk (x) = k , falls f (x) ∈ k ,
mit j ∈ Z ∩ −k 2k , k2k ,
2
2
2k
und fk (x) = −k für f (x) < −k, fk (x) = k für f (x) ≥ k. Ist x ∈ X, so gilt nach Definition für alle k ∈ N
mit k > |f (x)| die Ungleichung
|f (x) − fk (x)| <
1
.
2k
Also ist f (x) = limk→∞ fk (x) für alle x ∈ X.
Für eine Funktion f : X → E mit Werten in einem normierten Raum E schreiben wir
kf kX = sup kf (x)k
x∈X
für die Supremumnorm von f .
6
(∈ [0, ∞])
Bemerkung 1.15. (a) Ist f : X → R messbar und beschränkt, so konvergiert die im Beweis von Satz
1.14 konstruierte Folge einfacher Funktionen fk : X → R gleichmäßig auf X gegen f . Zur Begründung
beachte man, dass für alle k ∈ N mit k > kf kX die Abschätzung
|f (x) − fk (x)| <
1
2k
für alle x ∈ X gilt.
(b) Ist f : X → [0, ∞) messbar, so zeigt eine einfache Fallunterscheidung, dass die im Beweis von Satz
1.14 konstruierte Folge einfacher Funktionen punktweise monoton wachsend gegen f konvergiert, das
heißt für alle x ∈ X gilt
fk (x) ≤ fk+1 (x) für alle k ∈ N∗ und f (x) = lim fk (x).
k→∞
Definition 1.16. Sei (X, M) ein messbarer Raum und ∅ 6= Y ⊂ X eine Teilmenge. Dann nennt man
das Mengensystem
M|Y = {A ∩ Y ; A ∈ M}
die Spur-σ-Algebra von M auf Y .
Man sieht sehr einfach, dass die Spur-σ-Algebra von M auf Y ⊂ X wirklich eine σ-Algebra auf Y definiert.
Bemerkung 1.17. Seien (X, M) ein messbarer Raum, (Z, d) ein metrischer Raum und ∅ 6= Y ⊂ X eine
Teilmenge.
(a) Ist Y ∈ M, so gilt M|Y = {A ∈ M; A ⊂ Y }.
(b) Ist f : X → Z messbar, so ist auch f |Y : Y → Z messbar bezüglich der Spur-σ-Algebra M|Y .
(c) Ist Y ∈ M, so ist eine Abbildung f : X → Z messbar genau dann, wenn die Einschränkungen
f |Y : Y → Z; f |Y c → Z messbar sind bezüglich der Spur-σ-Algebren M|Y und M|yc .
Satz 1.18. Sei (X, M) ein messbarer Raum und sei f : X → K mit K = R oder K = C eine messbare
Abbildung. Dann wird durch g : X → R,

 g(x) = 1 , falls f (x) 6= 0,
f (x)
 g(x) = 0, falls f (x) = 0,
−1
Beweis. Da die Menge Y = f (K \ {0}) als Urbild einer offenen Menge zu M gehört, dürfen wir nach
Bemerkung 1.17 annehmen, dass Y = X ist. In diesem Fall ist die Funktion
1
f
: X → K nach Bemerkung
1.10(c) messbar als Komposition der messbaren Abbildung f : X → K \ {0} und der stetigen Abbildung
K \ {0} → K, x 7→
1
.
x
Man beachte dabei, dass alle offenen Teilmengen des metrischen Raumes K \{0} auch offen in K sind.
Für die in Satz 1.18 definierte Funktion g : X → K werden wir im Folgenden einfach
7
1
f
schreiben.
Literatur
[ABR] Axler, S., Bourdon, P. and Ramey, W., Harmonic function theory, Springer, New York, 1992
[Cohn] Cohn, D.L., Measure theory, Birkhäuser, 1980.
[Ana1] Eschmeier, J., Analysis I, Vorlesungsskript, Universität des Saarlandes, 2013.
[Ana2] Eschmeier, J., Analysis II, Vorlesungsskript, Universität des Saarlandes, 2014.
[Forster 3] Forster, O., Analysis 3, Springer 2012
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