Theorie zufälliger Matrizen

Theorie zufälliger Matrizen
Susanna Röblitz (geb. Kube)
Disputationsvortrag
Berlin, 17. Dezember 2008
1,000,000 $
Kernphysik
Multivariate Statistik
17.12.2008
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Susanna Röblitz
1,000,000 $
Zufallsmatrizen
Kernphysik
Multivariate Statistik
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Susanna Röblitz
Zufallsmatrix
Zufallsmatrix: Einträge sind Zufallsvariablen
gegeben
gesucht
Verteilung der Matrix A
Verteilung von f (A)
(z.B. Eigenwerte, Eigenvektoren)
für N → ∞
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Susanna Röblitz
Kernphysik
Schrödinger-Gleichung
ı~
∂
ψ = Hψ
∂t
Atomkern (Neutronenwechselwirkung): H oft unbekannt oder zu
komplex
H −→ H zufällige hermitesche Matrix
Hypothese: Die charakteristischen Energien eines chaotischen
Systems verhalten sich lokal wie die Eigenwerte einer Zufallsmatrix.
[E.P. Wigner(1951), C.E. Porter, N. Rosenzweig (1960), F. Dyson (1962)]
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Susanna Röblitz
Multivariate Statistik
A = [x1 , . . . , xn ] Stichprobe aus X ∼ Nm (µ, Σ)
empirische Kovarianz-Matrix
n
1 X
S=
(xi − x)(xi − x)> ,
n−1
i=1
n
1X
x=
xi
n
i=1
(n − 1)S = ZZ > ∼ Wm (n − 1, Σ) [J. Wishart (1928)]
Anwendungsbeispiel: Hauptkomponentenanalyse
Eigenwertverteilung?
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Susanna Röblitz
Ein Milleniumproblem (1,000,000 $)
Im
Riemannsche Zeta-Funktion
ζ(s) =
∞
X
Y
1
1
=
s
n
1 − 1/p s
n=1
−2
1
0
Re
p prim
s ∈ C, <(s) > 1
1/2
Nullstellen geben Auskunft über Verteilung der Primzahlen!
Riemannsche Vermutung (1859, Hilbert 1900): Nullstellen im
kritischen Streifen liegen auf Geraden {s|<(s) = 1/2}
Hilbert-Pólya-Vermutung: Die Nullstellen der Riemannschen
Zeta-Funktion entsprechen den Eigenwerten des Operators
1
+ ıT ,
2
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T hermitesch
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Susanna Röblitz
Numerische Verifizierung
Wahrscheinlichkeitsdichte der Abstände der Nullstellen der
Riemannschen Zeta-Funktion (30000 Nullstellen,
n ≈ 1012 , 1021 , 1022 )
Wahrscheinlichkeit
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
normalisierte Abstände
6
http//www.dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta tables/index.html
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Susanna Röblitz
Weitere Anwendungen
I
lineare Gleichungssysteme
I
zufällige Graphen
I
Datenkomprimierung (compressed sensing)
I
Quantenfeldtheorie
I
...
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Susanna Röblitz
1. Welche Zufallsmatrizen gibt es?
2. Was möchte man darüber wissen?
3. Wie bekommt man diese Informationen?
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Susanna Röblitz
Ensemble von Zufallsmatrizen
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Hermite
(Gauß)
Laguerre
(Wishart)
Jacobi
(MANOVA)
H = (A + A0 )/2
A ∼ Gβ (n, n)
W = A0 A
A ∼ Gβ (m, n)
J = A/(A + B)
A ∼ Wβ (m1 , n)
B ∼ Wβ (m2 , n)
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Susanna Röblitz
Fragestellung
I
Abstände benachbarter Eigenwerte
I
Abstand zwischen k Eigenwerten
I
mittlere Anzahl von Eigenwerten in einem fixen Intervall
I
Verteilung des größten/kleinsten Eigenwertes
I
...
Wie kann man diese Statistiken bestimmen?
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Susanna Röblitz
Monte-Carlo-Verfahren
1. Matrixverteilung wählen
2. Stichprobe ziehen (N × N Matrix A generieren)
3. Eigenwert berechnen
4. Statistik aufstellen
Problem: sehr zeitaufwändig für große N
Ziel: effiziente Berechnung
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Susanna Röblitz
Der klügere Weg
Drei Schritte zum Erfolg
1. dünn besetztes Matrixmodell
2. Skalierung der Matrix
3. Vernachlässigen kleiner Einträge (cutoff)
Werkzeugkasten
I
numerische lineare Algebra
I
orthogonale Polynome
I
Differentialoperatoren
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Susanna Röblitz
Das Hermite-Ensemble
Hermite-Ensemble
=
H β = (A + A0 )/2,
Name
orthogonal (GOE)
unitär (GUE)
symplektisch (GSE)
Gaußsches Ensemble
A ∼ Gβ (n, n)
β
Eigenschaft
Invarianz
1 (R)
2 (C)
4 (H)
symmetrisch
hermitesch
selbst-dual
A → Q > AQ
A → U H AU
A → S D AS
z.B. GUE: A=randn(N)+i*randn(N); H=(A+A’)/2;
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Susanna Röblitz
Tridiagonales Matrixmodell
[Trotter (1984), Dimitriu, Edelman (2002)]
Eine beliebige N × N Matrix AβN aus dem β-Hermite-Ensemble ist
orthogonal ähnlich zu
 √

2G
χ√
(N−1)β
χ(N−1)β

2G
χ(N−2)β


1


..
..
..
HNβ ∼ √ 
, β > 0
.
.
.

2β 
√

χ2β
2G √χβ 
χβ
2G
I
Es gibt kein vollbesetztes Matrixmodell für β 6= 1, 2, 4, jedoch
ein tridiagonales Modell für beliebige β > 0!
I
Eigenwerte bleiben erhalten!
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Susanna Röblitz
β→∞
χr ∼
√
r+
√1 G
2
[B. Sutton (2005)]

β→∞
HNβ −→ HN∞
√ 0
 N −1
1 

=√ 
2

√

N −1 √

0
N −2


..
..
..

.
.
.
√
√ 
2
1
√0
1 0
Das Modell ist deterministisch!
Frage: Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren dieser Matrix?
HN∞ = QΛQ >
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Susanna Röblitz
Orthogonale Polynome
Hermitesches Polynom:
Z ∞
2
H
πm
(x)πnH (x)e −x dx = δmn
−∞
Hermitesche Funktion:
ψnH (x) = πnH (x)e −x
2 /2
Drei-Term-Rekursion:
xΨH
n (x)
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r
=
n H
ψ (x) +
2 n−1
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r
n+1 H
ψn+1 (x)
2
Susanna Röblitz
Drei-Term-Rekursion
r
xΨH
N (x)
=
N H
ψ
(x) +
2 N−1
r
N +1 H
ψN+1 (x)
2
Matrixschreibweise:
H
diag(x1 , . . . , xN ) [ΨH
j−1 (xi )]i,j=1,...,N = [Ψj−1 (xi )]i=1,...,N;j=1,...,N+1 T

√
1
0
√
√
 1 0
2


.
.
..

..
..
1
.
T =√ 
√
√

2
N −2 √ 0
N −1


N −1
√0
N
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









Susanna Röblitz
Drei-Term-Rekursion
H.
Seien z1 , . . . , zN die Nullstellen von πN
H
∞
diag(z1 , . . . , zN )[ΨH
j−1 (zi )]i,j=1,...,N = [Ψj−1 (zi )]i,j=1,...,N FHN F


1
. 

..

F =
1
HN∞ = QΛQ > , Λ = diag(z1 , . . . , zN ),
ΨH (zj )
Qij = q N−i
H (z , z )
KN−1
j j
H
Eigenwerte von HN∞ = Nullstellen des Hermite-Polynoms πN
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Susanna Röblitz
Die Airy-Funktion
Problem: Nullstellen sind unbeschränkt für N → ∞
1
Ai(x)
0.5
y
Airy-Funktion:
µ 3
¶
Z
t
1 ∞
cos
+ xt dt
Ai(x) =
π 0
3
0
−0.5
Nullstellen 0 > ξ1 > ξ2 . . .
−1
−15
−10
−5
x
0
5
[Szegö (1939)]
√
1
zN,k ∼ − 2N − √ N −1/6 ξk ,
2
zN,N+1−k ∼
√
1
2N + √ N −1/6 ξk
2
Um einen Grenzwert bilden zu können, muss man shiften und
skalieren.
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Susanna Röblitz
Der Airy-Operator
e∞ =
H
N
√
2N 1/6 (HN∞ −
√
2NIN )
Setze h = N −1/3 , xk = hk (k = 1, . . . , N):
e ∞ ist Finite-Differenzen-Approximation an den Airy-Operator
H
N
A∞ =
d2
− x auf [0, ∞),
dx 2
RB: f (0) = 0, lim f (x) = 0
x→∞
Eigenwertzerlegung:
A∞ [Ai(x + ξk )] = ξk [Ai(x + ξk )],
0 > ξ1 > ξ2 > . . . NST von Ai
e ∞ sind diskretisierte Airy-Funktionen:
Die Eigenvektoren von H
N
e ∞ vi = λi vi ,
H
N
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λi = ξi ,
vi (k) = Ai(xk + ξi ), xk = kh (k = 1, . . . , N)
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Susanna Röblitz
Cutoff
Eigenvektor zum Eigenwert λ1 = ξ1 ≈ −2.34
0.6
Ai(x+ξ1)
0.5
0.4
v1 (k) = Ai(xk + ξ1 ),
xk = kh
0.3
0.2
(k = 1, . . . , N)
0.1
0
0
2
4
6
8
10
x
cutoff: Bestimme den Index k, so dass
v (i) < ε ∀i > k
↔
Ai(xi + ξ1 ) < ε ∀i > k
wähle ε = 2−52 : hk = xk < 16 ↔ k < 16/h = 16N 1/3
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Susanna Röblitz
β<∞

2G
G
1 

HNβ ∼ HN∞ + √ 
2 β

G
2G
..
.

G
.. ..
.
.
G 2G
G



,

G
2G
β>0
√
√
e β = 2N 1/6 (H β − 2NIN ) ist Finite-Differenzen-Approximation
H
N
N
an den stochastischen Airy-Operator
Aβ =
d2
2
− x + √ dW auf [0, ∞),
dx 2
β
RB: f (0) = 0, lim f (x) = 0
x→∞
Behauptung: Die Verteilung des größten Eigenwertes von Aβ
eβ
entspricht der Verteilung des größten Eigenwertes von H
N
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Susanna Röblitz
Numerische Verifizierung
Histogramme der Wahrscheinlichkeitsdichten des skalierten größten
Eigenwertes (105 Wiederholungen, N = 109 )
β=2
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
β=4
0.6
Wahrscheinlichkeit
0.6
Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit
β=1
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
−6
−4
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−2
0
2
4
0
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
−6
−4
25/29
−2
0
2
4
0
−6
−4
−2
0
Susanna Röblitz
2
4
Effizienz
Berechnung des größten Eigenwertes (1 Durchlauf)
Laufzeit in Sekunden (1 CPU, Opteron Prozessor, 2.2 MHz)
Komplexität
vollbesetzt O(N 3 )
tridiagonal O(N)
cutoff
O(N 1/3 )
(*) out of memory
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N = 104
N = 106
N = 109
N = 1012
180
0.01
0.0005
–(*)
1.1
0.001
–
1200
0.01
–
–
0.12
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Susanna Röblitz
Zusammenfassung
I
tridiagonales Matrixmodell
I
Verallgemeinerung des Ensembles auf β > 0
I
Grenzwert N → ∞ nur bei geeigneter Skalierung der Matrix
I
Finite-Differenzen-Approximation an stochastischen Operator
offene Probleme
I
analytische Resultate für das Laguerre- und Jacobi-Ensemble
I
analytische Resultate für allgemeine β > 0
I
stochastische Operatoren als möglicher neuer Zugang zur
Riemannschen Vermutung
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Literatur
Einführung und Überblick:
I
M. L. Mehta (2004), Random Matrices, Elsevier, Amsterdam.
I
R. J. Muirhead (1982), Aspects of Multivariate Statistical Theory,
John Wiley & Sons, New York.
I
A. Edelmann, N.R. Rao (2005), Random matrix theory, Acta
Numerica, 1–65.
Stochastische Operatoren:
I
I. Dimitriu, A. Edelmann (2002), Matrix models for beta ensembles,
J. Math. Phys., 43(11), 5830–5847.
I
B.D. Sutton (2005), The Stochastic Operator Approach to Random
Matrix Theory, PhD thesis, MIT.
I
A. Edelmann, B.D. Sutton (2007), From Random Matrices to
Stochastic Operators, J. Statist. Phys., 127(6), 1121–1165.
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Susanna Röblitz
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
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