Schwingkreise

8
8. Schwingkreise
Moeller et.al.: Grundlagen der Elektrotechnik,
18. Auflage, Teubner Verlag 1996, Seite 404 ff
Paul,R.:
Elektrotechnik 2,
Springer Verlag, 3. Auflage 1993, Seite 258 ff,
Pregla, R.:
Grundlagen der Elektrotechnik, 6.Auflage
Hüthig Verlag 2001, Seite 465 ff
Wolff, I.:
Grundlagen der Elektrotechnik,
Verlagshaus Nellissen-Wolff 1997, Seite 527 ff
emg
GET
Reihenschwingkreis
I
8
UR
U
Z = R + jωL - j
UL
UL
UC
= R + j(ωL UL
zi t i
kap a
v
UR
UC
U
1
ωC
ona
Re s
I
UR
U = UR
nz
UC
I
1
ωC
)
UL tiv
k
in d u U
C
UR U
I
Resonanzfrequenz: Bei der Resonanzfrequenz ω0 ist im Reihenschwingkreis nur der ohmsche Widerstand R wirksam, die Beträge der Blindwiderstände sind gleich groß.
X0L = ω0L
emg
GET
=
1
1
ω0C = X0C
mit ω0= LC
=> X0=
Resonanzblindwiderstand
= X0 oder Kennwiderstand
L
C
1
8
Gütefaktor Q: Reihenschwingkreis
I
Der Gütefaktor Q ist das Verhältnis der zwischen
den Energiespeichern (L und C) hin und her pendelnden
Blindleistung zur insgesamt verbrauchten Wirkleistung
bei Resonanz.
UR
U
UL
UC
Q=
1
I2 X0
X0
1
ωL
= 0 =ω RC =
=
2
I R
R
R
R
0
L
C
dimensionslos
Der Kehrwert des Gütefaktors Q wird als
Verlustfaktor (Dämpfung) bezeichnet: d =
1/Q
Beim idealen
Schwingkreis
R=0
umso GRÖSSER Q
umso kleiner d
je kleiner R
emg
GET
8
Verstimmung v
Ortskurve des komplexen Widerstands Z:
mit L=
X0
ω0
ω
ω
=> Z = R + jX0 ω - 0
ω
0
ω
ω
v = ω - ω0
=> Z = R (1 + jQv)
0
und C=
mit Q = X0/R
=> |Z| = R 1 + (Qv)2
1
X0ω0
Verstimmung
ϕZ = arctan(Qv)
bei ω = ω0 ist v = 0
Stromresonanzkurve: Liegt der Schwingkreis an einer Spannung
konstanter Amplitude und veränderlicher Frequenz, so bestimmt Z
die Resonanzkurve des Schwingkreisstromes:
Stromresonanz
emg
GET
U
U
I= Z = R
1
1+ jQv
U
mit I0= R
=>
I
I0
1
= 1+ jQv
=1 bei ω=ω0
maximal
2
8
Verstimmung -Frequenz
Die Verstimmung anstatt
der Frequenz als unabhängige Variable zu
nehmen, kompensiert
die Unsymmetrie der
Impedanz des Reihenschwingkreises links
und rechts von der
Resonanzfrequenz durch
das kapazitive bzw.
induktive Verhalten.
Verstimmung v
1
0
kapazitiv
-1
-2
induktiv
-3
ω0=500 Hz
-4
200
400
600
800
Frequenz (Hz)
1000
200
400
600
800
Frequenz (Hz)
1000
Verstimmungbetrag |v|
4
2
1
6
4
2
0.1
6
4
2
0.01
emg
GET
8
Gesamtimpedanzdarstellungen im
Vergleich
5
14
R=0
Güte unendlich
12
kapazitiv
-5
induktiv
-10
|Zges| (Ω)
Zges(Ω)
0
10
R=1 Ω
Güte Q = 3
8
6
4
2
-15
0
200
400
600
800
Frequenz (Hz)
1000
5
600
800
Frequenz (Hz)
-3
-2
-1
Verstimmung
1000
12
|Zges| (Ω)
Zges(Ω)
400
14
0
-5
10
8
6
4
-10
emg
GET
200
2
-15
-4
-3
-2
-1
Verstimmung
0
1
0
-4
0
1
3
8
Impedanzortskurve
des Reihenschwingkreises
ZZ= =R1+
(1+jQv
jQv)
R
|:R
Komplexe Impedanzebene
AZ = 1 + jQv
Im
ϕAz = arctan(Qv)
emg
GET
8
induktiv
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
AZ
ϕAz
Re
kapazitiv
Stromortskurve des Reihenschwingkreises
U
I= R
I = U/Z
Normierung
A= I/I0
|A|I =
1
1+ jQv
mit Gütefaktor Q = X0/R
1
1 + (Qv)2
v=
ϕAI = -arctan(Qv)
Im
Qv =-∞
0
Qv=+∞
-½
Qv =0
ω=ω0
45°
½
Qv = +1
ω
ω
- 0
ω0
ω
Verstimmung
Qv = -1
½
emg
GET
Qv
Qv = - ∞: ω = 0
Qv = -1 : ω = ω0 - ω
Qv = 0 : ω = ω0
Qv = +1 : ω = ω0 + ω
Qv = + ∞: ω = ∞
1 Re
Qv
I bei ω=ω0
4
8
Parallelschwingkreis
U
IR
Y=
I
1
1
+ jωC - j
R
ωL
IC
IL
iv
IR
I
1
1
+ j(ωC )
R
ωL
IC itiv
z
kap a I
IC
kt
in d u
IC
=
IL
on
Re s
U
IR
an z
L
IR I
IL
I = IR
U
U
Resonanzfrequenz: Bei der Resonanzfrequenz ω0 ist im Parallelschwingkreis nur der ohmsche Leitwert 1/R wirksam, die Beträge der Blindleitwerte
sind gleich groß.
Y0C = ω0C
emg
GET
8
1
=
1
ω0L = Y0L
mit ω0= LC
=> Y0=
= Y0 Resonanzblindleitwert
C
L
Gütefaktor Q: Parallelschwingkreis
U
IR
IL
IC
I Güte: Der Gütefaktor Q ist das Verhältnis der zwischen
den Energiespeichern (L und C) hin und her pendelnden
Blindleistung zur insgesamt verbrauchten
Wirkleistung bei Resonanz.
U2Y
Q = 2 0 =Y0R = R
U 1/R
C
L
dimensionslos
Der Kehrwert des Gütefaktors Q wird als Verlustfaktor (Dämpfung)
bezeichnet: d = 1/Q
emg
GET
je GRÖSSER R
umso GRÖSSER Q
umso kleiner d
Beim idealen
Schwingkreis
R=∞
5
8
Ortskurve des komplexen Leitwertes Y
Y=
1
1
+ jωC - j
R
ωL
1
mit L=ω Y und C=
0 0
Y0
=> Y =
1
R
1 + (Qv)2
1
1
+ j(ωC )
R
ωL
=> Y =
ω0
mit Q = Y0R
=> |Y| =
=
v=
ω
ω
1
+ jY0 ω - 0
ω
R
0
1
(1 + jQv)
R
ω
ω
- 0
ω0
ω
Verstimmung
bei ω = ω0 ist v = 0
ϕY = arctan(Qv)
Spannungsresonanzkurve: Wird der Schwingkreis mit einem Strom
konstanter Amplitude und veränderlicher Frequenz gespeist, so
bestimmt Y die Resonanzkurve der Schwingkreisspannung U:
emg
GET
I
1
U = Y = I R 1+ jQv
mit U0= I R
=>
Spannungsresonanz
=1 bei ω =ω0
maximal
1
U
U0 = 1+ jQv
8
Vergleich der Schwingkreise
Reihenschwingkreis
Parallelschwingkreis
emg
GET
6
Widerstands-Ortskurven
8
I = U/Z
Reihenschwingkreis
ZZ= =R1+
(1+jQv
jQv) |:R
R
U
1
I = RI0 1+ jQv
Normierung
A= I/I0
I0
Parallelschwingkreis
1
= = 1+
(1+jQv
jQv) |.R
YYR
R
1
U0 1+ jQv
U=IR
I=UY
Normierung
1
|A|I =
1+
A = U/U0
(Qv)2
ϕA = -arctan(Qv)
Im
emg
GET
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
U0
|A|U =
1
1 + (Qv)2
ϕA = -arctan(Qv)
Zind
Ycap
A
Widerstandsortskurve des
Reihenschwingkreises bzw.
Leitwertortskurve des
Parallelschwingkreises
Qv
ϕA
Re
8
Ortskurven von Strom und Spannung
Im
Qv = -1
½
Qv =-∞
0
Qv=+∞
-½
I = I0
1
U = U0 1+ jQv
Qv =0
ω=ω0
45°
½
Qv = +1
1 Re
Qv
Ortskurve des Stromes beim
Reihenschwingkreis
|A| =
I,U bei ω=ω0
bzw.
1
1+ jQv
1
1 + (Qv)2
ϕ = -arctan(Qv)
Ortskurve der Spannung beim
Parallelschwingkreis
emg
GET
7
8
Zusammenstellung von Ortskurven
Durch die Zusammenschaltung von Widerständen, Kondensatoren
emg und Spulen ergeben sich u.U. komplizierte Impedanz-Ortskurven.
GET
8
Resonanzkurven von Strom und Spannung
|A| =
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
1 + (Qv)2
90°
-+ 45° bei Qv = +-1
Qv
1 2 3 4
1
2
Q klein
Q groß
ω=ω0
-90°
-5 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Qv
Bandbreite
ω abhängig von Q
Stromresonanzkurve beim Reihenschwingkreis (an konst. Spannung)
bzw.
Spannungsresonanzkurve beim Parallelschwingkreis (an konst. Strom)
emg
GET
8
8
Resonanzkurven der Impedanz
Verlauf von
Z bzw Y
Z
= 1+ (Qv)2
R
Q = 120
7
YR = 1+ (Qv)2
6
1+ Ω
5
1+(Qv)2
Q = 80
2
4
Q = 40
3
2
1
-0,07 -0,06 -0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0
Impedanz Z des Reihenschwingkreises,
Admittanz Y des Parallelschwingkreises als Funktion
der Verstimmung v mit der Güte Q als Parameter.
emg
GET
8
v
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07
Reihenschwingkreis
Parallelschwingkreis
I
AI =
=
Imax
AU =
1
1+ (Qv)2
Bandbreite Ω = 1 = Qv = 1
1,0
U
=
Umax
1
1+ (Qv)2
0,8
1
2
= 0,707
0,6
Q= 120, v= 0,008
0,4
Q = 40
Q= 80,
0,2
Q= 40,
-0,07 -0,06 -0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0
emg
GET
v = 0,0125
v = 0,025
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07
Q = 80
Q = 120
v
Stromresonanzkurve des Reihenschwingkreises
bzw.
Spannungsresonanzkurve des Parallelschwingkreises
9
Kondensator - Spule im Schwingkreis
8
S
Uc(0)
C
L
Ein auf Gleichspannung Uc(0) geladener Kondensator mit der Energie
Wpot= CUc2/2 werde zur Zeit t = 0 an eine Induktivität L geschaltet und damit
der Schwingkreis „angestoßen“. Folgende Schritte laufen dann qualitativ ab:
Die Gleichspannung Uc(0) verursacht einen Strom i durch die Induktivität.
Er steigt durch den Trägheitscharakter der Induktivität nur langsam an.
Dabei beginnt uc(t) zu sinken, denn Feldenergie wird zum Aufbau des
Magnetfeldes benötigt.
Im Nulldurchgang von uc erreicht i sein Maximum: Die Kondensatorenergie ist voll in das Magnetfeld der Spule gewandert.
Der Trägheitscharakter des Stromes verleiht ihm die Tendenz des
Weiterfließens. Dadurch wechselt das Vorzeichen der induzierten Spannung und die Kapazität wird mit umgekehrter Spannungsrichtung geladen:
Abbau der magnetischen Feldenergie, Aufbau der Kondensatorenergie.
Die steigende Kondensatorspannung bremst den Stromfluss schließlich
auf Null, und der Vorgang beginnt erneut.
emg
GET
Ungedämpfte Schwingung
8
u(t)
Gesamte
Energie
in C
i(t)
t
I
W
I
+
- U
- U
+
I
I
-
+
+ U
- U
Gesamte
Energie
in L
Hälfte von
Wges je in
WC und WL
Wges
WC = (1/2)CU2
WL = (1/2) LI2
emg
GET
t
10
8
Schwingungsgleichung
Der Maschenumlauf ergibt:
+
uC
∫
1
C
idt
uL
+
L
UC(0)
= UC(0)
di
dt
= UC(0)
uc(t)
C
L
einmal differenzieren mit UC(0) = const.
und durch L teilen
1
LC
i
d2 i
= 0
d2 t
+
i(t) = î sin(ω 0t)
emg
GET
8
i(t)
DGL 2. Ordnung einer
periodischen Schwingung
QC0 =CUC0
Lösung:
mit ω 0 =
uL(t)
î = ω0CUC0
1
LC
î=
C
L UC0
Berechnung der Energie in C und L
uC(t)=
1
C
∫
i(t)dt
=-
1
ω0C
î cos(ω0t)
1
WC(t)= 2 CU2(t)
1
= 2 Cû2(cos2(ω0t))
mit cos2α =
1
(1+ cos(2α))
2
1
WC(t)= 4 Cû2(1+cos(2ω0t))
emg
GET
uL(t)= L
di(t)
dt
û
WL(t)=
= Lω0î cos(ω0t)
1 2
LI (t)
2
1
=2 Lî2(sin2(ω0t))
mit sin2α =
1
(1- cos(2α))
2
1
WL(t)= 4 Lî2(1- cos(2ω0t))
11
8
Gedämpfte Schwingungen
Wird zusätzlich ein ohmscher
Widerstand in den Kreis geschaltet,
dann wird in diesem Widerstand
ein Teil der Energie in Wärme
umgesetzt. Die für die Schwingung
zur Verfügung stehende Energie
nimmt ständig ab.
uC
+
uL
+ uR = 0
einmal differenzieren und durch L teilen
1
i = 0
LC
d2 i
R di
+
+
2
dt
L dt
C
U0
L
uL(t)
uc(t)
1
C
∫ idt
+
i(t)
di
L
+ iR
dt
= 0
DGL 2. Ordnung einer
abklingenden Schwingung
i(t) = ie−dω 0 t sin( 1− d 2 ω 0 t)
Lösung:
emg
GET
uR(t)
mit d =
R
2ω0L
Dämpfung und
1
LC
ω0 =
uR(t)
8
i(t) = î e- dω0t sin(
mit d =
und
R
2ω0L
1 - d2 ω0t)
U0
Dämpfung
C
L
1
Resonanzfrequenz
LC
ω0 =
uL(t)
uc(t)
i(t)
Die veränderte Eigenfrequenz ist:
ω1 = ω0 1 - d 2
und
î=
mit δ = ω0d
U0
ω1L
1
emg
GET
i(t) = î e - δ t sin(ω1t)
R
2L
darin sind δ =
und ω0= LC
ω1 = ω20 - δ 2
die Abklingzeitkonstante
die Resonanzfrequenz des ungedämpften
Schwingkreises;
und ω1 die Eigenkreisfrequenz,
die für R=0 => δ=0 mit ω0 übereinstimmt
12
8
Abklingverhalten
i(t) = î e - δ t sin(ω1t)
î=
i
U0
U0
ω1L
C
L
i(t)
e-δt
sin(ω1t)
t
emg
GET
8
Erzwungene Schwingungen
C
L
Die Schwingung erfolgt mit der
Frequenz der Erregung.
Dabei finden folgende Energieumsetzungen
statt:
U(t)
Energiependelung zwischen den Speichern (Blindleistung)
Umsatz von Energie in Wärme (Verluste, Dämpfung)
1
Bei Resonanz ω0= LC ist die Blindleistung beider Speicher
gleich, die zugeführte Energie ist nur Dämpfungsenergie.
Der Kreis ist ein reiner Wirkwiderstand.
emg
GET
Bei veränderlicher Frequenz wirkt der Kreis als
veränderlicher Scheinwiderstand. Dabei ändern sich:
der Phasenwinkel zwischen Spannung und Strom,
die Amplitude von Spannung oder Strom in Abhängigkeit
von der Art der Quelle (Strom- oder Spannungsquelle).
13
8
Zusammenfassung
Resonanz
ω0=
1
LC
X0=XL=Xc=
Reihenschwingkreis
Parallelschwingkreis
Resonanzfrequenz
L
C
v=
ω
ω
- 0
ω0
ω
Verstimmung
L
Gütefaktor, Zmin in Resonanz
C
C
Gütefaktor, Zmax in Resonanz
Q=R
L
Q=
1
R
Gedämpfte Schwingungen: Amplitude klingt exponentiell ab
Erzwungene Schwingungen: Anregung mit ω ≠ ω0
emg
GET
Nächste Vorlesung „Anwendungen von Schwingkreisen“
14