4 Wellenleitung

4 Wellenleitung
4.1 Zur Erinnerung - Innere Totalreflexion
Betrachte Grenzfläche zwischen zwei Medien mit ni > nt .
E-Feld in Medium 2:
Et (r, t) = tEi eı(kt ·r−ωt) .
(4.1.1)
Parallelkomponente des Wellenvektors ist erhalten:
ki,k = k0 ni sin (θi ) = k0 nt sin (θt ) = kt,k .
(4.1.2)
Senkrechte Komponente des Wellenvektors in Medium 2:
kt,⊥ = k0
q
v
u
u
n2
2
1 − sin (θt ) = k0 t1 − i2 sin2 (θi )
(4.1.3)
nt
kt,⊥ ist rein imaginär für Einfallswinkel θi > θc = arcsin(nt /ni ).
qt
kt
nt
kt,^
kt,||
ki
qi qr
kr
ni
Abbildung 4.1: Grenzfläche zwischen zwei Medien mit Brechungsindizes ni und nt .
Fresnel-Formeln: |r| = 1 und |t| =
6 0 für θ1 > θc .
4-1
4 Wellenleitung
Aber: Welle ist in Medium 2 evaneszent (kt,⊥ ∈ C). Daher kein Energietransport senkrecht
zur Grenzfläche ⇒ totale interne Reflexion (TIR).
Idee: Benutze TIR zur Wellenleitung!.
Abbildung 4.2: Lichtwellenleiter auf der Basis von TIR. Quelle: Wikipedia.
Moderne Version: http://www.youtube.com/watch?v=hBQ8fh_Fp04
4.2 Stufenindexwellenleiter
Anwendungsbeispiele:
• Schichtwellenleiter: Führen des Feldes in der aktiven Schicht eines Halbleiter-Lasers
• Streifenwellenleiter: Integrierte Optik - Realisierung von „optischen Schaltkreisen“
• Glasfaser: Transport von Licht über viele Kilometer, z.B. Telekommunikation.
Schichtwellenleiter
Streifenwellenleiter
Glasfaser
n3
n1
n2
n3
n1
n2
n3
n1
n3
n2
n1
n2
Abbildung 4.3: Querschnitte durch verschiedene Stufenindexwellenleiter. ObdA: n1 > n2 ≥ n3 .
4-2
4.3 Schichtwellenleiter
4.3 Schichtwellenleiter
x
nc
nf
C´
B
0
qc,fc
z
nfk0
A
D
qc,fs
h
b
-d
B´
ns
C
Dz
Abbildung 4.4: Dielektrischer Schichtwellenleiter bestehend aus Substrat, Film und Abdeckung.
• Film der Dicke d mit Brechungsindex nf .
• Substrat (Halbraum) mit Brechungsindex ns .
• Abdeckung (Halbraum) mit Brechungsindex nc .
2D-Problem ⇒ Zwei Lösungstypen (Polarisationen):
• Tranversal elektrische Wellen (TE-Wellen)
• Tranversal magnetische Wellen (TM-Wellen)
Hx
Ex
TE
TM
Hz
Ey
Ez
Hy
Ausbreitungsrichtung
Abbildung 4.5: Feldkomponenten einer TE-Welle (links) und einer TM-Welle (rechts).
Idee: „Zick-Zack-Strahlen“ mit θi > θc,f s , θc,f c werden durch TIR geführt.
Ansatz für Zick(Zack)-Strahlen (TE-Polarisation):
Ey (x, z, t) = E0 eı(±hx+βz−ωt)
(4.3.1)
Zusätzlich: Nach einem Umlauf (A → B → C → D bzw.A → B‘ → C‘ → D ) müssen
sich die „Zick-Zack-Strahlen“ reproduzieren.
4-3
4 Wellenleitung
Bedingungen:
β∆z = 2π
(4.3.2)
2hd + φf s + φf c = 2mπ.
(4.3.3)
Beachte: Phasenänderungen durch Propagation (β∆z und 2hd) und durch TIR und den
beiden Grenzflächen(φf s und φf c ).
Aus Fresnelgleichungen:
φf s =

−1 q

−2
tan

h


(TE)
2 
nf q


 −2 tan−1
n2 h
s


−2 tan−1 hp



φf c = 


 −2 tan
−1
n2f p
n2c h
(4.3.4)
(TM)
(TE)
(4.3.5)
(TM)
Hierbei sind die Größen wie folgt definiert:
• Propagationskonstante (Parallelkomponente des Wellenvektors im Film):
β = k0 nf sin (θi )
(4.3.6)
• Normalkomponente des Wellenvektors im Film:
h = k0 nf cos (θi ) =
q
k02 n2f − β 2
(4.3.7)
• Betrag der Normalkomponente des Wellenvektors im Substrat:
q=
q
β 2 − k02 n2s
(4.3.8)
• Betrag der Normalkomponente des Wellenvektors in der Abdeckung:
p=
4-4
q
β 2 − k02 n2c
(4.3.9)
4.3 Schichtwellenleiter
4.3.1 TE-Moden
Im Folgenden suchen wir die Feldverteilung für die TE-Wellenleiter-Moden:
• In der Filmschicht ergeben sich die Moden aus der Überlagerung von propagierenden
ebenen Wellen („Zick-Zack-Strahlen“).
• Im Substrat und der Abdeckung fallen die Felder exponentiell ab.
• Die Parallelkomponente des Wellenvektors ist in allen drei Medien identisch.
Ansatz für Feldverteilung:
Ey (x, y, z, t) = Em (x)eı(βz−ωt)
(4.3.10)
mit

C exp(−px)



0≤x
−d ≤ x ≤ 0
q
h
q
h
Em (x) =  C cos(hx) − sin(hx)

 C cos(hd) + sin(hd) exp(q(x + d)) x ≤ −d
(4.3.11)
Aus den Stetigkeitsbdingungen für Ey und Hz bei x = 0 und x = −d folgt:
tan (hd) =
p+q
.
h (1 − pq/h2 )
(4.3.12)
Nach kurzer Rechnung1 :
v
v


u 2 2
u 2 2
u k0 (nf − n2c )
u k0 (nf − n2s )
d k02 n2f − β 2 = arctan t 2 2
− 1 + arctan t 2 2
− 1 + mπ.
2
2
q
k0 nf − β
k0 nf − β
(4.3.13)
⇒ Implizite Darstellung der Dispersionsrelation der TE-Moden.
Abschneidefrequenz der m-ten Mode:
c0 arctan
ωcut,TE =
r
q
n2s −n2c
n2f −n2c
d n2f − n2s
+ mπ
(4.3.14)
Für einen symmetrischen Wellenleiter (ns = nc ) ist die TE0 -Mode immer geführt, d.h.,
ωcut,TE0 = 0.
1
arctan
x+y
1−xy
= arctan(x) + arctan(y)
4-5
4 Wellenleitung
10
TE0
9
TE
1
TE2
8
Substrat-Lichtlinie: w = b c0 / ns
ω (c0 2 π /d)
7
6
Abdeckung-Lichtlinie: w = b c0 / nc
5
4
3
2
Film-Lichtlinie: w = b c0 / nf
1
0
0
2
4
6
8
10
β (2 π /d)
Abbildung 4.6: Dispersionsrelation der der TE0 , TE1 und TE2 - Mode. Beispielparameter: nf =
2.0, ns = 1.5 und nc = 1.0.
Effektiver Index der m-ten Mode:
neff =
βm
.
k0
(4.3.15)
Wellenleiterdispersion:
• neff → ns für ω → ωcut,TE .
• neff → nf für ω → ∞.
Effektiver Index hängt neben den Materialparametern auch von der Geometrie ab!
Modendispersion: Verschiedene Moden weisen bei gleicher Frequenz unterschiedliche effektive Indizes auf. ⇒ Problem für Datenübertragung: Unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeit der Moden.
Modenprofil:
• T Em -Mode: m Knoten des Feldes in der Filmschicht.
• Nahe Abschneidefrequenz: Starke Ausdehnung der Mode ins Substrat.
4-6
4.3 Schichtwellenleiter
2
TE0
1.95
TE
1
TE2
1.9
Effektiver Index
1.85
1.8
1.75
1.7
1.65
1.6
1.55
1.5
0
0.5
1
1.5
d/λ
Abbildung 4.7: Spektraler Verlauf des effektiven Index der TE0 , TE1 und TE2 - Mode. Beispielparamter: nf = 2.0, ns = 1.5, nc = 1.0.
• Schneller Abfall der Feld-Amplitude in der Abdeckung.
• Konzentration der Mode in der Filmschicht mit steigender Frequenz.
Online-1-D multilayer slab waveguide mode solver:
http://wwwhome.math.utwente.nl/~hammerm/oms.html
4.3.2 TM-Moden
Übung!
4.3.3 Kopplung an Wellenleiter-Moden
• Direktes Beleuchten der Endfläche mit einem fokussierten Strahl.
Bedingung für TIR: π − θf ≥ θc .
Brechung an der Endfläche: sin(θa ) = nf sin(θf ).
4-7
4 Wellenleitung
6
5
nc=1.0
nf=2.0
ns=1.5
TE2
E
y
4
3
TE1
2
1
TE0
0
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
x(d)
0
0.5
1
1.5
Abbildung 4.8: Modenprofil der TE0 , TE1 und TE2 - Mode. Beispielparameter: nf = 2, ns = 1.5,
nc = 1.0. Durchgezogene Linien: λ = d. Gestrichelte Linien: λ = 2d.
Maximaler Winkel für den fokussierten Strahl:
sin(θa,max ) = nf cos(θc ) =
q
n2f − n2c = N A
(4.3.16)
Es werden i.a. mehrere Wellenleitermoden angeregt.
• Prismenkopplung
TIR an der Unterseite des Prismas. Evaneszenter Anteil des Feldes koppelt an Wellenleitermode falls dp hinreichend klein ist und falls die Wellenleitermode und die
Welle an der Unterseite des Prismas die gleiche Ausbreitungsgeschwindigkeit besitzen.
Phasenanpassung:
βm = k0 np sin (θp ) .
(4.3.17)
Verschiedene WL-Moden können gezielt über den Winkel θp angeregt werden.
Bedingung an Prisma: np ≥ nf .
4-8
4.4 Streifenwellenleiter
• Gitterkopplung
Licht wird über das Gitter in die Wellenleitermode gebeugt.
Bedingung für Phasenanpassung:
βm = k sin(θi ) ± j
2π
, j = 1, 2, 3, · · ·
a
(4.3.18)
Verschiedene WL-Moden können gezielt über den Winkel θi angeregt werden.
Diese Methoden können auch zum Auskoppeln von Licht aus dem Wellenleiter genutzt
werden!
θi
np
θf
θa
a
θp
dp
bm
bm
Abbildung 4.9: Methoden zur Einkopplung in einen Wellenleiter: Direktes Beleuchten der Endfläche (links), Prismenkopplung (mitte) und Gitterkopplung (rechts).
4.4 Streifenwellenleiter
Schichtwellenleiter: Lichtausbreitung nur in einer Richtung durch TIR begrenzt.
Idee: Stukturierte Filmschicht um Mode auch in zweiter Richtung zu begrenzen. ⇒ Streifenwellenleiter.
Beispiele für Herstellungsverfahren:
• Lithographie + RIE (Reaktives Ionenätzen) (Halbleiter-WL)
• Lithographie + Eindiffusion von Fremdatomen (z.B. Ti in LiNb03 bei 1000°C)
• Lithographie + Protonenaustausch (LiNb03 in Säurebad)
• ···
4-9
4 Wellenleitung
Feldverteilungen und Dispersionsrelationen können im allgemeinen nicht analytisch berechnet werden. ⇒ Numerische Verfahren (z.B. FDTD) oder Näherungslösungen (z.B.
Effektiv-Index-Methode)
Effektiv-Index-Methode
Voraussetzung: Eine Vektorkomponente des elektrischen (magnetischen) Feldes der WLMode dominiert. ⇒ Skalares Problem.
Betrachte TE-Mode:
E(x, y, z, t) = Ey (x, y)eı(βz−ωt)
(4.4.1)
Helmholtzgleichung für Ey (x, y):
!
(4.4.2)
Ey (x, y) = F (x, y)G(y).
(4.4.3)
∂x2
+
∂y2
ω2
+ 2 n2 (x, y) Ey (x, y) = β 2 Ey (x, y)
c0
Produktansatz:
Annahme: F (x, y) hängt nur schwach von y ab ⇒ ∂y2 F (x, y) = 0.
Einsetzen in Helmholtz-Gleichung liefert gekoppelte Gleichungen:
!
∂x2
ω2
ω2
+ 2 n2 (x, y) F (x, y) = 2 n2eff (y)F (x, y)
c0
c0
∂x2
ω2 2
+ 2 neff (y) G(y) = β 2 G(y)
c0
!
(4.4.4)
(4.4.5)
• F (x, y) und neff (y) hängen nur parametrisch von y ab.
• Die vertikale Gleichung (4.4.4) definiert für jede Position y einen 1DSchichtwellenleiter (Schichtfolge in x-Richtung).
• Die Lösungen der vertikalen Gleichung ergeben ein effektives laterales Indexprofil
für die laterale Gleichung 4.4.4.
• Die laterale Gleichung beschreibt einen effektiven 1D-Schichtwellenleiter (Schichtfolge in y-Richtung).
• Die Lösung der lateralen Gleichung ist die gesuchte Propagationskonstante β.
Online 2-D multilayer waveguide mode solver:
http://wwwhome.math.utwente.nl/~hammerm/eims.html
4-10
4.5 Optische Glasfaser
I
II
III
nc
x
nf
y
ns
nI
nII
nIII
Abbildung 4.10: Prinzip der Effektiv-Index-Methode: Für die Bereiche I, II und III wird zunächst
das 1D-Problem (Schichtfolge in x-Richtung) gelöst und der effektive Index
berechnet. Dies ergibt einen „üblichen“ 1D-Schichtwellenleiter (Schichtfolge in
y-Richtung).
4.5 Optische Glasfaser
Charles Kuen Kao: Nobelpreis für Physik 2009 „für seine bahnbrechenden Erfolge auf
dem Gebiet der Lichtleitung mittels Fiberoptik für optische Kommunikation“.
2b
n2
n1
Kern
Mantel
2a
Abbildung 4.11: Aufbau einer Stufenindex Faser.
Typische einmodige Glasfaser für die Telekommunikation (λ = 1.5µm):
• Kern: Germanium dotiertes Quarzglas, Durchmesser 2a = 8µm
• Mantel: Quarzglas n2 = 1.45, Durchmesser 2b = 125µm
• Die eigentliche Glasfaser wird durch eine Schutzhülle aus Acrylglas mechanisch geschützt.
4-11
4 Wellenleitung
Ge-Dotierung erzeugt nur kleinen Brechzahlunterschied:
∆=
n1 − n2
≈ 0.01 − 0.02.
n1
(4.5.1)
⇒ Glasfasern sind schwach führende Wellenleiter.
4.5.1 Näherungslösung für schwach führende Stufenfasern —
LP -Moden
Schwach führende Stufenfasern ⇒ E-Feld ist annähernd transveral:
E(r, φ, z, t) = etr U (r, φ)eı(βz−ωt)
mit etr · ez ≈ 0.
(4.5.2)
Helmholtzgleichung (Zylinderkoordinaten):
h
∆r + ∆φ +
i
k02 n2 (r)
2
U (r, φ) = β U (r, φ) mit
(
∆r = 1r ∂r r∂r
∆φ = r12 ∂φ2
(4.5.3)
Seperationsansatz:
U (r, φ) = u(r)eılφ
Kern (r ≤ a):
"
Mantel (r ≥ a):
"
#
(4.5.5)
#
(4.5.6)
l2
∆r + h − 2 u(r) = 0 mit h2 = n21 k02 − β 2
r
2
l2
∆r − q − 2 u(r) = 0 mit q 2 = β 2 − n22 k02
r
2
(4.5.4)
Lösungen der Differentialgleichungen sind Bessel-Funktionen. Schließe Lösungen aus, die
für r → 0 und r → ∞ divergieren.
Damit:
u(r) ∝
Hierbei sind
4-12
(
Jl (hr) r < a (Kern)
Kl (qr) r > a (Mantel)
(4.5.7)
4.5 Optische Glasfaser
• Jl (x): Besselfunktionen erster Art der Ordnung l.
• Kl (x): Modifizierte Besselfunktionen der zweiten Art der Ordnung l.
Definiere normierte Koordinaten:
(4.5.8)
X ≡ ha, Y ≡ qa
Definiere normierte Frequenz:
V ≡ X2 + Y 2 =
2πa 2
n1 − n22 .
λ0
(4.5.9)
Stetigkeit von u(r) und u′ (r) für r = a ergibt:
X
Jl±1 (X)
Kl±1 (Y )
= ±Y
.
Jl (X)
Kl (Y )
(4.5.10)
Anmerkung: Wir vernachlässigen hier kleine Sprünge in einigen Feldkomponenten. Gute
Näherung für ∆n ≪ n.
(X)
und ±Y
Zu jedem der m Schnittpunkte der Kurven X Jl±1
Jl (X)
LPlm .
Kl±1 (Y )
Kl (Y )
l=0, V=10
l=1, V=10
20
20
X J (X) / J (X)
1
15
0
Y K (Y) / K (Y)
1
0
5
5
0
0
-5
-5
-10
-10
-15
-15
2
4
6
8
0
10
X
-20
1
Y K (Y) / K (Y)
0
10
0
-X J (X) / J (X)
15
10
-20
gehört eine Mode
0
2
4
6
8
1
10
X
Abbildung 4.12: Graphische Lösung von Gleichung (4.5.10) für l = 0 (links) und l = 1 (rechts).
Normierte Frequenz: V = 10.
Zugehörige Propagationskonstanten:
βlm =
s
n21 k02 −
2
Xlm
a2
(4.5.11)
4-13
4 Wellenleitung
Die LP01 -Mode wird immer geführt. Alle anderen Moden werden erst ab ihrer Abschneidefrequenz Vcut geführt
Abschneidefrequenzen einiger LP -Moden:
l m=1 m=2 m=3
0
0
3.832 7.016
1 2.405 5.520 8.654
⇒ Single-Mode Faser für V < 2.405.
Entartung:
• β−l,m = βl,m (Faktor l2 in Bessel-DGL)
⇒ 2-fache Entartung bezüglich l für l 6= 0.
• β hängt nicht von Polarisation ab
⇒ 2-fache Entartung bezüglich der Polarisation.
Räumliche Struktur der Moden:
LP : l=0, m=1, V=10
LP : l=0, m=2, V=10
01
LP : l=0, m=3, V=10
02
1
03
1.5
1
0.9
1
1
0.7
0.7
0.5
0
0.5
0.4
-0.5
-0.5
0.2
-0.5
0
x(a)
0.5
1
1.5
0
-1.5
-1.5
1
1.5
-1
-0.5
0
x(a)
0.5
1
1.5
1
1.5
-1
0.3
0.2
-1
1
1.5
1.5
0
0.8
0.7
0.5
0.5
0.6
0
0.5
0.4
-0.5
0.3
0.2
-1
0.4
-0.5
0.3
0.2
-1
0.1
-1.5
-1.5
-1
-0.5
0
x(a)
0.5
0
1
0.6
0.1
0
1
0.9
0.7
0.4
-0.5
0.5
1
0.8
0.5
y(a)
0.5
0
x(a)
13
0.6
0
-0.5
LP : l=1, m=3, V=10
1
0.7
0.5
y(a)
-1.5
-1.5
0.9
0.8
0.5
0.1
0
12
1
0
x(a)
0.2
LP : l=1, m=2, V=10
0.9
-0.5
0.3
-1
0.1
11
-1
0.5
0.4
0.2
-1
LP : l=1, m=1, V=10
1.5
-1.5
-1.5
0
-0.5
y(a)
-1
0.6
0.3
0.1
-1.5
-1.5
0.7
0.4
0.3
-1
0.8
0.5
0.6
y(a)
y(a)
0.5
0.9
1
0.8
0.6
0
1
0.9
0.8
0.5
1.5
y(a)
1.5
1
1.5
0
0.1
-1.5
-1.5
-1
-0.5
0
x(a)
0.5
1
1.5
0
Abbildung 4.13: Intensitätsprofil einiger LP -Moden. Die weiße Linie markiert die Grenze zwischen Kern und Mantel.
4-14
4.5 Optische Glasfaser
4.5.2 Propagationsverluste in optischen Glasfasern
Die Lichtleistung P (L) in einer optischen Glasfaser verringert sich exponentiell mit der
Propagationslänge L (in km).
Dämpfungskoeffizient (in dB/km):
P (0)
1
α = 10 log10
L
P (L)
!
(4.5.12)
Verlustmechanismen:
• UV-Absorption in SiO2 aufgrund der elektronischen Polarisierbarkeit.
• Infrarot-Absorption in SiO2 aufgrund der Anregung von Molekülschwingungen.
• Rayleigh-Streuung aufgrund von Inhomogenitäten im Glas.
• OH-Absorption.
Geringe Verluste bei λ = 1.3 µm und λ = 1.5 µm ⇒ Telekommunikationsfenster!
Abschwächung α (dB/km)
3
Rayleigh-Streuung
Infrarot-Absorption
1
OH-Absorption
0.3
UV-Absorption
0,1
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Wellenlänge λ (µm)
Abbildung 4.14: Schematische Darstellung der Propagationsverluste in einer typischen einmodigen optischen Glasfaser.
4-15
4 Wellenleitung
4.6 Oberflächen Plasmonen
Drude Modell: Keine propagierenden Moden in einem Metall für ω < ωp .
Aber: Geführte Moden an der Grenzfläche zwischen einem Metall (ǫm < 0) und einem
Dielektrikum (ǫd > 0) ⇒ Surface Plasmon Polariton (SPP).
Vorüberlegungen:
• Exponentieller Abfall der Felder in beiden Medien.
• SPP-Dispersionsrelation unterhalb der Lichtlinie im Dielektrikum.
• Tangentiale Komponenten von E und H sind stetig.
• Educated Guess: SPPs sind TM-Wellen.
Magnetische Feldstärke
0.5
0.4
0.4
)
SPP
0
SPP
0.1
z (λ
0.2
)
0.3
0.2
z (λ
0.3
0
-0.1
-0.2
-0.2
-0.3
-0.3
-0.5
0
-0.4
em(w)
0.2
-0.5
0
0.4
0.6
0.8
x (λ SPP)
1
1.2
1.4
1.6
ed
0.1
-0.1
-0.4
Elektrische Feldstärke
0.5
ed
em(w)
0.2
0.4
0.6
0.8
x (λ SPP)
1.8
2
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Abbildung 4.15: Momentaufnahme der magnetischen und elektrischen Feldstärke eines SPPs.
Ansatz
• Dielektrikum (z > 0):
+
H+ (r, t) = (0, A, 0)eı(kSPP x−ωt) e−kz z
⇒ E+ (r, t) =
!
ıkz+ A
−kSPP A ı(kSPP x−ωt) −kz+ z
e
e
, 0,
ωǫd
ωǫd
(4.6.1)
(4.6.2)
• Metall (z < 0)
−
H− (r, t) = (0, B, 0)eı(kSPP x−ωt) ekz z
4-16
(4.6.3)
4.6 Oberflächen Plasmonen
−
⇒ E (r, t) =
!
−kSPP B ı(kSPP x−ωt) kz− z
−ıkz− B
, 0,
e
e
ωǫm (ω)
ωǫm (ω)
(4.6.4)
Einsetzen in Wellengleichung liefert:
2
kSPP
− (kz+ )2 = ǫd
ω2
c20
2
kSPP
− (kz− )2 = ǫm (ω)
(4.6.5)
ω2
c20
(4.6.6)
Stetigkeitsbedingungen:
Hy− (z = 0, t) = Hy+ (z = 0, t) ⇒ A = B
Ex− (z = 0, t) = Ex+ (z = 0, t) ⇒
k−
kz+
=− z
ǫd
ǫm (ω)
(4.6.7)
(4.6.8)
Kurze Rechnung ergibt SPP-Dispersionsrelation:
kSPP
v
u
ωu
ǫd ǫm (ω)
= t
c0
(4.6.9)
ǫd + ǫm (ω)
Bedingungen für geführte Mode:
ǫd ǫm (ω) < 0, ǫd + ǫm (ω) < 0.
(4.6.10)
Drude Metalle:
ω → ωSPP = √
ωp
1 + ǫd
für kSPP → ∞.
(4.6.11)
„Echte Metalle“: Interbandübergänge begrenzen ℜ(kSPP ) auf endliche Werte und führen
zur starken Dämpfung des SPPs.
Näherung für „gute“ Metalle (ǫ′m ≫ ǫ′′m ):
′
kSPP
ω
≈
c0
ǫd ǫ′m (ω)
ǫd + ǫ′m (ω)
!1/2
′′
kSPP
ω
≈
c0
ǫd ǫ′m (ω)
ǫd + ǫ′m (ω)
!3/2
(4.6.12)
ǫ′′m (ω)
2(ǫ′m (ω))2
(4.6.13)
4-17
4 Wellenleitung
1.5
εd=1
εd=2.25
1
ω (ωp)
ωp
ωSPP, Luft
ωSPP, Glas
0.5
0
0
0.5
1
1.5
k
SPP
2
2.5
(ω /c )
p 0
Abbildung 4.16: Dispersionsrelationen für SPPs an den Grenzflächen zwischen einem DrudeMetall (Plasmafrequenz ωp ) und zweier verschiedener Dielektrika.
4.5
Re(kSPP)
Im(kSPP)
4
Photonen Energie (eV)
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
kSPP (nm-1 )
Abbildung 4.17: Dispersionsrelation für SPPs an der Ag/Luft-Grenzfläche.
Wellenlänge des SPPs:
λSPP =
2π
′
kSPP
(4.6.14)
Propagationslänge des SPPs (Abfall der Intensität auf 1/e):
LSPP =
1
′′
2kSPP
Anregung von SPPs:
4-18
(4.6.15)
4.6 Oberflächen Plasmonen
800
Propagationslänge L
SPP
(µm)
700
600
500
400
300
200
100
0
300
400
500
600
700
800
Vakuum−Wellenlänge λ (nm)
900
1000
0
Abbildung 4.18: Propagationslänge des SPPs an der Ag/Luft-Grenzfläche als Funktion der
Vakuum-Wellenlänge.
• Prismenkopplung in Kretschmann-Konfiguration
Bedingung für Phasenanpassung:
kSPP =
√
ǫp k0 sin(θp )
(4.6.16)
• Prismenkopplung in Otto-Konfiguration
Bedingung für Phasenanpassung:
kSPP =
√
ǫp k0 sin(θp )
(4.6.17)
• Gitterkopplung
Bedingung für Phasenanpassung:
kSPP = k0 sin(θi ) ± j
2π
, j = 1, 2, 3, · · ·
a
(4.6.18)
Anwendung: SPP-basierte Biosensoren (siehe Abbildung 4.20)
• Dünner Goldfilm (typisch d = 50nm) mit funktionaler Schicht (Monolage).
• Spezifische Bindung der nachzuweisenden Moleküle an funktionale Schicht nach dem
Schlüssel-Schloss-Prinzip.
• Anregung von SPPs in Kretschmann-Konfiguration.
• Angekoppelte Moleküle ändern die dielektrische Funktion der funktionalen Schicht:
ǫml → ǫml + δǫ.
4-19
4 Wellenleitung
θi
εp
εd
εd
εm(ω)
εm(ω)
kSPP
a
θp
εd
εm(ω)
kSPP
kSPP
εp
θp
Abbildung 4.19: Anregung von SPPs mittels Prismenkopplung in Kretschmann-Konfiguration
(links), Prismenkopplung in Otto-Konfiguration (mitte) und Gitterkopplung
(rechts).
• Nachweis der Moleküle über (i) Änderung des SPP-Anrege-Winkels θp oder (ii)
Änderung der SPP-Resonanz-Wellenlänge.
εd
εd
εml
εm(ω)
εml+de
εm(ω)
kSPP
εp
kSPP
εp
θp
θp
Abbildung 4.20: Prinzip eines SPP-basierten Biosensors.
4-20