Relationen und Funktionen

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Theoretischer Teil
WS2011/12
11. Oktober 2011
QSI - Theorie - WS2011/12
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Relationen
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Was ist eine Relation?
Eine Relation steht für eine Beziehung zwischen Objekten - im
formalen Kontext Elementen einer Menge. Zwei Elemente aus den
betroffenen Mengen können entweder die Beziehung zueinander
besitzen (die Relation erfüllen) oder nicht.
Beispiele:
enthält den Buchstaben Eine Relation zwischen Worten und
Buchstaben.
ist verwandt mit Eine Relation zwischen Personen und Personen.
hat die Farbe Eine Relation zwischen Gegenständen und Farben.
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Wozu braucht man Relationen?
Es wird die Beziehung von Objekten formalisiert; darauf basiert zum
Beispiel das gängigste Modell für Datenbanken. Besonders häufig ist
auch die “Kantenrelation”, die die Verbindungen zwischen
Knotenpunkten in einem Graphen enthält.
A
B
C
Knotenmenge: {A, B, C }, Kantenrelation: {(A, B) , (B, C ) , (B, B)}
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Tupel
Definition (Das Tupel)
Sei n ∈ N eine natürliche Zahl. Für n Objekte a1 , . . . , an bezeichnet
(a1 , . . . , an ) ein geordnetes Tupel mit den Komponenten a1 , a2 , . . . , an .
Ein Tupel ist nicht dasselbe wie eine Menge - {a1 , a2 , . . . , an }:
Reihenfolge Die Reihenfolge ist wichtig: {a1 , a2 } = {a2 , a1 }, aber
(a1 , a2 ) 6= (a2 , a1 ).
Wiederholungen Ein Objekt kann beliebig oft vorkommen, und das
Tupel ändert sich dadurch: (a1 , a2 ) 6= (a1 , a2 , a1 ).
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Das Tupel (2)
Für ein Tupel (a1 , . . . , an ) heißt n die Länge (nicht Kardinalität
oder Mächtigkeit) des Tupels.
Ein Tupel der Länge n heißt auch “n-Tupel”. 2-Tupel und 3-Tupel
nennt man auch “Paare” und “Tripel”.
Zwei Tupel (a1 , . . . , an ) und (b1 , . . . , bn ) sind gleich, genau dann
wenn sie die gleiche Länge haben, und an jeder Position
übereinstimmen (für 1 ≤ i ≤ n gilt: ai = bi ).
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Das kartesische Produkt
Definition (Das kartesische Produkt)
Seien A und B Mengen. Das kartesische Produkt von A, B ist die
Menge A × B := {(a, b) |a ∈ A, b ∈ B}.
Beispiel: Sei M = {1, 2, 3} und N = {a, b}, dann ist
M × N = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}. Es wird jedes
Element mit jedem Element kombiniert.
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Relation
Definition (Paar-Relation)
Seien A, B Mengen. Eine Relation über A, B ist eine Teilmenge
R ⊆ A × B; die Elemente der Relation sind daher Tupel.
Eine Relation kann auch zwischen mehr als zwei Mengen definiert sein.
Beispiel:
a2 + b 2 = c 2 Ganzzahlige Seitenlängen von rechtwinkligen Dreiecken:
R ⊆ N × N × N. Die Relation ist
R = {(3, 4, 5) , (4, 3, 5) , (5, 12, 13) , . . .}.
Für eine Relation über n Mengen heißt n die Stelligkeit von R.
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Funktionen
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Was ist eine Funktion?
Funktionen kennt man in der Mathematik und in Programmen als
Regeln, die für jede Eingabe eine bestimmte Ausgabe festlegen. Formal
sagt man, dass sie die Eingabe auf die Ausgabe abbilden.
Beispiele:
f (x) = x 2 ist eine Funktion, die Zahlen auf andere Zahlen
abbildet.
g (wort) = “Anfangsbuchstabe von wort00 bildet Worte auf
Buchstaben ab.
h (M) = “Kardinalität der Menge M” bildet Mengen auf Zahlen
ab.
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Funktionen als Relation
Man kann die Funktion als Relation mit speziellen Eigenschaften
betrachten:
Definition (Funktion)
Seien X und Y Mengen. Eine Funktion von X nach Y ist eine Relation
f ⊆ X × Y mit der Eigenschaft, dass für jedes Element a ∈ X genau
ein Element b ∈ Y existiert mit (a, b) ∈ f .
Beispiel: Folgenden Relationen sind Funktionen:
{(m, n) ∈ N × N|n = m3 − 1}.
{(x, y ) ∈ R≥0 × R≥0 |x 2 + y 2 = 1}. Bzw.: y =
√
1 − x 2.
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Sind alle Relationen auch Funktionen?
Nein:
Eine n-stellige Relation mit n 6= 2 ist keine Funktion.
Die Relation {(a, b) ∈ N × N|b = ±a} ist keine Funktion, da zum
Beispiel (1, −1) und (1, 1) darin enthalten sind. (Keine eindeutige
Ausgabe.)
Die Relation (x, y ) ∈ R × R|y = x1 ist keine Funktion, da sie
kein Tupel (0, y ) enthält. (Nicht vollständig definiert.)
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Notation von Funktionen
Definition
Seien X und Y Mengen.
Wir schreiben f : X → Y um auszudrücken, dass f eine Funktion
von X nach Y ist.
Für eine Funktion f : X → Y und ein Element a ∈ X schreiben
wir auch f (a) = b, wenn (a, b) ∈ f das für a eindeutige Tupel in f
ist.
Ist f : X → Y eine Funktion, so heißt die zugehörige Relation
{(a, f (a))|a ∈ X } ⊆ X × Y auch der Graph der Funktion f .
Ist f : X → Y eine Funktion, so ist X der Definitionsbereich
von f und Y der Bildbereich von f .
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Vergleich von Funktionen
Definition
Seien X und Y Mengen, und seien f , g : X → Y Funktionen.
Die Funktionen f und g sind gleich, wenn für alle x ∈ X gilt:
f (x) = g (x).
Seien X , Y ⊆ R. Die Funktion f ist kleiner oder gleich g , in
Zeichen f ≤ g , wenn für alle x ∈ X gilt: f (x) ≤ g (x).
Die Funktion f ist kleiner als g , in Zeichen f < g , wenn für alle
x ∈ X gilt: f (x) < g (x).
f ≥ g “und f > g “sind analog definiert.
”
”
Beispiel: Für die Funktionen f (x) = e x , g (x) = x 2 und h(x) = 1 gilt
f > g , g < f , h ≤ f und f ≥ h.
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Eigenschaften von Funktionen
Definition (Eigenschaften von Funktionen)
Sei f : X → Y eine Funktion.
f heißt injektiv, falls es für jedes y ∈ Y höchstens ein x ∈ X gibt
mit f (x) = y .
f heißt surjektiv, falls es für jedes y ∈ Y mindestens ein x ∈ X
gibt mit f (x) = y .
f heißt bijektiv, falls es für jedes y ∈ Y genau ein x ∈ X gibt mit
f (x) = y .
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Beispiele
Beispiel:
Die Funktion f : R → R, f (x) = e x , ist injektiv, aber nicht
surjektiv.
Die Funktion g : R → R, g (x) = x 3 − 2x, ist surjektiv, aber nicht
injektiv.
Die Funktion h : R → R, h (x) = x − 2, ist injektiv und surjektiv,
und daher auch bijektiv.
Die Funktion i : R → R, i(x) = x 2 , ist nicht injektiv und nicht
surjektiv.
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Eigenschaften von Funktionen im Bild
injektiv
nicht surjektiv
surjektiv
nicht injektiv
bijektiv
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