Aussagenlogik II - Technische Universität München
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WS 2013/14
Diskrete Strukturen
Prof. Dr. J. Esparza
Lehrstuhl für Grundlagen der
Softwarezuverlässigkeit und theoretische
Informatik
Fakultät für Informatik
Technische Universität München
http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws13/14
Kapitel II - Grundlagen
• Mathematische und notationelle Grundlagen
– Mengen
– Relationen und Abbildungen
– Aussagen- und Prädikatenlogik
– Beweismethoden
– Wachstum von Funktionen
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Normalformen
– Ein Literal ist eine Aussagenvariable oder die Negation
einer Aussagenvariable.
– Eine Klausel ist eine Disjunktion von Literalen oder die
Formel false (Disjunktion von 0 Literalen)
– Eine Formel in konjunktiver Normalform (KNF) ist
• eine Konjunktion von Klauseln
( d.h., eine Formel der Form (⋀
mit , ∈
,
• oder die Formel
(⋁
,
))
, … ∪ ¬ , ¬ , … )
(Konjunktion von 0 Klauseln).
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Normalformen
– Eine Formel ist in KNF falls in allen Pfaden ihres
Syntaxbaums Konjunktionen vor Disjunktionen vor
Negationen vorkommen.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Normalformen: Umformunsmethode
– Formeln aus der Praxis sind oft in KNF
– Außerdem, das folgende Verfahren konstruiert für eine
beliebige Formel eine äquivalente KNF-Formel:
1. Ersetze in jedes Vorkommen einer Teilformel der
Bauart
¬¬
durch
¬( ∧ ) durch (¬ ∨ ¬ )
¬( ∨ ) durch (¬ ∧ ¬ )
bis keine derartige Teilformel mehr vorkommt.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
2. Ersetze jedes Vorkommen einer Teilformel der Bauart
( ∨
∧ ) durch ( ∨
∧
∨ )
( ∧
∨ ) durch ( ∨
∧
∨ )
bis keine derartige Teilformel mehr vorkommt.
Alle Schritte erhalten äquivalenz.
Nach Schritt 1. kommen im Syntaxbaum Konjunktionen
und Disjunktionen vor Negationen vor.
Nach Schritt 2 kommen im Syntaxbaum Konjunktionen
vor Disjunktionen vor.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Algorithmen für KNF-SAT
– Wir kennen bisher nur den folgenden Algorithmus:
• Erzeuge alle minimalen Belegungen, die zur Formel passen.
• Für jede solche Belegung, prüfe, ob sie die Formel erfüllt.
– Zwei Probleme
• Es müssen 2 Belegungen geprüft werden !!
• Wenn die Formel unerfüllbar ist, dann werden mit Sicherheit
alle Belegungen geprüft.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Algorithmen für KNF-SAT
– Wir präsentieren zwei Algorithmen:
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• DPLL (Davis-Putnam-Logemann-Loveland).
– Versucht, die Anzahl der zu prüfenden Belegungen zu
reduzieren
– Auf Erfüllbarkeit gerichtet: kann früh terminieren, wenn
die Formel erfüllbar ist.
– Wir präsentieren nur eine vereinfachte Version.
• Resolution (Robinson).
– Auf Nicht-Erfüllbarkeit gerichtet: kann früh Terminieren,
wenn die Formel nicht erfüllbar ist.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• DPLL (Davis-Putnam-Logemann-Loveland).
Definition. Sei eine KNF-Formel und sei eine Variable von .
[ \
] bezeichnet die Formel, die ensteht, in dem jedem
Vorkommis von in durch
ersetzt wird und das Ergebnis mit
Hilfe der Regeln
∧
≡
∨
∧
≡
∨
≡
≡
vereinfacht wird.
[ \
] wird analog definiert.
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¬
¬
≡
≡
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• DPLL (Davis-Putnam-Logemann-Loveland).
Beispiel:
=
\
∨¬ ∨
∧ ¬ ∨¬
=
∨¬ ∨
∧ ¬
≡
∨¬ ∨
∧
≡
∧¬ ∧
≡¬ ∧
∨¬
∨¬
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∧
∨¬
∨¬
∨¬
∧ ∧
∨¬
∧
∨¬
∧
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• DPLL (Davis-Putnam-Logemann-Loveland).
Beispiel:
=
\
=
∨¬ ∨
∧ ¬ ∨¬
∨¬ ∨
∧ ¬
≡
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∧
∨¬
∨¬
∧
∧ ∨¬
∧
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• DPLL (Davis-Putnam-Logemann-Loveland).
Fakt. ist erfüllbar gdw.
\
\
erfüllbar sind.
Begründung.
Sei
Belegung mit
oder
=1.
Wenn
= 1 dann gilt
=
\
Wenn
= 0 dann gilt
=
\
= 1.
= 1.
Sei Belegung mit [p\
]
=1. Sei ′ die Belegung mit
und
= ( )für ≠ . Dann gilt
= 1.
Sei Belegung mit [p\
]
=1. Sei ′ die Belegung mit
und
= ( )für ≠ . Dann gilt
= 1.
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= 1,
= 0,
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• DPLL (Davis-Putnam-Logemann-Loveland).
Algorithmus 1:
Wenn =
dann antworte „erfüllbar“
Wenn =
dann antworte „unerfüllbar“
Wenn
≠ ≠
dann
wähle eine Variable , die in vorkommt;
prüfe, ob [ \
] oder [ \
]
erfüllbar sind;
wenn mindestens eine von den beiden erfüllbar
ist, antworte „erfüllbar“, sonst „unerfüllbar“
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• DPLL (Davis-Putnam-Logemann-Loveland).
– Algorithmus 1 kann durch eine geschickte Wahl der
Variablen p beschleunigt werden.
– Eine One-Literal-Klausel ist eine Klausel, die nur ein
Literal enthält, i.e., eine Klausel der Gestalt { } oder
der Gestalt {¬ }.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• DPLL (Davis-Putnam-Logemann-Loveland).
Algorithmus 2:
Wenn =
dann antworte „erfüllbar“
Wenn =
dann antworte „unerfüllbar“
Wenn
≠ ≠
dann
wenn eine One-Literal-Klausel { } enthält
dann prüfe, ob [ \
] erfüllbar ist;
antworte „erfüllbar“ gdw. [ \
] erfüllbar
wenn eine One-Literal-Klausel {¬ } enthält
dann prüfe, ob [ \
] erfüllbar ist;
antworte „erfüllbar“ gdw. [ \
] erfüllbar
wenn keine One-Literal-Klausel enthält
dann wähle eine Variable , die in vorkommt;
prüfe, ob [ \
] oder [ \
] erfüllbar sind;
wenn mindestens eine von den beiden erfüllbar ist,
dann antworte „erfüllbar“, sonst „unerfüllbar“
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¬ ∨
∨¬ ∨ ∧ ¬ ∨¬ ∨
∧ ∧ ¬ ∨¬ ∧ ¬ ∨
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¬ ∨
∨¬ ∨ ∧ ¬ ∨¬ ∨
∧ ∧ ¬ ∨¬ ∧ ¬ ∨
\
¬ ∨
∨
∧ ¬ ∨ ∧ (¬ ∨ ¬ )
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
¬ ∨
∨¬ ∨ ∧ ¬ ∨¬ ∨
∧ ∧ ¬ ∨¬ ∧ ¬ ∨
\
¬ ∨
∨
∧ ¬ ∨ ∧ (¬ ∨ ¬ )
\
∨
∧ (¬ ∨ ) ∧ ¬
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
¬ ∨
∨¬ ∨ ∧ ¬ ∨¬ ∨
∧ ∧ ¬ ∨¬ ∧ ¬ ∨
\
¬ ∨
∨
∧ ¬ ∨ ∧ (¬ ∨ ¬ )
\
∨
∧ (¬ ∨ ) ∧ ¬
\
∧¬
19
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
¬ ∨
∨¬ ∨ ∧ ¬ ∨¬ ∨
∧ ∧ ¬ ∨¬ ∧ ¬ ∨
\
¬ ∨
∨
∧ ¬ ∨ ∧ (¬ ∨ ¬ )
\
∨
∧ (¬ ∨ ) ∧ ¬
\
∧¬
\
20
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
¬ ∨
∨¬ ∨ ∧ ¬ ∨¬ ∨
∧ ∧ ¬ ∨¬ ∧ ¬ ∨
\
¬ ∨
∨
∧ ¬ ∨ ∧ (¬ ∨ ¬ )
\
∨
∧ (¬ ∨ ) ∧ ¬
\
∧¬
\
21
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\
¬ ∨
Kapitel II – Grundlagen; Logik
¬ ∨
∨¬ ∨ ∧ ¬ ∨¬ ∨
∧ ∧ ¬ ∨¬ ∧ ¬ ∨
\
¬ ∨
∨
∧ ¬ ∨ ∧ (¬ ∨ ¬ )
\
∨
\
∧ (¬ ∨ ) ∧ ¬
¬ ∨
\
\
∧¬
\
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
¬ ∨
∨¬ ∨ ∧ ¬ ∨¬ ∨
∧ ∧ ¬ ∨¬ ∧ ¬ ∨
\
¬ ∨
∨
∧ ¬ ∨ ∧ (¬ ∨ ¬ )
\
∨
\
∧ (¬ ∨ ) ∧ ¬
¬ ∨
\
\
∧¬
\
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\
Kapitel II – Grundlagen; Logik
¬ ∨
∨¬ ∨ ∧ ¬ ∨¬ ∨
∧ ∧ ¬ ∨¬ ∧ ¬ ∨
\
¬ ∨
∨
∧ ¬ ∨ ∧ (¬ ∨ ¬ )
\
∨
\
∧ (¬ ∨ ) ∧ ¬
¬ ∨
\
\
\
∧¬
\
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\
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• DPLL (Davis-Putnam-Logemann-Loveland).
– Korrektheit des DPLL-Verfahrens.
1. Das Verfahren terminiert für jede Eingabeformel.
Folgt daraus, dass [ \
] und [ \
] mindestens
eine Variable weniger als enthalten. Wenn das Verfahren
nicht früher terminiert, dann kommen wir bei Formeln mit 0
Variablen an. Die einzigen solchen Formeln sind
und
2. Wenn die Formel erfüllbar ist, dann antwortet das Verfahren
„erfüllbar“. Folgt aus Fakt.
3. Wenn die Formel unerfüllbar ist, dann antwortet das
Verfahren „unerfüllbar“. Folgt aus Fakt.
Ausführlicher Beweis später in der Vorlesung.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Mengendarstellung von KNF-Formeln
– Eine Klausel wird durch die Menge ihrer Literale
dargestellt
• Die Menge { , ¬ , } stellt die Klausel ( ∨ ¬ ∨ ) dar.
• Die leere Menge von stellt die Formel false dar.
– Eine KNF-Formel wird durch die Menge ihrer Klauseln
(genauer: die Menge der Darstellungen ihrer Klauseln)
• Die Klauselmenge { ¬ , , ¬ , } stellt die Formel
¬ ∧ ( ∨ ¬ ∨ ) dar.
Die leere Klauselmenge stellt die Formel true dar.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• DPLL mit Mengendarstellung
Algorithmen 1 und 2 werden aufgrund der folgenden
Eigenschaft mit Hilfe der Mengendarstellung implementiert:
Sei eine KNF-Formel und sei eine Variable von . Die
Mengendarstellung von [ \
] ensteht, in dem:
alle Klauseln von , die das Literal enthalten, gestrichen
werden, und
in allen Klauseln die das Literal ¬ enthalten, dieses
gestrichen wird.
Die Mengendarstellung von [ \
] erhält man analog.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
{ ¬ , , ¬ , s , ¬ , ¬ ,
, r , ¬ ,¬ , ¬ ,
}
\
{ ¬ , ,
, ¬ ,
, ¬p, ¬s }
\
{ ,
, ¬ ,
\
, ¬ }
{ ¬ ,
\
\
\
{
, ¬ }
{
}
\
28
\
{∅}
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}
∅
∅
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Resolution.
Grundidee: füge iterativ neue Klauseln zur Formel hinzu,
die logische Konsequenzen der ursprunglichen Klauseln
sind.
• Beispiel: wenn die Formel Klauseln (¬ ∨ ∨ ) und
¬ ∨ ∨ enthält, dann kann die Klausel
(¬ ∨ ∨ ∨ ) hinzugefügt werden.
Die Klauseln sind äquivalent zu
∧¬ →
→ ( ∨ )
∧¬ →( ∨ )
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Resolution mit Mengendarstellung.
• Beispiel: wenn die Formel Klauseln und ¬ enthält,
dann kann die Klausel false hinzugefügt werden.
Die Klauseln sind äquivalent zu
→
Die neue Klausel zeigt, dass die Formel nicht erfüllt
werden kann.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Resolution mit Mengendarstellung.
Definition. Seien , und Klauseln in
Mengendarstellung. Dann heißt resolvent von
, wenn es ein Literal gibt mit ∈
und ∈
=
Hierbei ist
∖
∪(
∖
)
definert als
¬ falls =
=
falls = ¬ 31
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und
und
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Resolution.
Wir stellen diesen Sachverhalt durch folgendes Diagramm
dar:
Die leere Klausel wird mit dem Symbol „□“ bezeichnet
32
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Das Resolutionsverfahren
while die leere Klausel nicht enthält
{ if
zwei Klauseln , enthält
mit einem Resolventen , der ∉
erfüllt (d.h., ist nicht Klausel von )
then füge als neue Klausel zu hinzu
else antworte „erfüllbar“ und halte
}
antworte „unerfüllbar“ und halte
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
¬ ,
¬ , ,
, ¬ {¬ , ¬ , ¬ }
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
¬ ,
¬ , ,
, ¬ {¬ , ¬ , ¬ }
{¬ , }
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
¬ ,
¬ , ,
, ¬ {¬ , ¬ , ¬ }
{¬ , }
{ }
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
¬ ,
¬ , ,
, ¬ {¬ , ¬ , ¬ }
{¬ , }
{ }
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{¬ , ¬ }
Kapitel II – Grundlagen; Logik
¬ ,
¬ , ,
, ¬ {¬ , ¬ , ¬ }
{¬ , ¬ }
{¬ , }
{ }
{¬ }
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
¬ ,
¬ , ,
, ¬ {¬ , ¬ , ¬ }
{¬ , ¬ }
{¬ , }
{ }
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{¬ }
□
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¬ ,
¬ , ,
,¬
{ , }
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{¬ , ¬ , ¬ }
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¬ ,
¬ , ,
,¬
{ , }
{¬ , ¬ }
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{¬ , ¬ , ¬ }
Kapitel II – Grundlagen; Logik
¬ ,
¬ , ,
,¬
{ , }
{¬ , ¬ }
{ , ¬ }
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{¬ , ¬ , ¬ }
Kapitel II – Grundlagen; Logik
¬ ,
{¬ , }
¬ , ,
,¬
{ , }
{¬ , ¬ }
{ , ¬ }
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{¬ , ¬ , ¬ }
Kapitel II – Grundlagen; Logik
¬ , ,
¬ ,
{¬ , }
,¬
{ , }
{¬ , ¬ }
{ }
{ , ¬ }
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{¬ , ¬ , ¬ }
Kapitel II – Grundlagen; Logik
¬ , ,
¬ ,
{¬ , }
,¬
{ , }
{¬ , ¬ }
{ }
{ , ¬ }
{¬ , }
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{¬ , ¬ , ¬ }
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¬ , ,
¬ ,
{¬ , }
,¬
{ , }
{¬ , ¬ }
{ }
{ , ¬ }
{¬ , }
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{¬ , ¬ , ¬ }
{¬ , ¬ }
Kapitel II – Grundlagen; Logik
¬ , ,
¬ ,
{¬ , }
{¬ , ¬ , ¬ }
,¬
{ , }
{¬ , ¬ }
{ }
{ , ¬ }
{¬ , }
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{¬ }
{¬ , ¬ }
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¬ , ,
¬ ,
{¬ , }
{¬ , ¬ , ¬ }
,¬
{ , }
{¬ , ¬ }
{¬ , ¬ }
{¬ }
{ }
{ , ¬ }
{¬ , }
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{¬ }
Kapitel II – Grundlagen; Logik
¬ , ,
¬ ,
{¬ , }
{¬ , ¬ , ¬ }
,¬
{ , }
{¬ , ¬ }
{¬ }
{ }
{ , ¬ }
{¬ , }
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{¬ , ¬ }
{¬ }
□
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Resolution.
Fakt. Sei eine Formel in KNF-Form. Wenn resolvent
zweier Klauseln von ist, dann gilt
≡ ∪{ }.
Begründung.
Seien , die durch resolvierten Klauseln mit
=
∨ und
=
∨ ¬ . Es gibt ′ mit
= ∧
∨ ∧
∨¬
≡ ∧
∨ ∧
∨¬ ∧( ∨ )
≡ ∧
∨ ∧
∨¬ ∧
≡
∧
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Resolution.
Aus dem Lemma folgt: wenn irgendwann die leere Klausel
hinzugefügt wird (d.h., wenn das Verfahren „unerfüllbar“
antwortet), dann gilt
≡ ∧
≡
und somit ist die Formel unerfüllbar.
Man muss noch zeigen:
51
• Wenn das Verfahren „erfüllbar“ antwortet, dann ist die Formel
erfüllbar. (Kommt später in der Vorlesung)
• Das Verfahren terminiert. (Folgt aus der Tatsache, dass es
endlich viele Klauseln mit n Variablen gibt.)
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Resolution
– Korrektheit der Resolution.
1. Das Verfahren terminiert für jede Eingabeformel.
Folgt daraus, dass es nur endlich viele Klauseln aus
einer endlichen Menge von Variablen konstruiert
werden können.
2. Wenn die Formel erfüllbar ist, dann antwortet das
Verfahren „erfüllbar“.
Folgt aus dem Fakt.
3. Wenn die Formel unerfüllbar ist, dann antwortet das
Verfahren „unerfüllbar“.
Schwieriger. Wird später in der Vorlesung
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ein Kalkül für logische Inferenzen.
– Wir beschreiben eine Menge von Inferenzregeln
(ein Kalkül),
Mit den Inferenzregeln können Ausdrücke der
Gestalt
⊢
mechanisch erzeugt werden, wobei eine
Konjunktion von Annahmen und eine Formel ist.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ein Kalkül für logische Inferenzen.
– Es wird gelten:
⊢ gdw. ⊨
– Das Kalkül bietet damit eine alternative zum
Folgerungstest.
– Die Regeln sind ähnlich zu den Formationsregeln:
• Basisregeln: “ ⊢ für die Konjunktion
Formel ”
• Induktive Regeln: “wenn ⊢ , … , ⊢
”
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und die
, dann
⊢
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ein Kalkül für logische Inferenzen
– Grafische Darstellung der Basisregeln:
_______
⊢
– Grafische Darstellung der induktiven Regeln
⊢ ,…,
⊢
____________________
⊢
Intuition: um ⊢
dass ⊢ und
zu beweisen, reicht es zu zeigen,
⊢ und … und
⊢ gelten.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ein Kalkül für logische Inferenzen
– Annahmeregel. Für jede , für jede Annahme
:
_______
⊢
– Ausgeschlossener Dritte. Für jede , für jede :
_______________
⊢
∨¬ 56
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in
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ein Kalkül für logische Inferenzen
– Regel für true. Für jede
:
____________
⊢
– Regel für false. Für jede , für jede Formel F :
⊢ ⊢¬ ________________________
⊢
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ein Kalkül für logische Inferenzen
– Konjunktionseinführung. Für alle , für alle , :
⊢ ⊢ ________________________
⊢
∧
– Konjunktionsbeseitigung. Für alle , für alle , :
⊢
∧ ⊢
∧ ___________
___________
⊢
⊢
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ein Kalkül für logische Inferenzen
– Disjunktionseinführung. Für alle , für alle , :
⊢ ⊢ ___________
⊢
___________
∨ ⊢
∨ – Disjunktionsbeseitigung. Für alle , für alle , , :
⊢
∨ ,
⊢
,
⊢
___________________________________
⊢
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ein Kalkül für logische Inferenzen
– Negationseinführung. Für alle , für alle
,
⊢
:
______________
⊢¬ – Negationssbeseitigung. Für alle , für alle
,¬ ⊢
________________
⊢ 60
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:
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ein Kalkül für logische Inferenzen
– Implikationseinführung. Für alle , für alle , :
,
⊢ ______________
⊢
→ – Implikationsbeseitigung. Für alle , für alle , :
⊢
→ ⊢
__________________________
⊢ 61
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ein Kalkül für logische Inferenzen
– Theorem: Die Regelmenge hat die folgenden zwei
Eigenschaften:
• Wenn ⊢ , dann ⊨ . (Korrektheit, soundness)
“Aus der Regelmenge werden nur gültige Inferenzen
hergeleitet”.
• Wenn ⊨ , dann ⊢ . (Vollständigkeit,
completeness)
“Jede gültige Inferenz kann mit der Regelmenge
hergeleitet werden ”.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Beispiel eines formalen Beweises.
– Wir betrachten nochmal die Inferenz
Wenn
es heute bewölkt ist, und
wir nur dann schwimmen gehen, wenn es sonnig ist, und
wir immer dann rudern, wenn wir nicht schwimmen, und
wir immer früh nach Hause kommen wenn wir rudern,
dann
werden wir heute früh nach Hause kommen.
– Wir formalisieren sie in der Aussagenlogik und zeigen
ihre Korrekheit mit Hilfe der Inferenzregeln.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Beispiel eines formalen Beweises
– Wir führen Variablen für die Aussagen ein
sonnig
= “es ist sonnig”
schwimmen = “wir werden schwimmen”
rudern
= “wir werden rudern”
früh
= “wir werden früh nach Hause kommen”.
– Annahmenmenge
:
(a) ¬sonnig
(b) schwim → sonnig
(c) ¬schwim → rudern
(d) rudern → früh
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Beispiel eines formalen Beweises
– Eine Herleitung von
Sequenz
⊢ ,
⊢ ist eine endliche
⊢ ,…,
⊢ mit:
•
= und =
• Für alle , 1 ≤ ≤ , der Ausdruck
⊢ kann aus
einer Teilmenge der Ausdrücke
⊢ ,…,
⊢
durch Anwendung einer Regel gewonnen werden.
– Ein formaler Beweis der Aussage “ folgt aus den
Annahmen , … , ’’ ist eine Herleitung von
⊢
1, 2, … ,
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
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Schritt
1. , schwim ⊢ schwim
2. , schwim ⊢ schwim → sonnig
3. , schwim ⊢ ¬ sonnig
4. , schwim ⊢ sonnig
5. , schwim ⊢ false
6.
⊢ schwim → false
7.
⊢ ¬ schwim
8.
⊢ ¬ schwim → rudern
9.
⊢ rudern
10.
⊢ rudern → früh
11.
⊢ früh
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Bewiesen durch
An.
An. (b)
An. (a)
Imp.Bes. 1,2
false.Ein. 3,4
Imp.Ein. 5
Neg.Ein. 6
An. (c)
Imp.Bes. 7,8
An. (d)
Imp.Bes. 9,10
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Zusammenfassung Aussagenlogik
– Syntax und Semantik.
• Operatoren und Wahrheitstabellen.
– Logische Begriffe.
• Tautologie, Widerspruch, Erfüllbarkeit, Äquivalenz, Folgerung
– Äquivalenzregeln
– Vollständige Operatorenmengen.
– Algorithmen für (Nicht-)Erfüllbarkeit
• DPLL, Resolution
– Folgerungsregeln,
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• Formale Beweise
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