Globale Aspekte des kontinuierlichen Newton

Globale Aspekte des kontinuierlichen
Newton-Verfahrens
Immo Diener
Habilitationsschrift
Go ttingen
Oktober 1991
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
1 Einfuhrung
2 Newton{Blatter
i
1
8
2.1 Auerordentliche Singularitaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Einige Eigenschaften von Newton{Blattern . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Die Graphen ?k (F; B )
4 Komplexe Newton{Flusse
5 Zusammenhangende Newton-Blatter
6 Verallgemeinerungen
Literatur
21
31
34
42
45
Vorwort
Ausgangspunkt dieser Arbeit ist eine Fragestellung der globalen Optimierung: Gegeben eine dierenzierbare Abbildung F : X ! Y zwischen Teilmengen X; Y des IRn.
Bestimme Null(F; X ), die Menge aller Nullstellen von F in X . Gesucht ist also letztlich
ein numerisches Verfahren, das alle Nullstellen von F in einem noch zu prazisierenden
Sinne approximiert.
Das klassische Hilfsmittel zur Bestimmung einer Nullstelle von F ist das NewtonVerfahren. Dabei geht man bekanntlich aus von einem Startwert x0 , linearisiert dort das
Problem und setzt als nachste Iterierte x1 die Losung des linearisierten Problems an. Dann
verfahrt man mit x1 wie zuvor mit x0 .
Unter geeigneten Voraussetzungen kann man die Konvergenz dieses Verfahrens gegen
eine Nullstelle von F beweisen. Eine wichtige dieser Voraussetzungen ist, da x0 schon
\hinreichend dicht" an einer Nullstelle von F liegt. Es handelt sich also um ein lokales
Verfahren.
Der Konvergenzbereich des klassischen Newton-Verfahrens lat sich verbessern, wenn
man eine Schrittweitenstrategie einfuhrt. Da heit, man nimmt als nachste Iterierte nicht
die Losung des im gegenwartigen Punkt linearisierten Problems, denn diese liegt manchmal \zu weit ab" von der gesuchten Nullstelle. Man nimmt stattdessen als nachste Iterierte eine Konvexkombination zwischen dem gegenwartigen Aufpunkt und der Losung
des linearisierten Problems. Mit geeigneten solchen Schrittweitenstrategien lat sich der
Konvergenzbereich des Newton-Verfahrens in der Tat vergroern.
Betrachtet man nun den Grenzfall, da man sich in jedem Schritt nur noch \beliebig
wenig" vom gegenwartigen Aufpunkt wegbewegt, so gelangt man von der ursprunglichen
Iterationsvorschrift zu einem autonomen Dierentialgleichungssystem und statt der Folge
der Iterierten wird nun die zugehorige Losungstrajektorie Gegenstand der Untersuchung.
Dieses Dierentialgleichungssystem heit die Newtonsche Dierentialgleichung zu F :
dx=dt = ?DF (x)?1 F (x):
Umgekehrt lat sich das relaxierte Newton-Verfahren nun als Eulersches Verfahren zur
Losung der Newtonschen Dierentialgleichung auassen. Das mit der Integration der Newtonschen Dierentialgleichung verbundene Verfahren heit das kontinuierliche NewtonVerfahren.
Der geschilderte Zusammenhang zwischen dem relaxierten Newtonverfahren und der
kontinuierlichen Version wirft die Frage auf, wie die Einzugsbereiche der Nullstellen des
kontinuierlichen Verfahrens mit den Einzugsbereichen des relaxierten Verfahrens fur bestimmte Schrittweitensteuerungen zusammenhangen. Dabei gehort ein Punkt x0 zum Einzugsbereich der Nullstelle x bezuglich des relaxierten Verfahrens, wenn die Iterierten des
in x0 gestarteten relaxierte Newtonverfahrens gegen x konvergieren. Dagegen gehort x0
zum Einzugsbereich des kontinuierlichen Verfahrens, wenn die durch x0 verlaufende Trajektorie x(t) der Newtonschen Dierentialgleichung fur wachsende t gegen x konvergiert.
Kann man die Einzugsbereiche des relaxierten Verfahrens durch die des kontinuierlichen
Verfahrens approximieren? Welche strukturellen Ruckschlusse kann man vom kontinuierlichen Verfahren auf das relaxierte ziehen?
Die Einzugsbereiche der Nullstellen des relaxierten Newtonverfahrens konnen, wie
neuere Ergebnisse der Theorie der dynamischen Systeme zeigen, sehr wild aussehen. Dagei
gen lassen sich die Phasenportraits des kontinuierlichen Verfahrens, also die Familien der
Integralkurven, jedenfalls fur den Fall meromorpher Abbildungen auf Gebieten der komplexen Zahlenebene einigermaen vollstandig charakterisieren. Nach fruhen Arbeiten von
Braess [2] und Smale [22] gelang es Jongen, Jonker und Twilt [14, 23] die Newton-Flusse fur
gewisse Klassen rationaler Funktionen im Komplexen graphentheoretisch zu charakterisieren. Meier [19] untersuchte in seiner Dissertation das Phasenportrait der Newtonschen
Dierentialgleichung fur meromorphe Funktionen auf beliebigen Teilgebieten von CI. Er
zeigt, in welcher Weise sich gewisse charakteristische Eigenschaften des Phasenportraits
auf das relaxierte Newtonverfahren bei kleinen Schrittweiten u bertragen lassen und wendet seine Ergebnisse an, um Aussagen uber die Julia-Mengen der Iterationsfunktion des
relaxierten Newton-Verfahrens zu gewinnen. Diese Ergebnisse wurden dann in [1] weiter
ausgebaut.
Fur die allgemeine Theorie des kontinuierlichen Newtonverfahrens im IRn ist die Tatsache unangenehm, da die rechte Seite der Newtonschen Dierentialgleichung i.a. nicht auf
dem ganzen Raum deniert ist. Man kann die Gleichung jedoch \desingularisieren", indem
g (x)
man rechts statt der Inversen der Funktionalmatrix DF (x) die adjungierte Matrix DF
einsetzt. Man gelangt so zu der desingularisierten Newtonschen Dierentialgleichung
g (x)F (x);
dx=dt = ?DF
deren rechte Seite nun auf dem ganzen IRn deniert ist. Da die kontinuierliche Newtonsche Dierentialgleichung und die desingularisierte Version bis auf den Faktor det DF (x)
ubereinstimmen, stimmen die Phasenportraits der beiden Gleichungen in den Punkten,
in denen DF (x) nicht singular ist, uberein (bis auf die Orientierung). Die Einzugsbereiche einer Nullstelle von F bezuglich des desingularisierten kontinuierlichen Verfahrens
ist gegenuber dem des gewohnlichen kontinuierlichen Verfahrens i.a. wesentlich groer.
Die Erleichterung beim U bergang von der gewohnlichen zur desingularisierten Version
hat man sich aber mit einer neuen Schwierigkeit erkauft. Die rechte Seite der desingularisierten Gleichung kann namlich auch verschwinden, ohne da eine Nullstelle von F
vorliegt. Solche Punkte nennen wir \auerordentliche Singularitaten" von F . Die Struktur
der Menge dieser auerordenntlichen Singularitaten wurde fur den Fall, da F Gradient
einer Funktion ist, von Jongen, Jonker und Twilt in mehreren Arbeiten untersucht. Eine
Zusammenfassung der Ergebnisse wird weiter unter gegeben (siehe auch [15]).
Das desingularisierte kontinuierliche Newtonverfahren wurde 1972 von Branin in [3] angewandt, um mehrere Nullstellen einer nichtlinearen Funktion mehrerer Veranderlicher zu
bestimmen. Es handelte sich dabei um den Entwurf eines elektronischen Schaltkreises mit
Tunneldioden und das Newton-Verfahren konvergierte immer wieder gegen dieselbe Nullstelle. Branins Idee war, das Verfahren nicht in einer gefundenen Nullstelle abzubrechen
und irgendwo anders neu aufzusetzen, sondern uber die gefundene Nullstelle \hinwegzuintegrieren" und dabei das Vorzeichen der rechten Seite der desingularisierten Newtonschen
Dierentialgleichung herumzudrehen. Dadurch wird eine Nullstelle, die zuvor ein anziehender Fixpunkt war, zu einem abstoenden Fixpunkt und er hote, beim weiteren Verfolgen
der Losungskurve auf weitere Nullstellen zu stoen. Diese Honung erfullte sich in seinem
Anwendungsfall und er war auch in weiteren Fallen erfolgreich.
Branins Arbeit regte in der Folge viele Untersuchungen dieses Verfahrens an, und man
hote, (im Einzelfalle uberprufbare) globale Kriterien nden zu konnen, unter denen man
etwas u ber das Verhalten des so \fortgesetzten" Verfahrens beweisen konnte. Leider erwies
ii
sich diese Honung als trugerisch. Bis heute ist kein auf eine breite Klasse nichtlinearer
Funktionen anwendbares Kriterium bekannt, das sich im konkreten Falle u berprufen liee
und garantieren wurde, da das Braninsche Verfahren, gestartet in einem Punkt x0 , alle
Nullstellen einer Funktion F : IRn ! IRn liefern wurde.
Der Grund fur die Schwierigkeit ist leicht auszumachen. Er liegt im sogenannten \Eindellargument": Ein praktisches Verfahren stoppt nach endlich vielen Schritten, hat also
die Funktion in groen Teilen des interessierenden n-dimensionalen Grundbereichs nicht
untersucht. Hatte es nun alle Nullstellen von F gefunden, so konnte man doch leicht eine
Funktion G angeben, die mit F in einer Umgebung des gesamten untersuchten Bereichs
ubereinstimmt, auerhalb dieses Bereichs aber zusatzliche Nullstellen besitzt. Diese wurde
das Verfahren dann nicht nden.
Eine Voraussetzung an F , die dieses Argument ausschliet, mu globaler Natur sein
und lokale Modikationen von F verbieten { zweifellos eine wesentliche Einschrankung
der in Betracht kommenden Funktionenklasse, denn mit Beschrankungen wie \Sei F ein
Polynom" ist, ohne Gradbeschrankung, wegen des Approximationssatzes von Weierstra
auch nicht viel gewonnen. Immerhin kann die Spezizierung einer speziellen Struktur das
Eindellargument umgehen; so liegen z.B. fur den Fall gewisser Polynome theoretisch global
konvergente Homotopieverfahren vor.
U brigens gibt es intervallarithmetische Verfahren, die unter relativ schwachen Voraussetzungen garantieren, da alle Nullstellen gefunden werden. Hier wird das Eindellargument raniert dadurch u berlistet, da in einige Iterationsschritte globale Informationen uber den Wertebereich der Funktion einieen, die nicht a priori vorgegeben werden
mussen, sondern die sich das Verfahren selbst beschat. Leider laufen die Intervallverfahren bisher im wesentlichen auf Teile-und-Herrsche-Verfahren hinaus und sind daher in
hoheren Dimensionen viel zu langsam.
Zuruck zum kontinuierlichen Newton-Verfahren. Es wird nicht nur zur praktischen
Berechnung von Nullstellen angewandt, sondern kommt auch als Beweishilfsmittel in Betracht, um die Existenz einer Nullstelle in einem gewissen Bereich zu zeigen. So wird,
beispielsweise, das kontinuierliche Newton-Verfahren (in Frechet-Raumen) beim Beweis
des tieiegenden Satzes von Nash und Moser u ber Umkehrabbildungen angewandt, und
zwar um die Surjektivitat der Abbildung zu zeigen. Eine ausgezeichnete Darstellung der
Theorie mit vielen Anwendungsbeispielen ndet man in [10].
Die Losungstrajektorien des kontinuierlichen Newtonverfahrens haben die Eigenschaft,
da die Richtung von F auf den Trajektorien konstant ist. Beginnt man das Verfahren im
Startpunkt x0 := x(0), dann gilt genauer:
F (x(t)) = F (x(0))e?t :
Lat sich die in x(0) beginnende Trajektorie also bis t = 1 integrieren, so endet sie in
einer Nullstelle von F . Das legt die Idee nahe, die Kurven des Verfahrens nicht durch eine
Dierentialgleichung zu denieren, sondern die geschilderte Eigenschaft des kontinuierlichen Newton-Verfahrens zur Grundlage einer verallgemeinerten Denition von NewtonTrajektorien zu machen. Eine Newton-Trajektorie in diesem Sinne besteht dann aus der
Menge aller Punkte x, in denen F (x) eine vorgegebene Richtung hat. Dieser Ansatz soll in
der vorliegenden Arbeit verfolgt werden. Er erlaubt es, globale Aussagen u ber den Verlauf
einer Newton-Trajektorie zu machen, die im Sinne Branins durch Hinwegintegrieren u ber
die Nullstellen von F entsteht.
iii
Es zeigt sich, da diese Newton-Trajektorien auf bestimmten k-dimensionalen Untermengen des IRn leben, die, abgesehen von der Umgebung gewisser Ausnahmepunkte
(i.a. gerade den auerordentlichen Singularitaten von F ) Mannigfaltigkeiten sind. Diese Mengen werden im folgenden k-Newton-Blatter getauft. Eine Newton-Trajektorie ist
dann ein 1-Newton-Blatt. Diese Mengen haben die besondere Eigenschaft, da auf jedem
Newton-Blatt alle Nullstellen von F liegen. Findet man also ein zusammenhangendes kNewton-Blatt, dann kann man das n-dimensionale Problem, alle Nullstellen von F zu
nden, auf ein k-dimensionales Problem reduzieren, namlich auf die Suche nach den Nullstellen von F auf diesem k-Blatt. Darin liegt unter anderem die praktische Bedeutung der
k-Newton-Blatter.
Im Kapitel 1 geben wir einleitende Denitionen und referieren einige grundlegende Ergebnisse zum (desingularisierten und gewohnlichen) kontinuierlichen Newton-Verfahren,
prazisieren einige Aussagen des vorliegenden Abschnitts und beweisen, da der Einzugsbereich einer Nullstelle beim (desingularisierten und gewohnlichen) kontinuierlichen Newton-Verfahren zusammenziehbar ist.
Kapitel 2 bringt die eigentliche prazise Deniton von Newton-Blattern und stellt
einen Zusammenhang zwischen Newton-Trajektorien und einer bekannten Klasse von
Homotopie-Verfahren her. Kapitel 2.1 enthalt eine prazise Denition der auerordentlichen Singularitaten und stellt einige grundlegende Dinge uber diese Ausnahmepunkte
zusammen.
Im Kapitel 2.2 werden topologische und geometrische Ergebnisse uber die Struktur
von Newton-Blattern bewiesen. Zunachst wird gezeigt, da verschiedene Newton-Blatter
sich nicht tangential beruhren und nicht beliebig dicht an nichtentarteten Nullstellen von
F vorbeilaufen konnen. Dann beweisen wir, da aufeinanderfolgende Nullstellen auf einer
Newton-Trajektorie verschiedenen Index haben mussen. Daraus folgt dann, da kompakte
k-Blatt-Komponenten stets eine gerade Anzahl von Nullstellen enthalten. Sodann betrachten wir den Fall, da es zu F kompakte (n ? 1)-Blatt-Komponenten gibt, auf denen keine
Nullstellen von F liegen und ziehen einige Folgerungen.
Wie oben schon angedeutet, wird man i.a. kein niederdimensionales zusammenhangendes k-Blatt (im Idealfalle also eine zusammenhangende Newton-Trajektorie) nden konnen. Wir werden die Fragestellung daher abschwachen und im Kapitel 3 zunachst untersuchen, ob die Nullstellen einer Funktion sich wenigstens durch eine Folge zusammenhangender Newton-Blatter verbinden lassen. Dazu werden wir gewisse Graphen ?k denieren, deren Struktur widerspiegelt, wie verschiedene Newton-Blatt-Komponenten die Nullstellen
verbinden. Ein erstes Ergebnis in dieser Richtung wurde fur Newton-Trajektorien schon
in [13] angegeben. Wir werden dieses Ergebnis wesentlich verallgemeinern und praktisch
einigermaen brauchbare Kriterien fur den Zusammenhang der Graphen ?k angeben.
Im Kapitel 4 betrachten wir kurz Newton-Flusse in der komplexen Zahlenebene und
wenden die Ergebnisse des vorigen Kapitels auf diesen Fall an. Nebenbei stellen wir fest,
da komplexe Newton-Flusse sich als Gradienten-Flusse darstellen lassen.
Im Kapitel 5 beschaftigen wir uns mit der Frage, unter welchen Voraussetzungen
man garantieren kann, da alle k-Newton-Blatter zu F zusammenhangend sind, oder
da es wenigstens ein zusammenhangendes Newton-Blatt gibt. Fur den Fall von NewtonTrajektorien hatte Branin zu dieser Frage in der oben zitierten Arbeit eine Vermutung
geauert, die sich aber als falsch erweist. Im Fall von nur zwei Dimensionen gilt sogar, bis
auf triviale Ausnahmen, das Gegenteil von Branins Vermutung.
iv
Dann untersuchen wir die Frage, unter welchen Voraussetzungen es zusammenhangende Newton-Blatter gibt. Auf dieses Problem lat sich jede globale Version des Satzes
uber implizite Funktionen anwenden. Leider sind die Voraussetzungen fur solche Satze
(notwendig) sehr stark, so da sich die sich daraus ergebenden Resultate uber NewtonBlatter nicht allgemein anwenden lassen. Fur den Fall von nur 3 Nullstellen kann man
jedoch immerhin unter leichten Zusatzvoraussetzungen bei zusammenhangendem ?1 auf
die Existenz einer Trajektorien-Komponente schlieen, die alle Nullstellen von F enthalt.
Der Leser wird sehen, da man an verschiedenen Stellen weiter kame, wenn man ein
noch allgemeineres Konzept von Newton-Trajektorien (oder Newton-Blattern) zur Hand
hatte, namlich eines fur Funktionen auf einer dierenzierbaren, im IRn eingebetteten Mannigfaltigkeit. Man mochte gerne die in einem k-Blatt enthaltenen Newton-Trajektorien als
verallgemeinerte Newton-Trajektorien einer Funktion auf diesem k-Blatt ansehen. Im Kapitel 6 betrachten wir kurz einige Moglichkeiten zu derartigen Verallgemeinerungen und
diskutieren noch einige Transformationseigenschaften von Newton-Trajektorien.
Gegenuber fruheren Untersuchungen des kontinuierlichen Newtonverfahrens werden
in dieser Arbeit statt auf der Newtonschen Dierentialgleichung beruhender analytischer
Methoden hauptsachlich algebraische und topologische Methoden verwandt. Wie gezeigt
wird, ermoglicht es dieser Zugang, Aussagen u ber die Geometrie und die Topologie der
Trajektorien nicht nur \zwischen den Nullstellen", sondern im ganzen Grundraum zu
machen. Die Idee der k-Newton-Blatter liefert einen U berblick uber den Verlauf einer
ganzen Schar von Newton-Trajektorien und erlaubt es, das n-dimensionale Problem der
Bestimmung aller Nullstellen von F auf ein k-dimensionales Problem zuruckzufuhren. Die
sogenannten freien (n ? 1)-Newton-Blatter gestatten eine geometrische Charakterisierung
jener Bereiche, in denen das kontinuierliche Newton-Verfahren (das gewohnliche und das
desingularisierte) nicht gegen eine Nullstelle von F konvergieren.
Die Graphen ?k beschreiben in abstrakter Form, was in Bezug auf das Problem, alle
Nullstellen von F zu bestimmen, mit Hilfe der \Verfolgung" von Newton-Trajektorien
prinzipiell moglich ist. Die Ergebnisse uber die Zusammenhangseigenschaften dieser Graphen kommen | im Unterschied zu fruheren Untersuchungen | ohne die Voraussetzung
aus, da es keine auerordentlichen Singularitaten gebe | in der Praxis gibt es fast immer
welche | und gelten nicht nur, wenn der Grundraum der ganze IRn ist, sondern fur
nahezu beliebige Teilmengen des IRn . Die Satze u ber den Zusammenhang von NewtonBlattern geben Bedingungen an, unter denen die Bestimmung aller Nullstellen von F auch
praktisch mit Hilfe von Kurvenverfolgungsalgorithmen moglich ist, oder unter denen man
sich bei der praktischen Nullstellenbestimmung von vornherein auf ein wohlbestimmtes,
zusammenhangendes k-Blatt beschranken kann.
Die in dieser Arbeit eingefuhrte einfache algebraische Denition von Newton-Blattern
gestattet es auch, eziente numerische Algorithmen zum Verfolgen von Newton-Trajektorien oder zum Absuchen von k-Newton-Blattern zu entwickeln. Ein erster Ansatz, der
zeigt, wie man die besondere Struktur numerisch verwerten kann, ist in [6] enthalten. Was
die Aussagen u ber Newton-Blatter fur das globale Verhalten des relaxierten Newtonverfahrens bedeuten (bzw. fur eine im Sinne dieser Arbeit naheliegende desingularisierte Version desselben) lat sich noch nicht abschlieend feststellen. Die Erwartung, da man fur
genugend kleine Schrittweiten in der Nahe einer bestimmten Komponente einer NewtonTrajektorie bleibt, wird hochstens gelten, wenn keine auerordentlichen Singularitaten in
v
der Nahe der Trajektorie liegen. Wenn man z.B. wei, da keine Newton-Trajektorie frei
ist, wird man noch nicht garantieren konnen, da das relaxierte desingularisierte diskrete
Newtonverfahren bei hinreichend kleiner Schrittweite von jedem Startpunkt aus gegen eine
Nullstelle von F konvergiert. Dazu sind weitere Stabilitatsbetrachtungen notig. Insbesondere wird man dazu den Grundraum nicht mehr als nahezu beliebige Teilmenge des IRn
wahlen konnen.
So manche in dieser Arbeit aufgeworfene Frage mu zunachst unbeantwortet bleiben.
Eine fur die Praxis besonders wichtige Aufgabe besteht darin, schwachere Bedingungen
anzugeben, die praktisch u berprufbar sind und garantieren, da ein bestimmtes k-Blatt
(am besten eine Newton-Trajektorie) zusammenhangend ist. Auch die Frage nach den
moglichen topologischen Formen kompakter Newton-Blatt-Komponenten ohne Nullstellen
konnte in dieser Arbeit nicht abschlieend beantwortet werden. Schlielich sei noch das
Problem genannt, die moglichen Verzweigungsformen von Newton-Blattern generisch zu
klassizieren. Dies ist bisher nur fur Newton-Trajektorien bei kleinen Dimensionen gelost.
Technische Bemerkung: Die leidige Frage, wie Gleichungen, Satze usw. zu numerieren
und zu referenzieren sind, ist in dieser Arbeit folgendermaen gelost: Referenzen haben
das Format x-y, wobei x die Nummer der Gleichung oder des Satzes usw. ist, und y die
Seite, auf der die betreende Referenz zu nden ist.
vi
1 Einfuhrung
Sei F : IRn ! IRn ; n 2 eine dierenzierbare Abbildung. Dann besteht das klassische
Newton-Verfahren zur Bestimmung einer Nullstelle von F in der Iterationsvorschrift:
xi+1 = xi ? (DF (xi ))?1 F (xi );
mit einem geeignet gewahlten Startwert x0 und der Jacobi-Matrix DF (x) im Punkt x.
Um den Konvergenzbereich dieses Verfahrens zu vergroern, arbeitet man oft nicht mit
dieser, sondern einer etwas modizierten Iterationsstrategie, dem sogenannten relaxierten
Newtonverfahren:
xi+1 = xi ? hi(DF (xi ))?1 F (xi );
(1)
wobei die Schrittweiten hi \geeignet" gewahlt werden. Wahlt man die hi genugend klein, so
lat sich das Einzugsgebiet einer Nullstelle von F im allgemeinen gegenuber dem einfachen
Newton-Verfahren vergroern und man kann hoen, Aussagen uber die Einzugsgebiete
der Nullstellen von F fur kleine hi zu gewinnen, indem man statt der Gleichung (1-1) die
autonome Dierentialgleichung
dx=dt = ?DF (x)?1 F (x)
(2)
betrachtet, die sogenannte Newtonsche Dierentialgleichung zu F . (Die Frage, ob und
in wieweit die Einzugsbereiche der Nullstellen von F bezuglich des relaxierten NewtonVerfahrens fur verschiedene Schrittweiten durch die Einzugsbereiche bezuglich der Differentialgleichung (2-1) approximiert werden, wurde fur meromorphe Funktionen in [19]
untersucht.) Gleichung (1-1) lat sich dann als Eulersches Verfahren zur Losung der Newtonschen Dierentialgleichung auassen. Die rechte Seite von (2-1) ist nur in den Punkten
deniert, in denen DF (x) nicht singular ist.
Fur den in der Optimierung wichtigen Fall, da F Gradient einer Funktion ist, schreiben wir die Newtonsche Dierentialgleichung in der Form
dx=dt = ?Hf?1 (x)rf (x):
(3)
Dabei ist Hf (x) := D2 f (x) die Hesse-Matrix von f im Punkt x und rf (x) der Gradient
von f im Punkt x, also der (Spalten-)Vektor Df (x)>.
Entlang einer Trajektorie x(t) von (2-1) gilt:
woraus
d
dx
dt F (x(t)) = DF (x(t)) dt = ?F (x(t));
F (x(t)) = F (x(0))e?t
folgt. Entlang einer Trajektorie nimmt also kF k exponentiell ab, wahrend die Richtung von
F konstant bleibt. Diese Tatsache werden wir spater zum Ausgangspunkt einer erweiterten
Denition von Newton-Trajektorien machen.
Die Tatsache, da die rechte Seite von (2-1) nicht auf dem ganzen IRn deniert ist, ist
sowohl fur die praktische Rechnung, als auch fur theoretische Untersuchungen recht lastig,
denn die Menge der Punkte, in denen DF (x) singular wird, kann ziemlich wild aussehen
1
und in der Nahe solcher Punkte wird die rechte Seite unbeschrankt. Man betrachtet daher
statt der Gleichung (2-1) eine desingularisierte Form:
g (x)F (x):
dx=dt = ?DF
(4)
Dabei bezeichnen wir mit Ae die zu der n n-Matrix A adjungierte Matrix, also die Transponierte der Matrix, deren Element mij die mit dem Vorzeichenfaktor (?1)i+j versehene
Determinante der Matrix ist, die aus A entsteht, indem die i-te Zeile und die j -te Spalte
gestrichen werden. Es gilt also fur jede n n-Matrix A:
e = det(A)I;
AA
wobei I die n n-Einheitsmatrix sei.
Auf dem Denitionsbereich von (2-1) stimmen also die Phasenportraits von (2-1) und
(4-2), abgesehen von der Orientierung uberein. Wie bei der Dierentialgleichung (2-1)
bleibt auch auf den Losungskurven der Dierentialgleichung (4-2) die Richtung von F
konstant. Das System (4-2) lat sich also als Erweiterung des Systems (2-1) auf den ganzen
IRn auassen. Das durch (4-2) gegebene Vektorfeld auf dem IRn bezeichnen wir mit N (F )
und die Gleichung (4-2) nennen wir die desingularisierte Newtonsche Dierentialgleichung.
Im Falle F (x) = rf (x) schreiben wir statt (4-2)
gf (x)rf (x);
dx=dt = ?H
(5)
und das zugehorige Vektorfeld auf dem IRn bezeichnen wir mit N (f ).
Die Nullstellen von F sind Singularitaten (Gleichgewichtspunkte) der Dierentialgleichung(4-2). Wir setzen im folgenden stets voraus, da die Nullstellen von F (die kritischen Punkte von f ) nicht entartet (nicht degeneriert) sind, da also in diesen Punkten
DF (x) (bzw. Hf (x)) nicht singular ist.
Wie die Linearisierung der Dierentialgleichung in einer nichtentarteten Nullstelle
zeigt, sind solche Singularitaten entweder anziehende (wenn det DF (x) > 0), oder abstoende (wenn det DF (x) < 0) Fixpunkte (Knoten) von (4-2).
Neben solchen Singularitaten gibt es auch noch andere, namlich solche, in denen
g (x)F (x) verschwindet. Solche Singularitaten nennen wir
F (x) 6= 0 ist, und trotzdem DF
auerordentliche Singularitaten. Wir werden sie spater noch anders charakterisieren und
die Denition verallgemeinern.
Wir zitieren nun einige globale Resultate uber das Verhalten der Losungskurven zu
der Dierentialgleichung (4-2).
Sei M eine kompakte, zusammenhangende, 1-kodimensionale C 1-Mannigfaltigkeit im
n
IR . Dann besteht IRn n M aus zwei oenen Komponenten, deren eine beschrankt ist. Wir
nennen die beschrankte Komponente das Innere von M und bezeichnen sie mit Mint .
Denition 1
Wir sagen M erfullt die Randbedingung bezuglich des Vektorfeldes N (F ), wenn N (F )
transversal zu M ist, das heit, wenn in jedem Punkt x 2 M der Tangentialraum Tx M
an M in x zusammen mit dem Vektor N (F )jx den ganzen IRn aufspannt. M heit dann
ein globaler Rand zu N (F ). Auerdem nehmen wir o.E. an, da N (F ) ins Innere von M
zeigt.
3
2
Abbildung 1: Lokales Phasenportrait und Trajektorien der
Dierentialgleichungen (2-1) und (4-2).
Zitat 1 (siehe[22])
F : IRn ! IRn besitze keine degenerierten Nullstellen und M IRn sei ein globaler Rand
zu N (F ). Dann gibt es eine abgeschlossene Teilmenge M vom Ma Null in M , so da
fur jeden Punkt x 2 M n die in x beginnende Losung von (4-2) fur t ! 1 gegen eine
3
Nullstelle von F in Mint konvergiert.
Zum Beweis werden der Satz von Sard und die weiter unten denierte Trajektorienabbildung F herangezogen.
Zitat 2 (siehe[15])
F : IRn ! IRn besitze keine degenerierten Nullstellen und M IRn sei ein globaler Rand
zu N (F ). Auerdem enthalte Mint keine auerordentlichen Singularitaten von F . Dann
gilt:
Mint enthalt keine periodischen Trajektorien der desingularisierten Newtonschen Dif3
ferentialgleichung.
M ist dieomorph zur Sphare S n?1 IRn.
Mint enthalt genau eine Nullstelle von F .
3
Wenn Mint auerordentliche Singularitaten enthalt, gelten die Aussagen des Satzes im
allgemeinen nicht mehr. Wenn F also mehr als eine Nullstelle besitzt, gibt es entweder
keinen beide Nullstellen umfassenden globalen Rand zu N (F ), oder aber F besitzt auerordentliche Singularitaten. Wie einfache Beispiele zeigen, kann beides in der Praxis vorkommen. Insbesondre lat sich, wie wir noch sehen werden, das Auftreten auerordentlicher
Singularitaten im allgemeinen nicht ausschlieen, wenn die betrachtete Funktionenklasse
nicht auerordentlich stark eingeschrankt wird.
Bekanntlich konnen die Einzugsbereiche von Nullstellen beim gewohnlichen und auch
beim relaxierten Newton-Verfahren selbst in einfachsten Fallen sehr wild aussehen. In der
neueren Dissertation [19] bewies Meier, da der Einzugsbereich der Nullstellen meromorpher Funktionen im Komplexen bezuglich des kontinuierlichen Newton-Verfahrens einfach
zusammenhangend ist. Eine entsprechende Aussage gilt auch fur den Einzugsbereich des
desingularisierten kontinuierlichen Newtonverfahrens im Komplexen. Wie die Desingularisierung fur meromorphe Funktionen vorgenommen werden kann, ndet man in z.B. in [14].
In folgenden soll gezeigt werden, da eine scharfere Aussage ganz allgemein gilt, und zwar
sowohl fur die Einzugsbereiche des kontinuierlichen Newton-Verfahrens, wie fur die (i.a.
viel groeren) Einzugsbereiche des desingularisierten kontinuierlichen Newton-Verfahrens.
Die Einzugsbereiche sind i.a. nicht nur einfach zusammenhangend, sondern sogar zusammenziehbar.
Lemma 1
Sei : IR M ! M ein globaler Flu auf der dierenzierbaren Mannigfaltigkeit M und
x ein Fixpunkt von . Sei
B+ (x ) := fx 2 M : tlim
!1 (t; x) = x g
der \Einzugsbereich" des Fixpunktes x . Weiter gelte fur alle Folgen xn ! x in B+ (x )
und tn ! 1:
(tn; xn ) ! x :
Dann ist der Einzugsbereich B+ (x ) zusammenziehbar.
3
Beweis: Wir denieren eine Homotopie H : [0; 1] B+(x ) durch:
(
ur (t; x) 2 [0; 1) B+ (x )
H (t; x) = x(t=(1 ? t); x) f
fur (t; x) 2 f1g B+ (x ):
Dann ist oenbar H (0; ) die Identitat auf B+ (x ) und H (1; ) konstant. Wenn H also stetig
ist, dann ist die Identitat auf B+ (x ) null-homotop und folglich B+ (x ) zusammenziehbar.
In den Punkten von [0; 1) B+ (x ) ist H oenbar stetig, weil stetig ist und die
Stetigkeit in (1; x ) wird durch die Voraussetzung im Satz garantiert.
4
Um die Stetigkeit in (t^; x^) 2 f1g (B+ (x ) nfx g) zu zeigen, mussen wir fur jede Folge
xn ! x^ und tn ! 1 nachweisen:
nlim
!1 (tn ; xn ) = x :
Sei U eine Umgebung von x in B+ (x ), die x^ nicht enthalt. Da x der einzige Fixpunkt
von in B+ (x ) ist, ist fur jedes x 2 B+ (x ) nfx g die Flulinie x : IR ! M eine injektive
Immersion und somit besitzt 0 2 IR eine Umgebung, die durch eingebettet wird. Daraus
folgt, da die Menge
TU := ft 2 IR : 8 > t; x 2 V : (; x) 2 U g
auf einer genugend kleinen, zu U disjunkten Umgebung V von x^ in B+ (x ) nichtleer und
beschrankt ist. Sei tU > sup TU . Dann liegen fur genugend groe n die Punkte xn in V und
es gilt (tU ; xn ) 2 U . Da das fur alle Umgebungen U von x gilt, folgt limn!1 (tn ; xn ) =
x .
2
Eine entsprechende Aussage gilt naturlich fur den analog denierten Einzugsbereich
B? (x ). A hnlich beweist man:
Korollar 1
Sei : IR M ! M ein globaler Flu auf der dierenzierbaren Mannigfaltigkeit M ,
K M und x 2 K ein Fixpunkt von . Sei
B+ (x ; K ) := fx 2 K : 8t 0 : (t; x) 2 K and tlim
!1 (t; x) = x g
der Einzugsbereich des Fixpunktes x bezuglich K . Weiter gelte fur alle Folgen xn ! x
in B+ (x ; K ) und tn ! 1:
(tn; xn ) ! x :
Dann ist der Einzugsbereich B+ (x ; K ) zusammenziehbar.
3
Bemerkung 1
Die Voraussetzung in Lemma 1-4, da fur alle Folgen xn ! x in B+ (x ) und tn ! 1
gelte
(tn; xn ) ! x ;
ist oenbar insbesondere in folgenden Fallen erfullt:
(1) Wenn jede Umgebung U von x in B+ (x ) eine Umgebung V von x in B+ (x )
enthalt, so da die Dieomorphismen (t; ) : M ! M fur t 0 die Menge V in sich
abbilden.
(2) Wenn es eine stetige Funktion g : B+ (x ) ! IR gibt, die entlang der Flulinien
(; x) fur wachsende t streng monoton wachst; wenn also, beispielsweise, fur alle
x 2 B+ (x ) gilt: @=@t(g((t; x)))jt=0 > 0.
5
3
Die Anwendungsmoglichkeiten von Satz 1-4 beispielsweise auf Variable-Metrik-Verfahren, Gradientenusse auf kompakten Mannigfaltigkeiten und das kontinuierliche Newton-Verfahren nach Gleichung 2-1 und Gleichung 4-2 sind oensichtlich. Wenn man die
infrage kommenden Vektorfelder V (x) vermoge V (x)=(1 + kV (x)k2 ) normiert, ergeben
Teil 2 der Bemerkung und Lemma 1-4:
Satz 2
Sei M eine dierenzierbare (evtl. berandete) Mannigfaltigkeit mit Riemannscher Metrik,
f : M ! IR und der Gradienten-Flu bezuglich der gegebenen Riemannschen Metrik.
Sei x 2 M ein Fixpunkt von . Dann ist der Einzugsbereich von x zusammenziehbar. 3
Entsprechend folgt aus Teil 1 der Bemerkung und Korollar 1-5:
Satz 3
Sei K IRn nichtleer und F : IRn ! IRn auf einer oenen Umgebung von K dierenzierbar. Sei x eine nichtdegenerierte Nullstelle von F im Innern von K . Dann sind
die Einzugsbereiche B+ (x ; K ) von F in K sowohl bezuglich der durch die Newtonsche
Dierentialgleichungen 2-1 als auch bezuglich der durch die desingularisierte Newtonsche
Dierentialgleichung 4-2 gegebenen Vektorfelder oen in B und zusammenziehbar. (Dabei
nehmen wir im Falle der Dierentialgleichung 4-2 an, da das Vorzeichen der rechten Seite
so gewahlt wird, da x eine anziehender Fixpunkt ist. Sonst ist B+ (x ; K ) = fx g und
nicht oen.)
3
Auch andere Aussagen aus [19] lassen sich auf allgemeinere Falle ubertragen. So ist,
beispielsweise, das Bild F (B+ (x )) des Einzugsbereiches B+ (x ) einer nichtentarteten
Nullstelle x einer Funktion F : IRn ! IRn bezuglich des gewohnlichen, wie auch des
desingularisierten kontinuierlichen Newton-Verfahrens ein Sterngebiet mit Sternpunkt 0
im IRn. Auerdem ist F auf dem Einzugsbereich B+ (x ) einer nichtentarteten Nullstelle x bezuglich des gewohnlichen kontinuierlichen Newton-Flusses injektiv, aber dies gilt
nicht mehr fur die desingularisierte Dierentialgleichung. Wir wollen diese Aussagen hier
nicht beweisen, da sie die Fragestellung dieser Arbeit nicht direkt beruhren.
Das kontinuierliche Newton-Verfahren nach (4-2) wird in der Praxis oft angewandt, um
mehrere (oder sogar alle) Nullstellen einer Funktion F : IRn ! IRn zu bestimmen, oder
um (etwa im Rahmen der globalen Optimierung) alle kritischen Punkte einer Funktion
zu berechnen. Die Gleichung (4-2) ist zu diesem Zweck von Branin (vgl. [3]) anscheinend
erstmalig angewandt worden. Obwohl Branin nichts u ber das Verfahren bewiesen hat, haben die Erfolge, die er in der Praxis damit erzielte, die Untersuchung dieses Verfahrens
in den folgenden Jahren stark stimuliert. Die Trajektorien der desingularisierten Newtonschen Dierentialgleichung stehen auch im Zusammenhang mit den Kurven, die gewisse
Homotopieverfahren generieren (siehe Seite 8).
Um (hoentlich) mehrere Nullstellen von F zu bestimmen, wahlt man (nach Branin)
einen Startpunkt x0 und berechnet die durch x0 verlaufende Trajektorie der Dierentialgleichung (4-2). Wie oben schon bemerkt wurde, bleibt die Richtung von F (x(t)) auf
der Losungskurve konstant, also F (x(t)) = (t)F (x0 ). Konvergiert nun x(t) gegen eine
Nullstelle x von F , so andert man das Vorzeichen der rechten Seite in (4-2) und startet
6
das Verfahren erneut in einem dicht bei x gelegenen Punkt, der nicht auf x(t) liegt und
in dem die Richtung von F wieder gleich F (x0 ) ist. Einen solchen Punkt gibt es, da x
bezuglich der Dierentialgleichung (4-2) ein anziehender Knoten ist. Man projiziert also
gewissermaen den letzten Schritt uber die Nullstelle hinweg, andert das Vorzeichen der
rechten Seite in (4-2) und setzt das Verfahren fort. Durch die Vorzeichenanderung wird x
zu einem abstoenden Fixpunkt und das Verfahren ndet im weiteren Verlauf vielleicht
weitere Nullstellen.
Diese vage Beschreibung zeigt schon, da mit dieser Idee viele Fragen verbunden sind.
Zum einen betreen diese Fragen die numerische Implementation, zum andern die Konvergenz des theoretischen Verfahrens. Beim numerischen Verfahren lat sich naturlich die
besondere Struktur der Dierentialgleichung vorteilhaft ausnutzen. Numerische Realisierungen werden zum Beispiel in [11, 9, 6] beschrieben. Es zeigt sich, da die reine Braninsche
Methode \in vielen Fallen viele Losungen liefert". Das hat sie mit anderen Methoden der
globalen Optimierung gemein. Nur, was kann man beweisen?
In dieser Arbeit soll nun ein anderer, nicht direkt auf den Dierentialgleichungen (21) oder (4-2) beruhender Zugang zu Newton-Trajektorien verfolgt werden. Die Tatsache,
da die Anfangsrichtung von F auf einer Trajektorie erhalten bleibt, werden wir zum
Ausgangspunkt einer algebraischen Denition von Newton-Trajektorien machen. Es wird
sich dabei zeigen, da diese Beschreibungsart viele Vorteile gegenuber der Beschreibung
durch Dierentialgleichungen hat.
7
2 Newton{Blatter
Sei B IRn. Wir setzen generell voraus, da B nichtleer sei, ohne das jedesmal zu sagen.
Auerdem sei grundsatzlich n 2. Dann bezeichnen wir mit M(B ) die Funktionen aus
C r (IRn; IR), die in B nur endliche viele und nicht degenerierte kritische Punkte besitzen
und die keine kritischen Punkte auf dem Rand @B von B besitzen.
Entsprechend sei M (B ) die Menge der Funktionen aus C r (IRn ; IRn ), die in B nur
endlich viele Nullstellen besitzen und keine auf dem Rand von B . Auerdem seien die
Nullstellen von F in B alle nicht degeneriert. Das heit, die Funktionalmatrix DF (x) sei
in allen Nullstellen von F in B nichtsingular.
Die Dierenzierbarkeitsordnung r sei dabei \hinreichend gro". Da wir in dieser Arbeit
nicht daran interessiert sind, mit moglichst wenigen Voraussetzungen auszukommen, setzen
wir einfach r = 1. Meist reicht jedoch r = 1 oder r = 2. Manchmal brauchen wir r = n,
um den Satz von Sard anwenden zu konnen.
Mit G(k; n) sei die Grassmann{Mannigfaltigkeit der k{kodimensionalen linearen Unterraume des IRn bezeichnet. G(k; n) ist kompakt und von der endlichen Dimension k(n ?
k), also insbesondere folgenkompakt.
Abbildungen aus dem IRn in den IRn bezeichnen wir meist mit F , wahrend wir Abbildungen aus dem IRn in IR meist mit f bezeichnen. Bei F interessiert uns die Menge der
Nullstellen, Null(F ), und bei f die Menge der kritischen Punkte, Krit(f ).
Denition 2
Sei B IRn und F 2 C (B; IRn). Sei V ein k{kodimensionaler linearer Teilraum des IRn.
Dann heie die Menge
FV (F; B ) := fx 2 B j F (x) 2 V ?g
ein k{Newton{Blatt zu F , oder kurz ein k{Blatt. Ein 1{Newton{Blatt nennen wir auch
eine Newton{Trajektorie zu F und bezeichnen sie manchmal mit Tg (F ), wobei g 2 IRn nf0g
den Raum V ? aufspannt.
Ist weiter f 2 C 1 (IRn ; IR), dann heie FV (f; B ) := FV (rf; B ) ein k{Newton{Blatt zu
f , oder kurz ein k{Blatt. Ein 1{Newton{Blatt nennen wir auch eine Newton{Trajektorie zu
f und bezeichnen sie manchmal mit Tg (f ), wobei g 2 IRn n f0g den Raum V ? aufspannt.
Das 0{Blatt FIRn (f; B ) zu f ist die Menge der kritischen Punkte von f in B , die wir mit
Krit(f; B ) bezeichnen. Das 0-Newton-Blatt FIRn (F; B ) zu F ist die Menge der Nullstellen
von F in B , die wir mit Null(F; B ) bezeichnen. Wenn die Abhangigkeit von B klar ist,
schreiben wir auch kurz FV (f ); FV (F ); Tg (f ) und Tg (F ), sowie Krit(f ) und Null(F ). 3
Der Zusammenhang der so denierten Newton-Trajektorien mit der desingularisierten
Newtonschen Dierentialgleichung ist oensichtlich. Die Newton-Blatter sind gewissermaen erste Integrale der Newtonschen Dierentialgleichung. Branin meinte mit seinem
Ausdruck \uber Nullstellen von F wegintegrieren" gerade das Verfolgen einer NewtonTrajektorie FV (F ).
Wir geben nun noch eine andere Darstellung fur Newton-Blatter an, um auf den Zusammenhang mit gewissen Homotopieverfahren hinzuweisen. In diesem Zusammenhang
sei z.B. auf die Arbeit [7] hingewiesen, die Ausfuhrungen zum Fall k = 1 enthalt.
Sei F : IRn ! IRn und V ein k{kodimensionaler linearer Teilraum des IRn . Sei v1 ; : : : ; vk
8
eine Basis von V ?. Dann denieren wir eine Abbildung GF : IRn IRk ! IRn durch:
k
X
(x; ) 7! F (x) + i vi :
i=1
Sei weiter : IRn IRk ! IRn die Projektion auf die ersten n Komponenten. Dann ist
oenbar FV (F ) = (G?1 (0)).
Die folgenden Beobachtungen sind elementar.
Bemerkung 2
Sei B IRn und F : B ! IRn stetig. Dann gilt:
(i) Sind V; W lineare Teilraume des IRn und ist V W , dann ist W ? V ? und daher
FW (F; B ) FV (F; B ).
(ii) Fur alle linearen Teilraume V des IRn ist Null(F; B ) FV (F; B ).
(iii) Sind V; W lineare Teilraume des IRn , dann ist (V + W )? = V ? \ W ? und folglich
FV +W (F; B ) = FV (F; B ) \ FW (F; B ).
3
Durch jeden Punkt x 2 B n Null(F ) geht genau eine Newton-Trajektorie, namlich
FV (F ) mit V = hF (x)i?. Jede solche Trajektorie enthalt alle Nullstellen von F und der
Durchschnitt zweier Trajektorien FV (F ); FW (F ) mit V =
6 W ist gerade gleich Null(F ).
Das gilt ganz allgemein, also auch, wenn Nullstellen von F degeneriert sind und auf diesen
simplen Tatsachen beruht das praktische Interesse an diesen Gebilden. Ist namlich eine
Newton-Trajektorie FV (F ) lokal eindimensional (eine endliche Vereinigung dierenzierbarer eindimensionaler Mannigfaltigkeiten) und daruberhinaus zusammenhangend, dann
konnte man prinzipiell FV (F ) numerisch verfolgen und dabei alle Nullstellen von F bestimmen.
Die Forderung, da die Newton-Trajektorien wirklich lokal eindimensional seien, ist
praktisch keine starke Einschrankung, wie wir im nachsten Kapitel sehen werden. Das
wirkliche Problem ist, da die Newton-Trajektorien im allgemeinen mehrere Komponenten
besitzen. Um alle Nullstellen von F zu bestimmen, mute man daher auf jeder Komponente mindestens einen Startpunkt fur den Verfolgungsalgorithmus nden. (Eine allgemeine
Strategie dafur wurde in [4] vorgeschlagen und [6] beschreibt eine numerische Implementation.)
Es kommt vor, da man fur ein k-Newton-Blatt mit k > 1 Zusammenhang beweisen
kann, aber nicht fur k = 1 (vgl. zum Beispiel die Ausfuhrungen im Anschlu an Satz 2537). Das bedeutet in der Praxis immerhin die Reduktion eines n-dimensionalen Problems
auf ein k-dimensionales und da die numerische Komplexitat eines globalen Problems im
allgemeinen exponentiell mit der Dimension wachst, kann eine solche Reduktion fur die
Praxis erheblich sein. Die Betrachtung allgemeiner k-Newton-Blatter ist also nicht nur
deshalb von Interesse, weil man Newton-Trajektorien als Durchschnitte solcher Blatter
erhalten kann, sondern sie besitzen auch also solche eine durchaus praktische Relevanz.
Es stellen sich verschiedene Fragen, denen wir im folgenden nachgehen werden:
Unter welchen Bedingungen an F und V ist FV (F ) eine Mannigfaltigkeit?
9
Unter welchen Bedingungen ist FV (F ) zusammenhangend?
Gibt es Funktionen, deren k-Newton-Blatter alle zusammenhangend sind?
Zu welchen Funktionen F gibt es zusammenhangende k-Newton-Blatter?
Wie verhalten sich Newton-Blatter, wenn man F stort (lokal oder global)?
Wie sehen die Topologie und die Geometrie von Newton-Blattern aus?
2.1 Auerordentliche Singularitaten
Unser Ziel ist es nun zunachst, Newton-Blatter FV (F ) in der Form FA?1 (0), mit einer
gewissen, von F und V anhangenden Abbildung FA , darzustellen, denn diese Beschreibungsart ist fur die Methoden der Topologie am besten geeignet. FV (F ) wird dann eine
Mannigfaltigkeit sein, wenn 0 ein regularer Wert von FA ist und Verzweigungen sind durch
die kritischen Punkte von FA charakterisiert.
Denition 3
Sei B IRn und V ein k{kodimensionaler linearer Unterraum des IRn sowie F 2 M (B ).
Sei AV eine (n ? k) n{Matrix, deren Zeilen eine Basis von V bilden. Wir nennen eine
solche Matrix AV eine V zugeordnete Matrix. Wir betrachten nun die Abbildung FA :
IRn ! IRn?k mit x 7! AV F (x). Wegen ker AV = V ? ist FA?1 (0) = FV (F; IRn ). Auf
die genaue Wahl von A kommt es dabei oenbar nicht an, solange ker AV = V ? ist. In
U bereinstimmung mit Denition 2-8 haben wir FV (F; B ) = FA?1 (0) \ B .
FV (F; IRn) ist also eine abgeschlossene Mannigfaltigkeit, wenn fur alle x 2 FV (F; IRn)
die Matrix AV DF (x) vollen Rang dim V = n ? k hat. In diesem Fall heie FV (F; IRn ) ein
regulares Newton{Blatt. Die Regularitat hangt oenbar nicht von der speziellen Wahl der
Matrix AV ab, sondern nur von deren Kern.
Ein Punkt x 2 FV (F; B ) in dem rangAV DF (x) < dim V ist, heie eine auerordentliche Singularitat von FV (F; B ). Ist FV (F; B ) eine Newton{Trajektorie und x eine
auerordentliche Singularitat von FV (F; B ), dann nennen wir x auch einfach eine auerordentliche Singularitat von F ; denn x ist dann ja keine Nullstelle von F und damit liegt
V =< F (x) >? fest.
Die Menge der auerordentlichen Singularitaten von F in B bezeichnen wir mit
ExS(F; B ). Die Menge der auerordentlichen Singularitaten von FV (F; B ) werden wir
mit ExSV (F; B ) bezeichnen. Ist F Gradient einer Funktion f , dann ist mit einer auerordentlichen Singularitat von f eine solche von rf gemeint. Entsprechend schreiben wir
ExSV (f; B ) und ExS(f; B ).
3
Da der Rang einer dierenzierbaren Abbildung unterhalbstetig ist, sind die Mengen
ExS(F; B ) und ExSV (F; B ) abgeschlossen in B .
Die Bezeichnung \auerordentliche Singularitat von F " geht auf Branin (siehe [3])
zuruck, der die Singularitaten der desingularisierten Newtonschen Dierentialgleichung
(4-2), in denen F nicht verschwindet, \extraneous singularities" nennt.
In der Arbeit [8] wird folgender Charakterisierungssatz fur auerordentliche Singularitaten bewiesen:
10
Zitat 3 (siehe[8])
Sei F 2 C 1 (IRn; IRn ). Dann ist x 62 Null(F ) genau dann eine auerordentliche Singularitat
von F , wenn der Rang der um die Spalte F (x) erweiterten Matrix DF (x) kleiner als n ist.
3
A hnlich kann man die auerordentlichen Singularitaten von Newton-Blattern charakterisieren. Ein Punkt x 2 FV (F; B ) liegt namlich oenbar genau dann in ExSV (F; B ),
wenn gilt
dim(ImDF (x) \ V ? ) + dim ker DF (x) > kodimV:
Nach dem Dimensionssatz ist
dim(ImDF (x) \ V ?) + dim ker DF (x) = n + k ? dim(ImDF (x) + V ? ):
Also ist x 2 ExSV (F; B ) genau dann, wenn x 2 FV (F; B ) und
dim(ImDF (x) + V ?) < n
ist. Damit folgt
Lemma 2
Sei B IRn; F 2 M (B; IRn ) und V ein k{kodimensionaler linearer Teilraum des IRn
und v1 ; : : : ; vk eine Basis von V ?. Dann ist x 2 FV (F; B ) genau dann eine auerordentliche Singularitat von FV (F; B ), wenn der Rang der um die Spalten v1 ; : : : ; vk erweiterten
Matrix DF (x) kleiner als n ist:
rang[DF (x); v1 ; : : : ; vk ] < n:
A quivalent dazu ist
ker D>F (x) \ V 6= f0g:
3
Dabei haben wir D>F (x) fur (DF (x))> geschrieben. Das oben zitierte Ergebnis von
Gomulka ist in diesem Lemma oenbar enthalten. Die Aussage dieses Lemmas lat sich
auch leicht aus der im Anschlu an Denition 2-8 gegebenen Darstellung von NewtonBlattern erhalten.
Wenn wir V vergroern, bleiben die Bedingungen des Lemmas oenbar erfullt. Ist also
x 2 ExSV (F; B ), sowie W V und F (x) 2 W ?, dann liegt x auch in ExSW (F; B ).
Ist umgekehrt x 2 ExSV (F; B ) und W V , dann liegt F (x) automatisch in FW (F; B )
und es ist x 2 ExSW (F; B ) genau dann, wenn ker D>F (x) \ W 6= f0g ist.
Ist x 2 ExSV (F; B ) und V nicht schon in ker D>F (x) enthalten, dann gibt es immer ein
W V , also ein FV (f; B ) umfassendes Newton{Blatt FW (F; B ), so da x in FW (F; B )
liegt, aber keine auerordentliche Singularitat von FW (F; B ) ist. Aus V ker D>F (x)
folgt rangDF (x) kodimV .
Sei k := kodimV . Wenn k rang[DF (x); v1 ; : : : ; vk ] = n?l ist, dann kann man oenbar
die Basis v1 : : : ; vk um l weitere Vektoren vergroern und den Rang auf n erhohen. Aus
dem Dimensionssatz ergibt sich dabei l = dim(ker D>F (x) \ V ). (Sinnvoll ist das naturlich
nur, wenn k + l < n ist, das heit, wenn V nicht schon in ker D>F (x) enthalten ist.)
11
Wir fassen die Ergebnisse dieser U berlegungen in folgendem Satz zusammen:
Satz 4
Sei B IRn; F 2 M (B ) und x eine auerordentliche Singularitat eines Newton-Blattes
FV (F; B ). Dann gilt:
(i) Ist FW (F; B ) ein in FV (F; B ) enthaltenes Newton{Blatt, das x enthalt, dann ist x
auch eine auerordentliche Singularitat von FW (F; B ).
(ii) Ist kodimV < rangDF (x), dann gibt es ein FV (F; B ) umfassendes Newton{Blatt
FW (F; B ), fur das x keine auerordentliche Singularitat ist. Dabei kann man W so
wahlen, da kodimW = kodimV + dim(ker D>F (x) \ V ) ist.
3
Der Fall (ii) des obigen Satzes wirft die Frage auf, wie stark der Rang von DF (x)
abfallen kann. Im Falle, da F Gradient einer Funktion f ist, ist zur Beantwortung der
folgende Satz aus [13] nutzlich. Dabei heit eine Teilmenge des IRn stratiziert, wenn sie
eine disjunkte, lokal-endliche Vereinigung glatter Untermannigfaltigkeiten (der Strata) des
IRn ist. Die Dimension einer stratizierten Menge ist die Dimension des Stratums mit der
hochsten Dimension.
Zitat 4 (siehe[13])
Es gibt eine bezuglich der starken C 3 {Topologie oene und dichte Teilmenge H0 M(IRn )
von C 1(IRn ; IR), so da die Menge H0 (f ) IRn, auf der det Hf (x) verschwindet, eine
abgeschlossene, stratizierte Teilmenge des IRn von einer Dimension
n ? 1 ist, und der
p
3
Rang von Hf (x) fur alle x 2 IRn mindestens gleich (2n + 1 ? 1 + 8n)=2 ist.
Der U bersicht halber, stellen wir dieses Ergebnis in einer kleinen Tabelle zusammen:
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
min rangHf 1 1 2 3 3 4 5 6 6 7 8 9 10 10
max dim ker Hf 1 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5
Fur alle n 4 gibt es also zu jeder auerordentlichen Singularitat x von f 2 H0
ein nichttriviales k{Blatt, fur das x keine auerordentliche Singularitat ist. Beispielsweise
bleibt fur n = 14 die durch eine auerordentliche Singularitat von f 2 H0 verlaufende Newton-Trajektorie auf eine funfdimensionale Mannigfaltigkeit, ein funfdimensionales,
regulares Newton-Blatt beschrankt.
Die Struktur der Menge ExS(f; IRn ) wurde fur f 2 M(IRn ) von Jongen, Jonker und
Twilt ([15, 17]) ausfuhrlich untersucht. Ohne weitere Annahmen u ber f kommt man dabei
nicht aus, denn fur \pathologische" Funktionen f kann diese Menge sehr wild aussehen.
Eine Teilmenge von C 1(IRn ; R) heit generisch, wenn sie den Durchschnitt einer
abzahlbaren Anzahl von C 1-oenen und -dichten Teilmengen von C 1(IRn ; IR) enthalt.
Jongen, Jonker und Twilt erhielten folgendes Resultat:
Zitat 5 (siehe[15, 17])
Es gibt eine generische Teilmenge E von C 1 (IRn; IR), so da gilt:
12
Wenn f 2 E ist, dann ist ExS(f; IRn) eine abgeschlossene stratizierte Menge im
IRn, deren Dimension n ? 2 ist.
Wenn n = 2; 3 oder 4 ist, dann ist ExS(f; IRn) eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension n ? 2 im IRn (oder leer). Auerdem ist E dann C 3 -oen in
C 1(IRn; IR).
3
Die Menge E in obigem Satz lat sich durch gewisse Jet-Transversalitatsbedingungen
genau charakterisieren. Fur F : IRn ! IRn lassen sich ahnliche Ergebnisse erhalten (vgl.
[15]).
Fur f 2 E und n = 2 sind die auerordentlichen Singularitaten also isolierte Punkte
im IR2 . In [17] wird auch das lokale Phasenportrait der Trajektorien der desingularisierten
Newtonschen Dierentialgleichung in auerordentlichen Singularitaten fur die Dimensionen n = 2 und 3 analysiert. Die Ergebnisse lassen sich folgendermaen zusammenfassen:
Zitat 6 (siehe[17])
Fur alle Funktionen f aus einer generischen Teilmenge von C 1(IR2 ; IR) ist ExS(f; IR2 )
diskret und das lokale Phasenportrait der Dierentialgleichung (5-2) um eine auerordentliche Singularitat x vom Sattelpunkt-Typ (x ist ein dikritischer Knoten), oder vom
Zentrum-Typ.
Fur alle Funktionen aus einer generischen Teilmenge von C 1(IR3 ; IR) gilt: ExS(f; IR3 )
ist leer, oder eine abgeschlossene, eindimensionale Mannigfaltigkeit. Zu jedem Punkt x 2
ExS(f; IR3 ) kann man lokal eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit Mx durch x wahlen,
so da die lokale Trajektorie von (5-2) durch einen Punkt von Mx in Mx bleibt. Es gibt
eine diskrete Teilmenge ExSd (f; IR3 ) von ExS(f; IR3 ), so da Mx die Kurve ExS(f; IR3 )
dann und nur dann nicht transversal schneidet, wenn x in ExSd (f; IR3 ) liegt. Auf jeder
Zusammenhangskomponente von ExS(f; IR3 ) n ExSd (f; IR3 ) ist das lokale Phasenportrait
entweder vom Sattelpunkt-Typ, oder vom Zentrum-Typ. In den Punkten von ExSd (f; IR3 )
dagegen ist das lokale Phasenportrait vom Cusp-Typ.
3
Fur n = 4 lat sich ein ahnliches Ergebnis erzielen. Fur n > 4 dagegen werden die
Verhaltnisse anscheinend komplizierter.
Bemerkung 3
Nach obigen U berlegungen (vgl. Satz 4-12 und Zitat 4-12) konnen wir ein allgemeines
Ergebnis dieser Art folgendermaen formulieren:
Fur alle Funktionen f aus der in Zitat 4-12 denierten oenen und dichten Teilmenge
n
H0 M(IRn ) gibt
p es durch jeden Punkt x 2 ExS(f; IR ) eine Mannigfaltigkeit Mx der
Dimension [(1 + 1 + 8n)=2], so da die Trajektorien von (5-2) durch einen Punkt von
Mx in Mx bleiben.
3
Es folgt nun noch eine weitere nutzliche Charakterisierung der auerordentlichen Singularitaten von F 2 M (IRn ). Dazu sei F : IRn n Null(f ) ! S n?1 die von Smale in [22]
eingefuhrte Trajektorienabbildung, die durch x 7! F (x)=kF (x)k deniert ist. F ist auf den
Trajektorien von (2-1) oenbar konstant. Es gilt:
13
Zitat 7 (siehe[22, 12])
Sei x 62 Null(F ). Dann ist x genau dann eine auerordentliche Singularitat von F , wenn x
3
ein kritischer Punkt von F ist.
Fur unsere Zwecke ist die Denition F : IRn n Null(F ) ! G(n ? 1; n), mit x 7! hF (x)i
angemessener, denn das so denierte F ist dann oenbar auf allen Newton{Trajektorien
konstant. Das vorstehende Lemma gilt dann ebenso. Wenn F Gradient einer Funktion f
ist, schreiben wir statt rf auch einfach f .
2.2 Einige Eigenschaften von Newton{Blattern
In diesem Abschnitt stellen wir einige geometrische und topologische Eigenschaften von
Newton-Blattern zusammen.
Wenn x 62 ExSV (F ), dann ist FV (F ) lokal um x eine Mannigfaltigkeit und der Tangentialraum im Punkt x ist Tx FV (F ) = ker AV DF (x). Zwei Mannigfaltigkeiten M1 und
M2 im IRn schneiden sich transversal in x, wenn x 62 M1 \ M2 , oder wenn die Tangentialraume Tx M1 ; Tx M2 an M1 ; M2 in x zusammen den ganzen IRn aufspannen, wenn also
TxM1 + Tx M2 = IRn ist. Wenn das fur jeden Punkt x 2 IRn gilt, heien M1 und M2
transversal.
Notwendig dafur ist oenbar dim M1 +dim M2 n. Zwei Newton{Trajektorien konnen
sich also fur n > 2 nicht transversal schneiden. Andererseits zeigt der nachste Satz, da
die Tangentialraume Tx FW (F ) und Tx FV (F ) nicht ineinander liegen, wenn x keine auerordentliche Singularitat ist und die Newton{Blatter nicht schon selber ineinander liegen.
Wir sagen, zwei Mengen A; B liegen schief zueinander, wenn weder A B noch B A
gilt.
Satz 5
Seien FV (F ) und FW (F ) zwei Newton{Blatter, die zueinander schief liegen. Dann liegen
auch die Tangentialraume an FV (F ) und FW (F ) in jedem Punkt der nicht zu ExSV +W (F )
3
gehort, schief zueinander.
Beweis: Nach Voraussetzung gilt weder FV (F ) FW (F ), noch FW (F ) FV (F ). Zu
zeigen ist, da in jedem Punkt x 62 ExSV +W (F ) gilt:
ker AW DF (x) 6 ker AV DF (x); und ker AV DF (x) 6 ker AW DF (x):
Nehmen wir o.E. an, es gelte ker AW DF (x) ker AV DF (x). Da x 62 ExSV +W (F ) ist,
haben die Matrizen
!
AW DF (x) und
AV DF (x)
AW
AV
!
den gleichen Rang und sind daher aquivalent. Also gibt es nichtsingulare, quadratische
Matrizen S und T , so da gilt:
!
!
A
DF
(
x
)
T
A
W
W
S A DF (x)T = A :
V
V
14
Sei etwa AW z = 0, dann ist auch AW DF (x)Tz = 0. Aus ker AW DF (x) ker AV DF (x)
folgt AV DF (x)Tz = 0, also auch AV z = 0. Folglich ist der Kern von AW im Kern von
AV enthalten und daher FW (F ) FV (F ).
2
Insbesondere schneiden sich Newton-Blatter in nichtentarteten Nullstellen (kritischen
Punkten) stets schief.
Satz 6
Sei B IRn und F 2 M (B ). Sei x eine (nichtentartete) Nullstelle von F . Dann gibt es
eine Umgebung U von x, so da fur k = 0; 1; : : : ; n jede Komponente eines k{Blattes, die
U schneidet, auch x enthalt.
3
Beweis: Dies folgt schon aus der Tatsache, da nichtentartete Nullstellen anziehende
oder abstoende Knoten der Dierentialgleichung (4-2) sind. Es soll aber noch ein anderer
Beweis gegeben werden, der direkt auf unserer Denition von Newton-Blattern beruht.
Fur k = 0 und k = n ist die Behauptung trivial. Sei also 1 k n ? 1. Da x
nichtentartet ist, gibt es eine Umgebung U von x, in der DF (x) regular ist. Ist AV eine V
zugeordnete Matrix, dann hat also AV DF (x) fur alle x 2 U den Rang n ? k. Nach dem
Satz uber implizite Funktionen hat daher die Gleichung AV F (x) = 0 in U eine eindeutige
Auosung.
2
Wenn eine Komponente eines k{Blattes also \genugend nahe" an eine nichtentartete
Nullstelle herankommt, dann geht sie auch durch diese Nullstelle. Vom nachsten Satz
werden wir im folgenden mehrfach den Fall l = 1 benotigen.
Satz 7
Sei B IRn , und F 2 M (B ). Sei FV (F; B ) ein k{Blatt und FW (F; B ) ein l{Blatt. Wenn
FV (F; B ) \ FW (F; B ) einen Punkt aus B n Null(F; B ) enthalt, dann ist
n ? k ? l + 1 dim(V \ W ) min(n ? k; n ? l):
Ist insbesondere FW (F; B ) eine Newton{Trajektorie, dann ist FW (F; B ) FV (F; B ). Eine
Newton{Trajektorie, die mit einem k{Newton{Blatt einen Punkt x mit F (x) =
6 0 gemein
3
hat, liegt also ganz in diesem k{Blatt.
Beweis: Wenn FV (F ) \ FW (F ) einen von den Nullstellen von F verschiedenen Punkt x
enthalt, dann kann FV (F ) \FW (F ) nicht das 0{Blatt sein, also ist V + W =
6 IRn. Folglich
ist n ? 1 dim(V + W ). Daraus und aus dem Dimensionssatz ergibt sich n ? k ? l + 1 dim(V \ W ).
Andererseits ist, trivialerweise, dim(V \ W ) dim V n ? k. Damit folgt n ? k ? l +1 dim(V \ W ) n ? k.
Ist FW (F ) ein 1{Blatt, also l = 1, so folgt dim(V \ W ) = dim V , also V W .
2
Wir nennen eine zusammenhangende Menge frei bezuglich f (bzw. F ), wenn sie keinen
kritischen Punkt von f (bzw. keine Nullstelle von F ) enthalt. Andernfalls heie die Menge
gebunden. Als erste Anwendung von Satz 7-15 beweisen wir:
15
Satz 8
Sei F 2 M (IRn ) und k > 0. Dann besitzt jede kompakte, freie Komponente eines k{
Newton{Blattes zu F im IRn, die keine auerordentlichen Singularitaten von F enthalt,
ein stetiges, nirgends verschwindendes tangentiales Vektorfeld.
3
Beweis: Sei F eine solche Komponente eines Newton{Blattes. Dann geht durch jeden
Punkt x auf F genau eine Newton{Trajektorie TF (x) (F ) und die Komponenten, die F
schneiden, liegen nach Satz 7-15 ganz in F . Ein stetiges, tangentiales Einheitsvektorfeld
auf F erhalt man durch die normierten Tangentialvektoren an die Kurven TF (x) (F ) \ F .
2
Insbesondere ist eine freie Komponente eines Newton{Blattes, auf der keine auerordentlichen Singularitaten von F liegen, niemals homoomorph zu einer Sphare S 2l .
Sei F : U ! IRn ein glattes Vektorfeld auf einer oenen Teilmenge U des IRn und
x 2 U eine isolierte Nullstelle von F . Dann bildet die Trajektorienabbildung F (x) =
F (x)=kF (x)k eine kleine Sphare um x in die Einheitssphare S n?1 IRn ab. Den Abbildungsgrad dieser Abbildung nennt man den Index von F in derNullstelle x . Wir schreiben
dafur Index x . Bekanntlich ist der Index einer nichtdegenerierten Nullstelle eines Vektorfeldes gleich dem Vorzeichen der Funktionaldeterminante in diesem Punkt, also
Index x = sign det DF (x ):
Fur die Klassizierung der kritischen Punkte einer Funktion f : U ! IR ist es sinnvoll, eine
feinere Unterscheidung vorzunehmen, als sie durch den Index des Gradienten-Vektorfeldes
in einem kritischen Punkt gegeben ware. Man deniert daher den quadratischen Index
(Morse-Index) eines nichtdegenerierten kritischen Punktes x als die Anzahl der negativen Eigenwerte der Hesse-Matrix Hf (x ) := D2 f (x ). Fur den quadratischen Index eines
nichtdegenerierten kritischen Punktes schreiben wir Indexq x . Damit folgt:
Satz 9
Sei B IRn und F 2 M (B ). Sei F eine Zusammenhangskomponente einer regularen
Newton{Trajektorie von F in B und seien u; v 2 F zwei nichtdegenerierte Nullstellen von
F , die in F durch keine weitere Nullstelle von F getrennt sind. Dann gilt fur die Indizes
der Nullstellen u und v:
Index u 6= Index v:
Sei f 2 M(B ). Sei F eine Zusammenhangskomponente einer regularen Newton{
Trajektorie von f in B und seien u; v 2 F zwei kritische Punkte von f , die in F durch
keinen weiteren kritischen Punkt getrennt sind. Dann gilt fur die quadratischen Indizes
der kritischen Punkte u und v:
Indexq u 6 Indexq v (mod 2):
3
Beweis: Nach Voraussetzung gibt es eine Trajektorie der Dierentialgleichung (4-2), die
u mit v verbindet. Einer der beiden Punkte u; v mu daher ein anziehender, der andere
16
ein abstoender Fixpunkt von (4-2) sein. Es folgt det DF (u) det DF (v) < 0. Daraus
folgt die erste Behauptung. Die zweite ergibt sich, indem man diese Schluweise auf das
Gradienten-Vektorfeld von f anwendet und die Dierentialgleichung (5-2) betrachtet. 2
Sei A eine Teilmenge eines topologischen Raumes und x 2 A. Dann bezeichnen wir
mit Cx A die Zusammenhangskomponente von A, die x enthalt.
Satz 10
Sei B IRn und F 2 M (B ). Dann enhalt fur k = 1; : : : ; n ? 1 jede kompakte, zum Rand
von B disjunkte Komponente eines k{Blattes eine gerade Anzahl Nullstellen von F .
3
Beweis: Im Fall k = 1 folgt die Behauptung sofort aus Satz 9-16, wenn die fragliche
Komponente regular ist. Andernfalls sei z eine Nullstelle auf der singularen, kompakten Komponente Cz FV (F ) der Newton{Trajektorie FV (x). Sei U eine Umgebung von
Cz FV (F ), die auer den in Cz FV (F ) enthaltenen Nullstellen keine weiteren enthalt.
Nach dem Morse-Sard{Lemma hat f (ExS (F )) das Ma Null in S n?1 . Also gibt es ein
0
V 2 G(1; n), so da FV 0 (F ) regular ist und jede Komponente, die Cz FV (F ) schneidet,
ganz in U enthalten ist. Diese Komponenten von FV 0 (F ) sind kompakt und regular, enthalten also eine gerade Anzahl Nullstellen von F . Andererseits liegen auf Cz FV (F ) genau
die Nullstellen, die auch auf den in U enthaltenen Komponenten von FV 0 (F ) liegen. Deren
Anzahl ist somit gerade.
Sei nun k > 1 und Cx FV (F ) eine kompakte k{Blatt-Komponente. Sei W ein linearer
Unterraum des IRn mit dim(W + V ) = n ? 1. Dann ist Cx FV \ FW eine Menge von
kompakten Komponenten einer Newton{Trajektorie, und alle Nullstellen, die im CxFV (F )
liegen, liegen auch in Cx FV \ FW . Jede Komponente dieser Menge enthalt aber, wie wir
eben gesehen haben, eine gerade Anzahl Nullstellen von F . Also enthalt auch CxFV (F )
eine gerade Anzahl Nullstellen.
2
Das Argument im Beweis des letzten Satzes zeigt, da fur alle V aus einer dichten
Menge V G(1; n) die Newton-Trajektorien FV (F; IRn ) eindimensionale Mannigfaltigkeiten sind, sofern F wenigstens eine Nullstelle in B besitzt. Ansonsten kann FV (F; IRn ) auch
leer sein.
Satz 11
Der Rand der beschrankten, oenen Menge U IRn sei in einer kompakten, freien Komponente K eines (n ? 1)-Blattes FV (F; IRn ) enthalten. Dann gilt:
(i) Jede Komponente von U enthalt eine gerade Anzahl Nullstellen von F .
(ii) Jede Komponente Ki von U , die eine Nullstelle von F enthalt, enthalt auch eine
auerordentliche Singularitat von F .
(iii) Wenn U weder Nullstellen noch auerordentliche Singularitaten enhalt, dann gibt es
eine stetige, xpunktfreie Abbildung von U in U (bzw von U in U ).
3
17
Beweis: (i) Sei x eine Nullstelle in U und g 2 S n?1, g 62 V ?. Dann kann CxTg (F ) wegen
Satz 7-15 den Rand von U nicht schneiden, ist also kompakt. Satz 10-17 liefert nun die
Behauptung.
(ii) Angenommen Ki enhalte eine Nullstelle, aber keine auerordentliche Singularitat
von F . Sei M0 die Menge der Punkte in Ki , durch die eine Komponente einer NewtonTrajektorie geht, die eine Nullstelle von F in Ki enhalt, und M1 die Menge der Punkte
in Ki , durch die eine freie Komponente einer Newton-Trajektorie zu F geht. M0 ist als
Vereinigung von Einzugsbereichen der Dierentialgleichung (4-2) oen. Es ist leicht zu
sehen, da auch M1 oen ist (vgl. Lemma 6-28). M0 ist nichtleer, weil Ki eine Nullstelle
enthalt. Da K frei ist, folgt aus Korollar 15-24, da auch M1 nicht leer ist. Also ist Ki die
Vereinigung zweier oener, nichtleerer Mengen, was nicht geht.
(iii) Die desingularisierte Newtonsche Dierentialgleichung (4-2) besitzt dann in U
keine stationaren Punkte und Trajektorien, die in U (bzw. K ) starten, bleiben in U (bzw.
K ). Da N (F ) auf einer Umgebung von U nicht verschwindet, gibt es zu jedem x 2 U
eine Umgebung V und eine lokale C 1 Koordinatentransformation, so da x bezuglich der
neuen Koordinaten y = (y1 ; : : : ; yn )> gleich 0 ist und das Dierentialgleichungssystem
(4-2) lokal durch dx=dt = (1; 0; : : : ; 0)> gegeben ist. Es gibt folglich zu jedem x 2 U eine
oene Umgebung Wx und ein tx > 0, so da fur alle x 2 Wx und t mit 0 < t < tx gilt:
tx (x) 6= x. Da U kompakt ist, lat sich U durch endlich viele Wx uberdecken und daher
gibt es ein t > 0, so da fur alle x 2 U gilt: t (x) 6= x. Dabei sei der durch (4-2)
denierte Flu. Die Abbildung t : U ! U (bzw. U ! U ) ist stetig und xpunktfrei. 2
Da folgende Ergebnis ndet sich fur den Fall f 2 M(IR2 ) auch in [13, 15]. Es wird
dort mit Hilfe des Indexsatzes von Poincare-Hopf bewiesen.
Korollar 12
Sei F 2 M (IR2 ) und F besitze keine auerordentlichen Singularitaten. Dann besitzt keine
Newton-Trajektorie zu F Komponenten, die frei und kompakt sind. Das heit, auf jeder
kompakten Komponente einer Newton-Trajektorie liegen mindestens zwei Nullstellen von
F.
3
Beweis: Sei K eine kompakte Komponente einer freien Newton-Trajektorie zu F . Dann
ist K dieomorph zu einem Kreis S 1 . Sei Ki die beschrankte Komponente von IR2 n K
vereinigt mit K . Wegen Satz 11-17 (ii) enhalt Ki keine Nullstelle von F . Andererseits ist
Ki homoomorph zur Kreisscheibe D2 und daher mu nach dem Fixpunktsatz von Brouwer
jede stetige Abbildung Ki ! Ki einen Fixpunkt besitzen. Anwendung von Satz 11-17 (iii)
liefert einen Widerspruch.
2
Es ist eine oene Frage, ob sich dieser Satz auf n Dimensionen und k-Newton-Blatter
verallgemeinern lat. Kann es, zum Beispiel, unter der Voraussetzung ExS(F; IR3 ) = ; ein
freies 2-Blatt im IR3 geben, das homoomorph zu einem Torus ist? Gilt das, falls uberhaupt,
auch, wenn F ein Gradient ist? Ein freies 2-Blatt in der Form eines Torus hinzubekommen
ist kein Problem: Sei T : IR3 ! IR so gewahlt, da T ?1 (0) ein Torus ist und R : IR3 ! IR
besitze auf T ?1 (0) keine Nullstelle. Weiter sei S : IR3 ! IR beliebig. Sei F (x) : IR3 ! IR3
durch F (x) := (T (x); R(x); S (x))> deniert. Sei V das orthogonale Komplement des von
dem Vektor (1; 0; 0)> aufgespannten Raumes. Dann ist das 2-Blatt FV (F ) gleich T ?1 (0)
18
und dieses Blatt ist frei. Das Problem liegt also in der Vermeidung von auerordentlichen
Singularitaten.
Die Aussagen der folgenden Bemerkung sollen unsere Vorstellung von Newton{Blattern
abrunden. Die Beweise sind trivial. (i) gibt die Bedingungen an, unter denen sich ein kNewton-Blatt als Durchschnitt anderer Newton-Blatter darstellen lat. (ii) sagt aus, da
jedes k-Newton-Blatt sich fur ein l < k gerade als die Vereinigung aller darin enthaltenen l-Blatter schreiben lat. Fur die Zusammenhangskomponenten der k-Blatter gilt die
entsprechende Inklusion nach (iii) (naturlich) nur in einer Richtung.
Bemerkung 4
Sei B IRn ; F 2 M (B ) und FV (F; B ) ein k-Newton-Blatt.
(i) Genau dann gibt es ein l{Blatt FU (F; B ) und ein m{Blatt FW (F; B ), so da sich
FV (F; B ) als Durchschnitt FV (F; B ) = FU (F; B ) \ FW (F; B ) von FU (F; B ) und
FW (F; B ) darstellen lat, wenn die Ungleichungen l; m k und l + m ? k n
gelten.
(ii) Fur alle l mit 1 l k gilt:
FV (F; B ) =
[
W V
W 2G(l;n)
FW (F; B ):
(iii) Sei x eine Nullstelle von F in B . Dann gilt fur alle l mit 0 l k:
[
Cx FV (F; B ) Cx FW (F; B ):
W V
W 2G(l;n)
(iv) Wenn Cx FV (F; B ) eine freie k{Blatt{Komponente ist und 1 l k, dann gibt es
eine freie l{Blatt{Komponente Cx FW (F; B ) CxFV (F; B ).
(v) Wenn l + k n ist, dann gibt es zu jedem k-Blatt FV (F; B ) und jedem y 62 FV (F; B )
ein l{Blatt FW (F; B ), so da FV (F; B ) \ FW (F; B ) = Null(F; B ) ist und y in
FW (F; B ) liegt.
3
Beweis: (i) Zu zeigen ist, da es zu jedem V 2 G(k; n) Unterraume U 2 G(l; n) und
W 2 G(m; n) gibt, mit V = U +W . Das ist aber klar, wenn gilt dim V dim U; dim W ,also
l; m k, und dim U + dim W dim V , wenn also n l + m ? k ist. Die andere Beweis-
richtung ist ebenso trivial.
(ii) Die \"{Richtung ist klar. Um die andere Richtung zu zeigen, nehmen wir x 2
FV (F ) an, also F (x) 2 V ?. Dann gibt es ein f0g 6= W ? 2 G(l; n) mit F (x) 2 W ? und
W ? V ?, also x 2 FW (F ).
(iii) Seien Ai Teilmengen des IRn. Dann gilt allgemein
[
[
Cx Ai Cx Ai :
19
Daraus und aus (ii) folgt die Behauptung.
Die Beweise zu (iv) und (v) sind trivial.
20
2
3 Die Graphen ?k (
F; B
)
Vom praktischen Gesichtspunkt aus ist naturlich die Frage wichtig, ob es zu gegebenem F
eine zusammenhangende Newton-Trajektorie gibt, denn eine solche wurde alle Nullstellen
von F gewissermaen \auadeln". Ebenso konnte man sich bei der Suche nach den Nullstellen auf eine zusammenhangende, k{dimensionale Untermannigfaltigkeit beschranken,
wenn man ein zusammenhangendes k-Blatt gefunden hatte. Leider wird es in praktischen
Fallen nur selten gelingen, a priori eine zusammenhangende Newton-Trajektorie zu denieren. Wir beschranken uns daher zunachst auf die Frage, ob man wenigstens alle Nullstellen von F durch ein Netz von Newton-Trajektorien, oder allgemeiner, k{Newton-Blattern,
miteinander verbinden kann.
Denition 4
Sei B IRn und F 2 C (B; IRn). Dann denieren wir fur k = 0; 1; : : : ; n Graphen ?k (F; B ).
Die Ecken von ?k (F; B ) seien die Nullstellen von F in B . Zwei Ecken u; v in ?k (F; B )
seien genau dann durch eine Kante miteinander verbunden, wenn u 6= v ist und es ein
k{Newton{Blatt K zu F gibt, so da u und v in einer Zusammenhangskomponente von
K liegen. Statt ?k (F; B ) schreiben wir auch ?k (F ), wenn klar ist, welches B gemeint ist.
3
Der Graph ?0 (F; B ) ist der total unzusammenhangende Graph mit jNull(F; B )j Ecken
und keinen Kanten. ?n (F; B ) ist dagegen der vollstandige Graph KN , bei dem jede Ecke
mit jeder anderen durch eine Kante verbunden ist.
Satz 13
Sei 0 l k n. Dann ist der Graph ?l (F; B ) ein aufspannender Untergraph von
?k (F; B ).
3
Beweis: Beide Graphen haben die gleiche Eckenmenge Null(F ). Zu zeigen ist, da zwei
Nullstellen u; v, die auf einer l-Blatt-Komponente Cu FW (F ) liegen, auch auf einer k{
Blatt-Komponente liegen. Sei V irgendein k{kodimensionaler linearer Teilraum des IRn,
der in W enthalten ist. Dann liegt Cu FW (F; B ) in einer Zusammenhangskomponente von
FV (F; B ) und daher liegen auch u und v in dieser Zusammenhangskomponente. Also sind
u und v in ?k (F; B ) verbunden.
2
In [13] denieren die Autoren einen Graphen ?(f ) fur Morsefunktionen f im IRn. Die
Ecken dieses Graphen sind die kritischen Punkte von f und zwei Ecken u; v werden durch
eine Kante verbunden, wenn es eine Trajektorie der desingularisierten Newtonschen Differentialgleichung (5-2) gibt, die u und v verbindet. Der Graph ?(f ) hangt oenbar mit
unserem Graphen ?1 (rf; IRn) zusammen. Beide Graphen besitzen die gleiche Eckenmenge
Krit(f ) und zwei Ecken, die in ?(f ) verbunden sind, sind auch in ?1 (rf; IRn) verbunden.
Also ist ?(f ) ein aufspannender Untergraph von ?1 (rf; IRn). Auerdem besitzt ?(f ) offenbar genauso viele Zusammenhangskomponenten wie ?1 (rf; IRn).
In der Arbeit [13] werden die beiden folgenden Satze zur Struktur von ?(f ) bewiesen.
Zitat 8 (siehe[13])
Sei f 2 C 1(IR2 ; IR) eine Morsefunktion und es sei ExS(f; IR2 ) = ;. Dann ist jede Komponente von ?(f ) ein Baum. (?(f ) ist ein \Wald".)
3
21
Zitat 9 (siehe[13])
Sei f 2 C 1(IRn ; IR) eine Morsefunktion und es sei ExS(f; IRn) = ;. Wenn keine unbeschrankte Komponente einer Newton{Trajektorie zu f frei ist, dann ist ?(f ) zusammenhangend und wenn f wenigstens einen kritischen Punkt besitzt, dann besitzt keine
Newton{Trajektoriezu f eine freie Komponente.
3
Der erste Satz gilt nur im IR2 . Er folgt auch sofort aus dem (weiter unten stehenden)
Lemma 8-35. Die wesentlichste Beschrankung dieser beiden Satze ist die Forderung, da
es keine auerordentlichen Singularitaten gebe. Diese Forderung ist in der Praxis selten
erfullt, wenn f uberhaupt mehr als einen kritischen Punkt hat.
Sei sei A B IRn und F 2 M (B ). Dann ist fur 0 k n oenbar ?k (F; A)
ein Teilgraph von ?k (F; B ), es ist dann oenbar Null(F; A) Null(F; B ) und wenn zwei
Nullstellen durch ein k-Blatt in A verbunden werden, dann auch durch das gleiche kBlatt in B . Wenn Null(F; A) = Null(F; B ) ist, dann ist ?k (F; A) sogar ein aufspannender
Teilgraph von ?k (F; B ). In diesem Falle folgt aus dem Zusammenhang von ?k (F; A) auch
der Zusammenhang von ?k (F; B ).
Zunachst ein Lemma, das grundlegend fur die folgenden U berlegungen zur Struktur
der Graphen ?k (F; B ) ist und auch Anwendungen in der parametrischen Optimierung hat.
Ein punktierter topologischer Raum (T; 0) sei im folgenden ein topologischer Raum T mit
einem ausgezeichneten Punkt 0 2 T .
Lemma 3
Sei A ein metrischer Raum, B IRn abgeschlossen, und (T; 0) ein punktierter topologischer Raum. Sei : A ! B stetig, F^ : A B ! T stetig und F^ (x; (x)) = 0 fur alle
x 2 A. Sei F^ : A ! P (B ) deniert durch
^
F^ (x) := C(x) fy 2 B jF (x; y) = 0g:
Sei x 2 A und (x ) kompakt, xi ! x eine in A konvergente Folge. Dann gilt:
lim sup d(z; F^ (x )) = 0:
i!1 z2 F^ (xi )
3
Beweis:
(i) F^ (x ) ist nicht leer, da (x ) 2 F^ (x ) ist.
(ii) Da B abgeschlossen und (x ) kompakt ist, gibt es eine kompakte Umgebung K
von F^ (x ) im Rn, mit
fy jF^ (x; y) = 0g \ K =
F^ (x ):
(iii) Fur hinreichend groe i ist F^ (xi ) \ K nicht leer, denn da xi gegen x konvergiert
und stetig ist, konvergiert (xi ) gegen (x ) 2 F^ (x ) und da K Umgebung von
F^ (x ) ist, liegt folglich (xi ) fur hinreichend groe i in K .
22
(iv) Sei yi 2 F^ (xi ) \ K eine Folge in K \ B mit
d(yi; F^ (x )) = sup
z2 F^ (xi )\K
d(z;
F^ (x )):
Eine solche Folge gibt es, denn F^ (xi ) \ K ist kompakt.
(v) Da B abgeschlossen ist, ist K \ B kompakt, also ist fyi g ist eine Folge in der kompakten Menge K \ B , besitzt also eine gegen ein y 2 K \ B konvergente Teilfolge.
O.E. konvergiere yi gegen y .
(vi) Nach Konstruktion ist fur alle i:
F^ (xi ; yi) = F^ (xi ; (xi )) = 0 2 T:
Da F^ und stetig sind, folgt
F^ (x ; y ) = F^ (x ; (x )) = 0;
also
y 2 fy jF^ (x; y ) = 0g \ K =
F^ (x ):
2
Wenn F^ (x ) nicht kompakt ist, dann lat sich die obige Folgerung
lim sup d(z; F^ (x )) = 0
i!1
z2 F^ (xi )
im allgemeinen nicht ziehen. Das nachste Lemma behandelt diesen Fall. Der Beweis stutzt
sich auf Lemma 3-22.
Lemma 4
Sei A ein metrischer Raum, B IRn abgeschlossen, und (T; 0) ein punktierter topologischer Raum. Sei : A ! B stetig, F^ : A B ! T stetig und F^ (x; (x)) = 0 fur alle
x 2 A. Deniere F^ : A ! P (B ) durch
^
F^ (x) := C(x) fy 2 B jF (x; y) = 0g:
Sei xi ! x eine in A konvergente Folge und es gebe eine in B konvergente Folge yi ! y
mit yi 2 F^ (xi ) sowie ein > 0, so da fur alle i:
d(yi ; F^ (x )) ist. Dann besitzt fy jF^ (x ; y) = 0g mindestens zwei unbeschrankte Zusammenhangskomponenten in B .
3
Beweis: Da F^ und stetig sind, konvergiert F^ (xi; (xi )) = F^ (xi ; yi) gegen F^ (x ; (x )).
Folglich liegt y in fy 2 B jF^ (x ; y) = 0g. Also hat, wegen d(y ; F^ (x )) > 0, die
Menge fy 2 B jF^ (x ; y) = 0g zwei Zusammenhangskomponenten K1 ; K2 B mit x 2 K1
und y 2 K2 .
23
Wenn K1 beschrankt ware, dann ware K1 auch kompakt. Damit waren die Voraussetzungen von Lemma 3-22 erfullt und es ergabe sich ein Widerspruch gegen d(y ; F^ (x )) > 0. Die Annahme K2 ware beschrankt, fuhrt, indem man die Rollen der Folgen xi und
yi vertauscht, ebenso zum Widerspruch
2
Im folgenden Korollar fassen wir die Ergebnisse der beiden vorstehenden Lemmata
zusammen und schranken A gleich auf eine Teilmenge B 0 von B ein, da wir im folgenden
nur diesen Fall benotigen.
Korollar 14
Sei B IRn abgeschlossen, B 0 B , und (T; 0) ein punktierter topologischer Raum. Sei
F^ : B 0 B ! T stetig und fur alle x 2 B 0 gelte F^ (x; x) = 0.
Deniere F^ : B 0 ! P (B ) durch
^
F^ (x) := Cx fy 2 B jF (x; y) = 0g:
Seien xi ! x eine in B 0 und yi ! y eine in B konvergente Folge mit yi 2 F^ (xi ). Dann
gilt
lim d(yi ; F^ (x )) = 0;
oder die Menge fy jF^ (x ; y) = 0g besitzt zwei unbeschrankte Zusammenhangskomponenten.
3
i!1
Beweis: Setze A := B 0 und sei die kanonische Injektion. Dann ergibt sich die Behaup-
tung sofort aus Lemma 3-22 und Lemma 4-23.
2
Zur Vereinfachung der Schreibweise fuhren wir folgende Abkurzung ein:
Denition 5
Sei B IRn und F 2 M (B ). Dann sagen wir, die Bedingung Ck (B ) ist erfullt, wenn kein
k{Blatt zu F in B mehr als hochstens eine unbeschrankte Komponente besitzt.
Wir sagen, die Bedingung Ck ist erfullt, wenn kein k{Blatt zu F in B mehr als hochstens
eine Komponente besitzt, deren Abschlu in B den Rand @B von B schneidet. Formal
fassen wir den \Punkt 1" als Rand von IRn auf. Die Bedingungen Ck (IRn ) und Ck (IRn )
besagen also dasselbe.
3
Insbesondere ist die Bedingung Ck also erfullt, wenn B kompakt ist. Fur die Bedingung Ck braucht das nicht zu gelten. Im allgemeinen ist Ck (B ) eine wesentlich starkere
Forderung als Ck (B ). C1 (IRn ) ist fur F = rf insbesondere dann erfullt, wenn die Niveaumengen
N(f ) := fx 2 IRn : f (x) g
fur alle hinreichend groen konvex und kompakt sind.
Im nachsten Korollar formulieren wir den Spezialfall von Korollar 14-24, den wir fur
unsere Anwedungen benotigen:
Korollar 15
Sei B abgeschlossen, F 2 M (B ) und die Bedingung Ck (B ) sei erfullt. Sei xi ! x eine
24
konvergente Folge in B , Vi ! V eine konvergente Folge in G(k; n) und Z Null(F; B ).
Fur alle i gebe es ein zi 2 Z , so da gilt:
xi 2 Czi FVi (F; B ):
Dann gibt es einen Nullstelle z 2 Z mit:
x 2 Cz FV (F; B ):
3
Beweis: Da Z endlich ist, konnen wir o.E. annehmen (sonst U bergang zu Teilfolgen),
da es eine Nullstelle z 2 Z gibt, so da fur alle i gilt:
xi 2 Cz FVi (F; B ):
Wir setzen nun B 0 := fx ; x1 ; x2 ; : : :g B . Dann ist die Abbildung a : B 0 ! G(k; n) mit
a(xi ) = Vi; a(x ) = V stetig und es ist z 2 Cxi Fa(xi ) (F; B ). Der punktierte Raum (T; 0)
sei der IRn?k mit Grundpunkt 0n?k .
Sei AV fur jedes V 2 a(B 0 ) eine V zugeordnete (n?k)n-Matrix, so da die Zuordnung
V 7! AV stetig ist. Eine solche Zuordnung gibt es: Man wahle etwa eine Orthonormalbasis
von V aus Vektoren v1 ; : : : ; vn?k und betrachte zu gegebenem xi die orthogonalen Projektionen vji ; j = 1; : : : ; n ? k der vj auf den Raum Vi . Fur hinreichend groe i spannen
dann die vji den Raum Vi auf. Man bilde dann die (n ? k) n-Matrizen AVi deren j -Zeile
der Zeilenvektor vji> ist.
Damit ist die Abbildung F^ : B 0 B ! IRn?k mit (x; y) 7! Aa(x) F (y) stetig und es ist
F^ (x) = Cx Fa(x) (F; B ). Setzen wir noch yi := z fur alle i, dann liefert Korollar 14-24:
d(z ; Cx FV (F; B )) = 0;
also z 2 Cx FV (F; B ) und daher liegt auch x in Cz FV (F; B ).
2
Das nachste Lemma bereitet den darauf folgenden Satz vor und wird auch im weiteren
noch benotigt.
Lemma 5
Sei B IRn abgeschlossen, F 2 M (B ) und z eine Nullstelle von F in B . Die Bedingung
Ck (B ) sei erfullt. Dann ist
R(z ) :=
[
V 2G(k;n)
Cz FV (F; B )
3
abgeschlossen in B .
Beweis: Sei xi ! x eine konvergente Folge mit xi 2 R(z ). Zu zeigen ist x 2 R(z ).
Jedes xi liegt in einer k-Blatt-Komponente Cz FVi (F; B ) mit Vi 2 G(k; n). Da G(k; n)
folgenkompakt ist, gibt es eine Teilfolge der xi und ein V 2 G(k; n), so da die Vi
25
gegen V konvergieren und die xi in Cz FVi (F; B ) liegen. Korollar 15-24 liefert nun x 2
Cz FV (F; B ), also liegt x in R(z ).
2
Wenn die Bedingung Ck (B ) nicht erfullt ist, braucht R(z ) dagegen nicht abgeschlossen
in B zu sein:
Beispiel:
Sei B := IR2 und f : IR2 ! IR gegeben durch f (x; y) := x3 =3 ? x + y2 . Diese Funktion
besitzt die beiden nichtentarteten kritischen Punkte x = (1; 0) und man rechnet leicht
nach, da etwa R(x+ ) = IR2 n f(x; y) 2 IR2 : x = ?1; y 6= 0g ist und diese Menge ist weder
oen, noch abgeschlossen.
3
Auch beim folgenden Satz ist die Voraussetzung uber die Anzahl der unbeschrankten
Komponenten der k{Blatter insbesondere dann erfullt, wenn B kompakt ist. Die Voraussetzung, da alle Komponenten gebunden sein sollen, lat sich allerdings am leichtesten
im Fall B = IRn uberprufen. Zur Denition von \frei" vergleiche Seite 15.
Satz 16
Sei B IRn abgeschlossen und zusammenhangend, F 2 M (B ), und k 1. Wenn kein
k{Blatt zu F zwei unbeschrankte Zusammenhangskomponenten besitzt und wenn keine
3
Komponente eines k-Blattes frei ist, dann ist ?k (F; B ) zusammenhangend.
Beweis: Sei ? die Menge der Ecken einer Zusammenhangskomponente des Graphen
?k (F; B ). Fur jede Nullstelle z von F sei, wie in Lemma 5-25 deniert:
[
R(z) :=
Cz FV (F; B ):
V 2G(k;n)
Auerdem setzen wir
R :=
[
z2?
R(z):
Wir zeigen R = B . Denn dann liegt jede Nullstelle von F auf einer k{Blatt{Komponente,
die auch einen Punkt aus ? enthalt. Daraus folgt dann ?k (F; B ) = ?.
Angenommen R 6= B . Dann gibt es, da B zusammenhangend ist, einen Randpunkt x
von R und dieser kann oenbar (wegen k 1 und Satz 6-15 ) keine Nullstelle von F sein.
Da F nach Voraussetzung in B nur endlich viele Nullstellen besitzt ist auch ? endlich und
da R(z ) nach Lemma 5-25 abgeschlossen ist, ist auch R abgeschlossen. Also liegt x in R.
Folglich gibt es einen Punkt z 2 ? und ein V 2 G(k; n), so da x in Cz FV (F; B ) liegt.
Sei nun xi ! x eine Folge in B n R. Eine solche Folge gibt es, da B n R oen in B ist
und x ein Randpunkt von B n R ist. Da F stetig ist, gibt es eine Folge Vi ! V in G(k; n)
mit F (xi ) 2 Vi?. Da ?k (F; B ) endlich ist und keine k-Blatt-Komponente frei ist, konnen
wir also voraussetzen, da es eine Nullstelle z 2 ?k (F; B ) n ? gibt, mit xi 2 Cz FVi (F; B )
fur alle i.
Korollar 15-24 liefert uns schlielich z 2 Cx FV (F; B ) und daher liegt x auch in
Cz FV (F; B ) \ Cz FV (F; B ). Also liegt z auch in Cz FV (F; B ) und daher auch in ?. 2
Wenn Ck (B ) nicht erfullt ist, lat sich in manchen Fallen folgendes Kriterium anwenden:
26
Satz 17
Sei B IRn oen (!) und zusammenhangend, F 2 M (B ), und k 1. Wenn keine
unbeschrankte Komponente eines k-Blatts zu F eine auerordentliche Singularitat von F
enthalt und keine Komponente eines k-Blattes frei ist, dann ist ?k (F; B ) zusammenhangend.
3
Beweisskizze: Man nimmt R 6= B an und betrachtet einen Randpunkt x 2 B der
wie im Beweis von Satz 16-26 denierten Menge R. Dann liegt x in einer Komponente
Cz FV (F; B ) eines k-Blattes durch eine Nullstelle z 2 Null(F ). Wenn diese Komponente beschrankt ist, schliet man ahnlich wie im Beweis von Satz 16-26. Wenn sie nicht beschrankt
ist, enthalt sie keine auerordentlichen Singularitaten und man uberlegt sich, da fur dicht
bei x gelegene x und dicht bei V gelegene W 2 G(k; n) mit x 2 FW (F; B ) die (endlich
vielen) Nullstellen auf Cz FV (F; B ), wegen der Oenheit von B , auch in CxFW (F; B ) liegen. (Man betrachte die Menge f(x; V ) 2 IRn G(k; n) : x 2 FV (F )g und darauf die
Abbildung 2 : (x; V ) 7! V )
2
Bemerkung 5
Auf die Voraussetzung, da B oen ist, kann nicht ohne weitres verzichtet werden, sonst
lieen sich die verbindenden Trajektorien durch eine geeignete Struktur von B \blockieren", wie folgendes Beispiel zeigt (siehe dazu Bild 2-28):
Sei, wie im letzten Beispiel, f (x; y) = x3 =3 ? x + y2. Sei A1 = f(x; y) 2 IR2 : x = 0; y 1g und A2 = f(x; y) 2 IR2 : y = 1; 0 x < 1g. Setzen wir B := IR2 n (A1 [ A2 ), dann
ist B zusammenhangend, rf 2 M (B ). Auerdem besitzt f keine auerordentlichen Singularitaten und keine Komponente einer Newton-Trajektorie zu f ist frei. Die Bedingung
C1 (B ) ist verletzt. B ist nicht oen und ?1 (f; B ) ist nicht zusammenhangend.
3
Die Voraussetzung, da keine Komponente eines k-Blattes frei sei, ist fur die Anwendung dieser Satze lastig und lat sich noch am ehesten im Fall B = IRn nachweisen.
Da B in obigen Satzen aber ziemlich beliebig sein darf, konnte man ohne eine derartige Voraussetzung ein einmal gewahltes B durch U bergang zu einer geschickt gewahlten
zusammenhangenden Teilmenge B 0 meist so verandern, da die Nullstellen verbindenden
Trajektorien abgeschnitten werden und ?k folglich zerfallt. Sei etwa F eine freie, regulare
(n ? 1)-Blatt-Komponente, und jede Komponente von B n F enthalte Nullstellen von F .
Dann kann ?1 (F; B ) wegen Satz 7-15 nicht zusammenhangend sein.
Wir wollen nun sehen, ob sich nicht auch ohne die Voraussetzung, da keine k-BlattKomponente frei sei, etwas uber den Zusammenhang der Graphen ?k beweisen lat. Dazu
zunachst folgende Denition.
Denition 6
Wir denieren fur B IRn und F 2 M (B ):
freek (F; B ) := fx 2 B jJede k-Blatt-Komponente durch x ist freig
freek (F; B ) := fx 2 B jEs gibt eine freie k-Blatt-Komponente durch xg
boundk (F; B ) := fx 2 B jEs gibt eine gebundene k-Blatt-Komponente
durch xg
boundk (F; B ) := fx 2 B jJede k-Blatt-Komponente durch x ist gebundeng
27
Abbildung 2: Skizze zu Bemerkung 5-27.
3
Einige wichtige Eigenschaften dieser Mengen stellen wir in der folgenden Bemerkung
zusammen. Die Beweise der einzelnen Punkte sind trivial.
Bemerkung 6
Sei B IRn und F 2 M (B ). Dann gilt:
(i) freek (F; B ) [ boundk (F; B ) = B und freek (F; B ) \ boundk (F; B ) = ;:
(ii) freek (F; B ) [ boundk (F; B ) = B und freek (F; B ) \ boundk (F; B ) = ;:
(iii) freek (F; B ) freek (F; B ) und Null(F; B ) boundk (F; B ) boundk (F; B ):
(iv) free1 (F; B ) = free1 (F; B ) und bound1 (F; B ) = bound1 (F; B ):
3
Die Mengen freek (F; B ) und boundk (F; B ), sowie freek (F; B ) und boundk (F; B ) bilden
also eine Partition von B .
Lemma 6
Sei B IRn abgeschlossen, F 2 M (B ) und die Bedingung Ck (B ) (Seite 24) sei erfullt.
28
Dann sind freek (F; B ) und freek (F; B ) oen in B sowie boundk (F; B ) und boundk (F; B )
abgeschlossen in B .
3
Beweis: Es reicht zu zeigen, da boundk (F; B ) und boundk (F; B ) abgeschlossen sind.
Zunachst ist
boundk (F; B ) =
[
z2Null(F )
R(z):
Die Mengen R(z ) sind nach Lemma 5-25 abgeschlossen und da Null(F ) endlich ist, ist
folglich auch boundk (F; B ) abgeschlossen.
Jetzt betrachten wir boundk (F; B ). Sei xi ! x eine konvergente Folge in B , mit
xi 2 boundk (F; B ). Zu zeigen ist x 2 boundk (F; B ). O.E. sei x 62 Null(F; B ).
Angenommen, es gebe ein V 2 G(k; n), so da x 2 FV (F; B ) und Cx FV (F; B )
ware frei. Da F stetig ist, gibt es eine Folge Vi ! V in G(k; n) und gewisse Nullstellen
zi mit xi 2 Czi FVi (F; B ). Da G(k; n) folgenkompakt und Null(F ) endlich ist, konnen wir
annehmen (Teilfolge, etc.), da es eine Nullstelle z gibt, so da xi in Cz FVi (F; B ) liegt.
Daraus folgt mit Korollar 15-24 dann z 2 Cx FV (F; B ), im Widerspruch zur angenom2
menen Freiheit von Cx FV (F; B ).
Der folgende Satz u ber den Zusammenhang der Graphen ?k kommt nun ohne die lastige
Voraussetzung aus, da es keine freien k-Blatt-Komponenten gebe. Auf die Bedingung Ck
konnen wir allerdings nicht verzichten, wie einfache Gegenbeispiele zeigen.
Satz 18
Sei B IRn abgeschlossen und zusammenhangend, F 2 M(B ) und die Bedingung Ck (B )
sei erfullt. Dann gilt:
(i) Wenn boundk (F; B ) nicht zusammenhangend ist, dann ist auch ?k (F; B ) nicht zusammenhangend.
(ii) Wenn boundk (F; B ) zusammenhangend ist, dann ist auch ?k (F; B ) zusammenhangend.
3
Beweis:
(i) Wenn boundk (F; B ) nicht zusammenhangend ist, dann ist ?k (F; B ) trivialerweise
nicht zusammenhangend.
(ii) boundk (F; B ) B ist nach Lemma 6-28 abgeschlossen und erfullt die Bedingung Ck (B ), da B die Bedingung Ck (B ) erfullt. Also konnen wir Satz 16-26 anwenden
und schlieen, da ?k (F; boundk (F; B )) zusammenhangend ist. Da boundk (F; B ) aber alle
Nullstellen von f in B enthalt, ist ?(F; boundk (F; B )) = ?k (F; B ) und daher ist auch
?k (F; B ) zusammenhangend.
2
Hier soll noch auf eine interessante Invarianzeigenschaft bezuglich lokaler Modikationen von F hingewiesen werden. Sei B IRn; F 2 M (B ) und sowie V eine Teilmenge
von B , die boundk (F; B ) enthalt. Sei weiter U eine Teilmenge von V , die keine Nullstellen
29
von F enthalt. Wenn dann boundk (F; V n U ) zusammenhangend, Ck (V n U ) erfullt und
V n U abgeschlossen in Rn ist, dann ist ?k (F; V n U ) zusammenhangend. Also gibt es fur
den Zusammenhang von ?k (F; B ) erforderliche Newton-Blatter schon unter den Blattern,
die U nicht schneiden. Folglich ist auch ?k (G; B ) zusammenhangend fur alle Funktionen
G 2 M (B ), die sich von F hochstens innerhalb von U unterscheiden, aber keine Nullstellen in U haben.
Die Lucke zwischen (i) und (ii) in Satz 18-29 lat sich im Fall k = 1 schlieen:
Korollar 19
Sei B IRn abgeschlossen und zusammenhangend, F 2 M (B ) und die Bedingung
C1 (B ) sei erfullt. Dann besitzt ?1 (F; B ) dieselbe Anzahl Zusammenhangskomponenten wie
bound1 (F; B ). Insbesondere ist ?1 (F; B ) genau dann zusammenhangend, wenn bound1 (F; B )
zusammenhangend ist.
3
Beweis: Nach Bemerkung 6-28 (iv) ist bound1 (F; B ) = bound1 (F; B ). Die Behauptung
folgt damit sofort aus Satz 18-29 (bzw. aus dem Beweis).
30
2
4 Komplexe Newton{Flusse
Man kann das kontinuierliche Newton-Verfahren auch fur komplexwertige Funktionen auf
CI betrachten. Man geht dabei aus von dem komplexen Analogon der Gleichung (2-1):
(6)
dz=dt = ? FF0((zz)) :
Der zugehorige Newton-Flu wurde fur polynomiale F zum Beispiel von Braess in [2]
untersucht. Twilt untersuchte in seiner Dissertation [23] Newton-Flusse fur meromorphe
Funktionen. Diese Untersuchungen wurden dann in mehreren Arbeiten von Jongen, Jonker
und Twilt weitergefuhrt (siehe z.B. [14, 16]). Eine kurze Zusammenfassung der Ergebnisse
ndet man in [15].
Man kann dann die Gleichung (6-31), ahnlich wie bei der Gleichung (2-1), \regularisieren" und gelangt so zu der Dierentialgleichung
dz=dt = ?F 0 (z)F (z);
(7)
deren rechte Seite fur ganze Funktionen F auf ganz CI deniert ist. Das zugehorige Vekf(F ).
torfeld auf CI bezeichnen wir, wie Jongen, Jonker und Twilt, mit N
Um den Newton-Flu auch fur in CI meromorphe F uberall zu denieren, kann man
einen weiteren Regularisierungsschritt vornehmen und gelangt so zu dem Vektorfeld
(
4 ?1 f
wenn z kein Pol von F ist
N (F )jz := 0(1 + jF (z)j ) N (F )jz wenn
z ein Pol von F ist.
f(F ) und N (F ) stimmen auerhalb der Pole von F uberein.
Die Phasenportraits von N
In den oben genannten Arbeiten werden die Eigenschaften des kontinuierlichen Newton-Verfahrens im Komplexen ausfuhrlich untersucht und interessante geometrische Eigenschaften des Phasenportraits und der maximalen Trajektorien hergeleitet. Wir werden
darauf hier nicht weiter eingehen, sondern vielmehr auf einen anderen Aspekt hinweisen.
Sei F : CI ! CI eine (nichtkonstante) ganze Funktion, F = u + iv, mit reellwertigen
Funktionen u und v auf CI. Wir setzen z = x + iy und ordnen F zwei Abbildungen von
IR2 nach IR2 zu:
R(F ) := (u; v)> ;
und
S (F ) := (u; ?v)> :
Da fur u; v die Cauchy-Riemannschen Dierentialgleichungen gelten, ist S (F ) Gradient
einer (bis auf eine Konstante bestimmten) harmonischen Funktion s(F ) : IR2 ! IR und
durch Nachrechnen stellt man leicht fest, da gilt:
Nf(F ) = N (R(F )) = ?N (s(F )) = ?N (S (F )):
(N (s(F )) ist eindeutig bestimmt, obwohl s(F ) nur bis auf eine Konstante bestimmt ist.)
Das Studium komplexer Newton-Flusse fur ganze Funktionen kann also auf das Studium
gewisser spezieller Gradienten-Newton-Flusse (namlich N (s(F ))) im IR2 zuruckgefuhrt
werden (vgl. [15]).
31
Nun ergibt sich explizit:
Nf(F )jz = ?F 0(z)F (z)
= ?(ux ? ivx )(u + iv)
= ?((ux u + vx v) + i(ux v ? vx u))
Fassen wir jF j2 als Abbildung von IR2 nach IR auf, so erhalten wir, unter Beachtung der
Cauchy-Riemannschen Dierentialgleichungen, fur deren Gradienten:
1
2
rjF j2 = 21 r(u2 + v2 ) = (uux + vvx; vux ? vxu)>:
Vergleich liefert also:
rjF (x + iy)j2 = ?Nf(F )jx+iy ;
wobei wir den IR2 mit CI via x + iy $ (x; y)> identiziert haben. Der komplexe Newton1
2
Flu \ist" also eigentlich ein Gradienten-Flu. Man kann diese Betrachtungen entsprechend erweitern und erhalt:
Satz 20
Sei F im Gebiet G CI holomorph, dann lat sich das Vektorfeld des komplexen NewtonFlusses auf G als Gradientenfeld darstellen.
3
Diese Eigenschaft des komplexen Newton-Vektorfeldes erhellt einige in den oben zitierten Arbeiten erhaltenen Resultate, wie bespielweise das schon von Braess in [2] erhaltene Resultat, da die Einzugsbereiche der Nullstellen von Polynomen p bezuglich des
komplexen kontinuierlichen Newton-Verfahrens unbeschrankt sind. Denn wenn wir der
Einfachheit halber annehmen, da die Nullstellen von p und p0 einfach sind, da also die
kritischen Punkte von jpj2 nicht entartet und die auerordentlichen Singularitaten Sattelpunkte sind, dann besitzt jpj2 nur nichtentartete Minima und Sattelpunkte als kritische
Punkte, und keine Maxima. Die Flulinien des Gradientenusses, die in der Nahe eines
Minimums (einer Nullstelle von p) starten und nicht nach Unendlich laufen, mussen daher gegen Sattelpunkte streben. Es gibt aber nur endlich viele Sattelpunkte und in jedem
terminieren fur wachsende t genau zwei Flulinien.
Wir wollen nun die erhaltenen Satze u ber den Graphen ?1 (f ) auf Funktionen f der
Form jF (x + iy)j2 anwenden. Das kontinuierliche Newton{Verfahren fur solche Funktionen
wurde kurzlich von Twilt, Jonker und Streng in [24] fur den Fall naher untersucht, da F
ein komplexes Polynom ist.
Sei also f (x; y) = jF (x + iy)j2 , mit einer nichtkonstanten ganzen Funktion F . Dann
lassen sich die Newton{Trajektorien zu f mit einem reellen Winkel darstellen als Abschlu der Menge aller z aus CI n N (F ), fur die <(e?i F 0 (z )=F (z )) = 0 ist. Die kritischen
Punkte von f sind die Nullstellen von F und von F 0 , also Krit(f ) = N (F ) [ N (F 0 ). Den
Nullstellen von F entsprechen lokale Minima von f und den Nullstellen von F 0 entsprechen
Sattelpunkte von f . Durch Ausrechnen bestatigt man leicht folgende Gleichung:
Hf rf = ? 12 (rjF 0=F j2 )jF j4 :
(8)
Nf(F 0 =F )jF j4 = ?(F 00 F ? F 02 )F 0F = g
Die auerordentlichen Singularitaten sind also die Punkte z mit F (z )F 0 (z ) 6= 0 und
F 00 (z)F (z) ? F 02 (z) = 0. Aus der Gleichung (8-32) folgt sofort:
32
Lemma 7
Sei f : IR2 ! IR von der Form f (x; y) = jF (x + iy)j2 , mit einer nichtkonstanten, im
Gebiet G holomorphen Funktion F . Dann liegt auf jeder kompakten Komponente einer
Newton-Trajektorie FV (f; G) ein kritischer Punkt von f .
3
Eine kritischer Punkt von f ist degeneriert, wenn die zugehorige Nullstelle von F oder
F 0 mehrfach ist. Damit folgt:
Satz 21
Sei f : IR2 ! IR von der Form f (x; y) = jp(x + iy)j2 mit einem nichtkonstanten, komplexen Polynom p. Alle Nullstellen von p und p0 seien einfach. Dann ist ?1 (f; IR2 ) zusammenhangend.
3
Die Hohenlinien einer solchen Funktion heien \Lemniskaten" und die Geometrie dieser
Kurven wird zum Beispiel in [25] und [18] im Zusammenhang mit Untersuchungen zur Lage
der Nullstellen von p untersucht. Lemniskaten stehen auch in engem Zusammenhang mit
dem Problem, die kritischen Punkte von Greenschen Funktionen zu bestimmen. Genaueres
dazu ndet man zum Beispiel in [25].
Beweis: Sei V 2 G(1; 2). Dann hat keine Newton{Trajektorie FV (f ) freie Komponenten.
Fur kompakte Komponenten folgt dies aus Lemma 7-33 und fur nichtkompakte aus der
Tatsache, da fur genugend groe c > 0 die Niveaumengen Nc(f ) konvex und kompakt
sind (vgl. [25]). Aus demselben Grund ist auch die Bedingung C1 (IR2 ) erfullt. Wir konnen
also Korollar 19-30 anwenden (oder auch Satz 16-26) und erhalten die Behauptung. 2
Es sei noch bemerkt, da sich die Voraussetzung u ber die Einfachheit der Nullstellen
von p und p0 bei naherer Betrachtung als unnotig erweist. Wir gehen darauf nicht naher
ein. Auch fur andere Klassen von Funktionen F lassen sich fur f von der Form jF (x + iy)j
mit den obigen Ergebnissen u ber den Zusammenhang von ?1 (f ) ahnliche Satze erhalten.
33
5 Zusammenhangende Newton-Blatter
In [3] auert Branin eine Vermutung, die wir in der Terminologie dieser Arbeit folgendermaen formulieren konnen. Sei F : IRn ! IRn und F besitze keine auerordentlichen Singularitaten. Dann gibt es keine freien Newton{Trajektorien und alle Newton{Trajektorien
zu F sind zusammenhangend. Insbesondere liegen auf einer beliebigen Komponente einer
beliebigen Newton-Trajektorie schon alle Nullstellen von F .
Diese Situation ist der Traum des Anwenders, denn dann kann er alle Nullstellen
von F nden, indem er einfach in einem beliebigen Punkt x 2 IRn n Null(F ) startet
und die durch diesen Punkt verlaufende Newton-Trajektorie (nach beiden \Richtungen")
numerisch verfolgt.
In [13] bewiesen die Autoren (eigentlich nur fur den Fall F = rf , aber der Beweis
gilt im allgemeinen Fall genauso), da beim Fehlen auerordentlicher Singularitaten durch
jede Nullstelle mindestens eine unbeschrankte Newton{Trajektorie geht, bei der diese Nullstelle \an einem Ende" liegt. Mit anderen Worten, durch jede Nullstelle x gibt es eine
unbeschrankte Komponente einer Newton-Trajektorie und einen Weg auf dieser Trajektorienkomponente von x nach Unendlich, der durch keine andere Nullstelle von F passiert.
Nach Auassung der Autoren ist die Vermutung Branins damit in einem gewissen
Sinne widerlegt.
Tatsachlich ist aus Branins Formulierung nicht sicher zu entnehmen, was er genau
meint. Er schreibt (siehe [3], Seite 508):
. . . In the absence of extraneous singular points, it seems plausible to expect not
only that the method will be globally convergent but also that every trajectory
will pass through all solution points of F (x) = 0. This conjecture is based on
the behavior of the algorithm in two problems where extraneous singular points
are known to be absent. It is also supported by the observation that the nodal
points act like electric charges and the trajectories like electrostatic eld lines
that either terminate on charges or else pass to innity. . .
In den Arbeiten [14, 15] kommen Jongen, Jonker und Twilt auf die Braninsche Vermutung zuruck und interpretieren sie nun folgendermaen:
If there are no extraneous singularities, one can nd all zeros for rf by following (for increasing or decreasing t) a trajectory of (5-2) until one reaches
a zero for rf and following another trajectory from this zero until on reaches
another zero, and so on. In other words: in the absence of extraneous singularities, the system (5-2) provides a globally convergent method for nding all
zeros for rf .
Diese Form ist anscheinend wesentlich schwacher, als das, was Branin im Sinne hatte.
Sie bedeutet nach unserer Terminologie mindestens, da der Graph ?1 (F; IRn ) zusammenhangend ist, wenn F keine auerordentlichen Singularitaten besitzt. Da das nicht
richtig sein kann, ist nach den bisherigen Resultaten dieser Arbeit klar und auch Jongen, Jonker und Twilt geben ein explizites Gegenbeispiel an, namlich f (x) := ?e2x =2 +
ex cos(y). Diese Funktion hat keine auerordentlichen Singularitaten, aber die Bedingung
C1 (IR2 ) ist verletzt und es gibt freie Trajektorien.
34
Die Braninsche Vermutung ist also falsch, auch wenn man sie in einer wesentlich
schwacheren Form interpretiert.
Wir wenden uns nun der Frage zu, unter welchen zusatzlichen Voraussetzungen an F
die ursprungliche Braninsche Vermutung zu retten ist. Dazu zunachst folgendes Ergebnis:
Satz 22
Sei k > 0 und die Funktion F 2 M (IRn ) besitze wenigstens eine Nullstelle und keine auerordentlichen Singularitaten. Dann gilt: Genau dann sind alle k{Newton-Blatter
zusammenhangend, wenn F die Bedingung Ck (IRn ) erfullt.
3
Beweisskizze: Wegen ExS(F ) = ; sind alle k-Newton-Blatter zu F dierenzierbare
Mannigfaltigkeiten und eine Komponente Cx FV (F ) kann fur variierende x; V nur \im
Unendlichen aufspalten". Da F nur endlich viele Nullstellen besitzt, uberzeugt man sich
davon, da fur genugend dicht bei x gelegene x0 und genugend dicht bei V gelegene V 0 2
G(k; n) mit x0 2 FV 0 (F ) gilt:
Cx FV (F ) \ Null(F ) Cx0 FV 0 (F ) \ Null(F ):
Andererseits folgt aus Korollar 15-24 und der Bedingung Ck :
Cx FV (F ) \ Null(F ) Cx0 FV 0 (F ) \ Null(F );
zusammen also
Cx FV (F ) \ Null(F ) = Cx0 FV 0 (F ) \ Null(F );
zunachst lokal, dann fur alle x0 ; V 0 mit x0 2 FV 0 (F ). Da Null(F ) 6= ; folgt daraus die
Behauptung.
2
Es ist angebracht, sich zu u berlegen, ob der obige Satz nicht nur triviale Beispiele mit
einer Nullstelle umfat. Klar ist, da man zu jedem gegebenem F ein F~ nden kann, das
innerhalb einer interessierenden kompakten Menge K mit f ubereinstimmt, so da F~ die
Bedingung Ck erfullt. Man braucht nur dafur zu sorgen, da fur hinreichend groe kxk gilt:
F (x) = x. Die Schwierigkeit liegt in der Vermeidung von auerordentlichen Singularitaten.
Fur n = 2 uberlegt man sich leicht, da es Funktionen mit einem und mit zwei kritischen Punkten gibt, die die Voraussetzungen des Satzes erfullen. Leider sind damit fur
n = 2 auch schon alle Beispiele erschopft, denn es gilt:
Satz 23
Die Funktion F : IR2 ! IR2 besitze keine auerordentlichen Singularitaten, und habe
mindestens 3 Nullstellen. Dann gibt es eine Newton-Trajektorie T zu F , so da nicht alle
Nullstellen in einer Komponente von T liegen.
3
Zum Beweis benotigen wir ein auch sonst nutzliches Lemma:
Lemma 8
Sei F : IRn ! IRn und U eine zusammenhangende, beschrankte oene Menge im IRn,
deren Rand in der Vereinigung von endlich vielen (n ? 1){Newton-Blattern enthalten ist.
U enthalte keine Nullstellen von F . Dann liegt auf dem Rand von U eine gerade Anzahl
35
Nullstellen. Wenn auf dem Rand mindestens 4 Nullstellen und keine auerordentlichen
3
Singularitaten liegen, so enthalt U eine auerordentliche Singularitat von F .
Beweis: Nach dem Morse{Sard{Lemma (vgl. Beweis zu 10-17) gibt es eine regulare
Newton-Trajektorie, so da jede Komponente dieser Trajektorie, die durch eine Nullstelle
auf dem Rand von U geht, mit U nichtleeren Durchschnitt hat. Diese Komponenten mussen
U wieder verlassen und daher durch weitere Nullstellen auf dem Rand austreten (Satz 715). Die Nullstellen auf dem Rand lassen sich also paaren, und daher gibt es eine gerade
Anzahl solcher Punkte.
Bezuglich der Dierentialgleichung (4-2) enthalt der Rand von U also mindestens zwei
Attraktoren. Seien x1 ; x2 ; : : : ; xr die Attraktoren auf dem Rand von U . Wenn weder U
noch der Rand von U auerordentliche Singularitaten enthalten, sind die in U liegenden
Einzugsbereiche Ei ; i = 1; : : : ; r, dieser Attraktoren oen. Ebenso ist dann die Menge P
der x 2 U oen, durch die periodische Trajektorien verlaufen. Die Vereinigung von P mit
den Ei ist gleich U und da U zusammenhangend ist mu P leer sein und es gibt nur ein
Ei .
2
Nun zum Beweis von Satz 23-35, den wir mit etwas anschaulichen Argumenten fuhren.
Der Leser lege sich dazu eine Skizze an.
Beweis: Sei F eine Funktion ohne auerordentliche Singularitaten und mit den Nullstellen
x1 ; : : : ; xk , wobei k 3 ist. Dann sind alle Newton-Trajektorien zu F eindimensionale,
dierenzierbare Untermannigfaltigkeiten des IR2 . Die Komponenten von Trajektorien sind
also unbeschrankt und dieomorph zu IR oder kompakt und dieomorph zu S 1 .
Nehmen wir nun an, jede Newton-Trajektorie besitze eine Komponente, die x1 ; : : : ; xk
enthalt. Nach dem zitierten Ergebnis aus der Arbeit [13] gibt es eine unbeschrankte, zu
IR dieomorphe Komponente T1 einer Newton-Trajektorie, so da \links" von x1 keine
Nullstellen liegen. O.E. liegen auf dieser Komponente rechts der Reihe nach die Nullstellen
x2 ; : : : ; xk . T1 zerlegt den IR2 in genau zwei unbeschrankte, oene Mengen, die wir mit U11
und U12 bezeichnen und deren Rand T1 ist.
Nun betrachten wir x2 . Durch x2 geht ebenso eine unbeschrankte Komponente T2 einer
Newton-Trajektorie, so da alle Nullstellen auf einer abgeschlossenen \Halbkomponente"
T21 von T2 liegen. T2 ist nicht gleich T1 weil bezuglich T1 \links" und \rechts" von x2
die Nullstellen x1 und x3 liegen. O.E. liege T22 , die oene (bezuglich T2 ) Halbkomponente
von T2 , die keine Nullstellen enthalt, in U11 . U11 werde von T22 in die beiden oenen,
unbeschrankten Komponenten U21 und U22 zerlegt. O.E. sei U21 diejenige Komponente,
deren Rand x1 enthalt.
Wird T21 beginnend mit x2 durchlaufen, dann mu x1 die letzte Nullstelle sein, die
durchlaufen wird, denn danach tritt T21 in U21 ein und kann diese oene Menge nicht mehr
verlassen. Denn auf dem Rand von U21 liegen nur die Nullstellen x1 und x2 . Daraus folgt
sofort, da k gerade ist, denn nach dem Durchgang durch eine ungerade Anzahl der Punkte
x3 ; : : : ; xk verlauft T21 in U22 und x1 liegt nicht auf dem Rand von U22 .
Angenommen, T21 fadelt die Nullstellen in der Reihenfolge
x(2) = x2 ; x(3) ; x(4) ; : : : ; x(k) ; x(1) = x1
36
auf, wobei eine Permutation der Zahlen von 1; 2; 3; 4; : : : ; k ist, die 2 und 1 fest lat.
Trivialerweise ist dann (i) ? (i + 1) 1 (mod 2), fur i = 3; : : : k ? 1.
Dann begrenzen der Teil von T1 zwischen x1 und x(k) und das Stuck von T21 zwischen
x(k) und x1 eine beschrankte, einfach zusammenhangende Menge U IR2 deren Rand
eine gerade Anzahl 4 von Nullstellen enthalt. U mu daher nach Lemma 8-35 auch eine
auerordentliche Singularitat von f enthalten. Widerspruch.
Man kann auch einen Widerspruch erhalten, indem man ahnlich wie fur x2 nun fur
x3 argumentiert. Wie eben folgt, da durch x3 eine unbeschrankte Komponente T3 einer
Newton-Trajektorie geht, so da alle Nullstellen auf der abgeschlossenen Halbkomponente
T31 von T3 liegen und die andere, bezuglich T3 oene Halbkomponente T32 keine Nullstellen
enthalt. T3 ist nicht gleich T1 und nicht gleich T2 , weil bezuglich T1 \links" und \rechts"
von x3 die Nullstellen x2 und x4 liegen und ebenso bezuglich T2 die Nullstellen x(?1 (3)1)
liegen. T32 mu in U22 liegen. durch Diskussion der verschiedenen Falle u berzeugt man sich
davon, da das nicht geht.
2
Wir wenden uns nun der Frage zu, unter welchen Voraussetzungen es zusammenhangende Newton-Blatter gibt. Dabei wurde uns eine globale Version des Satzes u ber implizite
Funktionen weiterhelfen, den wir auf die Funktion AV F (x) anwenden konnten, mit einer
einem Unterraum V zugeordneten Matrix AV .
Einen solchen Satz entnehmen wir [5]:
Zitat 10 (siehe[5])
Zu k n und F 2 C 2 (IRn ; IRk ) gebe es eine Konstante K , so da gilt:
supfk(DF (x)D> F (x))?1 k : x 2 IRng K:
Dann ist F ?1 (c) fur alle c 2 IRk eine zusammenhangende (n ? k)-dimensionale C 1 {
Mannigfaltigkeit im IRn .
3
Die unhandliche Voraussetzung dieses Satzes konnen wir etwas handlicher fassen:
Korollar 24
Sei k n und F 2 C 2 (IRn; IRk ). Die k k{Matrix DF (x)D>F (x) sei gleichmaig
positiv denit auf IRn . Dann ist F ?1 (c) fur alle c 2 IRk eine zusammenhangende C 1 {
Mannigfaltigkeit im IRn .
3
Damit folgt durch Anwendung von Korollar 24-37 auf AV F (x):
Satz 25
Sei FV (F; IRn ) ein k-Blatt zu F : IRn ! IRn und A eine V zugeordnete Matrix. Dann
gilt: Wenn die (n ? k) (n ? k){Matrix (ADF (x)D> F (x)A> ) auf IRn gleichmaig positiv
denit ist, dann ist das k-Blatt FV (F; IRn ) zusammenhangend.
3
Die Bedingung des Satzes ist recht stark, aber dennoch lat er sich in manchen Fallen
anwenden. Sei, beispielsweise, F : IRn ! IRn und eine partielle Ableitung @Fj =@xl lasse
sich auf ganz IRn von 0 weg durch eine positive Konstante beschranken. Dann liefert der
Satz den Zusammenhang der (n ? 1)-Blatter FV (F ) fur V = hej i und man kann das
Problem der Suche nach den Nullstellen von F auf ein (n ? 1)-dimensionales Problem
zuruckfuhren.
37
Der nachste Satz gibt ein Mittel an die Hand, weitere globale Versionen des Satzes
uber implizite Funktionen aus globalen Versionen des Satzes uber Umkehrfunktionen zu
erhalten.
Satz 26
Sei F : D IRn ! IRk und es gebe eine Abbildung G : D ! IRn?k , so da die Abbildung H := (F; G) : D ! H (D) ein globaler Homoomorphismus ist. Sei x0 2 D.
Dann ist F ?1 F (x0 ) genau dann zusammenhangend, wenn H (D) \ fF (x0 )g IRn?k zusammenhangend ist.
3
Beweis: H besitzt eine Inverse H ?1 und nach Denition von H ist F (H ?1(z)) = F (x0 )
fur alle z 2 H (D) \ fF (x0 )g IRn?k . Wenn diese Menge zusammenhangend ist, dann ist
also auch F ?1 F (x0 ) zusammenhangend. Ist die Menge H (D) \ fF (x0 )g IRn?k dagegen
nicht zusammenhangend, dann kann auch ihr Bild F ?1 F (x0 ) unter H ?1 nicht zusammenhangend sein, denn H ?1 ist ein Homoomorphismus.
2
Verwandt damit ist folgendes Ergebnis:
Satz 27
Sei f := (f1 ; : : : ; fk ) : IRn ! IRk vom Rang k < n. Wenn es eine stetig dierenzierbare
Funktion fk+1 : IRn ! IR gibt, so da f^ := (f1 ; : : : ; fk+1) : IRn ! IRk+1 vom Rang k + 1
ist, dann ist f ?1 (c) fur kein c 2 f (IRn) kompakt.
3
Besitzt also zusatzlich f ?1 (c) hochstens eine unbeschrankte Komponente, dann ist
f ?1 (c) zusammenhangend.
Beweis: M := f ?1(c) ist nach Voraussetzung eine C 1{Mannigfaltigkeit im IRn. Angenommen M ware kompakt. Dann besitzt das Problem: \Minimiere fk+1 (x) unter der
Nebenbedingung x 2 M " eine Losung. Also gibt es ein x 2 M und Lagrange-Parameter
1 ; : : : ; k mit
k
X
rfk+1(x ) + irfi(x ) = 0:
i=1
Dann aber kann f^ in x nicht denn Rang k + 1 haben.
2
Die Frage ist, ob es zu gegebenem f : IRn ! IRk vom Rang k immer ein solches fk+1
mit den verlangten Eigenschaften gibt. Wenn k = 1 ist und Df nie verschwindet, sieht
man leicht, da f ?1(c) nicht kompakt sein kann.
Anwendung dieses Satzes auf Newton{Trajektorien liefert
Korollar 28
Sei F 2 M (IRn ) und FV (F ) ein k{Newton-Blatt. Wenn fur alle x 2 IRn der Rang von
AV DF (x) gleich k ist, dann sind fur l > k alle l{Blatter, die FV (F ) enthalten unbe-
schrankt. Wenn ein solches l-Blatt nur eine unbeschrankte Komponente besitzt (wenn
z.B. die Bedingung Cl (IRn ) erfullt ist), dann ist es zusammenhangend.
3
Der Beweis dieses Korollars ergibt sich sofort aus Satz 27-38. Als Beispiel fur einen
globalen Satz u ber inverse Funktionen sei folgender Satz genannt:
38
Zitat 11 (siehe[21])
Die Abbildung F 2 C 1 (IRn ; IRn) ist genau dann ein C 1 {Dieomorphismus des IRn auf
sich, wenn die Jacobi-Matrix DF (x) fur alle x 2 IRn nichtsingular ist und aus kxk ! 1
auch kf (x)k ! 1 folgt.
3
Entsprechende Versionen fur Homoomorphismen zwischen Teilmengen erhalt man aus
einem anderen, allgemeineren Satz:
Zitat 12 (siehe[21])
Sei F : X ! Y ein lokaler Homoomorphismus zwischen zusammenhangenden, lokalzusammenhangenden, lokalkompakten Hausdor-Raumen. Dann ist F genau dann eine endliche
U berlagerung, wenn das Urbild kompakter Teilmengen von Y kompakt ist.
3
Wenn Y also zusammenziehbar ist, ist F ein globaler Homoomorphismus. Weitere globale Versionen des Satzes u ber inverse Funktionen fur Abbildungen zwischen Teilmengen
des IRn ndet man in [20].
Beispiel:
Sei F (x; y) = y ? x2 . Wahlen wir G(x; y) = x, oder G(x; y) = xe2y , dann ist die Abbildung
H = (F; G) auf ganz IR2 deniert und dort ist uberall det DH (x; y) 6= 0. H ist also ein
lokaler Homoomorphismus. Mit Hilfe von Zitat 12-39 folgt, da H : D ! H (D) fur alle
oenen, zusammenhangenden Mengen D IR2 ein globaler Homoomorphismus ist.
Betrachten wir nun D := (?1; 1) (?1; 1). Indem man sich das Bild des Randstuckes
R := f?1g [?1; 1] ansieht, sieht man leicht, da das Kriterium von Satz 26-38 genau fur
die x0 2 D mit F (x0 ) > ?1 erfullt ist. Also ist F ?1 (c) \ D genau dann zusammenhangend,
wenn c > ?1 ist.
Sei andererseits D = IR (0; 1) die oene obere Halbebene. Dann ist H (D) =
f(x; y)> 2 IR2 j x > ?y2g und F ?1(c) \ D ist genau fur c > 0 zusammenhangend.
Ist schlielich D = Kr (x0 ) die oene Kreisscheibe vom Radius r und Mittelpunkt x0 ,
3
so ist F ?1 (c) fur alle c 2 IR zusammenhangend (eventuell leer), wenn r < 1=2 ist.
Als Beispiel soll gezeigt werden, wie man aus dem aus dem globalen Satz uber inverse
Funktionen von Palais einen globalen Satz uber implizite Funktionen erhalten kann.
Satz 29
Sei k n und F 2 C 1 (IRn ; IRk ). Sei J eine k-elementige Teilmenge von f1; 2; : : : ; ng.
Sei DJ F (x) die Matrix, die aus den Spalten der Jacobi-Matrix DF (x) zu Indices aus J
besteht, und fur x 2 IRn sei xJ der Vektor mit den Komponenten von x, deren Indices in
J liegen. Dann gilt:
Wenn DJ F (x) fur alle x 2 IRn nichtsingular ist und wenn fur alle Folgen fxg mit
kxJ k ! 1 die Beziehung kF (x)k ! 1 folgt, dann ist F ?1(y) fur alle y 2 IRk eine
zusammenhangende (n ? k){Mannigfaltigkeit im IRn.
3
Beweis: O.E. sei J = f1; 2; : : : ; kg, und F (x)> = (f1 (x); : : : ; fk (x)). Wir denieren
H : IRn ! IRn durch Hj : IRn ! IR durch Hj = fj fur j = 1; : : : ; k, und Hj (x) = xj
fur j = k + 1; : : : ; n. Dann liefert Zitat 11-39 die Existenz einer eindeutig bestimmten,
39
globalen Umkehrfunktion H ?1 zu H und da H (IRn ) = IRn konvex ist, liefert Satz 26-38
die Behauptung.
2
Wir wollen diesen Ansatz, zu Aussagen u ber den Zusammenhang von Newton{Blattern
zu gelangen, indem wir einen globalen Satz u ber Implizite Funktionen anwenden, hier nicht
weiter verfolgen, denn bei solchen Zugangen handelt es sich auf die eine oder andere Weise
immer darum, neben der Voraussetzung rangAV DF (x) = dim V ? fur alle x und nicht nur
fur x 2 FV (f ), weitere Voraussetzungen nachzuweisen. Aber schon die Rangvoraussetzung
ist fur praktische Zwecke, jedenfalls im Fall von Newton-Trajektorien, zu einschneidend.
Satz 30
Sei B IRn abgeschlossen. Die Funktion F 2 M (B ) besitze in B genau 3 Nullstellen
und die Bedingung C1 (B ) sei erfullt. Wenn dann ?1 (F; B ) zusammenhangend ist, dann
gibt es eine Komponente einer Newton{Trajektorie zu F in B , die alle Nullstellen von F
enthalt.
3
Beweis: F besitze in B genau die drei Nullstellen a; b und c. Angenommen, es gebe keine
Komponente irgendeiner Newton-Trajektorie zu F in B , die a; b und c enthalt.
Wie in Lemma 5-25 denieren wir fur z 2 Null(F; B ):
[
Cz FV (F; B ):
R(z) :=
V 2G(1;n)
Dann sind R(a); R(b) und R(c) zusammenhangend und nach Lemma 5-25 abgeschlossen,
da C1 (B ) erfullt ist. Zwei der (nichtentarteten) Nullstellen a; b und c mussen gleichen Index
haben, diese seien o.E. die Punkte a und c. Sei T (f; B ) eine regulare Newton-Trajektorie zu
F in B . Dann mu wegen Satz 9-16 und der Bedingung C1(B ) die Komponente CbT (f; B )
auer b noch genau eine weitere der Nullstellen a; c enthalten (und Cb T (F; B ) kann @B
nicht schneiden). Aus dem Morse{Sard{Lemma, der Bedingung C1 und Korollar 15-24
folgt, da jede Komponente Cb T einer Newton{Trajektorie zu F in B noch einen der
Punkte a; c enhalten mu.
Wegen C1 (B ) ist b ein innerer Punkt von B und wegen Satz 6-15 auch ein innerer Punkt
von R(b). Daher enthalt R(b) auch eine (kleine) zusammenhangende, oene Umgebung U
von b, so da R(b) n U immer noch abgeschlossen in B und zusammenhangend ist.
Nun lat sich R(b) in der Form
R(b) = (R(b) \ R(a)) [ (R(b) \ R(c))
darstellen, also als Vereinigung zweier abgeschlossener, zusammenhangender Mengen. Der
Durchschnitt dieser Mengen ist, nach der Annahme, da keine Komponente einer Newton{
Trajektorie a; b und c enthalt, gleich fbg. Also hatten wir die zusammenhangende, abgeschlossene Menge R(b) n U als Vereinigung zweier nichtleerer (weil ?1 zusammenhangend
ist), disjunkter abgeschlossener Mengen dargestellt, was nicht geht.
2
Die Zahl 3 in obigem Satz lat sich ohne weitere Voraussetzungen nicht erhohen. In [24]
geben die Autoren an, da es im Falle f (x; y) = jp(x + iy)j2 mit einem komplexen Polynom
p vom Grad 3 (dann hat f also i.a. 5 kritische Punkte) immer eine zusammenhangende
40
Newton{Trajektorie gebe. Sie geben aber keinen vollstandigen Beweis. Ebenfalls behauptet
wird dort, da das fur komplexe Polynome vom Grad 8 i.a. falsch sei. Das folgende
Beispiel zeigt, da es schon im Falle von Polynomen vom Grad 5 nicht mehr stimmt.
Beispiel: Q
Sei p(z ) = 5i=1 (z ? zi ) mit z1 = ?2; z2 = 0; z3 = 2; z4 = 1 + 2i, und z5 = ?1 + 2:2i,
und sei f (x; y) = jp(x + iy)j2 . Dann ist der Graph ?1 (f; IR2 ) der vollstandige Graph K9 .
Trotzdem enthalt jede Newton{Trajektorie zu f mindestens 2 Komponenten und auf jeder
Komponente liegen kritische Punkte von f (vgl. Lemma 7-33). In Bild 3-41 sind einige
Hohenlinien der Funktion jpj2 zu sehen.
Abbildung 3: Einige Hohenlinien der Funktion jp(z )j2 .
U brigens habe ich bei allen untersuchten Beispielen, bei denen f von der Form f (x; y) =
jp(x+iy)j2 mit einem komplexen Polynom p ist, festgestellt, da ?1 (f; IRn) ein vollstandiger
Graph ist. Einen Beweis oder eine Widerlegung einer solchen Vermutung habe ich nicht
versucht.
Bild 4-42 zeigt die Newtontrajektorien in der Nahe der auerordentlichen Singularitaten von jpj2 und Bild 5-43 zeigt einige Trajektorien, an denen ablesen kann, da
?1 (jpj2 ; IR2 ) isomorph zum vollstandigen Graphen K9 ist.
3
41
Abbildung 4: Einige Newton-Trajektorien der Funktion jpj2
in der Nahe der auerordentlichen Singularitaten.
6 Verallgemeinerungen
Wir betrachten ein k-Blatt FV (f ) im IRn mit k 2, also dim V n ? 2. In diesem k-Blatt
liegen die r-Newton-Blatter FW (f ) mit W V; W 2 G(r; n) und nach Bemerkung 4-19 (ii)
ist FV (f ) gerade die Vereinigung aller solchen r-Blatter FW . Sei FV (f ) ein regulares kNewton-Blatt, also insbesondere eine abgeschlossene Mannigfaltigkeit im IRn. Sei weiter
f^ : FV (f ) ! IR die Restriktion von f auf FV (f ). Die Frage ist, ob sich die r-Blatter
FW (f ) von f nicht als \verallgemeinerte r-Newton-Blatter" von f^ auassen lassen. Oder,
allgemeiner, wie waren \verallgemeinerte Newton-Blatter" fur Funktionen f : M ! IR auf
dierenzierbaren Untermannigfaltigkeiten M des IRn zu denieren?
Nun gilt fur x 2 FV (f ) ja rf (x) 2 V ?. Fur x 2 FV (f ) sei Tx := Tx FV (f ) der
Tangentialraum an FV (f ) im Punkte x und x : IRn ! Tx sei die orthogonale Projektion
auf Tx . Dann ist rf^(x) = x rf (x) 2 Tx . Folglich liegt rf^(x) in x V ? fur alle x 2 FV (f )
und fur das r-Newton-Blatt FW (f ) gilt: Wenn x in FW (f ) liegt, dann liegt rf^(x) in
x W ?.
Das legt fur regulare Newton-Blatter FV (f ) und Unterraume W V folgende Denition nahe:
FV;W (f ) := fx 2 FV (f ) : rf^(x) 2 x W ?g:
42
Abbildung 5: Newton-Trajektorien zu jpj2 , die zeigen, da
?1 (jpj2 ; IR2 ) zusammenhangend ist.
Diese Menge umfat im allgemeinen allerdings mehr als die Punkte von FW (f ). Da dies
nicht zu vermeiden ist, ist andererseits klar, denn ein \verallgemeinertes Newton-Blatt"
zu f^ mu ja alle kritischen Punkte von f^ umfassen, und das sind neben den kritischen
Punkten von f auch alle Punkte x 2 FV (f ), in denen rf (x) senkrecht auf Tx steht.
Fur zwei verschiedene r-kodimensionale Unterraume W1 ; W2 V erhalten wir:
FV;W1 \ FV;W2 = fx 2 FV : rf^ 2 xW1? \ xW2?g:
Im Schnitt zweier solcher verallgemeinerter Newton-Blatter liegen also stets die kritischen
Punkte von f^. Nur diese Punkte liegen im Schnitt, wenn fur alle x 2 FV (f ) gilt:
xW1? \ xW2? = f0g:
Das allerdings kann man zum Beispiel bei kompakten n ? 1-Mannigfaltigkeiten FV (f )
wegen der Surjektivitat der Gau-Abbildung nicht erreichen.
Wir betrachten nun einige Transformationseigenschaften von Newton-Trajektorien.
Dazu seien F; G 2 C 1 (IRn ; IRn ) und f 2 C 1 (IRn ; IR). Wenn G ein Homoomorphismus
ist, erhalten wir
Tg (F G) = G?1(Tg (F )):
43
Ist dagegen F ein Homoomorphismus, so ergibt sich
Tg (F G) = fx : G(x) 2 F ?1 (hgi)g:
Die Newton-Trajektorie Tg (F G) besteht also aus der Menge der Punkte in IRn fur die
G(x) auf dem homoomorphen Bild der Geraden < g > unter der Abbildung F ?1 liegt.
Fur die Newton-Trajektorien von f G : IRn ! IR mit einem Homoomorphismus G
sieht die Sache allerdings komplizierter aus. Man erhalt:
Tg (f G) = G?1(fx : rf (x) 2 h(D>GjG?1(x) )?1 gig):
Ist G ein linearer Isomorphismus, so folgt zwar
Tg (f ) = G(TG>g (f G));
aber im allgemeinen Fall lat sich Tg (f G) nicht mehr einfach als homoomorphes Bild
einer Newton-Trajektorie zu f darstellen. Der eindimensionale Unterraum des IRn, in dem
der Gradient zu liegen hatte, hangt jetzt vielmehr vom Aufpunkt ab.
Zu einer naheliegenden Verallgemeinerung des Konzepts von Newton-Trajektorien wurde man also gelangen, wenn man die Menge der Punkte betrachtete, in denen F (x) (bzw.
rf (x)) linear abhangig ist von einem Vektor g(x) 2 IRn. Um die Theorie dieser Arbeit
auf diesen Fall u bertragen zu konnen, mute man das Vektorfeld g auf dem Rn noch
parametrisieren und die Vektorfelder g (x) betrachten und diese Parametrisierung mute
so sein, da fur feste x und 6= 0 die Vektoren g (x) und g 0 (x) nicht linear abhangig
sind. Dann ist der Durchschnitt zweier so verallgemeinerter Newton-Trajektorien zu F mit
verschiedenen gerade wieder die Menge der Nullstellen von F .
Wir wollen nun noch den Fall verallgemeinerter Newton-Trajektorien zu Funktionen
auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten kurz beleuchten. Sei also M eine n-dimensionale
dierenzierbare Mannigfaltigkeit mit Riemannscher Metrik, und f; g : M ! IR dierenzierbare Funktionen auf M . Im Sinne des eben Gesagten liegt es nun nahe, die Menge
F (f; g) := fx 2 M : rf (x)krg(x)g
zu betrachten, wobei die Schreibweise xky bedeuten soll, da die beiden Vektoren x und
y linear abhangig sind. Diese Idee wurde schon in [4] vorgeschlagen.
Die Menge F (f; g) enthalt alle kritischen Punkte von f und g und wird unter geeigneten
Voraussetzungen lokal eindimensional sein. Im Spezialfall M = IRn und g linear erhalten
wir oenbar die gewohnlichen Newton-Trajektorien. Man kann groe Teile der Theorie
auf den allgemeinen Fall u bertragen, wenn man mit einer stetig parametrisierten Schar
gt von Funktionen auf M arbeitet, so da < rg (x) > fur variierende in jedem Punkt
x 2 M den ganzen Raum G(n ? 1; n) durchlauft. Fur im IRn+1 eingebettete M ist die auf
M restringierte Funktionenschar g (x) = >x; 2 S n ein Beispiel, das auf die zu Anfang
dieses Kapitels im Falle M = FV (f ) gemachte Konstruktion hinauslauft.
Anstelle von rg konnte man naturlich auch ein anderes parametrisiertes tangentiales
Vektorfeld auf M betrachten, oder gleich die entsprechende Konstruktion fur Vektorfelder
auf M betrachten. Groe Teile der Theorie dieser Arbeit lassen sich auf diese allgemeinen
Falle ubertragen.
Naturlich kann man alles auch noch auf k-Blatter auf Mannigfaltigkeiten verallgemeinern, aber in dieser Arbeit wollen wir uns damit begnugen, diese Moglichkeiten lediglich
anzudeuten.
44
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