Folien

Begriff der Zufallsgröße
Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen dargestellt:
Beispiele:
• Punkte beim Werfen zweier Würfel
• Zeit beim Warten auf den Bus
• Ja= 1 nein = 0
Formal Abbildung:
Im Beispiel:
X : 
(1,1)  2
(1,2)  3
(2,1)  3
(2,2)  4
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1
Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten
Zufallsgröße
Zur Charakterisierung von diskreten Zufallsgrößen
benutzt man die Wahrscheinlichkeitsfunktion.
Sie ist definiert als f ( x)  P( X  x) .
Im Beispiel:
P( X  1)  0
P( X  2)  1 / 36
P( X  3)  2 / 36
P( X  4)  3 / 36
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2
Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße
Zur Charakterisierung von Zufallsgrößen benutzt
man die Verteilungsfunktion. Sie ist für eine
Zufallsgröße X definiert als F ( x)  P( X  x)
Im Beispiel:
P( X  1)  0
P( X  2)  1 / 36
P( X  3)  (1  2) / 36
P( X  4)  (1  2  3) / 36
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3
Erwartungswert und Varianz diskreter Zufallsgrößen
X sei eine diskrete Zufallsgröße mit den möglichen
Werten x1 ,...xn .
Dann sind der Erwartungswert E (X ) und die Varianz Var(X )
wie folgt definiert:
n
E ( X )   xi P ( X  xi )
i 1
n
Var ( X )  E (( X  E ( X )) )   ( xi  E ( X ))2 P ( X  xi )
2
i 1
 x  Var ( X )
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Beispiel: Einfacher Würfel
1
1
1
1
1
1
E ( X )  *1  * 2  * 3  * 4  * 5  * 6  3.5
6
6
6
6
6
6
1
1
1
2
2
V ( X )  * (1  3.5)  * (2  3.5)  * (3  3.5) 2 
6
6
6
1
1
1
2
2
* (4  3.5)  * (5  3.5)  * (6  3.5) 2  2.9
6
6
6
 X  2.9  1.7
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Erwartungswert von linear transformierten
Zufallsgrößen
Für eine Zufallsvariable
a und b):
X gilt (mit beliebigen Konstanten
E (a  b  X )  a  b  E ( X )
Var (a  b  X )  b 2  Var ( X )
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6
Binomialverteilung: Idee
Betrachtet wird ein Bestand mit
• insgesamt N Tieren
• davon sind M erkrankt
• und (N-M) nicht erkrankt
Frage:
Wenn man aus diesem Bestand zufällig n Tiere auswählt (mit
Zurücklegen), wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß hiervon m
Tiere erkrankt sind?
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Binomialverteilung: Formal
X i ist Zufallsvariable mit möglichen Realisierungen
1, falls i  tes gezogenesTier erkrankt
Xi  
0, falls i  tes gezogenesTier nicht erkrankt
Dann gilt:
M
P ( X i  1) 
P
N
n
Frage:
P( X  m)  ?, m it X   X i
i 1
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8
Binomialverteilung: Definition
Die Zufallsvariable der Summe aus n unabhängigen
n
0-1-Variablen X   X i , heißt binomial-verteilt mit
i 1
Parametern n und P, kurz X~Bin(n, P)
Es gilt
n  m
P( X  m)    P (1  P) nm
 m
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Binomialkoeffizient: Definition
Die Größe
n 
n!
(1 2  ... n)
  

 m  m!(n  m)! (1 2  ... m)  (1 2  ... (n  m))
heißt Binomialkoeffizient.
Beispiel
5 
(1 2  ... 5)
120
  

 10
 2  (1 2)  (1 2  3) 2  6
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Binomialverteilung: Anwendungen
Die Binomialverteilung kann stets angewendet werden, wenn
dichotome bzw. binäre, d.h. nomial skalierte Merkmale mit nur
zwei Merkmalsausprägungen vorliegen
• krank vs. gesund
• schwarzbunt vs. braun
• Niedersachsen vs. Bayern
• Grenzwert überschritten vs. unterschritten
• Versuch war erfolgreich vs. nicht erfolgreich
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Binomialverteilung: Beispiel
• Hormonuntersuchung bei Kälbern
Wahrscheinlichkeit für Antibiotika positiv P = 1/10
gezogene Stichprobe
n=5
5
P( X  0)   0.10 (0.9)5  11 0.591 0.591
 0
 5
P( X  1)   0.11 (0.9) 4  5  0.1 0.656  0.329
1 
5
P( X  2)   0.12 (0.9)3  10  0.01 0.729  0.0729
 2
etc.
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Binomialverteilung: Eigenschaften
• Anzahl der erwarteten erkrankten Tiere
E(X) = n P
Beispiel: E(X) = 5  0.1 = 0.5
• Varianz
Var(X) = n P (1-P)
Beispiel: Var(X) = 5  0.1  0.9 = 0.45
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Stetige Zufallsgrößen
•
Darstellung durch Dichtefunktion f
b
P(a  X  b)   f ( x)dx
a
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0.4
Verteilungsfunktion stetiger Zufallsgrößen
0.2
0.1
0.0
Dichte
0.3
:
-4
-2
0
x
b
2
4
P( X  b)  F (b)  
b

f ( x)dx
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Stetige Gleichverteilung
a
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b
18
Stetige Gleichverteilung
Beschreibung: X ist eine Größe zwischen a und b, kein Punkt wird
bevorzugt
X ~ G([a; b])
f ( x) 
1
ba
für
a xb
F ( x) 
1
 ( x  a)
ba
für
a xb
ab
E( X ) 
2
(b  a ) 2
Var ( X ) 
12
Beispiel: a=0, b=10, Wartezeit auf S-Bahn
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Erwartungswert und Varianz stetiger
Zufallsgrößen
Ist
X
stetig mit Dichtefunktion
E( X )  


f x, so definiert man:
xf ( x)dx
Var( X )  E (( X  E ( X )) )  
2


( x  E ( X ))2 f ( x)dx
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Erwartungswert von linear transformierten
Zufallsgrößen
Für eine Zufallsvariable X gilt (mit beliebigen Konstanten a und b):
E (a  b  X )  a  b  E ( X )
Var (a  b  X )  b 2  Var ( X )
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Normalverteilung: Definition
Eine stetige Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit den
2
Parametern  und  , kurz X~N  ,  2  , falls sie die
folgende Dichtefunktion besitzt:


2

1
1 (x  ) 
f X ( X ) :
 exp 

2

2  
 2

Erwartungswert
E (X )  
Varianz
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Var( X )   2
22
Normalverteilung
Dichte der Normalverteilung (müh=0, sigma=1)
Verteilungsfunktion der Normalverteilung (müh=0, sigma=1)
1.0
0.5
0.4
0.3
0.5
0.2
0.1
0.0
0.0
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
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-1
0
23
1
2
3
Normalverteilung
X ~ N ( ; 2 )
Beschreibung: „Glockenkurve“
f ( x) 
1
e
 2
 0 , 5(
x 2
)

dt
Verteilungsfunktion
F ( x) 
1
 2

x

e
 0 , 5(
t  2
)

dt
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Anwendung der Normalverteilung
Die Normalverteilung dient als Verteilungsmodell
in vielen praktischen Fragestellungen, z.B. bei
•
•
•
•
Metrische Größen einer Population
Summen und Durchschnitte von Zufallsgrößen
Natürliche Variabilität
Messfehler
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25
Schwankungsbereiche der Normalverteilung
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28
Beispiel zur Normalverteilung
Bei 250 Katzen wurde der Creatinwert im Blut gemessen:
Studie:
Judit Zapirain Gastón et
al.
Prävalenzen des
felinen Herpesvirus-1
felinen Calicivirus und
von Chlamydophila felis
in
Mehrkatzenhaushalten
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29
Quantile der Normalverteilung: Beispiel
Es sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit
=10 und  =5.
Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
• P (X > 20)
• P (5 < X < 20)
• P (-2 < X < 15)
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