2. ¨Ubung Differentialgleichungen 1 Do. 21. 3. 2013

2. Übung
Differentialgleichungen 1
Do. 21. 3. 2013
1. Skizzieren Sie die folgenden Vektorfelder f : IR2 → IR2 . Bestimmen Sie
die jeweils die allgemeine Lösung und die Integralkurven. Skizzieren Sie
die Integralkurven.
a) f (x, y) = (2, 3),
b) f (x, y) = (1, x),
c) f (x, y) = (1, y),
d) f (x, y) = (x, y),
e) f (x, y) = (x, −y).
2. Gegeben ist die DG
x′ = y
y ′ = x2 .
Zeigen Sie, dass h(x, y) := y 2 /2−x3 /3 eine Erhaltungsgröße ist. Benützen
Sie dies, um die Integralkurven der DG zu bestimmen und zu zeichnen.
Wie verhalten sich die Lösungen für t → ∞ bzw. t → −∞
Hinweis: einige Integralkurven liegen auf einer Neil’schen Parabel.
3. Die Integralkurve eines Vektorfeldes f : IR2 → IR2 durch einen beliebigen Punkt (x0 , y0 ) ∈ IR2 ist durch
(
{
(x0 + y0 )e−t − y0 e2t
y0 e2t
)
,
t ∈ IR}
gegeben. Bestimmen Sie das Vektorfeld f und skizzieren Sie die Integralkurven. Achten Sie darauf, dass das Verhalten der Integralkurven
für t → ±∞ richtig wiedergegeben wird!
Hinweis: das Vektorfeld ist in jedem Punkt der Tangentialvektor der
Integralkurven.
4. Skizzieren Sie das Richtungsfeld und lösen Sie das AWP x(0) = x0 ∈ IR
für
a)
x′ = −2x + 1,
b)
x′ = 2x + cos 3t.
Diskutieren Sie das Verhalten der Lösungen für t → ±∞. Stellen Sie
einige Lösungskurven in einer Skizze dar.
5. Gegeben ist die DG (logistische Gleichung)
x′ = x(1 − x),
x ∈ IR .
a) Skizzieren Sie das Richtungsfeld.
b) Lösen Sie die DG mittels der Transformation
1
x= ,
y
die auf eine lineare DG für y führt.
c) Diskutieren Sie das Verhalten der Lösungen des AWP x(0) = x0 ,
x0 ∈ IR für t → ±∞ und fertigen Sie eine Zeichnung an, die das
Verhalten der Lösungskurven wiedergibt.
d) Skizzieren Sie auch die Integralkurven.
Bemerkung: die DG kann auch mittels Separation der Variablen gelöst
werden, was allerdings aufwendiger ist.
6. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DG
x′ = x2 +
x
1
+ 2.
t
t
Hinweis: Suchen sie zuerst eine Lösung der Form x(t) = a/t, a ∈ IR.