Untersuchung der instrumentellen Polarisation von idealen Fabry

Fakultät für Mathematik und Physik
Untersuchung der instrumentellen Polarisation
von idealen Fabry-Pérot-Interferometern
Diplomarbeit
eingereicht von
Hans-Peter Doerr
aus Rheinbischofsheim
September 2008
Betreuer
Prof. Dr. Oskar von der Lühe
Dr. Thomas J. Kentischer
Die vorliegende Version dieser Diplomarbeit entspricht inhaltlich der offiziell Eingereichten.
Gegenüber der Orginalversion wurden jedoch einige Tippfehler verbessert, sowie das Layout
für die Online-Version angepasst.
Hiermit erkläre ich, dass ich die Arbeit selbständig verfasst und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.
Freiburg, den den 9. Juli 2009
(Hans-Peter Doerr)
Inhalt
Einleitung
4
1 Grundlagen und Methoden
1.1 Wellenoptik und Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Dielektrische Dünnfilmschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Ellipsometrie und Polarimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
10
14
2 Fabry-Pérot Interferometer
2.1 Historie und Anwendung des FPI in der Astronomie
2.2 Mathematische Beschreibung des idealen FPI . . . .
2.3 Fabry-Pérot Filtergraphen . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Intrinsische Polarisation des idealen FPI . . . . . . .
.
.
.
.
15
15
18
26
34
3 Numerische Rechnungen
3.1 Ziel und Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Implementierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Resultate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
38
38
41
4 Messaufbau
4.1 Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
56
59
5 Zusammenfassung und Ausblick
61
Literatur
63
A Zusätzliche Angaben
66
B Programmcode
67
Danksagung
70
3
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.
Einleitung
Interferometer, bei denen das einfallende Licht zwischen zwei teilverspiegelten planparallelen
Flächen zur Vielstrahlinterferenz gelangt, werden nach ihren Erfindern als Fabry-Pérot-Interferometer bezeichnet.
In der Sonnenbeobachtung werden Fabry-Pérot-Interferometer als durchstimmbare Filter
verwendet, die spektral und zeitlich hochaufgelöste, zweidimensionale Spektroskopie von dynamischen Prozessen auf der Sonne erlauben. Fabry-Pérot-Interferometer weisen dabei eine
hohe Transmission auf, so daß trotz der hohen spektralen Auflösung noch Belichtungszeiten im
Millisekundenbereich möglich sind und damit nachträgliche Bildkorrekturverfahren wie SpeckleInterferometrie angewandt werden können.
Für die Beantwortung vieler Fragen der Sonnenphysik ist die Messung von Magnetfeldern,
und zwar sowohl ihrer Stärke als auch ihrer Richtung, von zentraler Bedeutung. Die magnetischen Feldvektoren können über eine Inversion aus spektral aufgelösten Polarisationsmessungen
an geeigneten Spektrallinien rekonstruiert werden. Dazu müssen die Polarisationsmessungen
aber mit hoher Präzision erfolgen. Fabry-Pérot-Interferometer basierte Spektro-Polarimeter
bieten weiterhin eine bestechende Möglichkeit derartige Magnetfeldmessungen nicht nur punktuell, sondern flächenaufgelöst zu betreiben. Abbildung 1 zeigt als Beispiel einige Aufnahmen
aus einem Scan durch eine Spektrallinie, bei dem gleichzeitig alle vier Stokes-Parameter gemessen wurden.
Die Planung und Entwicklung von künftigen Fabry-Pérot-Interferometer basierten Spektro-Polarimetern mit höchster polarimetrischer Genauigkeit erfordert die Untersuchung aller
Aspekte der Entstehung von instrumentell induzierter Polarisation. Polarisationseffekte treten
unter Anderem bei Reflektion und Transmission unter schiefem Einfall auf. Diese lassen sich
nicht vermeiden.
Abbildung 2 soll die Motivation für die vorliegende Arbeit verdeutlichen. Gezeigt ist die
einfallswinkelabhängige Reflektivität für beide Polarisationskomponenten an einer BreitbandReflektionsbeschichtung, wie sie zur Verspiegelung von Fabry-Pérot-Interferometern verwendet
werden, sowie ein Detaillausschnitt bis 0.2°. Dies entspricht etwa dem maximalen Einfallswinkel
auf ein als Filter benutztes Fabry-Pérot-Interferometer. Der Unterschied der Reflektivitäten
ist bei diesem Winkel äußerst gering. Allerdings wird der Polarisationseffekt mit der Anzahl
der Reflektionen potentiert, so daß sich durch die Vielfachreflektion in einem Fabry-PérotResonator ein wesentlich stärkerer, resultierender Polarisationseffekt ergeben kann.
Mit der vorliegenden Arbeit wird erstmals gezielt die durch interne Vielfachreflektion hervorgerufene, instrumentelle Polarisation von idealen Fabry-Pérot-Interferometern anhand eines
numerischen Modells untersucht. Sollte sich die instrumentelle Polarisation für bestimmte Messungen als relevant erweisen, kann eine numerische Modellierung zur Kalibrierung verwendet
werden.
4
Einleitung
5
In Kapitel 1 werden zunächst die physikalischen Grundlagen von Polarisation, ihrer mathematischen Darstellung, sowie die Methoden zur Berechnung der Reflektionsprozesse an Dünnfilmbeschichtungen besprochen.
Kapitel 2 ist ganz dem Fabry-Pérot-Interferometer, der Berechnung seines polarisationsabhängigen Transmissionsspektrums, sowie seiner Anwendung als durchstimmbares Filter für
solare Spektrometer gewidmet. Da die Polarisationseffekte von der Konfiguration des Filters
abhängen, werden hier die relevanten Unterschiede dargestellt.
Die in Kapitel 2 erarbeiteten Methoden werden in Kapitel 3 in numerischen Rechnungen
angewandt. Es werden die Auswirkungen unterschiedlicher Konfigurationen von Fabry-PérotInterferometer mit unterschiedlichen Dünnfilmbeschichtungen berechnet und miteinander verglichen.
In Kapitel 4 wird schließlich ein Meßaufbau beschrieben, der im Optik-Labor des Kiepenheuer-Institus aufgebaut wurde, um die Vorhersagen der numerischen Rechnungen zu überprüfen.
Abbildung 1: Einzelaufnahmen eines „Full-Stokes-Scans“ durch eine magnetisch sensitive solare Eisenlinie bei 630.25 nm, aufgenommen mit dem Spektro-Polarimeter VIP@TESOS des Kiepenheuer-Instituts
am Teide-Observatorium, Teneriffa. Die dargestellen Bilder zeigen nur einen kleinen Detailauschnit der
orginalen Aufnahmen. Reihen von oben nach unten: Gesamtintensität I, Stokes Q, Stokes U , Stokes V .
Die dargestellten Grauwerte sind untereinander nicht vergleichbar, da jedes Bild auf maximalen Kontrast gesetzt wurde. (Die Daten wurden freundlicherweise von A. Tritschler, National Solar Observatory,
USA, zur Verfügung gestellt).
Einleitung
6
Reflektivität an Breitband-Reflektionsbeschichtung, p- und s- Komponenten
100
Reflektivität / %
80
95.4703
95.4703
60
95.4702
95.4702
40
95.4701
95.4701
20
0
95.47
0
10
0
0.05
20
30
0.1
0.15
40
50
0.2
60
Rp
Rs
70
80
90
Einfallswinkel / °
Abbildung 2: Einfallswinkelabhängige Reflektivität der s- und p-Komponenten. Der Detailausschnitt
entspricht etwa dem maximalen Winkelbereich des Strahlengangs in dem FPI als Filter betrieben werden.
Kapitel 1
Grundlagen und Methoden
In diesem Kapitel werden die physikalischen Grundlagen und Methoden beschrieben, die im
weiteren Verlauf der Arbeit benötigt werden. Neben den verschiedenen Möglichkeiten zum
rechnerischen Umgang mit Polarisation von Licht stellt für die Bestimmung der Polarisationseigenschaften von Fabry-Pérot Interferometern die Berechnung der Amplituden-Reflektions- und
Transmissionskoeffizienten ihrer Verspiegelungen nach Abschnitt 1.2.2 einen zentralen Aspekt
dar.
1.1 Wellenoptik und Polarisation
Die komplexwertige elektrische Feldamplitude einer linear in x-Richtung polarisierten, ebenen
Welle mit dem Wellenvektor |k| = 2πn/λ ist durch
E(x, t) = E0 ei(ωt−kx+δ) ex
(1.1)
gegeben. Dabei ist E0 die Ausgangsamplitude der Welle, n der Brechungsindex des Mediums
in dem sich die Welle ausbreitet, und ex der Einheitsvektor in x-Richtung. Die momentane
elektrische Feldstärke der Welle ergibt sich aus dem Realteil
Re (E(x, t)) = E0 cos(ωt − kx + δ)ex
(1.2)
von Gleichung (1.1).
Beliebige Polarisationsrichtungen werden als Überlagerung von zwei linear in x- und yRichtung polarisierten Wellen,
E(x, t) = Ex ei(ωt−kx) ex + Ey ei(ωt−kx+δ) ey
(1.3)
mit festem Phasenunterschied δ = δy − δx dargestellt.
1.1.1 Jones Formalismus
Die beiden orthogonalen Komponenten der polarisierten Welle (1.3) können in einem 2 × 1Spalten Vektor, dem Jones-Vektor
"
#
Ex
E=
(1.4)
Ey eiδ
zusammengefasst werden. Dabei wird die explizite Zeit- und Ortsabhängigkeit von Gleichung (1.1)
unterdrückt. Da beide Komponenten selbst harmonische Schwingungen der gleichen Frequenz
ω darstellen, kann die Feldstärke an jedem Ort und zu jedem Zeitpunkt rekonstruiert werden.
7
Wellenoptik und Polarisation
8
Die Interaktion einer Welle mit einem linearen optischen System wird durch die Multiplikation ihres Jones-Vektors E,
Eaus = J · Eein
"
j
j
= 11 12
j21 j22
#"
Ex eiδx
Ey eiδy
#
,
(1.5)
ein
mit der komplexwertigen Jones-Matrix J des Systems beschrieben. Die Matrixelemente auf
der Hauptdiagonalen von J , j11 = ax ei∆x und j22 = ay ei∆y geben die Abschwächung ax,y
und Phasenverzögerung ∆x,y der ausfallenden gegenüber der einfallenden komplexen Feldamplituden für die x- und y-Komponenten an. Die Elemente auf der Nebendiagonalen geben
entsprechend die Transferkoeffizienten von der einfallenden x- auf die ausfallende y- und von
der einfallenden y- auf die ausfallende x-Komponente an.
Die Transmission einer linear in 45°-Richtung polarisierten Welle mit einem idealen linearen
Polarisationsfilter in horizontaler Stellung ergibt sich dann beispielsweise zu:
"
Eaus
0 0
=
0 1
#" #
" #
1
0
=
.
1
1
(1.6)
Propagation einer Welle durch mehrere optische Elemente wird durch Multiplikation des einfallenden Jones-Vektors mit dem Matrixprodukt der die einzelnen Elemente repräsentierenden
Jones-Matrizen erreicht.
Die Intensität I des Jones-Vektors ist proportional zur Summe der Absolutquadrate seiner
Komponenten. In dieser Arbeit werden absolute Intensitäten nicht benötigt, falls nicht anders
angegeben, gilt daher immer
I = Ex2 + Ey2 .
(1.7)
Die Jones-Darstellung enthält die volle Information über die Amplituden und Phasen der
Wellen, und ist daher zur Beschreibung von kohärentem Licht und Intererferenzeffekten geeignet. Dabei muss beachtet werden, daß der Jones-Vektor (1.4) in seiner zweikomponentigen
Form implizit die Ausbreitung der Welle entlang der z-Achse vorraussetzt. In der vorliegenden
Arbeit sind die Winkel in allen Rechnungen so klein (ca. 0.004 rad), daß die Näherung als
quasi-parallele Ausbreitung ausreichend ist.
Mit der Jones-Matrix Methode können zwar beliebig polarisierte einzelne ebene Wellen, aber
kein partiell polarisiertes oder gar vollständig unpolarisiertes Licht beschrieben werden.
1.1.2 Müller-Stokes Formalismus
Im Müller-Stokes-Formalismus wird polarisiertes Licht durch vier Parameter, S0 . . . S3 , dargestellt, die experimentell einfach zugänglichen Größen entsprechen.
Diese sind neben der Gesamtintensität I die Differenzen der Intensitäten in unterschiedlichen
Polarisationszuständen (Goldstein 2003),
S0 = I = I(90◦ ) + I(0◦ )
◦
(1.8)
◦
S1 = Q = I(90 ) − I(0 )
◦
(1.9)
◦
S2 = U = I(45 ) − I(−45 )
(1.10)
S3 = V = I() − I(),
(1.11)
Wellenoptik und Polarisation
9
dabei bezeichnen und rechts-bzw. links-zirkulare Polarisation. Mit den Komponenten des
Jones-Vektors (1.4) können die Stokes-Parameter einer polarisierten Welle aus
I = Ex2 + Ey2
Q=
Ex2
−
(1.12)
Ey2
(1.13)
U = 2Ex Ey cos δ
(1.14)
V = 2Ex Ey sin δ
(1.15)
berechnet werden.
Die Stokesparamter werden in einem 4 × 1 Spaltenvektor
 
I
Q
 
S= 
U 
(1.16)
V
zusammengefasst, dessen Komponenten üblicherweise auf die Gesamtintensität I normiert werden. Der Stokes-Vektor ist kein Vektor im Sinne der linearen Algebra. Die Darstellung als Vektor erlaubt es aber die Fortpflanzung von polarisiertem Licht mit einem Matrix-Formalismus
ähnlich zu denen der Jones-Matrizen darzustellen.
Optische Elemente werden durch eine 4×4 Müller-Matrix M repräsentiert, und das Produkt
Saus = MSein aus der Müller-Matrix mit einem Stokes-Vektor Sein ergibt den Stokes-Vektor
Saus nach Durchqueren des Elements. Die Bedeutung der Matrixelemente der Müller-Matrix ist
ähnlich zu der bei den Jones-Matrizen: die Elemente auf der Hauptdiagonalen kennzeichnen die
Transferkoeffizienten der Komponenten des einfallenden auf die jeweiligen Komponenten des
transmittierten Stokes-Vektors. Die übrigen Elemente definieren die Wechselwirkung zwischen
allen Komponenten untereinander nach folgendem Muster:


I→I Q→I U →I V →I
I → Q Q → Q U → Q V → Q


.

I → U Q → U U → U V → U 
I→V Q→V U →V V →V
(1.17)
Ein nicht polarisierendes Element hat nur Einträge Mi=j = 1 auf der Hauptdiagonalen, und
ein idealer linearer Polarisator in x-Richtung hat die Müller-Matrix

1
1
1

2 0
0
1
1
0
0
0
0
0
0

0
0

.
0
0
(1.18)
Der Polarisationsgrad G eines Stokes-Vektors wird durch
p
Q2 + U 2 + V 2
I
definiert. Daraus folgt auch die wichtige Bedingung
G=
I≥
q
Q2 + U 2 + V 2 ,
wobei Gleichheit nur für vollständig polarisierte Stokes-Vektoren gilt.
(1.19)
(1.20)
Dielektrische Dünnfilmschichten
10
p
s
k
n
Φ1
y
N1
N2
x
Medium 1
Medium 2
Φ2
Abbildung 1.1: Zur Reflektion und Transmission
an einer planaren Grenzschicht zwischen zwei Medien.
Experimentelle Bestimmung der Müller-Matrix
Für ein beliebiges optisches System kann die Müller-Matrix im Prinzip dadurch bestimmt
werden, daß für vier jeweils vollständig I, Q, U und V -polarisierte Eingangssignale die StokesVektoren S1 . . . S4 nach Durchgang durch das System gemessen werden. Diese bilden dann die
vier Spalten
M1 = S1 /I1
M2 = S2 /I2 − S1
M3 = S3 /I3 − S1
M4 = S4 /I4 − S1
(1.21)
der Müller-Matrix M (Gerrard und Burch 1975). Die so bestimmte Müller-Matrix enthält
im M11 -Element die durch das System transmittierte Intensität, ist also im Allgemeinen verschieden von 1. Für Kalibrationszwecke wird die Müllermatrix üblicherweise normiert auf das
M11 -Element angegeben, d.h. alle Einträge werden mit M−1
11 multipliziert.
1.2 Dielektrische Dünnfilmschichten
Die Herstellung von dünnen dielektrischen Schichten stellt heute ein äußerst wichtiges Teilgebiet der angewandten Optik dar. Mit Dünnfilmschichtsystemen lassen sich neben AntiReflexbeschichtungen auch Breitband-Verspiegelungen, sowie Bandpassfilter und Polarisationsoptiken herstellen (Macleod 2001).
1.2.1 Reflektion und Transmission an Grenzflächen
Ausgangspunkt für die folgenden Betrachtung ist die plane Grenzschicht zwischen zwei homogenen und isotropen Medien mit den komplexen Brechungsindizes N1 und N2 in Abbildung 1.1.
Der komplexe Brechungsindex ist definiert als (Macleod 2001)
N = n − iκ,
(1.22)
Dielektrische Dünnfilmschichten
11
wobei n der normale Brechungsindex und κ der Extinktionskoeffizient des Mediums ist, der
über α = 4πκ/λ mit dem Absorbtionskoeffizient α zusammenhägt. Falls κ von Null verschieden
ist, führt dies also zu einer exponentiellen Dämpfung der Welle (1.1) bei Ausbreitung durch
das Medium.
Die Einfallsebene an der Grenzfläche wird durch den Wellenvektor k und die Flächennormale
n der Grenzschicht aufgespannt. Die Komponente der einfallenden Welle senkrecht zur Einfallsebene wird mit s gekennzeichnet und die parallel zur Einfallsebene mit p. Das Snellius’sche
Brechungsgesetz,
N1 sin φ1 = N2 sin φ2 ,
(1.23)
verbindet den Einfallswinkel φ1 mit dem Winkel φ2 des transmittierten Strahls.
Die transmittierten und reflektierten Amplituden im Verhältnis zur einfallenden Amplitude
Ei definieren die komplexen Amplituden-Reflektions- und Transmissionskoeffizienten für die sund p-Komponenten, und sind durch die Fresnelgleichungen,
Erp
Eip
Ers
Eis
Etp
Eip
Ets
Eis
tan(φ0 − φ1 )
tan(φ0 + φ1 )
− sin(φ0 − φ1 )
= rs =
sin(φ0 + φ1 )
2 sin φ1 cos φ0
= tp =
sin(φ0 + φ1 ) cos(φ0 − φ1 )
2 sin φ1 cos φ0
= ts =
sin(φ0 + φ1 )
= rp =
(1.24)
(1.25)
(1.26)
(1.27)
gegeben.
Die Phasenverzögerung der Fresnelkoeffizienten bei Reflektion ist 0 wenn |N2 | < |N1 | und
sonst π.
1.2.2 Transfermatrix-Methode
Um Transmission und Reflektion an einem System aus mehreren Lagen und entsprechend vielen
Grenzschichten zu berechnen, muss die Vielfachreflektion der Teilwellen in den einzelnen Lagen
berücksichtigt werden und diese alle kohärent aufsummiert werden.
Die Berechnung von Dünnfilmschichten kann dadurch vereinfacht werden, daß das gesamte
Dünnfilmsystem als eine Grenzfläche dargestellt wird, die der einfallenden Welle eine effektive
optische Leitfähigkeit, oder Admittanz, entgegensetzt (Macleod 2001). Die optische Leitfähigkeit
Y ist dabei als der Quotient
C
Y =
(1.28)
B
der Tangentialkomponenten des magnetischen (C) und des elektrischen Feldes (B) an der
Grenzfläche definiert.
Für eine dünne Schicht der Dicke d mit Brechungsindex N , die auf einem Substrat S aufgebracht ist (Abbildung 1.2) kann die optische Leitfähigkeit des Gesamtsystems aus Substrat
und Schicht über das Gleichungsystem
" #
"
B
cos δ
(i sin δ)/η
=
C
i sin(δ) η
cos δ
#"
#
"
1
1
=C
ηm
ηm
#
(1.29)
Dielektrische Dünnfilmschichten
12
Φa
Na
1
N1
...
N...
q
Nq
Ns
Umgebungsmedium
Φ1
Φq
dq
Abbildung 1.2: Ein Dünnfilmschichtsystem. Die q
Filme der Dicke dl sind auf auf einem Substrat
aufgebracht. Der erste Film grenzt an das Umgebungsmedium, der letzte an das Substrat an.
Substrat
aus den optischen Leitfähigkeiten ηm des Substrats und η der Schicht berechnet werden. Dabei
ist δ die Phasenverzögerung
π
(1.30)
δ = 2 N d cos φ
λ
einer Welle der Wellenlänge λ nach Durchlaufen der Schicht unter dem Winkel φ. Die optische
Leitfähigkeit η ist abhängig von Polarisation und Winkel, und für die s- und p-Komponenten
durch
ηs = N cos φ
N
ηp =
cos φ
(1.31)
(1.32)
gegeben.
Die Matrix C in Gleichung (1.29) heißt charakteristische Matrix oder Transfermatrix der
Schicht. Für ein System aus q Schichten kann die Transfermatrix des Gesamtsystems aus dem
Produkt
#) " #
" # ( q "
Y
1
cos δl
(i sin δl )/ηl
B
=
(1.33)
ηm
i sin(δl ) ηl
cos δl
C
l=1
der einzelnen Matrizen berechnet werden. Aus der der Admittanz Y = C/B des gesamten
Schichtsystem wird wiederum der Amplituden-Reflektionskoeffizient r und der Transmissionskoeffizient t mit
ηa − Y
ηa + Y
2ηa
t=
ηa B + C
r=
(1.34)
berechnet. Dabei ist ηa die nach (1.32) berechnete optische Admittanz des Umgebungsmediums. Die beiden Koeffizienten sind, wie die Fresnelkoeffizienten (1.24), polarisationsabhängig
und müssen für die s- und p-Polarisationskomponenten getrennt berechnet werden. Im Gegensatz zu den Fresnelkoeffizienten kann die Phase von r und t auch von 0 oder π verschieden
sein.
Dielektrische Dünnfilmschichten
13
Die Intensitäts-Reflektions und Transmissionskoeffizienten des Schichtsystems erhält man
aus (1.34) mit
ηa − Y
ηa − Y ∗
R = |r| =
ηa + Y
ηa + Y
Re(ηm )
4ηa Re(ηm )
T =
|t|2 =
.
Re(ηa )
(ηa B + C)(ηa B + C)∗
2
(1.35)
(1.36)
Hierbei gilt Energieerhaltung mit R + T + A = 1, wobei die Absorption A für ideale Dielektrika
Null ist.
1.2.3 Breitband-Reflektionsbeschichtungen
Eine einfache Glasplatte reflektiert ca. 4% der einfallenden Intensität. Wird auf die Glasplatte
zusätzlich eine dünne Schicht des Brechungsindex nl sowie der Dicke d (Abbildung 1.3) derart
aufgetragen, daß die an Ober- und Unterseite der Schicht reflektierten Wellen konstruktiv
überlagern, erhöht sich die reflektierte Intensität für eine feste Wellenlänge und Einfallswinkel.
na
nl
nm
1
d
2
Abbildung 1.3: Zur Funktionsweise von Reflektions-Beschichtungen.
Wird die Dicke d und der Brechungsindex nl der dünnen Schicht geeignet gewählt, überlagern sich die an den Grenzflächen 1 und 2 reflektieren Wellen konstruktiv.
Neben der Forderung nach Phasengleichheit der beiden reflektierten Teilwellen, sollte dabei
auch der Brechungsindex in Abhängigkeit von Umgebungs- und Substratmedium so gewählt
sein, daß die Amplituden der reflektierten Teilwellen etwa gleich stark sind.
Schon mit wenigen λ/4-Lagen lassen sich für eine feste Wellenlänge sehr hohe Reflektivitäten erreichen. Diese fallen allerdings abseits der Zentralwellenlänge relativ schnell ab (Abbildung 3.2, Kapitel 3). Die Verspiegelungen, wie sie für Fabry-Pérot-Interferometer-basierte
abbildende solare Spektrometer benötigt werden, müssen möglichst über den gesamten Wellenlängenbereich des sichtbaren Spektrums bis hin ins nahe Infrarote, eine Reflektivität von
etwa 95% aufweisen. Da das Verhalten von Dünnfilmbeschichtungen nur ansatzweise analytisch vorhergesagt werden kann, ist man beim Design von effektiven Beschichtungen, neben
viel Erfahrung, auf numerische Rechnungen angewiesen.
Die Polarisationseigenschaften, also der Unterschied in Amplitude und Phase der Koeffizienten r und t, hängen dabei stark vom Design der Beschichtungen, der Wellenlänge des Lichts
und dem Einfallswinkel ab.
Im Anhang A ist der Aufbau von Breitband-Reflektionsbeschichtungen aus der Literatur
angegeben, die in dieser Arbeit als Grundlage für die numerischen Rechnungen in Kapitel 3
dienen.
Ellipsometrie und Polarimetrie
14
1.3 Ellipsometrie und Polarimetrie
1.3.1 Polarimetrie
Es gibt verschiedene Möglichkeiten die Polarisation von Licht zu messen. Bei astronomischen
Beobachtungen werden üblicherweise die Stokes-Parameter gemessen. Diese können im Prinzip
direkt anhand ihrer Definitionsgleichung (1.11) mit vergleichsweise einfachen Mitteln bestimmt
werden. Für hohe Ansprüche an Sensitivität und Genauigkeit sind natürlich wesentlich aufwändigere Methoden notwendig, die aber hier nicht diskutiert werden sollen. Mit Hinblick auf
die Untersuchung der Instrumentellen Polarisation ist zunächst nur wichtig zu wissen, wie sensitiv ein Instrument sein soll, d.h. bis zu welchem Bruchteil noch Polarisation im einfallenden
Licht nachgewiesen werden kann; und wie genau es ist, d.h. mit welchem absoluten Fehler die
Polarisationssignale bestimmt werden können.
Der Unterschied zwischen der Polarisation des Lichts, wie es vom Objekt ausgesandt wird,
und derjenigen die das Polarimeter registriert, wird als instrumentell induzierte Polarisation,
Depolarisation und Übersprechen bezeichnet.
1.3.2 Ellipsometrie
Mit Ellipsometrie wird ganz allgemein die Bestimmung des Polarisationszustandes einer polarisierten Welle bezeichnet (Azzam und Bashara 1979). Gemeinhin ist damit aber eine Methode
zur Messung von Materialeigenschaften gemeint, bei der die Einwirkung des Materials auf den
Polarisationszustand des von der Probe reflektierten Lichts ausgenutzt wird. Mehr zur Methode
findet sich in Kapitel 4.
In der Ellipsometrie wird die Polarisationsänderung bei Reflektion an einem Medium durch
das Verhältnis
rp
ρ=
= tan(Ψ)ei∆
(1.37)
rs
der komplexen Amplituden-Reflektionskoeffizienten
für die p und s-Polarisation dargestellt.
rp Dabei heißen Ψ = rs und ∆ = δp − δs ellipsometrische Winkel und Gleichung (1.37) ist
die Fundamentalgleichung der Ellipsometrie. Gleichung (1.37) gilt analog für die AmplitudenTransmissionskoeffizienten.
Die Relevanz der Ellipsometrie für diese Arbeit liegt darin, daß die ellipsometrischen Winkel
Ψ und ∆, im Gegensatz zu den Stokes-Parametern, relativ einfach numerisch berechnet werden
können, und sie zudem mit einem vergleichsweise einfachen Messaufbau experimentell bestimmt
werden können. In Kapitel 3 werden Ψ und ∆ für Fabry-Pérot-Interferometer in Transmission
berechnet, und in Kapitel 4 wird ein Messaufbau zu deren Messung vorgestellt.
Kapitel 2
Fabry-Pérot Interferometer
Das Fabry-Pérot-Interferometer (FPI) ist bis heute eines der präzisesten optischen Instrumente
überhaupt (Römer 2005). Viele Erfolge in der Spektroskopie wurden mit Hilfe des FPI erzielt.
Es findet aber nicht nur in der wissenschaftlichen Spektroskopie Verwendung, sondern z.B.
auch als Bestandteil von Wellenlängen-Multiplexern in der optischen-Datenübertragung, wobei
durch hochauflösende spektrale Aufspaltung mehrere optische Frequenzbänder über die gleiche
Glasfaser übertragen werden können.
2.1 Historie und Anwendung des FPI in der Astronomie
In einer Reihe von Artikeln veröffentlichten die französischen Physiker Alfred Pérot und Charles
Fabry ab 1897 das Funktionsprinzip und verschiedene erste Messungen mit einem neuen, von
ihnen entwickelten Interferometer, bei dem Licht zwischen zwei teilverspiegelten Oberflächen
zur Vielstrahlinterferenz gelangt. Fabry und Pérot verwendeten zunächst eine Glasplatte, deren beide äußeren Seiten exakt parallel, und eben poliert und mit einer dünnen Silberschicht
zur Reflektionserhöhung beschichtet waren. Als mögliche Anwendung dachten Fabry und Pérot
Abbildung 2.1: Frühes Fabry-Pérot-Interferometer aus dem Jahr 1901 (aus Vaughan (1989))
zunächst an neue, präzisere Eichmaße (franz. Étalon) für absolute Längen- oder Frequenzmessungen. Schnell wurde jedoch auch die Bedeutung des Instruments für die Spektroskopie klar
(Pérot und Fabry 1899a).
15
Historie und Anwendung des FPI in der Astronomie
16
Abbildung 2.2: Visuelle Photographie des Orionnebels mit überlagertem Interferenzmuster eines FPI
(Buisson, Fabry und Bourget 1914), entnommen aus Vaughan (1989)
Das neue Instrument war, trotz seiner Einfachheit, um ein Vielfaches sensitiver als das
bis dato gebrauchte Michelson-Interferometer, da es nicht nur zwei sondern unendlich-viele
Teilstrahlen zur Interferenz bringt. Bereits 60 Jahre zuvor gelang dem englischen Astronomen
George Airy die Erklärung der ringförmigen Helligkeitsvariationen, die an dünnen Schichten
beobachtet werden können. Durch die kohärente Überlagerung der Teilwellen zwischen zwei
parallelen Oberflächen kommt es unter bestimmten Winkeln zu konstruktiver Interferenz und
damit zu Helligkeitsmaxima. Diese Arbeit von Airy wurde auch von Fabry und Pérot als
Grundlage verwendet.
Hauptsächlich von Fabry selbst wurden FPI sehr bald für astronomische Spektroskopie verwendet, denn es liegt, wie Fabry und Perot in einem Artikel 1899 hervorheben, ein großer
Vorteil des Apparats in seinen geringen Lichtverlusten und der damit verbundenen Möglichkeit, auch sehr lichtschwache (astronomische) Objekte spektroskopisch zu untersuchen (Pérot
und Fabry 1899b). Fabry und Pérot (1902) beschrieben die Anwendung ihres Interferometers
zur Vermessung einiger solarer Spektrallinien, wobei sie besonders die Möglichkeit des FPI
zur absoluten Wellenlängenbestimmung hervorhoben, daß also keine benachbarten Linien bekannter Wellenlänge als Referenz mehr benötigt wurden. Mit einer der ersten kombinierten
visuellen und spektralen astronomischen Beobachtung konnte die Radialgeschwindigkeit des
Orionnebels relativ zur Sonne bestimmt werden (Buisson, Fabry und Bourget 1914). Dabei
wurde das Interferenzmuster des FPI über die visuelle Abbildung auf der Photoplatte gespiegelt (Abb. 2.2) und durch Vermessung der Intererferenzmuster die Dopplerverschiebung einiger
Linien berechnet.
Neben der Vermessung der Interferenzringe gibt es jedoch auch eine weitere Möglichkeit
mit FPI Spektroskopie zu betreiben: den sogenannten Scanmodus, bei dem die transmittierte Intensität als Funktion des Plattenabstandes gemessen wird. Allerdings sind die nötigen
Historie und Anwendung des FPI in der Astronomie
17
Abstandsänderungen so gering, dass diese Methode erst mit der Verfügbarkeit von Piezoaktuatoren, etwa seit den 70er Jahren, zuverlässig funktioniert. Eine weitere Möglichkeit besteht
darin, den Luftdruck zwischen den Platten zu erhöhen, und die Änderung des Brechungsindex
auszunutzen.
Ein bestechender Aspekt von FPI im Scanmodus ist, dass das FPI so als durchstimmbares
Filter direkt in den abbildenen Strahlengang eines Teleskops eingesetzt werden kann. Dies
ermöglicht zweidimensionale Spektroskopie bei vergleichbarer spektraler Auflösung wie mit
Gitterspektrographen, aber viel höherer zeitlicher Auflösung und Lichtstärke. Es gab einige
frühe Versuche, FPI auf diese Weise als abbildende, durchstimmbare Filter einzusetzen, z.B.
PEPSIOS (Mack u. a. 1963). Allerdings wurde die praktische Nutzbarkeit dieser Spektrometer
durch technische Probleme beschränkt.
Mit Piezogesteuerten FPI, bei denen der Plattenabstand laufend über sensible Sensoren
gemessen und über einen geschlossenen Regelkreis mit der Abstandsänderung verbunden ist,
können Parallelität und Abstand der Platten über vergleichsweise lange Zeiträume stabil gehalten werden (Ramsay 1966; Hicks, Reay und Atherton 1984). Die Entwicklung von elektronischen Bildwandlern wie CCDs ermöglichte es schließlich die Vorteile von FPI basierten Filtern,
nämlich hohe spektrale Auflösung bei gleichzeitig hoher Lichtstärke, voll auszunutzen. Eines
der ersten Instrumente dieser Art war das TAURUS Spektrometer (Atherton u. a. 1982). Eine
Zusammenfassung der Entwicklung von FPI im Scanmodus findet sich bei Atherton 1995.
2.1.1 Fabry-Pérot Filter in der Sonnenbeobachtung
Abbildende Fabry-Pérot Spektrometer werden häufig auch als Fabry-Pérot Filtergraphen bezeichnet. Sie spielen heute in der Sonnenbeobachtung eine große Rolle und werden an den
meisten Sonnenteleskopen eingesetzt. Beispiele sind das GFPI (Göttingen Fabry-Pérot-Interferometer; Bendlin, Volkmer und Kneer (1992)), TESOS (Telecentric Etalon SOlar Spectrometer; Kentischer u. a. (1998)), IBIS (Interferometric BIdimensional Spectrometer; (Cavallini
2006)) sowie das kürzlich in Betrieb genommene CRISP (CRisp Imaging SpectroPolarimeter;
Scharmer u. a. (2008)). Die Möglichkeit vergleichsweise große Gebiete auf der Sonne in kurzer
Zeit zu spektroskopieren, erlaubt z.B. die Erstellung von Dopplergrammen, die u.A. für die
sich in den letzten Jahren stark entwickelnde Helioseismologie von großer Bedeutung sind.
Wird ein Filtergraph mit einem Polarimeter kombiniert, können zweidimensionale Polarisationsmessungen (2d-Spektro-Polarimetrie) durchgeführt werden. Diese bilden wiederum die
Grundlage für Magnetfeldmessungen bzw. für die Erstellung von Magnetogrammen.
Die hohen wissenschaftlichen Anforderungen an zukünftige Fabry-Pérot-Interferometer-basierte
Spektro-Polarimeter wie das Visible Tunable Filtergraph (VTF) des US-Amerikanischen Advanced Technology Solar Telescope (ATST) werfen die Frage nach der durch die Instrumente selbst
verusachten Polarisation auf. Diese kann und muß durch entsprechende Kalibrierung oder Modellierung der Instrumente aus den Messdaten herausgerechnet werden, da die instrumentelle
Polarisation oftmals schon größer als die geforderte Genauigkeit ist (Beck u. a. 2005; Keller
2003). Ist eine Modellierung nicht möglich, muss die Müller-Matrix des Gesamtsystems, abhängig von allen relevanten Parametern, gemessen und diese dann zur Kalibierung verwendet
werden. Die Anzahl der Parameter kann allerdings leicht so groß werden, daß eine Messung
kaum in Frage kommt. Eine realistische Modellierung ist daher wünschenswert. Weiterhin kann
Mathematische Beschreibung des idealen FPI
18
Abbildung 2.3: Blick auf zwei der drei piezogesteuerten Etalons des Telecentric Etalon SOlar Spectrometer (TESOS) des Kiepenheuer-Instituts am Vakuum Turm Teleskop (VTT) auf Teneriffa.
so schon in der Designphase des Instruments auf Polarisationseffekte Rücksicht genommen werden.
In diesem Kapitel werden die zur Berechnung der instrumentellen Polarisation von idealen
FPI benötigten Methoden vorgestellt. In Kapitel 3 werden diese zur numerischen Modellierung
von idelalen FPI verwendet und daraus deren Müller-Matrix bestimmt.
2.2 Mathematische Beschreibung des idealen FPI
Die Berechnung der durch das ideale FPI transmittierten Feldamplitude sowie ihrer Intensität
bildet die Grundlage für die in Abschnitt 2.4 folgende Bestimmung der Polarisationseigenschaften des Interferometers. Die Herleitung der Amplitudentransmission des idealen FPI wird
daher im folgenden ausführlich besprochen. Mit ideal ist hier perfekte Parallelität und Oberflächengenauigkeit der Platten bzw. ihrer Beschichtungen gemeint, so daß alle Partialwellen
das Interferometer mit der gleichen relativen Phase verlassen. Weiterhin soll keine Absorption
auftreten. Detaillierte Diskussionen der Vielstrahlinterferenz allgemein, sowie des Fabry-PérotInterferometers an sich, finden sich bei Born und Wolf (1980), Vaughan (1989) und Hernandez
(1988).
Abbildung 2.4 skizziert die Herleitung des Transmissionspektrums eines Fabry-Pérot-Interferometers. Das FPI besteht aus einem transparenten Medium der Dicke d und dem Brechungsindex n, welches auf beiden Seiten durch teilverspiegelte Flächen begrenzt wird. Als
Fabry-Perot Etalons 1 werden beidseitig verspiegelte transparente Platten mit fester Dicke d
1
Die Bezeichnungen „Fabry-Pérot Etalon und“ „Fabry-Pérot-Interferometer“ werden heute oft synonym gebraucht
Mathematische Beschreibung des idealen FPI
E0
1
Φ0
2
Φi
t1
+
r1
19
+ +
Et,1=t1t2
+ +
1 2
tr
+ + -
+ + 1 2 1
t rt
t1r2r1
+ + -
t1r2r1 r2+
+ + -
-
t1r2r1 r2+r1
+ + - + 1 2 1 2 1
t rr r t
+ + - +
Et,2=t1r2r1t2
Et,3=t+1(r+2 r1-)2t 2+
Φ0
Φi
Et,1
d'
d
-
Et,n=t+1(r+2 r1)nt 2+
d
n
{
n
δ
Et,2
Abbildung 2.4: Zur Herleitung der transmittierten Amplitude durch ein Fabry-Pérot Etalon (links),
und ihrer Phasenverzögerung (rechts). Die Amplitude Et,n+1 ist gegenüber Et,n um den Faktor r2+ r1−
0
abgeschwächt, und ihre Phase um ∆ = 2π
λ n(2d − δ) verzögert.
bezeichnet. Die folgende Herleitung gilt auch für Luftgefüllte FPI aus zwei verspiegelten Platten, wenn das Trägermaterial der beiden Spiegel vernachlässigt wird, so daß das gesamte FPI
als nur aus zwei Grenzflächen bestehend modelliert werden kann. Es wird sich später zeigen,
dass die durch diese Annahme gewonnenen Gleichungen in guter Näherung auch für FPI aus
zwei Platten mit endlicher Dicke gelten.
Es gilt die Vereinbarung, dass von links nach rechts laufende Wellen mit einem Plus (+ )
im oberen Index gekennzeichnet sind, und solche, die von rechts nach links laufen, mit einem
Minus (− ). Üblicherweise sind die Platten identisch verspiegelt, zugunsten der Allgemeinheit
geht die folgende Betrachtung aber zunächst von unterschiedlichen Reflektivitäten aus. Die
komplexen Amplituden-Reflektions- und Transmissions-Koeffizienten für die beiden Seiten 1
±
und 2 des Etalons sind damit r1,2
und t±
1,2 (vgl. Abbildung 2.4).
2.2.1 Transmissionsprofil
Eine von links einlaufende Welle der Wellenlänge λ und Einheitsamplitude E0 = 1 trifft unter
dem Winkel φ0 auf das Etalon. Dabei wird der Bruchteil r1+ reflektiert und der Bruchteil
t+
1 in das Etalon transmittiert. Bedingt durch den Brechungsindex n im Etalon beträgt der
Einfallswinkel ab hier jeweils φi . Beim Auftreffen auf die Innenseite der zweiten Oberfläche
wird von der verbliebenen Welle der Bruchteil r2+ reflektiert und t+
2 transmittiert, so daß der
+
erste Teilstrahl das Etalon mit der absoluten Amplitude Et,1 = E0 t+
1 t2 nach rechts verlässt,
+ +
während der Anteil t1 r2 nach links zurück auf die erste Oberfläche reflektiert wird. Die weitere
Verfolgung des Strahls zeigt, das die Amplituden Et,n+1 der nachfolgend durch das Etalon
Mathematische Beschreibung des idealen FPI
20
transmittierten Partialwellen, jeweils um einen Faktor r2+ r1− gegenüber der vorigen Amplitude
Et,n abgeschwächt werden.
Zwischen jeweils zwei Teilstrahlen die das Etalon nach rechts verlassen tritt zudem noch
eine Phasenverzögerung auf, die sich durch die Geometrie und den Brechungsindex n (Abb. 2.4
rechts) zu
2π
2π
∆=
n(2d0 − δ) =
2nd cos φi
(2.1)
λ
λ
ergibt. Damit unterscheiden sich die Amplituden aufeinanderfolgender Partialwellen die das
Interferometer verlassen um den komplexen Faktor r2+ r1− ei∆ . Aus der kohärenten Addition der
ersten m transmittierten Teilstrahlen erhält man dann die Gesamtamplitude
Et (m) =
+
E0 t+
1 t2
1+
m−1
X
(r2+ r1− )l eil∆
!
.
(2.2)
l=1
Die Summe in (2.2) bildet eine geometrische Reihe in r2+ r1− ei∆ , so daß sich für m = ∞ die
totale transmittierte Amplitude
Et = E0
+
t+
1 t2
1 − r2+ r1− ei∆
(2.3)
ergibt. Damit erhält man den effektiven Amplituden-Transmissionskoeffizienten τ des Etalons
mit
+
Et
t+
1 t2
τ=
=
.
(2.4)
E0
1 − r2+ r1− ei∆
Der Intensitäts-Transmissionskoeffizient T = It /I0 des FPI ist dann das Quadrat des Absolutwerts von Gleichung (2.4)
+ + 2
t1 t2 ,
T =
2
1 + r2+ r1− − 2 r2+ r1− cos ψ
(2.5)
wobei der Phasensprung durch die zwei Reflektionen an den Spiegeln,
ϕ = arg r2+ + arg r1− ,
(2.6)
hier mit der Phasenverzögerung ∆ in
ψ = ∆ + ϕ.
(2.7)
zusammengefasst wurd. An Dünnfilm- und Metallbeschichtungen kann ϕ von Null bzw. 2π
verschieden sein und ist im Allgemeinen winkel- und wellenlängenabhängig. Allerdings ändert
ϕ nicht die Form des Transmissionsprofiles, welches nur vom Betrag von r und t abhängt,
sondern verschiebt es zu einer geringfügig anderen Wellenlänge. Dies hat den gleichen Effekt
wie eine sehr kleine Änderung des Plattenabstandes, und es ist auch zweckmäßig ϕ als solche
zu interpretieren. Der Phasensprung ϕ entspricht dann der scheinbaren Abstandsänderung
δd =
ϕ λ
,
2π 2n
(2.8)
Mathematische Beschreibung des idealen FPI
21
beträgt also maximal eine halbe Wellenlänge.
Mit den bisher bereitgestellten Gleichungen können bereits alle interesanten Eigenschaften
des vereinfachten Interferometeraufbaus von Abb. 2.4 berechnet werden. Bezieht man jedoch
die den Resonator begrenzenden Platten – und nicht nur ihre Verspiegelung – mit ein, ist die
Analyse zunächst komplizierter, da jede Platte für sich als Etalon aufgefasst werden muss.
Die Situation ist in Abb. 2.5 skizziert. Die Gesamttransmission einer derartigen Anordnung
kann mit einem Matrixformalismus ähnlich zu der bei Dünnfilmschichten berechnet werden
(van de Stadt und Muller 1985). Allerdings kann so kein durchstimmbares Interferometer
hergestellt werden. Die Plattenabstände d, d1 und d2 müssten ja für jede Wellenlänge, auf die
das Interferometer eingestellt wird, exakt aufeinander abgestimmt werden, was aber hier nicht
möglich ist, da d1 und d2 fest sind. Eine Lösung ergibt sich, wenn man dafür sorgt, dass |t+
1a | = 1
t1+a
+
1a
r
+
+ 1b 1a
1a
t
t r
t1+a t1+
b
t1+a t1+b t2+
a
t1a+ t +
1b
+ + + 1b
1a 1b 2a
t t r t
t2a+ t +
2b
1
1a
d1
n1
1b
d
n
2a
d2
n2
2b
Abbildung 2.5: Transmission und Reflektion and einem FPI aus zwei Platten, die jede für sich ein Fabry-PérotEtalon darstellen. Die Platten sind außen Antireflex und innen Reflektiv beschichtet, so daß
sich in guter Näherung die Zwei-Spiegel Situation aus Abb. 2.4 ergibt.
+
+
und |r1a
| = 0 wird, und entsprechend |t+
2b | = 1 und |r2b | = 0. Damit fällt die jeweils äußere
Grenzschicht beider Platten weg, und es resultiert wieder die oben besprochene Situation aus
Abb. 2.4. In der Praxis lässt sich dieser Forderung mit Hilfe von Antireflexbeschichtungen auf
den Außenseiten der Platten sehr nahe kommen.
Unter der Annahme identischer Verspiegelungen lässt sich Gleichung (2.5) dann weiter
vereinfachen. Die Transmittanz
eines Dünnfilmschichtsystems ist in beide Richtungen gleich
(Macleod 2001), so daß t+ = |t− |. Für identische Verspiegelungen ist weiterhin r1− = r2+ = r
und t1 = t2 = t. Die Intensitätskoeffizienten sind dann T = |t|2 und R = |r|2 . Damit kann (2.5)
als
T2
T =
(2.9)
1 + R2 − 2R cos ψ
geschrieben werden. In der Literatur wird dies oft weiter zu
T =
T2
A(ψ)
(1 − R)2
(2.10)
Mathematische Beschreibung des idealen FPI
22
umgeformt. Dabei ist, mit dem Finessefaktor F = 4R/(1 − R)2 ,
A(ψ) =
1
.
1 + F sin2 (ψ/2)
(2.11)
die bekannte Airy-Funktion 2 . Gelegentlich wird auch Gleichung (2.10) Als Airy-Funktion bezeichnet.
Wenn der Amplitudentransmissionskoeffizient t nach Abschnitt 1.2.2 aus der Transfermatrixmethode bestimmt wird, muss beachtet werden, dass t dort als derjenige Anteil der einfallenden Amplitude definiert ist, der durch die Beschichtung in das Substrat transmittiert
wird. Die Herleitung zum Transmissionskoeffizienten des FPI geht aber davon aus, dass t der
Anteil der durch die Platte (Beschichtung + Substrat)
p transmittierten Amplitude ist. Gemäß
Gleichung (1.36) muss t also noch mit dem Faktor Re(ηm )/Re(ηa ) versehen werden, so daß
Energieerhaltung nach |r|2 + |t|2 = 1, gewährleistet ist.
Mit Gleichung (2.1) und (2.11) folgen periodische Transmissionsmaxima für
m∈N
ψ = 2π m,
(2.12)
Dann ist die Transmittanz des idealen FPI gleich eins, und zwar unabhängig von den Werten
von R und T , sofern keine Absorption auftritt. Die Breite des Transmissionsprofils wird aber
von R und T beeinflußt. Für ψ = (m + 1)π/2 tritt ebenfalls Resonanz auf, allerdings ist hier
die Transmission minimal und die Reflektion maximal, da sich dann die reflektierten Wellen –
und nicht die transmittierten – konstruktiv überlagern.
Aus Gleichung (2.1) und (2.11) wird auch klar, wie mit Fabry-Pérot-Interferometern Spektroskopie betrieben werden kann. Im Falle von parallel einfallendem Licht kann das Interferometer
durch geringfügige Variation des Plattenabstands d auf beliebige Durchlasswellenlängen eingestellt werden (Intererferenz gleicher Weglänge), und so das spektrale Profil der Quelle bestimmt
werden. Bei konvergentem Licht treten Interferenzringe auf, deren Radius bei gegebenem Plattenabstand von der Wellenlänge abhängt (Interferenz gleicher Neigung, Abbildung 2.6). Der
Winkelradius φp dieser Ringe ist mit Gleichung (2.7) und (2.12) gegeben durch
pλ
φp = arccos 1 −
.
2dn
(2.13)
Der Winkelabstand zweier aufeinanderfolgender Interferenzringe zur gleichen Wellenlänge nimmt
somit mit zunehmender Interferenzordnung p ab.
Die Wellenlängendifferenz ∆λ für optimale Transmission zwischen normalem Einfall und
dem im Winkel φ ergibt sich ebenfalls mit (2.7) und (2.12) zu
∆λ = λ(cos φ − 1) ≈ −λ
φ2
.
2
(2.14)
Mit Abweichung vom normalem Einfall verschiebt sich das Transmissionmaximum also mit
dem Quadrat des Einfallswinkels zu kürzeren, blaueren Wellenlängen hin.
2
Nach G. Airy ist auch eine weitere Funktion benannt, die in der Optik zur Berechnung des Beugungsmusters
von kreisförmigen Aperturen verwendet wird (Abschnitt 2.3.1).
Mathematische Beschreibung des idealen FPI
23
p
2
1
Φp
Monochromatische
Punktlichtquelle
FPI
0
Linse
Bildebene
Abbildung 2.6: Fabry-Pérot Interferenzringe. Für monochromatisches Licht tritt Transmission nur unter
bestimmten Winkeln φp auf.
2.2.2 Kenngrößen
Mit Gleichung (2.9) bzw. ihren Umformungen lassen sich die charakteristischen Kenngrößen
eines FPI berechnen und analysieren. Sie sind für die Analyse der Polarisationseigenschaften
nicht von zentraler Bedeutung, werden aber zum Verständnis der weiteren Kapitel benötigt.
Für die Herleitung sei daher auf die gängige Literatur verwiesen, z.B. Tolansky (1948), Born
und Wolf (1980) und Vaughan (1989).
Der freie Spektralbereich (Free Spectral Range, FSR) gibt die Wellenlängendifferenz δλ zwischen zwei aufeinanderfolgenden Transmissionsmaxima an (Abb 2.7, für die also der Phasenunterschied zwischen beiden Maxima ψ1 − ψ0 = 2π ist. Der freie Spektralbereich ist gegeben
durch:
λ20
FSR = δλ =
.
(2.15)
2nd cos φi
Sei ψ1/2 die Phase bei der die Transmittanz nach Gleichung (2.11) auf die Hälfte abgefallen
ψ
ist, dann muss für ψ1/2 gelten, daß F · sin2 1/2
= 1. Für große Werte von F (und damit
2
große R) wird ψ1/2 klein, so dass der Sinus durch sein Argument genähert werden kann. Damit
erhält man für die Phase bei Halbwertsbreite (full width at half maximum, FWHM):
1−R
ψ1/2 = √ .
R
(2.16)
Das Verhältnis von freiem Spektralbereich zur Halbwertsbreite wird Finesse FR genannt,
und wird mit (2.16) durch
√
2π
π√
R
=
(2.17)
FR =
F =π
ψ1/2
2
(1 − R)
ausgedrückt. Der Index R soll darauf hinweisen, dass die so berechnete Reflektions-Finesse nur
für ein ideales FPI mit gegebener Reflektivität R gilt. Die effektive Halbwertsbreite in realen
Interferometern wird durch diverse Effekte wie Abweichungen von der Parallelität, Mikrorauhigkeit der Spiegel usw. verbreitert.
Mathematische Beschreibung des idealen FPI
24
1
0.9
0.8
Transmittanz
0.7
R = 10%
R = 50%
R = 90%
FSR
0.6
0.5
FWHM
0.4
0.3
0.2
0.1
0
499.8
499.85
499.9
499.95
500
500.05
500.1
500.15
500.2
500.15
500.2
Wellenlänge / nm
Transmittanz
1
0.1
R = 10%
R = 50%
R = 90%
0.01
0.001
499.8
499.85
499.9
499.95
500
500.05
500.1
Wellenlänge / nm
Abbildung 2.7: Wellenlängenabhängige Transmissionskurven in linearer und logarithmischer Skalierung
für ein ideales FPI mit Plattenabstand d = 1.0 mm und für unterschiedliche Reflektivitäten.
Abbildung 2.7 zeigt die Transmissionsprofile eines idealen FPI mit unterschiedlichen Reflektivitäten. Der Plattenabstand d beträgt dabei 1.0 mm. Neben der geringeren Halbwertsbreite
wird mit zunehmender Reflektivität auch der Kontrastfaktor
C=
(1 + R)2
,
(1 − R)2
(2.18)
das Verhältnis zwischen der minimalen und maximalen transmittierten Intensität, erhöht (Abb. 2.7).
Für spektroskopische Anwendungen ist weiterhin das spektrale Auflösungsvermögen wichtig,
das als Verhältnis
λ0
R=
= mFR
(2.19)
δλ
Mathematische Beschreibung des idealen FPI
25
der beobachteten Wellenlänge λ0 zur Halbwertsbreite δλ des Instruments bei λ0 definiert wird.
Hierbei ist m die Interferenzordnung m = ∆/(2π), und ∆ die geometrische Phasenverschiebung
nach Gleichung (2.1).
2.2.3 Reale Fabry-Pérot-Interferometer
Das ideale Fabry-Pérot-Interferometer wie es in den letzten Abschnitten behandelt wurde,
stellt für viele Zwecke eine ausreichend gute Näherung da. Mit zunehmender Finesse steigt
jedoch auch der Einfluß von Oberflächenunebenheiten und Abweichungen von der Parallelität
der Platten. Zudem wird die Transmission durch Streuung und Absorption herabgesetzt.
Geometrische Fehler
Um für einen gegebenen freien Spektralbereich die Finesse, und damit das Auflösungsvermögen
weiter zu steigern, müssen nach (2.17) die Reflektivitäten der Verspiegelungen erhöht werden.
Dies führt zu einer höheren Anzahl an internen Reflektionen die wiederum zu stärkerer Verformung der Wellenfronten führt (Abb. 2.8).
Abbildung 2.8: Eine von links einlaufende, ebene Welle wird bei
jeder internen Reflektion im FPI stärker deformiert. Dies hat Einfluß auf die Abbildungseigenschaften des Instruments.
Im optischen Wellenlängenbereich können Oberflächen auf bis zu λ/400 genau poliert werden,
d.h. die mittlere Abweichung des Höhenprofils der Oberfläche beträgt nur wenige Nanometer
vom Sollwert. Komplexe dielektrische Beschichtungen können nicht derart exakt hergestellt
werden. Nach dem Beschichten beträgt die Rauhigkeit bei höchsten Anforderungen noch etwa
λ/200 bis λ/150. Bei Reflektivitäten von 95% ist die Intensität dann nach 10 Umläufen, also
20 Reflektionen, auf etwa 1/e ≈ 37% abgefallen. Die Wellenfrontdeformation beträgt dabei
bereits etwa λ/10. Für beugungsbegrenzte räumliche Auflösung darf diese aber nicht mehr als
λ/15 betragen. Abweichungen von der exakten Parallelität führen ebenfalls zu Wellenfrontdeformationen.
Während sich also die Reflektivitätsfinesse FR im Prinzip unendlich steigern lässt, ist die
effektive, oder reale, Finesse F nach oben beschränkt, und kann als Kombination
"
1
1
1
F=
+ 2 + 2
2
FR FP
FD
#− 1
2
(2.20)
von Reflektivitätsfinesse, der Parallelitätsfinesse FP und der Defektfinesse FD dargestellt werden.
Fabry-Pérot Filtergraphen
26
Die effektive Finesse ist also stets geringer als die Reflektivitätsfinesse, und der Beitrag von
Oberflächendefekten und Abweichung von der Parallelität kann durch Messung der realen, und
rechnerischen Bestimmung der Reflektivitätsfinesse, bestimmt werden.
Absorption
Lichtverluste treten im Resonator sowohl durch Absorption in den Platten, als auch durch
Streuung an Verunreinigungen auf. Beides lässt sich im Absorptionskoeffizienten A zusammenfassen und mit R + T + A = 1 kann Gleichung (2.10) dann geschrieben werden als
T =
1−A
1−R
2
A(ψ).
(2.21)
Absorption verändert also nicht die Breite sondern nur die Höhe der Transmissionsmaxima, und
setzt somit den Kontrastfaktor (2.18) herab. Für reale Interferometer müssen diese Faktoren
berücksichtigt werden, um das Instrument an die wissenschaftlichen Anforderungen anzupassen.
2.3 Fabry-Pérot Filtergraphen
2.3.1 Grundbegriffe der Optik von Teleskopen
Die wissenschaftlichen Anforderungen an einen Filtergraphen, wie spektrale Auflösung, Gesichtsfeld und Empfindlichkeit (Lichtstärke), beschränken sich teilweise gegenseitig, und beeinflußen daher stark die genaue Konfiguration des Systems. Diese muss wiederum eng an
die Konfiguraton des Teleskops angepasst sein, an dem das Instrument zum Einsatz kommen
soll. Bevor weiter auf Aufbau und Funktion von Fabry-Pérot-Filtergraphen eingegangen wird,
ist es daher zweckmäßig, zunächst einige Grundlagen und Begriffe aus dem Teleskopbau zu
besprechen.
Bildenstehung
Die wichtigsten Parameter eines abbildenden optischen Systems lassen sich aus den Abbildungsgleichungen der geometrischen Optik,
1
1 1
= + ,
f
b g
B
b
=− ,
G
g
(2.22)
berechnen. Dabei bezeichnen g und b die Entfernung von Gegenstand und Bild zur Linse mit
der Brennweite f , und G und B die Größe von Gegenstand und Bild. Bei einem astronomischen Fernrohr ist der Gegenstand soweit entfernt, dass 1/g vernachlässigt werden kann
und eine scharfe Abbildung des Gegenstands in der Brennebene (F1) im Abstand f1 von der
Linse und mit der Größe B entsteht (Abbildung 2.9). Die Aperturblende (AB) definiert die
Eintrittspupille und begrenzt den Durchmesser D und damit die Lichtsammelfläche des Teleskops. Aufgrund der großen Entfernung zum Gegenstand verlaufen die Strahlen von einem
Fabry-Pérot Filtergraphen
27
B1
D
g
f2
f1
Objekt
AB/L1
FB/F1
L2
Abbildung 2.9: Strahlengang in einem astronomischen Teleskop.
Punkt auf dem Gegenstand parallel. Unterschiedliche Punkte auf dem Objekt entsprechen also
parallelen Strahlbündeln, die aus unterschiedlichen Winkeln auf das Teleskop treffen. Ein 70 cm
Sonnenteleskop empfängt etwa 500 Watt Strahlungsleistung, von der nur ein Bruchteil durch
die weitere Optik und auf den Detektor geleitet werden darf. Die Feldblende (FB) dient daher
zum Ausstanzen eines begrenzten Bereichs des Bildes, deren Druchmesser DF zusammen mit
der Brennweite das Gesichtsfeld (Field of View, FOV),
FOV = tan
DF
DF
≈
,
f
f
(2.23)
also den Öffnungswinkel des sichtbaren Bereichs auf dem Objekt, definiert. Weitere Linsen
(L2. . . ), Spiegel usw. lenken dann das Licht vom Primärfokus weiter auf die Instrumente.
Lichtstärke und Auflösungsvermögen
Die wissenschaftlichen Anforderungen, räumliches Auflösungsvermögen, Gesichtsfeld sowie die
Empfindlichkeit, bestimmen den Durchmesser D der Eintrittsapertur sowie die effektive Brennweite f des Primärfokus. Der Quotient aus Teleskopöffnung D und Brennweite f , heißt Öffnungsverhältnis, sein Kehrwert
f
f /# :=
(2.24)
D
wird als Öffnungs- oder F-Zahl bezeichnet und oft durch das Symbol f /#, oder einfach mit
f /100, für f /# = 100, ausgedrückt.
Das Produkt aus der Fläche eines Objekts und dem Raumwinkel, in den es Licht abstrahlt,
wird in der Optik als Etendue oder Durchsatz,
Z Z
E=
dA dΩ,
(2.25)
A Ω
bezeichnet. Bei einem Teleskop ist der Durchsatz in guter Näherung das Produkt aus der
Fläche der Teleskopapertur und dem Raumwinkel, aus dem die Apertur aus der Entfernung
des Objekts erscheint. Der Durchsatz spiegelt die Energieerhaltung bei der Lichtausbreitung
Fabry-Pérot Filtergraphen
28
zwischen Quelle und den Elementen eines optischen Systems wider und ist damit, in einem
idealen Instrument, eine Erhaltungsgröße. Soll das Instrument einen hohen Durchsatz, also
geringe Lichtverluste, aufweisen, legt er den Mindestdurchmesser aller weiteren Pupillenebenen
im Strahlengang fest. Sind sie kleiner, fungieren sie als weitere (unerwünschte) Aperturblenden,
veringern also den Strahlungsfluss, der von einem Punkt auf dem Objekt zum Detektor gelangt.
Die vom Teleskop empfangene Intensität wächst quadratisch mit dem Durchmesser der Öffnung, die Intensität in der Bildebene sinkt nach (2.22) quadratisch mit der Brennweite. Um für
eine vorgegebene Mindestintensität in der Bildebene die Größe der Abbildung zu verdoppeln,
etwa um den benötigten Abbildungsmaßstab für die Pixelgröße eines bestimmten Detektors
zu erreichen, ist also auch der doppelte Teleskopdurchmesser notwendig. Die Größe f /# wird
daher auch als Lichtstärke bezeichnet.
Die Intensitätsverteilung in der Bildebene, wie sie aus der Abbildung einer Punkt-lichtquelle resultiert, wird Punktverbreiterungsfunktion (Point spread function, PSF) des Instruments genannt. In einem idealen Instrument entspricht die Punktverbreiterungsfunktion dem
Absolutquadrat der Fouriertransformierten der Amplitudenverteilung in der Eintrittspupille,
2
+∞
Z +∞
Z
1
0
0
PSF(x0 , y 0 ) = Apup (x, y) ei(xx +yy ) dx dy 2π
−∞ −∞
= |FT{ Apup (x, y)}|2 .
(2.26)
Dabei sind x, y und x0 , y 0 die rechtwinkligen Koordinaten in Pupillen bzw. Bildebene. In einem
idealen Instrument mit kreisförmiger, gleichförmig ausgeleuchteter Apertur ist die Punktverbreiterungsfunktion durch die Airy-Funktion (Bahner 1967)
0
I(r ) = I0
2 J1 (q)
q
2
(2.27)
0
gegeben. Dabei ist J1 (x) die Besselfunktion erster Ordnung, q = NπA rλ und r0 die radiale Position in der Bildebene. Io ist die Intensität in der Pupillenebene. Für nicht punktförmige Quellen
erhält man die Intensitätsverteilung in der Bildebene aus der Faltung der Quellverteilung mit
der PSF.
Die Winkelauflösung nach Rayleigh bestimmt denjenigen Winkelabstand zweier Punktquellen, bei dem das zentrale Beugungsmaximum der einen gerade in das erste Minimum der
anderen Quelle fällt (Abb. 2.10). Die Winkelauflösung ist für eine kreisförmige Apertur durch
∆α = 1.22
λ
D
(2.28)
gegeben. Daraus folgt das lineare Auflösungsvermögen in der Bildebene mit
∆x = 1.22 λ f /#.
(2.29)
Um dem Nyquist-Shannon’schen Abtasttheorem (Bracewell 2000) zu genügen, darf für beugungsbegrenzte Auflösung die laterale Abmessung eines Detektorelements höchstens ∆x/2 betragen. Um die räumliche Auflösung nach Gleichung (2.28) auch nutzen zu können, ist also
ein Detektor mit entsprechend dimensionierten Auflösungselementen notwendig, wobei die Gesamtgröße des Detektors auch an das benötigte Gesichtsfeld angepasst sein muss.
Fabry-Pérot Filtergraphen
1.2
Intensität
1
1.2
Quelle 1
Quelle 2
Summe
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
-3
-2
-1
0
0
1
x/π
29
Quelle 1
Quelle 2
Summe
-3
-2
-1
0
1
x/π
Abbildung 2.10: Querschnitt durch die Airy-Beugungsmuster zweier Punktquellen. Links: nicht aufgelöst, rechts: aufgelöst nach Rayleighkriterium.
2.3.2 Position von Filtern im Strahlengang
Für Filter in einem abbildenden Strahlengang kommen zwei Positionen in Frage: in einer
Pupillenebene oder in einer Fokalebene. Beide Montierungen haben ihre Vor- und Nachteile
die sich in gewissem Sinne komplementär zueinander verhalten.
Die Blauverschiebung des Transmissionsmaximums nach Gleichung (2.14) beschränkt in beiden Fällen die minimale Öffnungszahl des Strahlengangs. Um ein Überlappen mit höheren
Ordnungen zu vermeiden, darf die Wellenlängenverschiebung bei maximalem Einfallswinkel
nicht größer als der halbe freie Spektralbereich bei normalem Einfall sein. Also gilt mit Gleichung (2.14) und (2.15) für den Einfallswinkel
s
φmax ≈
λ
,
2nd
(2.30)
wobei d der Plattenabstand und n der Brechungsindex zwischen den Platten ist.
Kollimierte Montierung
Das FPI befindet sich in der Pupillenebene P. Licht von einem Punkt in der Fokalebene F1
wird durch die Linse L1 kollimiert durch das FPI geführt, und durch L2 auf die Bildebene
F2 abgebildet (Abb. 2.11). Alle von einem Punkt in in F1 ausgehenden Strahlen werden also in einem parallelen Bündel durch das FPI geführt, und verschiedene radiale Positionen in
der Bildebene entsprechen verschiedenen Einfallswinkeln auf das Interferometer. Für eine feste Scanposition verschiebt sich somit nach Gleichung (2.14) das Transmissionsmaximum mit
zunehmendem radialem Abstand von der Bildmitte immer weiter zu kürzeren Wellenlängen.
Dies führt zu einem radialen Wellenlängengradienten durch die Bildebene. Für die Datenauswertung müssen die Bilder aller Scanpositionen entsprechend miteinander verrechnet werden.
Außerdem muss der Scanbereich entsprechend Gleichung (2.14) größer gewählt werden, was zu
etwas schlechterer zeitlicher Auflösung führt.
Fabry-Pérot Filtergraphen
F1
L1
FPI / P
30
L2
F2
Abbildung 2.11: Strahlengang in der kollimierten Montierung
F1
L1 P1 L2
FPI / F2
L3 P2 L4
F3
Abbildung 2.12: Strahlengang in der telezentrischen Montierung
Von jedem Bildpunkt wird die gesamte Oberfläche des Interferometers beleuchtet, so daß sich
lokale Rauhigkeiten oder Inhomogenitäten stets auch auf die gesamte Bildebene auswirken. Die
Finesse des FPI wird entsprechend über die gesamte Bildebene verschlechtert.
Telezentrische Montierung
Das FPI befindet sich in der Fokalebene F2. Licht von einem Punkt in der Fokalebene F1
wird durch die Linse L1 kollimiert, und dann durch L2 in das FPI abgebildet. L3 kollimiert
wiederum und L4 bildet schließlich in die Fokalebene F3 ab. (Abb. 2.12).
Alle von einem Punkt in F1 ausgehenden Strahlen werden also in einem konvergenten Bündel
durch das FPI geführt, dessen Öffnungswinkel durch den Pupillendurchmesser und die Brennweite von L2 gegeben ist. In der telezentrischen Montierung wird die Pupille kollimiert durch
das FPI geführt und verschiedene radiale Positionen in der Pupille entsprechen verschiedenen
Einfallswinkeln auf das Interferometer. Für eine feste Scanposition verschiebt sich daher mit
Gleichug (2.14) das Transmissionsmaximum mit zunehmendem radialem Abstand von der Pupillenmitte immer weiter zu kürzeren Wellenlängen. Die äußeren Bereiche der telezentrischen
Pupille werden also mit blauerem Licht beleuchtet, und die Punktverbreiterungsfunktion ist
als Fouriertransformierte der Pupillenausleuchtung für die blaueren Wellenlängen schmaler als
für die unter senkrechten Einfall. Die Punktverbreiterungsfunktion enthält im telezentrischen
Strahlengang also ebenfalls einen radialen Wellenlängengradienten.
Enthält nun das einfallende Licht einen spektralen Gradienten, z.B. aus einer Absorptionslinie, resultiert dies, von der Bildebene aus betrachtet, in einer radialen Intensitätsvariation
Fabry-Pérot Filtergraphen
31
1
normierte Intensität
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
relative Wellenlänge / pm
Abbildung 2.13: Pupillenapodisation (berechnet) an einer Absorptionslinie durch ein FPI in einem
telezentrischen f /128-Strahlengang (FWHM ≈ 2 pm).
durch die Pupille P2 (Pupillenapodisation). Diese Variation hängt neben der Steigung auch
vom Vorzeichen des Gradienten ab, d.h. sie unterscheidet sich je nachdem ob das Interferometer auf die blaue oder die rote Seite einer Spektrallinie zentriert ist. Abbildung 2.13 zeigt die
Verhältnisse für ein FPI mit einer Halbwertsbreite von ca. 2 pm in einem f /128-Strahlengang.
Zusammen mit der Wellenlängenabhängigkeit der Punktverbreiterungsfunktion können sich
leicht unterschiedliche gemessene Intensitäten für gleichweit vom Linienzentrum entfernte Positionen ergeben. Dies wiederum kann bei Dopplermessungen zu künstlichen bzw. falschen
Geschwindigkeitssignalen führen (Beckers 1998). Für große F-Zahlen (f /# > 200) kann die
Pupillenapodisation weitgehend vernachlässigt werden (von der Lühe und Kentischer 2000;
Scharmer 2006).
Mit Hinblick auf die Blauverschiebung ist der maximale Akzeptanzwinkel, bzw. die minimale
F-Zahl, für eine geforderte spektrale Auflösung dann nach Gleichung (2.14) durch
f /#min
1
=
2
2 ∆λ
λ
− 1
2
(2.31)
gegeben. Diese Abschätzung ist sehr optimistisch, und gilt nur für ein ideales FPI, bei dem die
effektive Finesse, und damit das Auflösungsvermögen, nicht durch Oberflächendefekte zusätzlich herabgesetzt wird.
Da das FPI in einer Bildebene steht, werden Verschmutzungen sowie Oberflächendefekte
(bzw. deren Auswirkungen) direkt abgebildet, was zu einer schlechteren Abbildungsqualität
führt. Insbesondere zeigen telezentrisch montierte Filter dadurch oft einen Orangenhaut-Effekt.
Andererseits wirken sich lokale Abweichungen von der Idealität auch nur auf jeweils begrenzte
Gebiete in der Bildebene aus.
Fabry-Pérot Filtergraphen
32
2.3.3 FPI im Scanmodus
Zum Durchstimmen des FPI auf die zu beobachtenden Wellenlängen wird der Plattenabstand
über Piezoaktuatoren verändert. Die benötigte Variaton ε des Plattenabstandes liegt dabei
im Nanometerbereich, während der maximal erzielbare Hub der Piezoaktuatoren bei wenigen
Mikrometern liegt. Um ein FPI mit Plattenabstand d in Resonanz zur Wellenlänge λc zu
bringen muss d nach Gleichung (2.1) um
deff
ε = deff − floor
deff
λc
(2.32)
verkleinert werden. Dabei ist deff = d + δd der mit Gleichung (2.8) um die Phasenverschiebung
nach Reflektion korrigierte, effektive Plattenabstand.
Eine derart exakte Positionierung erfordert einigen technischen Aufwand. Die Halterungen
der Etalons müssen aus Materialien mit niedrigem Temperaturausdehnungskoeffizienten gefertigt werden, z.B. Invar Stahl, zudem muss die Temperatur konstant gehalten werden. Außerdem
ist eine ständige Kontrolle und Korrektur von Abstand und Parallelität nötig.
2.3.4 Multi-Fabry-Pérot Interferometer
Um die benachbarten Ordnungen um die Beobachtungswellenlänge zu unterdrücken, müssen
entsprechend schmale Vorfilter eingesetzt werden. In der Sonnenbeobachtung ist man in der
komfortablen Situation, dass die Quelle auch bei sehr hohen spektralen Auflösungen noch genügend Intensität liefert, um Beobachtungen mit kurzen Integrationszeiten (Millisekunden)
zuzulassen. Die spektrale Auflösung λ/∆λ typischer Filtergraphen in der Sonnenbeobachtung
beträgt bis zu einigen Hundertausend. Bei gegebener Reflektivität und gewünschter Auflösung
ergeben sich nach Gleichung (2.19) Plattenabstände um einen Millimeter. Der freie Spektralbereich ist dabei so gering, dass extrem schmalbandige Vorfilter verwendet werden müssten (ca.
0.1 nm Halbwertsbreite). Entsprechend schmale Filter haben aber eine geringe Transmission
von nur wenigen Prozent, so dass ein Vorteil von FPI, die hohe Lichtausbeute, weitgehend
aufgehoben würde.
Eine Möglichkeit besteht nun darin, mehrere FPI mit leicht unterschiedlichen Freien Spektralbereichen zu verwenden, so daß die benachbarten Ordnungen um die Zentralwellenlänge
weitgehend unterdrückt werden. Das kombinierte Transmissionsspektrum eines solchen MultiFabry-Pérot-Interferometers (MFPI) ist dann in erster Näherung das Produkt
Tkombi (λ, φ) = Tpf (λ, φ)
n
Y
Ti (λ, φ)
(2.33)
i=1
der Transmissionsprofile der n einzelnen Interferometer sowie das des Vorfilters, Tpf (λ, φ), gegeben. Daraus resultiert zusätzlich zu einem weitaus größeren effektiven Freien Spektralbereich
ein stark erhöhter Kontrast C sowie eine schmalere effektive Halbwertsbreite (Abb. 2.14). Gleichung (2.33) gilt nur näherungsweise weil sie Rückreflektionen zwischen den einzelnen FPI
außer Acht lässt. Der Anteil an Intensität, der von einem FPI nicht transmittiert wird, wird
reflektiert. Bei Hintereinanderschaltung mehrerer FPI führt dies dazu, dass Licht in Wellenlängen außerhalb des gemeinsamen Transmissionsmaximums zwischen den einzelnen Etalons
hin und her reflektiert und dabei jeweils ein Teil transmittiert wird. Dadurch resultiert ein
Fabry-Pérot Filtergraphen
33
gewisser Anteil an Streulicht, sogenannten Geistern. Diese können durch geschickte Wahl der
Plattenabstandsverhältnisse minimiert werden. Der sowieso benötigte Vorfilter wird üblicherweise zwischen zwei der Etalons gesetzt, um so die Geisterreflektionen weiter zu dämpfen.
1
0.1
0.01
Transmittanz
0.001
FPI 1
FPI 2
FPI 3
FPI 1+2+3
0.0001
1e-05
1e-06
1e-07
1e-08
1e-09
1e-10
499.7
499.8
499.9
500
500.1
500.2
500.3
Wellenlänge / nm
Abbildung 2.14: Nach Gl. (2.33) berechnetes Transmissionsspektrum der einzelnen FPI eines MFPI sowie ihrer Kombination. Der effektive FSR sowie der Kontrast werden durch geeignete Wahl der einzelnen
FSR um ein Vielfaches erhöht.
Das Fabry-Pérot-Spektrometer TESOS des Kiepenheuer-Instituts am VTT auf Teneriffa verwendet z.B. drei identische FPI in Reihe mit Plattenabständen von d1 = 1.3 mm, d2 = 0.617 d1
und d3 = 0.439 d1 (Kentischer u. a. 1998; Tritschler u. a. 2002). Abbildung 2.14 zeigt das berechnete Transmissionsspektrum eines Triple-FPI Filtergraphen mit diesen Abstandsverhältnissen
und für Reflektivitäten der Etalons von 95%.
Die Plattenabstände der einzelnen FPI können nur in diskreten Werten verändert werden. Bei
nicht ganzzahligen Abstandsverhältnissen können die einzelnen FPI daher beim Scannen etwas
gegeneinander verstimmt sein was wiederum in Intensitätsvariationen resultiert. Diese betragen
weniger als ein Prozent, sind periodisch, und können daher z.B. durch einen Fourierfilter aus
dem aufgenommenen Spektrum herausgefiltert werden (Tritschler u. a. 2002).
Die in Abschnitt 2.2.3 angesprochenen Phasen- bzw. Wellenfrontdeformationen addieren sich
bei Verwendung mehrerer FPI. Für Beugungsbegrenzte räumliche Auflösung muss dies bei der
Auswahl und Konfiguration der FPI beachtet werden.
2.3.5 Vereinbarkeit der wissenschaftlichen Anforderungen
Fabry-Pérot-Filtergraphen erlauben außerordentlich hohe spektrale Auflösungen bei gleichzeitig höchstmöglicher Transmissivität. Je schmaler aber der Durchlassbereich des Filters wird,
desto weniger Intensität gelangt auf den Detektor. Das Dilemma dabei ist, dass nach Abschnitt 2.3.1 bei beugungsbegrenzter Auflösung die Intensität für ein Auflösungselement in der
Bildebene eine Konstante ist, egal wie groß die Teleskopöffnung gewählt wird. Daher müssen
Intrinsische Polarisation des idealen FPI
34
für abbildende Spektroskopie der Strahlengang und die verwendeten optischen Elemente auf
Durchsatz optimiert werden, um möglichst wenig Lichtverluste zu erlauben – sprichwörtlich
jedes Photon zählt.
Die Konstanz der Etendue (2.25) bedingt für ein Teleskop mit Durchmesser D und einem
Gesichtsfeld mit Öffnungswinkel ϑ den Mindestdurchmesser
Dmin = D ϑ · f /#
(2.34)
der Etalons in einem Strahlengang mit der F-Zahl f /#. Für einen kollimiert montierten Filter
kann f /# im Prinzip beliebig klein gewählt werden – mit den oben aufgeführten Konsequenzen
für die Aufnahme und Interpretation der Daten.
Für telezentrisch montierte Filter ergibt sich ein minimaler Wert für f /# durch die geforderte spektrale Auflösung, die durch die unter schiefem Einfall verursachte Blauverschiebung (2.14)
des Durchlassbereichs begrenzt wird. Für einen Filtergraphen in einem f /250-Strahlengang mit
einem Gesichtsfeld von 30 Bogensekunden und einer spektralen Auflösung von 2 pm ergibt das
einen Etalondurchmesser von etwa 200 mm für das geplante Advanced Technology Solar Telescope mit 4 m Öffnung (Hubbard u.a. 2006; Robinson, Balasubramaniam und Gary 2006).
Etalons dieser Größe liegen an der Grenze des technisch Machbaren.
Die Blauverschiebung hängt nach Gleichung (2.14) vom Winkel φ des Strahls im FabryPérot-Resonator ab. Verwendet man statt luftgefüllter Etalons ein transparentes Medium mit
einem wesentlich höheren Brechungsindex, z.B. ein transparentes Öl (n ≈ 2), könnte der Winkel
im Etalon auf
nLuft
1
φÖl =
sin φLuft ≈
(2.35)
nÖl
nÖl
verringert werden. Dies würde ein 1/nÖl -mal so großes Öffnungsverhältnis mit entsprechend
um 1/nÖl verkleinerten Etalon-Durchmessern erlauben (Gary, Balasubramaniam und Robinson
2005).
2.4 Intrinsische Polarisation des idealen FPI
In Abschnitt 2.2 wurde der komplexe Amplituden-Transmissionskoeffizient des idealen Fabry-Pérot-Interferometers bestimmt. Es hat sich gezeigt, dass dieser von den AmplitudenReflektionskoeffizienten der Plattenbeschichtung abhängt. Diese wiederum können mit dem in
Abschnitt 1.2 beschriebenen Matrixformalismus aus dem Aufbau der Dünnfilmbeschichtung
berechnet werden. Weiterhin sind die so bestimmten Reflektionskoeffizienten polarisationsabhängig, so dass die Transmittanz des idealen FPI ebenfalls polarisationsabhängig ist. Die
rechnerische Bestimmung derselben ergibt eine Abschätzung für die Polarisationseigenschaften
des realen FPI, die, bedingt durch Defekt- und Parallelitätsfinesse, stärker ausfallen können
als am idealen Instrument. Im Folgenden soll die durch die interne Vielfachreflektion unter
schiefem Einfall hervorgerufene, intrinsische Polarisation des idealen FPI untersucht werden.
2.4.1 Jones Matrix
Die Polarisationstransferfunktion (PTF) eines vollständig polarisierenden optischen Instruments kann nach Abschnitt 1.1.1 sehr elegant durch dessen Jones-Matrix ausgedrückt werden.
Intrinsische Polarisation des idealen FPI
35
y
F PI
x
p
ϑ
n
s
ϕ
z
k
Abbildung 2.15: Zur Transformation zwischen x, y- und
p, s-Komponenten. Die Einfallsebene wird durch den
Normalenvector n der FPI-Oberfläche sowie dem Wellenvektor k der einfallenden Welle aufgespannt. Für
kleine Einfallswinkel φ ist p, s um den Azimutalwinkel
ϑ gegenüber x, y gedreht.
Für ebene Wellen bzw. monochromatisches Licht, welches unter dem gleichen Einfallswinkel
auf das FPI fällt, ist die Vorraussetzung der vollständigen Polarisation beim idealen FPI gegeben, weil keine Absorption, Streuung oder Verformungen der Wellenfronten stattfindet. Die
Jones-Matrix enthält die Transferkoeffizienten für die x- und y- Komponenten des elektrischen
Feldes. Für ein FPI entsprechen diese dem Transmissionskoeffizienten aus Gleichung (2.4),
wenn dieser für die s- und p-Komponenten getrennt berechnet wird. Dazu müssen die x- und
y-Komponenten der einfallenden Amplitude zunächst in die p- und s-Komponenten an der Einfallsebene transformiert werden. Abbildung 2.15 verdeutlicht die Situation. Wenn der Azimutalwinkel ϑ gleich null ist und der Einfallswinkel φi sehr klein, ist die senkrechte Komponente s
parallel zu y und die parallele Komponente p annähernd parallel zu x. Für kleine Einfallswinkel
genügt zur Transformation also eine Rotation um die z-Achse mit der Rotatationsmatrix
"
#
cos ϑ sin ϑ
.
R(ϑ) =
− sin ϑ cos ϑ
(2.36)
Hieraus kann dann die einfallende Amplitude in Form des Jones-Vektors E in x, y-Darstellung
über
" #
" #
Ep
Ex
= R(ϑ)
(2.37)
Es
Ey
in die p, s-Komponenten überführt werden. Die Rücktransformation erfolgt analog über
Ex,y = R(−ϑ) Es,p .
(2.38)
Intrinsische Polarisation des idealen FPI
36
Damit und mit Gleichung (2.4) kann schließlich die Jones-Matrix in x, y-Koordinaten,
"
#
τ
0
R(ϑ)
J (λ, λc , φ, ϑ) = R(−ϑ) p
0 τs
"
#
τp cos2 ϑ + τs sin2 ϑ
τp cos ϑ sin ϑ − τs sin ϑ cos ϑ
=
,
τp sin ϑ cos ϑ − τs cos ϑ sin ϑ
τp sin2 ϑ + τs cos2 ϑ
(2.39)
für das FPI aufgestellt werden. Für ein gegebenes FPI hängt J also vom Einfallswinkel φ, dem
Azimutalwinkel ϑ, der Wellenlänge λ der einfallenden Welle sowie der Zentralwellenlänge λc ,
auf die das FPI eingestellt ist, ab. Für ansonsten feste Parameter entsprechen die Matrixelemente J 11 und J 22 den Amplituden-Transmissionskoeffizienten für die x- und y-Komponenten
der einfallenden Jones-Vektoren, und die Elemente auf der Nebendiagonalen beschreiben die
Wechselwirkung zwischen x- und y-Komponenten bei Durchgang durch das FPI.
2.4.2 Qualitatives Verhalten
Konkrete Berechnungen sind aufgrund des hohen Rechenaufwandes für die Transfermatrixmethode für Dünnfilmschichtsyteme nur numerisch möglich (Kap. 3). Qualitative Aussagen
können jedoch auch anhand des Transmissionskoeffizienten des FPI (2.5),
τ (λ, φ) =
+
t+
1 (λ, φ) t2 (λ, φ)
,
1 − r2+ (λ, φ) r1− (λ, φ) ei∆(λ, φ)
(2.40)
getroffen werden. Zur Verdeutlichung ist hier die Wellenlängen- und Winkelabhängigkeit von
r, t sowie ∆ explizit angegeben. Zunächst einmal verschwindet nach Abschnitt 1.2 bei senkrechtem Einfall generell die Polarisationsabhängigkeit von Transmission und Reflektion an
Grenzschichten. In diesem Fall ist also auch die Transmission des FPI unabhängig von der
Polarisation. Weiterhin ist für Wellen, die die Resonanzbedingung (2.12) erfüllen, auch bei
schiefem Einfall der Betrag des Transmissionskoeffizienten gleich eins, so dass hier nur elliptische Polarisation induziert wird. Für monochromatisches Licht tritt lineare Polarisation also
nur unter schiefem Einfall bei gleichzeitiger Verletzung der Resonanzbedingung auf.
Derart quasi-monochromatisches Licht würde sich aber der spektroskopischen Untersuchung
mit Fabry-Pérot-Interferometern verschließen. Der Durchlassbereich des Interferometers muss
für spektroskopische Zwecke natürlich schmaler als die schmalste zu untersuchende Linienbreite sein, also wird die Resonanzbedingung von einem Teil des einfallenden Lichts nicht erfüllt;
genaugenommen erfüllt nur ein verschwindend kleiner Teil die Resonanzbedingung exakt. Für
jede von der Resonanz abweichende Wellenlänge ergibt sich aber nach Gleichung (2.40) ein
anderer, von rp,s und tp,s abhängiger, Amplituden-Transmissionskoeffizient τ , so daß das Interferometer für Licht endlicher spektraler Breite partiell polarisierend wirkt. Da der JonesFormalismus nur vollständig polarisiertes Licht behandeln kann, muss dazu auf die MüllerStokes-Darstellung zurückgegriffen werden.
Kollimierter vs. telezentrischer Strahlengang
Aus der Struktur der Jones-Matrix (2.39) ergeben sich zunächst grundlegend unterschiedliche
qualitative Verhaltensweisen von kollimiert und telezentrisch montierten FPI. Die Abhängigkeit der Matrixelemente vom Azimutalwinkel ist für einen festen Einfallswinkel periodisch
Intrinsische Polarisation des idealen FPI
37
in π, damit sind die Polarisationsänderungen für ein telezentrisches FPI punktsymmetrisch
zur Mitte der Pupille, und punktsymmetrisch zur Mitte des Bildfeldes in einem kollimierten
Strahlengang. In beiden Fällen mitteln sich Polarisationsänderungen also über einen Vollkreis
entlang des Azimutalwinkels heraus. Allerdings findet diese Aufhebung beim telezentrisch montierten FPI für jeden einzelnen Bildpunkt statt, da jeder Punkt über einen Strahlkonus mit
gleichem Öffnungswinkel geformt wird. Im kollimierten Strahlengang hingegen ergibt sich ein
bildfeldabhängiger Polarisationsgradient.
2.4.3 Stokes-Parameter
Um die für praktische Zwecke aussagekräftigeren Stokes-Parameter zu bestimmen, muss die
mit Hilfe der Jones-Matrix berechnete Intensität spektral über den Durchlassbereich des Interferometers integriert werden. Für paralleles Licht der spektralen, polarisierten Amplitudenverteilung E(λ), das unter dem Einfallswinkel φ und dem Azimutalwinkel ϑ auf das auf
λc zentrierte Interferometer einfällt (Abb. 2.15), ergeben sich die vier zeitgemittelten StokesParameter I, Q, U, V dann mit
Z
I(λc , φ, ϑ) =
|J (λ, λc , φ, ϑ) E(λ)|2 dλ
(2.41)
Λ
Z
Q(λc , φ, ϑ) =
|J (λ, λc , φ, ϑ) E(λ) ex |2 − |J (λ, λc , φ, ϑ) E(λ) ey |2 dλ
(2.42)
|J (λ, λc , φ, ϑ) E(λ) ex | |J (λ, λc , φ, ϑ) E(λ) ey | cos δ dλ
(2.43)
|J (λ, λc , φ, ϑ) E(λ) ex | |J (λ, λc , φ, ϑ) E(λ) ey | sin δ dλ,
(2.44)
Λ
Z
U (λc , φ, ϑ) = 2
Λ
Z
V (λc , φ, ϑ) = 2
Λ
wobei J (λ, λc , φ, ϑ) die Jones-Matrix (2.39) des Interferometers ist, ex , ey die Einheitsvektoren in x- und y-Richtung bezeichnen, und δ = arg(J ey ) − arg(J ex ) der relative Phasenunterschied zwischen der y- und x-Komponente von J ist. Der Integrationsbereich Λ erstreckt sich
hier über einen freien Spektralbereich um die Zentralwellenlänge λc des FPI, von λc − 12 FSR
bis λc + 12 FSR.
Damit können für ein FPI im kollimierten Strahlengang die Stokes-Parameter in der Bildebene, oder, für ein FPI im telezentrischen Strahlengang, die Stokes-Parameter in der Pupillenebene berechnet werden. Um für ein telezentrisches FPI die Polarisation in der Bildebene zu
berechnen, muss die Punktverbreiterungsfunktion spektral integriert werden.
Diese Integrale können nicht analytisch gelöst werden. Kapitel 3 beschäftigt sich daher mit
der numerischen Berechnung der Stokes-Parameter für verschiedene Konfigurationen von Fabry-Pérot-Interferometern.
2.4.4 Müller-Matrix
Eine beliebige Jones-Matrix kann direkt in eine Müller-Matrix umgerechnet werden. Diese
gilt dann aber nur für monochromatisches Licht und ist immer vollständig polarisiert. Zur
Berechnung der vollständigen Müller-Matrix des idealen FPI muss daher mit numerischen
Methoden nach den Gleichungen (1.21) und (2.41) bis (2.44) vorgegangen werden.
Kapitel 3
Numerische Rechnungen
3.1 Ziel und Methode
Es soll die instrumentelle Polarisation eines idealen Fabry-Pérot-Filtergraphen modelliert werden. Dabei sollen telezentrisch und kollimiert montierte Filter untersucht und unterschiedliche
Verspiegelungen verglichen werden. Die berechneten Größen müssen durch Messungen zugänglich sein.
Zu diesem Zweck wird ein ideales Fabry-Pérot-Interferometer, wie in Abschnitt 2.2 be-schrieben, in einem numerischen Code modelliert. Die Grundlage hierzu besteht in der ebenfalls
numerischen Berechnung der Transmissions- und Reflektions-Koeffizienten an dielektrischen
Dünnfilmschichten (Abschnitt 1.2). Um auch Phaseneffekte mit einbeziehen zu können, basieren die Rechnungen dabei auf der elektrischen Feldamplitude.
Die berechneten Größen sind zum einen die ellipsometrischen Winkel Ψ und ∆ nach Abschnitt 1.3.2 und zum anderen die Stokes-Parameter sowie die Müller-Matrix (Abschnitt 1.1.2).
Die Ellipsometrie stellt eine präzise und relativ einfach zu realisierende Methode zur Bestimmung von Polarisationseigenschaften dar, und die Müller-Matrix ist die relevante Größe zur
Kalibration von Instrumenten.
Die meisten der folgenden Rechnungen finden bei einer Wellenlänge von 630 nm statt. Bei
630.25 nm liegt eine solare Eisenlinie die häufig für Magnetfeldmessungen verwendet wird (Stix
1989) (siehe auch Abb. 1 auf Seite 5).
3.2 Implementierung
Der Code ist vollständig in der Programmiersprache C geschrieben. Für komplexwertige Operationen, numerische Integration usw. wird die GNU Scientifc Library (GSL)1 , eine Open-Source
Numerikbibliothek für C, verwendet. Diskrete Fouriertransformationen (DFT) werden mit der
Fastest Fourier Transform in the West (FFTW)2 Bibliothek durchgeführt. Um den Code möglichst flexibel einsetzen zu können, ist er in verschiedene Programmbibliotheken aufgeteilt, die
ihrerseits aus unterschiedlichen Modulen bestehen.
1
2
http://www.gnu.org/software/gsl/
http://www.fftw.org
38
Implementierung
39
3.2.1 Module
Die Struktur des Codes ist in Abbildung 3.1 gezeigt. Um die Verwendung einfach zu halten,
bieten die einzelnen Module ihre Funktionalität jeweils über ein objektorientieres API (Application Programming Interface) an.
GSL
FFTW
libmultilayer
libfpi
Stokes
fresnel
Müller-Stokes Formalismus
Fresnel Brechung
jones
tfml
Jones Vektor / Matrix
Dünnsicht Filme
fpi
Fabry-Perot Interferometer
filtergraph
Anwendungen
Fabry-Perot Filtergraphen
Abbildung 3.1: Strukturdiagramm des numerischen Codes
Codebeispiele zur Benutzung der Module finden sich im Anhang B.
Thin-Film Multilayer
Das Modul tfml (Thin-Film Multilayer) implementiert die in Abschnitt 1.2 besprochene Methode von Macleod (2001) und bildet die Grundlage aller weiteren Rechnungen. Der Aufbau des
Schichtsystems wird dabei über ein Array mit den komplexen Brechungsindizes der Materialien sowie der zugehörigen Schichtdicken definiert, und diese dann dem Konstruktor übergeben.
Etwa für eine λ/4 Schicht Zinksulfid auf Glas:
1
2
3
4
5
6
gsl_complex ZnS = gsl_complex_rect (2.30 , 0.0);
gsl_complex glass = gsl_complex_rect (1.0 , 0.0);
double lambda = 500 E -9;
gsl_complex * layers [] = { & ZnS };
double thicks [] = { lambda /4 };
tfml_h * ml = tfml_alloc ( air , glass , 1 , layers , thicks );
Mit
1
2
3
4
5
gsl_complex angle = gsl_complex (0.5 / 128 , 0);
double lambda = 500 E -9;
tfml_recalc ( ml , lambda , angle );
gsl_complex tp = tfml_get_atp ( ml );
double Rs = tfml_get_irs ( ml );
Implementierung
40
kann dann die Transfermatrix des Systems für die gegebene Wellenlänge und Einfallswinkel
berechnet werden, sowie die Reflektions- und Transmissionskoeffizienten für Amplituden und
Intensität abgefragt werden
Für eine gegebene Wellenlänge speichert tfml die Reflektions- und Transmissionskoeffizienten zu unterschiedlichen Einfallswinkeln zwischen, so daß bei einem späteren Aufruf von
tfml_recalc() keine aufwändige Neuberechnung der Transfermatrix durchgeführt werden
muss. Dies beschleunigt z.B. die Berechnung von unpolarisiertem Licht erheblich, da hier über
sehr viele einzelne Wellen mit statistisch gleichverteilten Polarisationsrichtungen gemittelt werden muss.
Jones-Vektoren und Matrizen
Polarisierte ebene Wellen werden im Programmcode durch Jones-Vektoren dargestellt. Sie sind
gemäß Gleichung (1.4) als zweikomponentige komplexwertige Vektoren implementiert, und
werden im Konstruktor in Polarform angegeben, etwa
1
jonesv j45 = jonesv_new (1.0 , 0 , 1.0 , 0);
für eine in +45° polarisierte Welle.
Stokes-Vektoren und Müller-Matrizen
Das stokes-Modul implementiert einfache Datentypen für Stokes-Vektoren und Müller-Matrizen,
sowie entsprechende Funktionen für die gängigen Operationen darauf. Mit
1
stokesv s = stokesv_new (1 , 1 , 0 , 0);
wird etwa ein vollständig Q-polarisierter Stokes-Vektor erstellt, der dann über
1
2
3
5
6
7
8
jonesv lightsource ( double lambda ) {
return jonesv_new (1 , 0 , 1 , 0);
}
double range = 0.5 * fpi_fsr ( fpi );
mullerm m = fpiutil_get_mullerm ( fpi , range ,
inclination , azimuth , & lightsource );
stok esv_propagate (& m , & s );
mit der Müller-Matrix m eines FPI multipliziert werden kann. Die Müller-Matrix wird dabei
aus der gesamten, über den angegebenen Wellenlängenbereich integrierten Intensität unter
Anwendung der Gleichungen (1.21) und (2.41) bis (2.44) berechnet. Als „Lichtquelle“ dient
dabei ein Funktionszeiger auf eine Funktion, die für eine gegebene Wellenlänge einen JonesVektor zurückgibt. Im Beispiel oben ist dies eine „weiße“ Lichtquelle mit konstanter Intensität.
Filtergraph
Das filtergraph Modul implementiert einige Funktionen eines Filtergraphen, der auch aus
mehreren FPI bestehen kann. Das Modul dient hauptsächlich dazu, Funktionen wie etwa die
Berechnung von polychromatischen Pupillen oder Bildfeldern zu kapseln. Die PSF für eine
einzelne Wellenlänge wird dabei nach Gleichung (2.26) aus dem Amplitudenfeld in der Pupille
Resultate
41
berechnet, und diese dann über den Durchlassbereich des Filtergraphen integriert. Die StokesProfile für Pupille und PSF werden in FITS Dateien3 , einem in der Astronomie gebräuchlichen
Datenaustauschformat, gespeichert.
3.3 Resultate
3.3.1 Breitband-Reflektionsbeschichtungen
Der Aufbau von Dünnfilmbeschichtungen wird von den meisten Herstellern als deren geistiges
Eigentum betrachtet und ist in der Regel nicht zur Einsicht verfügbar. Dies gilt auch für die für
diese Arbeit zu Verfügung stehenden Etalons (Kapitel 4). Um die Auswirkung von unterschiedlichen Beschichtungen mit ähnlichen Design-Reflektivitäten vergleichen zu können, werden die
folgenden Rechnungen daher mit zwei unterschiedlichen Breitbandreflektor-Designs aus der
Literatur, sowie zwei einfachen λ/4-Stapeln durchgeführt. Gemeinsamkeiten in den berechneten, qualitativen Polarisationseigenschaften für die verschiedenen Beschichtungen sollten dann
zumindest auch qualitative Vergleiche mit Messungen zulassen.
Beschichtung A (Netterfield, Sainty und Schaeffer 1980) ist ein 13-Lagen-System aus Zinksulfid (ZnS, n = 2.3 @ 550 nm) und Kryolith (n = 1.35 @ 550 nm) auf einem Quartzsubstrat
(Tab. A.1, Anhang A). Beschichtung B ist ein 21-Lagen System, entnommen bei Macleod
(2001) (Tab A.2). Das Hoch-Index Material ist hier ebenfalls ZnS, statt Kryolith wird aber
Na3 AlF6 verwendet, was den gleichen Brechungsindex wie Kryolith hat, aber etwas robuster
ist. Die Beschichtungen C1 und C2 sind λ/4-Stapel aus jeweils sieben bzw. neun Schichten ZnS
und Kryolith auf Quartzsubstrat.
Die berechneten Reflektivitätskurven der vier Beschichtungen sind in Abbildung 3.2 gezeigt.
Beschichtung B deckt den gesamten Bereich des sichtbaren Spektrums mit einer Reflektivität
von über 90% ab, Beschichtung A erreicht 90% Reflektivität erst ab etwa 550 nm. Die beiden
λ/4-Stapel sind um 550 nm zentriert und erreichen Reflektivitäten von mehr als 90% nur über
einen vergleichsweise schmalen Bereich von weniger als ±100 nm. Sie wurden deswegen in die
Anlyse mit aufgenommen, weil sich dadurch die Auswirkung von unterschiedlichen Reflektivitäten bei ansonsten gleichem (ähnlichem) Aufbau untersuchen lässt.
3.3.2 Ellipsometrie
Die Polarisationseigenschaften von vollständig polarisierenden optischen Elementen lassen sich
kompakt und anschaulich in Form der beiden ellipsometrischen Winkel Ψ und ∆ (Abschnitt 1.3.2)
darstellen. Sie können durch Ellipsometer relativ einfach und präzise nachgemessen werden und
stellen damit eine gute Möglichkeit zur experimentellen Verifizierung eines numerischen Modells dar.
Beschichtungen
Abbildung 3.3 zeigt berechnete Karten der ellipsometrischen Winkel Ψ und ∆ in Abhängigkeit
von Wellenlänge und Einfallswinkel. Der maximale Einfallswinkel entspricht hier wieder dem
in einem f /128-Strahlengang. Die Beschichtungen C1 und C2 sind nur von 470 bis 640 nm
3
Flexible Image Transport System, http://heasarc.nasa.gov/docs/heasarc/fits.html
Resultate
42
1
Reflektivität
0.8
Beschichtung A
Beschichtung B
Beschichtung C1
Beschichtung C2
0.6
0.4
0.2
0
400
450
500
550
600
650
700
750
800
Wellenlänge / nm
Abbildung 3.2: Berechnete Reflektivitätskurven der vier für die Rechnungen verwendeten Beschichtungen.
aufgetragen, weil ihre Reflektivität außerhalb dieses Bereichs schnell abfällt. Um die kleinen
Winkeländerungen übersichtlicher darzustellen, ist jeweils die Differenz arctan(1) − Ψ aufgetragen, also die Abweichung von dem Winkel bei dem das Amplitudenverhältnis |ρ| gleich Eins
ist.
Ψ und ∆ liegen für alle vier Beschichtungen in der gleichen Größenordnung. Bei jeder Beschichtung treten wellenlängenabhängige Schwankungen auf, und mit zunehmendem Einfallswinkel nimmt wie erwartet auch die Polarisation zu. Zur Verdeutlichung zeigt Abbildung 3.4
einen Querschnitt durch die Winkelabhängigkeit bei 630 nm. Der Einfallswinkel geht dabei
weiter als in den Karten aus Abb. 3.3, bis zum maximalen Einfallswinkel in einem f /64Strahlengang. Hier zeigen sich bereits deutliche Unterschiede zwischen den Beschichtungen
und es fallen große Veränderungen von Ψ nicht immer auch mit großen Veränderungen von ∆
zusammen.
FPI
Zum direkten Vergleich mit den Beschichtungen zeigt Abbildung 3.5 die berechneten Ellipsometriekarten bei Transmission für die mit den vier Beschichtungen bestückten FPI. Die FPI
wurden dabei auf Resonanz für die auf der x-Achse angegebene Wellenlänge eingestellt. Die
Wellenlänge der einfallenden Welle ist dann nach Gleichung (2.14) jeweils so gewählt, daß sie
1
2 FWHM unter der Resonanzwellenlänge zum jeweiligen Einfallswinkel liegt, da im Resonanzfall
nach Abschnitt 2.4 ja keine lineare Polarisation auftritt. Im Vergleich zu einem Reflektionsprozess an den Beschichtungen alleine sind Ψ und ∆ nach Durchgang durch die FPI um ein
bis drei Größenordnungen größer.
Auffallend ist weiterhin, daß die „Hot-Spots“ nicht bei den gleichen Wellenlängen wie bei
den Beschichtungen liegen. Der Grund dafür wird klar, wenn man sich zusätzlich den Verlauf
Resultate
43
Beschichtung B: atan(1) - Ψ [rad]
Δ / rad
0
0
1.5e-05
0.0035
0.003
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
1e-05
5e-06
0
-5e-06
-1e-05
0
0
64
0
62
0
60
0
58
0
56
0
54
0
52
0
-1.5e-05
50
0
0
64
0
62
0
60
0
58
0
56
0
54
0
64
0
62
0
60
0
58
0
56
0
54
0
52
50
0
-1.5e-05
48
1.6e-06
1.4e-06
1.2e-06
1e-06
8e-07
6e-07
4e-07
2e-07
0
0.0035
0.003
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
52
0
-1e-05
Δ / rad
0
0
0
-5e-06
Beschichtung C2: atan(1) - Ψ [rad]
50
0
5e-06
Wellenlänge / nm
48
0
1e-05
48
0
0
1.5e-05
0.0035
0.003
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
Wellenlänge / nm
Wellenlänge / nm
80
75
0
0
70
65
Δ / rad
64
0
62
0
60
0
58
0
56
0
54
0
52
0
0.0035
0.003
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
50
0
0
Wellenlänge / nm
2e-06
1.8e-06
1.6e-06
1.4e-06
1.2e-06
1e-06
8e-07
6e-07
4e-07
2e-07
0
48
60
0
55
50
0
45
40
0
0
80
75
0
0
70
65
0
0
60
55
0
0
50
45
40
8e-05
7e-05
6e-05
5e-05
4e-05
3e-05
2e-05
1e-05
0
-1e-05
-2e-05
0.0035
0.003
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
0
1.4e-06
1.2e-06
1e-06
8e-07
6e-07
4e-07
2e-07
0
0.0035
0.003
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
80
0
75
0
70
Wellenlänge / nm
Beschichtung C1: atan(1) - Ψ [rad]
Einfallswinkel / rad
0
Wellenlänge / nm
Wellenlänge / nm
Einfallswinkel / rad
65
0
0
40
0
0
80
0
75
0
70
0
65
0
60
0
55
50
45
40
0
0
60
1e-06
0
2e-06
55
3e-06
0
4e-06
50
5e-06
4e-05
3.5e-05
3e-05
2.5e-05
2e-05
1.5e-05
1e-05
5e-06
0
-5e-06
0.0035
0.003
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
45
0.0035
0.003
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
0
Einfallswinkel / rad
Δ / rad
6e-06
0
Einfallswinkel / rad
Beschichtung A: atan(1) - Ψ [rad]
Wellenlänge / nm
Abbildung 3.3: Berechnete Ellipsometrische Winkel der Amplituden-Reflektionskoeffizienten der Beschichtungen in Abhängigkeit von Wellenlänge und Einfallswinkel.
Resultate
44
atan(1) - Ψ [rad]
Δ / rad
6e-06
0.0003
5e-06
0.00025
4e-06
0.0002
A
B
C1
C2
3e-06
2e-06
0.0001
1e-06
0
A
B
C1
C2
0.00015
5e-05
0
0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007
0
0
0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007
Einfallswinkel / rad
Einfallswinkel / rad
Abbildung 3.4: Berechnete Abhängigkeit der Ellipsometrischen Winkel der Beschichtungen vom Einfallswinkel bei 630 nm.
der Reflektivitäten der Beschichtungen mit der Wellenlänge ansieht (Abbildung 3.6). Dabei
ist der Betrag von arctan(1) − Ψ aufgetragen, da es hier nur auf die Stärke der linearen Polarisation ankommt, nicht auf ihr Vorzeichen. Polarisationseigenschaften und Reflektivität der
Beschichtung an der jeweiligen Wellenlänge sind in einem gewissen Grad korreliert. Der Einbruch bei den C-Beschichtungen kommt daher, dass sie auf 550 nm zentriert sind. Je größer die
Reflektivität der Beschichtungen ist, desto häufiger schwingt die Welle im Resonator, bevor
ihre Amplitude auf einen bestimmen Bruchteil abgefallen ist, und dementsprechend verstärkt
sich auch die Polarisation. Das ist auch der Grund, warum FPI C2 eine wesentlich stärkere
Polarisation zeigt als FPI C1, obwohl die beiden Beschichtungen alleine etwa gleich starke
Polarisation zeigen.
Abbildung 3.7 zeigt schließlich zur Verdeutlichung noch einen Querschnitt durch die Winkelabhängigkeit von Ψ und ∆ bei 630 nm. FPI B ragt hier bei beiden Werten weit über die anderen
hinaus, obwohl die Reflektivitäten an dieser Stelle recht ähnlich sind. Dies ist zumindest ein
Hinweis darauf, daß die Polarisationseigenschaften im Allgemeinen mit der Komplexität der
Beschichtung zunehmen.
Abhängigkeit von der Verletzung der Resonanzbedingung
Die in Abbildung 3.5 gezeigten Ellipsometriedaten wurden jeweils für diejenige Wellenlänge
berechnet, bei der die Transmission durch das FPI schon auf die Hälfte abgefallen ist. Die
Polarisationseigenschaften ändern sich aber bei schiefem Einfall mit der Abweichung der Wellenlänge der einfallenden Welle von der Resonanzwellenlänge λr , auf die das FPI eingestellt
ist. Abbildung 3.8 zeigt Ψ und ∆ für alle FPI als Funktion der Abweichung der Wellenlänge zu
λr = 630 nm. Zur Verdeutlichung, bei welcher transmittierten Intensität die Effekte auftreten,
ist jeweils noch die Transmittanz des FPI bei der jeweiligen Wellenlänge aufgetragen. Der Einfallswinkel entspricht hier wieder dem maximalen Einfallswinkel in einem f /128-Strahlengang.
Die linke Spalte zeigt jeweils die Abweichung von Ψ zu arctan(1), die rechte Spalte zeigt ∆
direkt. Während Ψ eine bipolare Änderung mit einer Nullstelle bei der Resonanzwellenlänge λr
zeigt, hat ∆ jeweils dicht bei λr ein Maximum.
Resultate
45
Δ / rad
0
0
0
-0.0002
0
0
64
0
62
0
60
0
58
0
56
0
-0.0003
54
0
0
64
0
62
0
60
0
58
0
56
0
54
52
0
-0.00015
0
-0.0001
0
-0.0001
0.0001
52
0
-5e-05
0.0002
0
5e-05
0.0003
0.0035
0.003
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
50
0.0001
48
0.00015
0.0035
0.003
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
64
0
62
0
60
0
58
0
56
0
54
0
52
50
0
-0.00015
Δ / rad
0
0
-0.0001
FPI C2: atan(1) - Ψ [rad]
50
0
-5e-05
Wellenlänge / nm
48
0
0
Wellenlänge / nm
Wellenlänge / nm
80
75
0
0
5e-05
48
0
0
0.0001
0.0035
0.003
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
64
0
62
0
60
0
58
0
56
0
54
0
52
0
70
Δ / rad
0.0035
0.003
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
50
0
Wellenlänge / nm
4e-05
3e-05
2e-05
1e-05
0
-1e-05
-2e-05
-3e-05
-4e-05
-5e-05
-6e-05
-7e-05
48
65
45
0
40
0
0
80
75
0
0
70
65
0
0
60
55
0
50
45
0
-0.0005
0
0
60
0.0005
0
0.001
55
0.0015
0.005
0.0045
0.004
0.0035
0.003
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
-0.0005
0.0035
0.003
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
50
0.002
0
0.0025
80
0
75
0
70
0
FPI B: atan(1) - Ψ [rad]
FPI C1: atan(1) - Ψ [rad]
Einfallswinkel [rad]
65
Wellenlänge / nm
0.0035
0.003
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
40
0
Wellenlänge / nm
Wellenlänge / nm
Einfallswinkel / rad
60
0
40
0
0
80
0
75
0
70
0
65
0
60
0
55
50
45
40
0
-5e-05
0
0
55
5e-05
0
0.0001
50
0.00015
0.0004
0.00035
0.0003
0.00025
0.0002
0.00015
0.0001
5e-05
0
-5e-05
0.0035
0.003
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
45
0.0035
0.003
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
0
Einfallswinkel / rad
Δ / rad
0.0002
0
Einfallswinkel / rad
FPI A: atan(1) - Ψ [rad]
Wellenlänge / nm
Abbildung 3.5: Berechnete Ellipsometrische Winkel der Amplituden-Transmissionskoeffizenten der FPI
in Abhängigkeit von Wellenlänge und Einfallswinkel.
Resultate
46
FPI B
0.0025
1
0.98
0.0015
0.97
0.001
0.96
0.0005
Ψ
R
| atan(1)-Ψ | / rad
6e-05
5e-05
4e-05
3e-05
2e-05
1e-05
0
0.96
0.95
0.94
0.93
0.92
0.91
0.9
0.89
Ψ
0.88
R
0.87
480 500 520 540 560 580 600 620 640
0.95
0
0.94
400 450 500 550 600 650 700 750 800
FPI C1
7e-05
Reflektivität
0.99
0.002
FPI C2
0.00014
0.99
0.00012
0.98
0.0001
0.97
0.96
8e-05
0.95
6e-05
0.94
4e-05
Ψ
R
2e-05
0
0.93
Reflektivität
| atan(1)-Ψ | / rad
FPI A
0.0002
0.95
0.00018
0.9
0.00016
0.85
0.00014
0.8
0.00012
0.75
0.0001
0.7
8e-05
0.65
6e-05
0.6
4e-05
0.55
Ψ
2e-05
0.5
R
0
0.45
400 450 500 550 600 650 700 750 800
0.92
0.91
480 500 520 540 560 580 600 620 640
Wellenlänge / nm
Wellenlänge / nm
Abbildung 3.6: Korrelation zwischen Reflektivität der Beschichtung und der Polarisation nach Druchgang durch die FPI.
atan(1) - Ψ [rad]
Δ / rad
0.003
0.007
0.0025
0.006
0.005
0.002
FPI A
FPI B
FPI C1
FPI C2
0.0015
0.001
0.003
0.002
0.0005
0
FPI A
FPI B
FPI C1
FPI C2
0.004
0.001
0
0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007
Einfallswinkel / rad
0
0
0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007
Einfallswinkel / rad
Abbildung 3.7: Berechnete Abhängigkeit der Ellipsometrischen Winkel der FPI vom Einfallswinkel bei
630 nm.
Resultate
FPI A Transmittanz und atan 1 - Ψ [rad]
1
T
0.9
Ψ
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10 -8 -6 -4 -2
0.00015
0.0001
5e-05
0
-5e-05
-0.0001
0
4
2
-0.00015
8 10
6
Abw. von λr / pm
0
2
4
6
0.0008
0.0006
0.0004
0.0002
0
-0.0002
-0.0004
-0.0006
-0.0008
8 10
Abw. von λr / pm
0
4
2
6
4e-05
3e-05
2e-05
1e-05
0
-1e-05
-2e-05
-3e-05
-4e-05
-5e-05
-6e-05
-7e-05
8 10
Abw. von λr / pm
0.0001
5e-05
0
-5e-05
-0.0001
0
2
4
Abw. von λr / pm
2
4
6
FPI B Transmittanz und Δ / rad
1
T
0.9
Δ
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10 -8 -6 -4 -2
0.003
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
2
4
6
8 10
0
FPI C1 Transmittanz und Δ / rad
1
T
0.9
Δ
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10 -8 -6 -4 -2
0
2
4
6
8 10
0.0002
0.00018
0.00016
0.00014
0.00012
0.0001
8e-05
6e-05
4e-05
2e-05
0
Abw. von λr / pm
FPI C2 Transmittanz und atan 1 - Ψ [rad]
1
T
0.9
Ψ
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10 -8 -6 -4 -2
0
0.0005
0.00045
0.0004
0.00035
0.0003
0.00025
0.0002
0.00015
0.0001
5e-05
0
-5e-05
8 10
Abw. von λr / pm
FPI C1 Transmittanz und atan 1 - Ψ [rad]
1
T
0.9
Ψ
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10 -8 -6 -4 -2
FPI A Transmittanz und Δ / rad
1
T
0.9
Δ
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10 -8 -6 -4 -2
Abw. von λr / pm
FPI B Transmittanz und atan 1 - Ψ [rad]
1
T
0.9
Ψ
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10 -8 -6 -4 -2
47
6
-0.00015
8 10
FPI C2 Transmittanz und Δ / rad
1
T
0.9
Δ
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10 -8 -6 -4 -2
0
2
4
6
8 10
0.00045
0.0004
0.00035
0.0003
0.00025
0.0002
0.00015
0.0001
5e-05
0
Abw. von λr / pm
Abbildung 3.8: Ellipsometrische Winkel in Abhängigkeit von der Abweichung zur Resonanzwellenlänge
λr (630 nm) bei maximalem Einfallswinkel in einem f /128-Strahlengang.
Resultate
48
3.3.3 Stokes-Polarimetrie
Müller-Matrix
Nach Gleichung (1.21) kann die Müller-Matrix aus der Messung von vier Stokes-Vektoren berechnet werden. Zur numerischen Berechnung kann analog verfahren werden. Dazu werden
entsprechend polarisierte Jones-Vektoren durch das Interferometer geleitet und deren Intensitäten dann nach den Gleichungen (2.41) bis (2.44) über den Durchlassbereich des Interferometers integriert. Während vollständig Q-, U - und V -polarisierte Stokes-Vektoren eine direkte
Entsprechung als Jones-Vektor haben, muss für vollständig unpolarisiertes Licht über alle möglichen Polarisationsrichtungen gleichverteilt gemittelt werden. Die simulierte Lichtquelle ist bei
diesen Rechnungen spektral flach, so daß keine durch wellenlängenabhängige Intensitätsgradienten verursachten Effekte auftreten können. Die Müller-Matrix ist damit für ein paralleles
Strahlbündel abhängig von Einfalls- und Azimutalwinkel φ und ϑ, sowie von der Resonanzwellenlänge λr des FPI.
Exemplarisch sind hier die berechneten Müller-Matrizen der vier FPI bei maximalem Einfallswinkel in einem f /128-Strahlengang und ϑ = 11.25° sowie für λr = 630 nm angegeben:

MFPI A
1.0000000
0.0000293

= 0.0997005 
0.0000121
0.0000000

MFPI B
1.0000000
0.0000275

= 0.0570798 
0.0000114
0.0000000

MFPI C1
1.0000000
0.0000227

= 0.1235088 
0.0000094
0.0000000

MFPI C2
1.0000000
0.0000300

= 0.0647885 
0.0000124
0.0000000

0.0000293 0.0000121
0.0000000
1.0000000 0.0000000 −0.0000939


0.0000000 0.9999999
0.0002267 
0.0000939 −0.0002267 0.9999999
(3.1)

0.0000275 0.0000114
0.0000000
0.9999997 0.0000008 −0.0005796


0.0000008 0.9999981
0.0013992 
0.0005796 −0.0013992 0.9999977
(3.2)

0.0000227 0.0000094
0.0000000
1.0000000 0.0000000 −0.0000410


0.0000000 1.0000000
0.0000991 
0.0000410 −0.0000991 1.0000000
(3.3)

0.0000300 0.0000124
0.0000000
1.0000000 0.0000000 −0.0000886

.
0.0000000 1.0000000
0.0002138 
0.0000886 −0.0002138 0.9999999
(3.4)
Der Vorfaktor gibt dabei jeweils das Verhältnis der transmittierten zur einfallenden Intensität
an.
Die Relevanz der Matrixelemente ergibt sich mit Gleichung (1.17). Die erste Spalte enthält
die instrumentell induzierte Polarisation, also die Reaktion I → (Q, U, V ) des Instruments auf
vollständig unpolarisiertes Licht. Die Diagonalelemente kennzeichnen weiterhin die instrumentell induzierte Depolarisation von Q, U und V und die übrigen Elemente das instrumentell
induzierte Übersprechen zwischen den verschiedenen Polarisationsrichtungen.
Während die induzierte Polarisation im 10−5 -Bereich sehr schwach ausfällt, ist das Übersprechen zwischen den Komponenten teilweise erheblich stärker. Der Grund dafür wird klar,
Resultate
49
wenn man sich die monochromatischen Stokes-Parameter entlang des Transmissionsprofils in
Abb. 3.9 ansieht. Hier ist zusätzlich noch der gesamte Polarisationsgrad nach Gleichung (1.19)
aufgetragen, und die Resonanzwellenlänge λr wurde nach Gleichung (2.14) an den Einfallswinkel angepasst. Die induzierte Polarisation, also I → (Q, U, V ), setzt sich aus bipolaren,
leicht asymmetrischen Signalen zusammen, die bei der Resonanzwellenlänge λr des FPI einen
Nulldurchgang aufweisen. Integriert über den gesamten spektralen Durchlassbereich mitteln
sich diese Signale also fast heraus. Die gleiche Grafik für die monochromatischen Übersprechkoeffizienten in den Abbildungen 3.10 und 3.11 zeigt, daß die Koeffizienten (Q, U ) → V sowie
V → U über den ganzen Durchlassbereich entweder nur negativ oder nur positiv sind und hier
daher keine Auslöschung stattfindet.
Daraus, daß die monochromatischen Stokes-Parameter über den Durchlassbereich des FPI
nicht konstant sind, ergibt sich eine wichtige Konsequenz: wenn das einfallende Licht einen
starken spektralen Gradienten enthält, z.B. in der Flanke einer Spektrallinie, fällt über eine
Seite des Transmissionsprofils mehr Intensität ein als über die andere. Daraus resultiert eine
unterschiedliche Gewichtung der Polarisationskomponenten links und rechts von der Resonanzwellenlänge und damit eine Verstärkung oder auch Aufhebung der induzierten Polarisationseffekte. Eine genauere Untersuchung dieses Effekts erfordert aber eine Anpassung des Codes
und findet daher in dieser Arbeit nicht statt.
Die bisherigen Rechnungen wurden alle mit parallelem Licht durchgeführt, welches unter
bestimmten Einfalls- und Azimutalwinkeln auf das FPI fällt. Nach Abschnitt 2.3.2 gilt diese
Situation entweder für einen Punkt in der Pupille eines telezentrisch montierten FPIs, oder für
einen Punkt im Bild eines kollimiert montierten FPIs. Die unterschiedlichen Auswirkungen auf
das Polarisationsverhalten beider Konfigurationen sollen daher im Folgenden näher besprochen
werden.
Kollimierter Strahlengang
Abbildung 3.12 zeigt die Abhängigkeit der monochromatischen Stokes-Parameter vom Einfallswinkel und der Abweichung zur Resonanzwellenlänge als zweidimensionale Karten. Die
Amplitude der Polarisationseffekte ist abhängig vom Einfallswinkel, nimmt also im Bildfeld
nach außen hin zu.
Für eine radiale Position im Bildfeld kommt es azimutalwinkelabhängigen Schwankungen
die periodisch in π sind, so daß sich die Vorzeichen der Koeffizienten alle 90° umkehren. Abbildung 3.13 zeigt zur Veranschaulichung die gleichen Verhältnisse wie Abbildung 3.11, aber
mit einem um π/2 erhöhten Azimutalwinkel. Dies entspricht dem bereits in Abschnitt 2.4.2
anhand der Jones-Matrix des FPI vorhergesagten Verhalten.
Aufgrund der Eigenschaften der Fouriertransformation sind die Anteile von Q/I, U/I und
V /I in der Punktverbreiterungsfunktion identisch zu denen in der Pupille, und damit für
einen Bildpunkt eine Konstante. Für die kollimierte Montierung können somit die nach obigem
Muster berechneten Müller-Matrizen zur Korrektur von Stokes-Messungen an der jeweiligen,
durch Einfallswinkel und Azimut gegebenen, Position im Bildfeld verwendet werden.
Resultate
FPI A
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10
vollst. I nach Q
FPI A
I
Q/I
0
-5
50
5
0.0003
0.00025
0.0002
0.00015
0.0001
5e-05
0
-5e-05
-0.0001
-0.00015
-0.0002
-0.00025
10
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10
I
U/I
0
-5
Abw. von λr / pm
FPI A
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10
FPI A Polarisationsgrad
vollst. I nach V
1e-10
5e-11
0
-5e-11
0
5
-1e-10
10
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10
vollst. I nach Q
0.0002
0.00015
0.0001
5e-05
0
-5
0.0015
0.001
0
-0.0005
-0.001
5
-0.0015
10
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10
FPI B
1e-10
5e-11
0
-5e-11
Abw. von λr / pm
0.0006
0.0004
0.0002
0
-0.0002
-0.0004
-5
0
5
-0.0006
10
FPI B Polarisationsgrad
vollst. I nach V
0
0
Abw. von λr / pm
I
V/I
-5
10
I
U/I
Abw. von λr / pm
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10
5
FPI B vollst. I nach U
0.0005
0
0.00025
Abw. von λr / pm
I
Q/I
-5
0.0003
I
Grad
Abw. von λr / pm
FPI B
5
0.00012
0.0001
8e-05
6e-05
4e-05
2e-05
0
-2e-05
-4e-05
-6e-05
-8e-05
-0.0001
10
Abw. von λr / pm
I
V/I
-5
vollst. I nach U
5
-1e-10
10
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10
I
Grad
-5
0
5
10
0.0016
0.0014
0.0012
0.001
0.0008
0.0006
0.0004
0.0002
0
Abw. von λr / pm
Abbildung 3.9: Induzierte, monochromatische Polarisation entlang des Transmissionsprofils der FPI bei
maximalem Einfallswinkel in einem f /128-Strahlengang und Azimutalwinkel 11.25°.
Resultate
FPI A
1
I
0.9
0.8 U/I
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10
vollst. Qein nach Uaus
FPI A
8e-05
6e-05
4e-05
2e-05
0
-2e-05
-4e-05
0
-5
5
51
-6e-05
10
1
I
0.9
0.8 V/I
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10
-5
Abw. von λr / pm
FPI B
1
I
0.9
0.8 U/I
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10
FPI B
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
0
-0.0001
-0.0002
-0.0003
0
5
-0.0004
10
1
I
0.9
0.8 V/I
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10
FPI A
0.001
0.0008
0.0006
0.0004
0.0002
-5
FPI A
0.0002
0.00015
0.0001
5e-05
0
-5e-05
-0.0001
0
5
-0.00015
10
1
0.9
0.8
0.7
0.6
I
0.5
V/I
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10
-5
Abw. von λr / pm
FPI B
1
I
0.9
0.8 Q/I
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10
-5
Abw. von λr / pm
0
5
10
0
vollst. Uein nach Vaus
0
5
5e-05
0
-5e-05
-0.0001
-0.00015
-0.0002
-0.00025
-0.0003
-0.00035
-0.0004
-0.00045
-0.0005
10
Abw. von λr / pm
vollst. Uein nach Qaus
0
vollst. Qein nach Vaus
Abw. von λr / pm
vollst. Uein nach Qaus
-5
5
0.0012
Abw. von λr / pm
1
I
0.9
0.8 Q/I
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10
0
0.0002
0.00018
0.00016
0.00014
0.00012
0.0001
8e-05
6e-05
4e-05
2e-05
0
-2e-05
10
Abw. von λr / pm
vollst. Qein nach Uaus
-5
vollst. Qein nach Vaus
5
FPI B vollst. Uein nach Vaus
0.001
0.0008
0.0006
0.0004
0.0002
0
-0.0002
-0.0004
-0.0006
-0.0008
-0.001
10
1
0.9
0.8
0.7
0.6
I
0.5
V/I
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10
0
-0.0005
-0.001
-0.0015
-0.002
-0.0025
-5
0
5
-0.003
10
Abw. von λr / pm
Abbildung 3.10: Monochromatische Stokes-Parameter für vollständig Q- und U - polarisierte Eingangssignale entlang des Transmissionsprofils der FPI. Einfallswinkel und Azimutalwinkel wie bei den MüllerMatritzen (3.1) und (3.2).
Resultate
FPI A
1
I
0.9
0.8 Q/I
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10
vollst. Vein nach Qaus
FPI A
0.0001
5e-05
0
-5e-05
-0.0001
-0.00015
-0.0002
-0.00025
0
-5
5
52
-0.0003
10
1
I
0.9
0.8 U/I
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10
-5
Abw. von λr / pm
FPI B
1
I
0.9
0.8 Q/I
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10
vollst. Vein nach Qaus
-0.0005
-0.001
-0.0015
Abw. von λr / pm
5
FPI B vollst. Vein nach Uaus
0
0
0
0.0005
0.00045
0.0004
0.00035
0.0003
0.00025
0.0002
0.00015
0.0001
5e-05
0
-5e-05
10
Abw. von λr / pm
0.0005
-5
vollst. Vein nach Uaus
5
-0.002
10
1
I
0.9
0.8 U/I
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10
0.003
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
-5
0
5
-0.0005
10
Abw. von λr / pm
Abbildung 3.11: Monochromatische Stokes-Parameter für vollständig V -polarisierte Eingangssignale entlang des Transmissionsprofils der FPI. Einfallswinkel und Azimutalwinkel wie bei den MüllerMatritzen (3.1) und (3.2).
Telezentrischer Strahlengang
Im telezentrischen Strahlengang ist die Polarisation nicht bildfeldabhängig, da alle Bildpunkte
durch einen Lichtkegel mit gleichem Öffnungswinkel geformt werden. Jedoch sollte hier, aufgrund der positionsabhängigen Polarisation in der Pupille, die Punktverbreiterungsfunktion
einen Polarisationsgradienten aufweisen.
Zunächst wird die Reaktion von telezentrisch montierten FPI auf vollständig linear in +45°Richtung polarisiertes (Stokes U ) Licht berechnet. In den Abbildungen 3.14 und 3.15 sind diese
Übersprechkoeffizienten von U → (Q, U, V ) für FPI A und B in einem telezentrischen Strahlengang dargestellt. Die obere Reihe enthält jeweils die Intensitäten in der Pupille, die untere
die der zugehörigen Punktverbreiterungsfunktionen (PSF). Die Intensität von Q, U und V ist
dabei jeweils auf die von I normiert. Für die Pupille entsprechen die Stokes-Parameter denen,
die man auch aus den Müller-Matritzen (3.1) und (3.2) für den entsprechenden Azimutal- und
Einfallswinkel erhält. In der Punktverbreiterungsfunktion ist der relative Polarisationsgrad in
Q weitaus stärker als in der Pupille, was zunächst verwundert, denn er sollte sich ja wie im
Resultate
FPI A vollst. Uein nach Qaus
4
2
0
-2
0.00015
0.0001
2
5e-05
0
0
-2
-5e-05
-4
-0.0001
2
0
-2
0. 0
00
0. 05
0
0. 01
00
0. 15
0
0. 02
00
0. 25
0
0. 03
00
35
-4
0. 0
00
0. 05
0
0. 01
00
0. 15
0
0. 02
00
0. 25
0
0. 03
00
35
-0.00015
5e-05
0
-5e-05
-0.0001
-0.00015
-0.0002
-0.00025
-0.0003
-0.00035
-0.0004
-0.00045
4
Einfallswinkel / rad
Einfallswinkel / rad
Einfallswinkel / rad
FPI B
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
4
2
0
-2
FPI B vollst. Uein nach Vaus
0.001
0.0008
0.0006
0.0004
0.0002
0
-0.0002
-0.0004
-0.0006
-0.0008
-0.001
4
2
0
-2
0
-0.0005
2
-0.001
0
-0.0015
-2
-0.002
-4
-0.0025
0. 0
00
0. 05
0
0. 01
00
0. 15
0
0. 02
00
0. 25
0
0. 03
00
35
-0.003
0. 0
00
0. 05
0
0. 01
00
0. 15
0
0. 02
00
0. 25
0
0. 03
00
35
-4
0.0005
4
0. 0
00
0. 05
0
0. 01
00
0. 15
0
0. 02
00
0. 25
0
0. 03
00
35
-4
vollst. Uein nach Qaus
Abweichung von λr / pm
FPI B vollst. Uein nach Iaus
Abweichung von λr / pm
4
0. 0
00
0. 05
0
0. 01
00
0. 15
0
0. 02
00
0. 25
0
0. 03
00
35
-4
FPI A vollst. Uein nach Vaus
0.0002
Abweichung von λr / pm
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
Abweichung von λr / pm
vollst. Uein nach Iaus
Abweichung von λr / pm
Abweichung von λr / pm
FPI A
53
Einfallswinkel / rad
Einfallswinkel / rad
Einfallswinkel / rad
Abbildung 3.12: Monochromatische Stokes-Parameter für vollständig U -polarisierte Eingangssignale
abhängig von Einfallswinkel und Abweichung zur Resonanzwellenlänge λr .
kollimierten Fall weitgehend aufheben. Der Unterschied zur kollimierten PSF liegt darin, daß
die monochromatischen Komponenten die telezentrische Pupille jeweils unterschiedlich und
radial ungleichförmig ausleuchten, also auch unterschiedliche PSFs haben. Während also die
monochromatischen Komponeten der Stokes-Signale links und rechts des Transmissionsmaximums in der telezentrischen Pupille an der gleichen Position auftreten, und sich damit teilweise
aufheben, gilt dies nicht für die telezentrische Punktverbreiterungsfunktion.
Über die gesamte Pupille oder Punktverbreiterungsfunktion betrachtet heben sich die Polarisationseffekte in der telezentrischen Montierung auf. Bei beugungsbegrenzter Auflösung werden
jedoch idealerweise vier Pixel vom zentralen Maximum der PSF beleuchtet (Abschnitt 2.3.1),
so daß hier von sehr sensitiven Polarimetern falsche Polarisationssignale detektiert werden
können.
Die wissenschaftlichen Anforderungen für das zukünftige Visible Tunable Filtergraph (Hubbard u.a. 2006) spezifizieren die geforderte Polarimetrische Genauigkeit mit < 5 × 10−3 . Dieser
Bereich wird von einigen der in diesem Kapitel besprochenden Konfigurationen tangiert.
Resultate
FPI A
1
I
0.9
Q/I
0.8
Q/I +π/2
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10
-5
vollst. Vein nach Qaus
FPI A
0.0003
0.0002
0.0001
0
-0.0001
-0.0002
0
5
54
-0.0003
10
1
I
0.9
U/I
0.8
U/I +π/2
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10
-5
Abw. von λr / pm
FPI B
1
I
0.9
Q/I
0.8
Q/I +π/2
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10
-5
FPI B
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
-0.0005
-0.001
-0.0015
Abw. von λr / pm
0
5
0.0005
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
0
-0.0001
-0.0002
-0.0003
-0.0004
-0.0005
10
Abw. von λr / pm
vollst. Vein nach Qaus
0
vollst. Vein nach Uaus
5
-0.002
10
1
I
0.9
U/I
0.8
U/I +π/2
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10
-5
vollst. Vein nach Uaus
0.003
0.002
0.001
0
-0.001
-0.002
0
5
-0.003
10
Abw. von λr / pm
Abbildung 3.13: Monochromatische Stokes-Parameter für vollständig V -polarisierte Eingangssignale
entlang des Transmissionsprofils der FPI. Der Azimutalwinkel der gepunkteten Kurven ist π/2 größer
als in Abbildung 3.11.
Resultate
55
FPI A Stokes U nach Q,U,V
Q/I
I
U/I
V/I
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
4e-05
3e-05
2e-05
1e-05
0
-1e-05
-2e-05
-3e-05
-4e-05
1
0.0003
0.8
0.0002
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.0005
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
0
-0.0001
-0.0002
-0.0003
-0.0004
-0.0005
0.0001
0.6
0
0.4
-0.0001
0.2
-0.0002
0
-0.0003
1
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
0
-0.0001
-0.0002
-0.0003
-0.0004
0.8
0.6
0.4
0.2
0
Abbildung 3.14: Übersprechen von Stokes U nach Q,U,V für FPI A in einem telezentrischen f /128Strahlengang. Jeweils obere Reihe: Pupille, untere Reihe: Punktverbreiterungsfunktion.
FPI B Stokes U nach Q,U,V
Q/I
I
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
U/I
V/I
4e-05
3e-05
2e-05
1e-05
0
-1e-05
-2e-05
-3e-05
-4e-05
1
0
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
-0.0005
-0.001
-0.0015
-0.002
0.0015
1
0.0015
0.001
0.8
0.001
0.0005
0
-0.0005
0.8
0.6
0.4
0.2
0.6
0.4
0.0005
0
-0.0005
-0.001
0.2
-0.001
-0.0015
0
-0.0015
Abbildung 3.15: Übersprechen von Stokes U nach Q,U,V für FPI B in einem telezentrischen f /128Strahlengang. Jeweils obere Reihe: Pupille, untere Reihe: Punktverbreiterungsfunktion.
Kapitel 4
Messaufbau
Um einige der Ergebnisse aus Kapitel 3 experimentell überprüfen zu können, wurde ein Messaufbau konzipiert und im Optik-Labor des Kiepenheuer-Instituts aufgebaut.
4.1 Methode
4.1.1 Erster Aufbau
Vollwertige und hochauflösende Stokes-Polarimeter waren für den Messaufbau in Freiburg nicht
verfügbar. Es musste daher mit den lokal vorhandenen Möglichkeiten eine Messmethode gefunden werden, die zumindest einige der vorhergesagten Effekte bei größeren Einfallswinkeln
nachweisen kann. Um frühzeitig mit Messungen beginnen zu können, wurde der Aufbau zunächst als einfaches Stokes-(Q, U )-Polarimeter geplant, noch bevor konkrete Ergebnisse aus
der numerischen Analyse in Kapitel 3 vorlagen. Eine Skizze des Aufbaus ist in Abbildung 4.1
He-Ne Laser
CCD
Rau mfilt er
P
L1 L2
FPI
L3
A
Abbildung 4.1: Skizze des Stokes-(Q,U)-Polarimeter im ersten Messaufbau.
gezeigt. Als Lichtquelle dient ein HeNe-Laser. Das Raumfilter lässt weitgehend nur die zentrale
Gaußmode des Lasers passieren, so daß der Strahl nach dem Filter frei von den lasertypischen
Interferenzmustern ist. Das FPI befindet sich ein einem telezentrischen Strahlengang mit variablem Öffnungsverhältnis und die Pupille wird direkt auf die CCD Kamera abgebildet. Der
Polarisator P erzeugt linear polarisiertes Licht und mit dem drehbar gelagerten Analysator
A kann das vom Drehwinkel von A abhängige Transmissionsprofil mit der Kamera vermessen
werden. Die lineare Polarisationsänderung des FPI sollte sich bei Vergleichsmessungen mit und
ohne FPI bemerkbar machen.
FPI und Kamera werden von einem zu diesem Zweck geschriebenen Programm angesteuert,
um das Emissionsprofil des Lasers wiederholt in definierten Schritten abfahren zu können.
Mit diesem Aufbau konnten keine Polarisationsänderungen festgestellt werden. Wie sich
herausstellte, weisen die verwendeten Polarisationsf P und A eine zu geringe Extinktion auf,
das Verhältnis der transmittierten Intensität zwischen paralleler und gekreuzter Stellung der
56
Methode
57
Filter ist zu gering. Außerdem war eine manuelle, absolute Drehwinkelpositionierung nicht mit
der erforderlichen Genauigkeit möglich.
4.1.2 Zweiter Aufbau
Der zweite Aufbau wurde als Transmissions-Ellipsometer konzipiert. Bevor mit der Beschreibung des Aufbaus fortgefahren wird, soll im folgenden Abschnitt zunächst das Prinzip von
Polarisationsmessungen mit Ellipsometern beschrieben werden.
Einschub: Nulling-Ellipsometrie
Nulling-Ellipsometrie kann als eine Methode zur Polarisationsmessung verwendet werden, die
äußerst präzise und gleichzeitig robust gegenüber Intensitätsschwankungen und Polarisation
der Lichtquelle ist. Dabei wird ausgenutzt, dass für bestimmte Einstellungen der Polarisationsoptik das Signal am Detektor Null, bzw. minimal wird. Aus der relativen Orientierung
der Polarisationselemente gegeneinander kann die Polarisation des Lichts bestimmt werden.
Die Funktionsprinzip ist dabei das folgende (Abbildung 4.2): Die möglichst schmalbandige
L
D
A
P
C
S
Abbildung 4.2: Zum Funktionsprinzip eines Ellipsometers.
Lichtquelle (L) beleuchtet durch einen Polarisator (P), gefolgt von einem Kompensator (C),
die Probe (S). Das von der Probe reflektierte Licht wird dann durch einen Analysator (A)
auf einen Photodetektor geleitet. Diese Konfiguration wird daher auch als PCSA-Ellipsometer
bezeichnet. Nach dem Polarisator ist das Licht linear polarisiert, nach dem Kompensator im
Allgemeinen elliptisch. Nach Reflektion an der Probe kann durch den Analysator nur dann eine
Auslöschung (Nulling) stattfinden wenn das Licht nach der Probe linear und senkrecht zum
Analysator polarisiert ist. Dazu müssen für eine feste Winkelstellung P des Polarisators der
Winkel C von Kompensator und Analysator A so lange verdreht werden, bis am Detektor keine
Intensität mehr gemessen wird. Aus den Winkeln P, C und A kann dann über die Beziehung
(Azzam und Bashara 1979)
ρ = − tan A
tan C + ρc tan(P − C)
1 − ρc tan(P − C)
(4.1)
das Verhältnis ρ der komplexen Amplituden-Reflektionskoeffizienten der Probe bestimmt werden. Dabei ist ρc das Verhältnis der komplexen Amplituden-Transmissionskoeffizienten auf der
Methode
58
langsamen und schnellen Achse des Kompensators. Für eine ideale λ/4-Platte ist ρc = i. Das
Verhältnis ρ definiert nach Abschnitt 1.3.2 über Gleichung (1.37),
ρ = tan Ψei∆ ,
die ellipsometrischen Winkel Ψ und ∆, welche in Kapitel 3 berechnet wurden. Das obige Messprinzip und Gleichung (4.1) können unverändert auch für Proben in Transmission verwendet
werden.
Realisierung als Transmissions-Ellipsometer
Der gegenwärtige Aufbau ist in Abbildung 4.3 skizziert, Abbildung 4.4 zeigt ein Foto des
Messaufbaus. Der Laserstrahl wird zunächst von einer kurzbrennweitigen Linse auf eine sehr
kleine Blende fokusiert, dann von der Linse L1 auf ein Bündel von etwa 5 mm Durchmesser
kollimiert durch die Polarisationsoptik und das drehbar gelagerte FPI gelenkt und schließlich
durch die Linse L2 auf einen sehr empfindlichen Photodetektor fokusiert. Der Detektor ist mit
einem digitalen Oszilloskop verbunden. Das Raumfilter kann hier nicht verwendet werden, weil
die Intensität des Lasers dadurch soweit herabgesetzt wird, dass bei Kreuzstellung von P und A
bereits die Empfindlichkeit des Detektors unterschritten wird. Als Polarisator und Analysator
FPI Steuerung
He-Ne Laser
D
L1
P
C
FPI
A
L2
Abbildung 4.3: Skizze des als Transmissionsellipsometer ausgelegten Messaufbaus.
werden neue Polarisationsfilter verwendet, die einen Kontrast von 1:10000 aufweisen.
Als Kompensator C dient eine achromatische λ/4-Platte. Diese hat über einen langen Wellenlängenbereich eine nahezu konstante Verzögerung. Kleinere Abweichungen sollten sich kaum
bemerkbar machen, da immer bei der gleichen Wellenlänge gemessen wird, und es für den
Zweck der Messung, nämlich qualitative Vergleiche mit den numerischen Vorhesagen, nur auf
die Messung von relativen Änderungen ankommt. Das FPI ist verstellbar auf einem Drehtisch
montiert, um verschiedene Einfallswinkel in einem kollimierten Strahlengang zu simulieren.
Das Oszilloskop kann über bis zu 512 Messwerte mitteln. Dies verzögert zwar die Darstellung
der Messignale am Bildschirm erheblich, ist aber unerlässlich, um die winzigen Spannungsänderungen des Photodetektors bei kleinen Winkeländerung des Analysators und Kompensators
überhaupt noch im Rauschen nachweisen zu können. Die Winkel von Kompensator und Analsysator lassen sich mit Mikrometerschrauben auf etwa 1/20° genau einstellen bzw. ablesen.
Änderungen der Winkel im Bereich der Ablesegenauigkeit ergaben bei Tests ein deutliches
Signal am Oszilloskop.
Durchführung
59
Abbildung 4.4: Der Messaufbau im Optiklabor des Kiepenheuer-Instituts. Der Laser befindet sich ganz
rechts im Bild, dann kommen Kollimatorlinse, Blende, Polarisator, Kompensator, das FPI, sowie der
Analysator. Der Photodetektor befindet sich unter der Pappabdeckung.
4.2 Durchführung
Im folgenden wird der Begriff „Null“ für die Situation verwendet, bei der das Signal am Detektor null, bzw. minimal wird.
Zunächst müssen die relativen Orientierungen von Analysator und Kompensator kalibriert
werden. Dazu wird zunächst, nur mit Polarisator und Analysator, die Null bestimmt, und diese
Position dann für den Polarisator als 0°, und für den Analysator als 90° festgelegt. Danach
wird der Kompensator in den Strahlengang eingesetzt und durch Verändern von C wiederum
die Null bestimmt. Diese Position entspricht der 0°-Stellung des Kompensators.
Zur Messung wird das FPI für eine feste Wellenlängenposition in kleinen Schritten gedreht,
bis nach Gleichung (2.14) das winkelabhängige Transmissionsprofil durchgefahren ist. Bei jeder
Winkelstellung des FPI wird die Null festgestellt und aus den so erhaltenen Winkeln für C
und A nach Gleichung (4.1) ρ, und daraus Ψ und ∆, berechnet.
4.2.1 Schwierigkeiten
Auch mit dem zweiten Versuchsaufbau konnten bisher keine Ergebnisse erzielt werden. Dies
hat mehrere Gründe.
Durchführung
60
Das zunächst verwendete FPI verfügt über keine Plattenabstandskontrolle, es driftet also mit
der Zeit von der eingestellten Wellenlänge weg. Die Driftgeschwindigkeit liegt etwa bei einer
Halbwertsbreite des Lasers im Zeitraum von wenigen Minuten. Einige Minuten werden aber
selbst ohne FPI zum manuellen Finden der Null benötigt. Daß so keine Messwerte gewonnen
werden konnten, stimmt mit den Ergebnissen von Abschnitt 3.3.2 überein, da die Werte von
Ψ und ∆ stark von der Position im Durchlassbereich des FPI abhängen.
Weitere Versuche konnte mit diesem FPI nicht durchgeführt werden, da das Steuergerät nach
den ersten Tests defekt wurde, und nicht dauerhaft repariert werden konnte. Ein Ersatz für
das Gerät konnte zwar bei einem Laborgerätehändler in den USA ausfindig gemacht werden
und wurde im Juni diesen Jahres auch bestellt. Leider erreichte uns bis Heute aber weder das
Steuergerät, noch eine Antwort auf wiederholte Nachfragen nach dessen Verbleib.
Glücklicherweise befinden sich aber die drei TESOS-Etalons samt Steuereinheiten seit Mitte
September auf dem Schauinsland-Observatorium zur Charakterisierung von Oberflächendefekten. Ein Etalon konnte für eine Woche in den Messaufbau in Freiburg integriert werden.
Allerdings blieben so für die notwendigen Änderungen am Aufbau, Tests und Messungen nur
wenige Tage. In dieser kurzen Zeit konnten leider noch keine verwertbaren Messungen durchgeführt werden.
Kapitel 5
Zusammenfassung und Ausblick
Mit der vorliegenden Arbeit wurde erstmals gezielt die instrumentelle Polarisation von idealen
Fabry-Pérot-Interferometern mittels numerischer Methoden untersucht. Dazu wurden sowohl
die Auswirkungen verschiedener Dünnfilmbeschichtungen als auch der Einfluß der Position des
Fabry-Pérot-Interferometers im Strahlengang auf die instrumentelle Polarisation untersucht.
Fabry-Pérot-Interferometer induzieren Polarisationssignale, die bis in den Bereich der geforderten polarimetrischen Genauigkeit von zukünftigen, hochauflösenden Filtergraphen wie
dem Visible Tunable Filergraph des kommenden Advanced Technology Solar Telescope reichen.
Bei Stokes-Polarimetrie äußert sich die instrumentelle Polarisation hauptsächlich in den Übersprechkoeffizienten zwischen den Polarisationskomponenten Q, U und V ; hingegen weniger in
der induzierten Polarisation I → (Q, U, V ). Die Stärke der instrumentellen Polarisation hängt
für eine gegebene Konfiguration stark vom Einfallswinkel und damit von der F-Zahl des Strahlengangs ab, in dem sich das FPI befindet. Die Reflektivität der Verspiegelungen hat einen
größeren Einfluß auf die durch das FPI induzierte Polarisation als die Polarisationseffekte an
den Verspiegelungen selbst. Mit höherer Reflektivität der Verspiegelungen nehmen im Allgemeinen die Polarisationseffekte des Fabry-Pérot-Interferometers zu.
In der telezentrischen Montierung äußert sich die instrumentelle Polarisation in einem Polarisationsgradienten durch die Punktverbreiterungsfunktion, so daß bei beugungsbegrenzter
Auflösung die einzelnen Pixel unterschiedliche Polarisationssignale messen können. Für die kollimierte Montierung ergibt sich hingegen ein Polarisationsgradient durch das gesamte Bildfeld.
Zur experimentellen Verifizierung der aus der numerischen Modellierung erhaltenen Daten
wurde ein Messaufbau konzipiert und im Optik-Labor des Kiepenheuer-Institus eingerichtet.
Da die Messungen mit den zur Verfügung stehenden Mitteln sehr zeitaufwändig sind, konnten
hier noch keine Ergebnisse gewonnen werden.
Ausblick
Eine weitergehende Untersuchung der Polarisationseffekte, und vor allem eine experimentelle
Überprüfung, ist wünschenswert.
Der vorgestellte Messaufbau ist prinzipiell in der Lage, einige der vorhergesagten Effekte
aufzulösen.
Eine aussagekräftige Untersuchung ist mit hochauflösenden Polarimetern oder Ellipsometern
unter Laborbedingungen umsetzbar. Will man sich nicht auf die Herstellerangaben zum Polarisationsverhalten der verwendeten Beschichtungen verlassen, besteht eine Möglichkeit zunächst
darin, die Beschichtungen der Etalons mit einem Ellipsometer zu vermessen. Dies liefert neben
der Kenntnis des Polarisationsverhaltens auch eine Characterisierung der einfallswinkel- und
61
Kapitel 5: Zusammenfassung und Ausblick
62
wellenlängenabhängigen Phasenverschiebung bei Reflektion an den Beschichtungen. Dadurch
kann die Positioniergenauigkeit beim Scannen erhöht werden.
Da die gängigen Ellipsometer in Reflektion arbeiten, ist eine direkte Vermessung des Polarisationsverhaltens des FPI in Transmission nicht möglich. Da die Reflektion an Fabry-PérotInterferometern aber ebenfall durch die interne Vielfachreflektion bestimmt wird, kann durch
die ellipsometrische Vermessung des Reflektionsverhaltens zumindest das numerische Modell
getestet werden.
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64
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Konferenzbeitrag
Im Rahmen der vorliegenden Arbeit entstand ein Konferenzbeitrag zur „SPIE Conference on
Astronomical Instrumentation“, Marseille, im Juni 2008:
Doerr, H.-P., O. von der Lühe und T. J. Kentischer (2008). “Polarization effects in Fabry-Perot
interferometer-based solar spectrometers”. In: Ground-based and Airborne Instrumentation
for Astronomy II. Hg. von Ian S. McLean und Mark M. Casali. Bd. 7014. 1. Marseille, France:
Literatur
65
SPIE, S. 701417. doi: 10.1117/12.789180. url: http://link.aip.org/link/?PSI/7014/
701417/1.
Anhang A
Zusätzliche Angaben
Aufbau der zur Rechnung verwendeten Beschichtungen
Nr.
0
n
Dicke / nm
Luft
1.00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
ZnS
Kryolith
ZnS
Kryolith
ZnS
Kryolith
ZnS
Kryolith
ZnS
Kryolith
ZnS
Kryolith
ZnS
2.30
1.35
2.30
1.35
2.30
1.35
2.30
1.35
2.30
1.35
2.30
1.35
2.30
41.0
92.0
45.4
106.0
62.7
119.0
63.6
143.0
75.0
143.0
84.0
156.0
105.8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
14
Substrat
1.46
0
22
Nr.
0
Material
Tabelle A.1: Beschichtung A (nach Netterfield,
Sainty und Schaeffer (1980)).
Material
n
Dicke / nm
Luft
1.00
0
ZnS
Na3 AlF6
ZnS
Na3 AlF6
ZnS
Na3 AlF6
ZnS
Na3 AlF6
ZnS
Na3 AlF6
ZnS
Na3 AlF6
ZnS
Na3 AlF6
ZnS
Na3 AlF6
ZnS
Na3 AlF6
ZnS
Na3 AlF6
ZnS
2.30
1.35
2.30
1.35
2.30
1.35
2.30
1.35
2.30
1.35
2.30
1.35
2.30
1.35
2.30
1.35
2.30
1.35
2.30
1.35
2.30
41.60
76.80
51.40
94.30
49.00
94.00
47.90
95.20
58.60
147.3
62.20
120.4
77.60
129.9
69.10
153.0
65.40
155.7
69.60
179.1
105.3
Substrat
1.46
0
Tabelle A.2: Beschichtung B (entnommen aus
Macleod (2001)).
66
Anhang B
Programmcode
Ellipsometrie an Beschichtung und FPI
Die wellenlängenabhängige ellipsometrischen Winkel Ψ und ∆ für Beschichtungen und FPI
wurden in Kapitel 3 mit Code nach folgendem Muster berechnet.
1
2
3
4
5
6
7
9
10
11
12
13
14
15
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
35
36
37
38
39
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
< stdio .h >
< gsl / gsl_math .h >
< gsl / gsl_matrix .h >
< gsl / gsl_complex .h >
< gsl / gsl_complex_math .h >
" tfml . h "
" fpi . h "
i n t main ( i n t argc , char * argv [])
{
/∗ B r e c h u n g s i n d i c e s a l l e r M a t e r i a l i e n ∗/
gsl_complex air
= gsl_complex_rect (1.00 ,
gsl_complex silica
= gsl_complex_rect (1.46 ,
gsl_complex ZnS
= gsl_complex_rect (2.30 ,
gsl_complex cryolite = gsl_complex_rect (1.35 ,
0.0);
0.0);
0.0);
0.0);
/∗ Aufbau d e r v e r s c h i e d e n e n B e s c h i c h t u n g e n ( a m b i e n t −> s u b s t r a t ) ∗/
gsl_complex * layersA [] = {
& ZnS ,
& cryolite ,
& ZnS ,
& cryolite ,
// . . .
& ZnS
};
double thicksA [] = {
41.0 E -9 ,
92.0 E -9 ,
45.4 E -9 ,
106.0 E -9 ,
// . . .
105.8 E -9
};
gsl_complex * layersB [] = {
// . . .
};
double thicksB [] = {
// . . .
67
Kapitel B: Programmcode
40
};
42
gsl_complex * layersC [] = {
// . . .
};
double thicksC [] = {
// . . .
};
43
44
45
46
47
49
50
51
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
64
65
67
68
69
71
72
73
74
75
76
77
79
80
81
82
84
85
86
87
89
90
91
92
93
94
68
double fRatio = 128.0;
double spacing = 1.0 E -3;
double maxangle = 0.5 / fRatio ;
/∗ t f m l O b j e k t e f u e r a l l e B e s c h i c h t u n g e n a l l o k i e r e n ,
und f u e r j e d e B e s c h i c h t u n g e i n FPI ∗/
tfml_h * designA = tfml_alloc ( air , silica , 13 , layersA ,
tfml_h * designB = tfml_alloc ( air , silica , 21 , layersB ,
tfml_h * designC1 = tfml_alloc ( air , silica , 7 , layersC ,
tfml_h * designC2 = tfml_alloc ( air , silica , 9 , layersC ,
fpi_h * fpiA = fpi_alloc ( designA , spacing , air );
fpi_h * fpiB = fpi_alloc ( designB , spacing , air );
fpi_h * fpiC1 = fpi_alloc ( designC1 , spacing , air );
fpi_h * fpiC2 = fpi_alloc ( designC2 , spacing , air );
thicksA );
thicksB );
thicksC );
thicksC );
FILE * fpi = fopen ( " ellipsometry - fpi . dat " , " w " );
FILE * coat = fopen ( " ellipsometry - coatings . dat " , " w " );
gsl_complex rhoA , rhoB , rhoC1 , rhoC2 ;
gsl_complex rhoFpiA , rhoFpiB , rhoFpiC1 , rhoFpiC2 ;
gsl_complex angle = gsl_complex_rect ( maxangle , 0);
/∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗/
f o r ( double l = 400 E -9; l <= 800 e -9; l += 0.2 E -9)
{
tfml_recalc ( designA , l , angle );
tfml_recalc ( designB , l , angle );
tfml_recalc ( designC1 , l , angle );
tfml_recalc ( designC2 , l , angle );
rhoA = tfml_ellipsometry_r ( designA );
rhoB = tfml_ellipsometry_r ( designB );
rhoC1 = tfml_ellipsome try_r ( designC1 );
rhoC2 = tfml_ellipsome try_r ( designC2 );
fpi_tune
fpi_tune
fpi_tune
fpi_tune
( fpiA , l );
( fpiB , l );
( fpiC1 , l );
( fpiC2 , l );
/∗ W e l l e n l a e n g e s o waehlen , d a s s s i e 0 . 5 FWHM u n t e r
d e r R e s o n a n z w e l l e n l a e n g e f u e r den E i n f a l l s w i n k e l l i e g t ∗/
double offsA = fpi_blueshift ( fpiA , angle )
+ fpi_fwhm ( fpiA ) * 0.5;
double offsB = fpi_blueshift ( fpiB , angle )
+ fpi_fwhm ( fpiB ) * 0.5;
Kapitel B: Programmcode
double offsC1 = fpi_blueshift ( fpiC1 , angle )
+ fpi_fwhm ( fpiC1 ) * 0.5;
double offsC2 = fpi_blueshift ( fpiC2 , angle )
+ fpi_fwhm ( fpiC2 ) * 0.5;
95
96
97
98
rhoFpiA = fpi_ellipsometry_t ( fpiA , l
rhoFpiB = fpi_ellipsometry_t ( fpiB , l
rhoFpiC1 = fpi_ellipsometry_t ( fpiC1 ,
rhoFpiC2 = fpi_ellipsometry_t ( fpiC2 ,
100
101
102
103
offsA , angle );
offsB , angle );
- offsC1 , angle );
- offsC2 , angle );
fprintf ( coat , " %.9 g %.9 g %.9 g %.9 g %.9 g %.9 g %.9 g %.9 g %.9 g \ n " ,
l,
atan ( gsl_complex_abs ( rhoA )) , gsl_complex_arg ( rhoA ) ,
atan ( gsl_complex_abs ( rhoB )) , gsl_complex_arg ( rhoB ) ,
atan ( gsl_complex_abs ( rhoC1 )) , gsl_complex_arg ( rhoC1 ) ,
atan ( gsl_complex_abs ( rhoC2 )) , gsl_complex_arg ( rhoC2 ));
105
106
107
108
109
110
fprintf ( fpi , " %.9 g %.9 g %.9 g %.9 g %.9 g %.9 g %.9 g %.9 g %.9 g \ n " ,
l,
atan ( gsl_complex_abs ( rhoFpiA )) , gsl_complex_arg ( rhoFpiA ) ,
atan ( gsl_complex_abs ( rhoFpiB )) , gsl_complex_arg ( rhoFpiB ) ,
atan ( gsl_complex_abs ( rhoFpiC1 )) , gsl_complex_arg ( rhoFpiC1 ) ,
atan ( gsl_complex_abs ( rhoFpiC2 )) , gsl_complex_arg ( rhoFpiC2 ));
112
113
114
115
116
117
118
}
120
fclose ( fpi );
fclose ( coat );
121
return 1;
123
124
l
l
}
69
Danksagung
Bei der Umsetzung des Themas dieser Diplomarbeit waren viele helfende Hände und Köpfe beteiligt,
bei denen ich mich gerne für die geleistete Hilfe bedanken will. Zunächst möchte ich mich bei Herrn
von der Lühe für die Vergabe des Themas und die Betreuung, sowie für die Möglichkeit zur Teilnahme
an der SPIE Konferenz bedanken.
Thomas Kentischer hat mir bei allen Problemen rund um Fabry-Pérot-Interferometer immer aus der
Klemme geholfen, musste mir oft die Grundlagen der Optik erklären und wußte, wenn er mal etwas nicht
selbst wußte, immer jemand der’s weiß. Schade dass wir in Marseille nicht die sorgfältig ausgesuchte
Absteige am Alten Hafen bekommen haben, aber es war dennoch ziemlich lustig, oder? Ich danke Dir,
Thomas!
Ohne unsere Mechanische Werkstatt hätte der Versuchsaufbau (auch mit funktionierender Steuereinheit!) nie funktioniert. Für alle kleineren und größeren Anfertigungen („Könnt ihr mir was baschteln,
damit ich das hier daaa drauf schrauben kann?“ – „Wir baschteln nix, wir FERTIGEN AN!“) bedanke
ich mich bei Andreas Bernert, Oliver Wiloth, Alexander Tischenberg und Thomas Keller.
Reza Rezaei und Christian Beck danke ich für sehr erhellende Gespräche bzw. E-Mail-Support zum
Thema Polarisation. Ihr werdet unten gleich nochmal benannt, aber Sven, Christian, Philippe, Dirk,
Torte und Lars: vielen, vielen Dank für das Korrekturlesen, ich hätte nicht gedacht daß man so viele
Kommasetzungsfehler machen kann, nicht zu fassen!
Allen Doktoranden und Diplomanden danke ich für die angenehme und sehr lustige Zeit am KIS,
es war die beste Zeit meines Studiums – nicht nur wegen der vielfältigen gemeinsamen Feierabendbeschäftigungen („Zoggä ma noch ä Rund’?“) am KIS. ... Also gut, ich rufe euch mit Namen auf: Torsten
Waldmann, Lars Krieger, Pia Zacharias, Sven Bingert, Christian Nutto und Christian Bethge, Dirk
Schmidt, Adrian Zimmer, Jörn Warnecke, Reza Rezaei, Morten Franz, Philippe Bourdin, und Amel
Zaatri.
Peter Caligari danke ich dafür, daß er die lange geplante „Solaris 10 Migration“ in die zwei Wochen
vor meinem Abgabetermin gelegt hat, so daß ich äußerst effizient Hilferufe von Opfern der Betriebsystemumstellung abwehren konnte („Ich kann jetzt nicht, steh’ kurz vor ’nem Durchbruch! Steht alles
im Wiki!“).
An dieser Stelle scheint mir eine Warnung an künftige Diplomanden und Doktoranden angebracht,
mit der gleichzeitigen Bitte um Entschuldigung für die Verwässerung des Begriffs „Durchbuch“. Dessen
inflationäre Benutzung hat mit der Zeit zur Ausbildung von Resistenzen geführt, die von Außenstehenden als mangelnde Interesse ausgelegt werden könnten. Wundert euch nicht darüber, wenn ihr beim
Mittagessen nach Aussprüchen wie „Leute, ich hatte heute endlich den lang ersehnten Durchbruch!“
statt begeistertem Zuspruch bestenfalls ein müdes, mitleidiges Lächeln erhaltet.
Was ein Ende hat, hat auch einen Anfang. Gehen wir also etwas in der Zeit zurück, als sich vier (oder
waren’s mehr?), Grünschnäbel, auf der Ersti-Hütte kennengelernt haben und es seitdem tatsächlich,
manchmal mehrmals jährlich, geschafft haben eine spontane Alt-Ersti Konferenz mit Teilnehmern aus
mittlerweile dem ganzen Bundesgebiet zu organisieren! Torte, Vroni, Johannes, Robert, Falco, Dominik,
Lars und Christof: ich freue mich schon auf die nächste Weinschorle-Paddeltour auf der, wie hieß das?
Lahm?
Apropos Wasser: Ich danke Christoph Scheuffelen dafür, daß er mir das Segeln beigebracht hat, was
in den letzten Jahren zu meiner liebsten Freizeitbeschäftigung geworden ist. Ich hoffe sehr, daß der
Schneefall am Schluchsee dieses Jahr nicht mal wieder schon im Oktober einsetzt!
70
Weiterhin haben viele Dinge und Personen direkt oder indirekt zum Entstehen dieser Arbeit beigetragen, die hier ohne besondere Reihenfolge aufgezählt werden sollen. Es sind dies: „Die Simpsons“, die
Rockkapellen „Pink Floyd“, „Queen“ und „Dream Theater“, Keith Jarrett, asiatische Tütennudelsuppen unterschiedlichster Hersteller, „Rothaus Tannenzäpfle“, „Ubuntu“, „Inkscape“, „Gnuplot“, Leslie
Lamport sowie Auctex, der beste aller LATEX-Modi für den Emacs.
Ganz unten, aber nicht zuletzt, möchte ich mich bei meinen Eltern, Eberhard und Eva Doerr bedanken,
die mir das Studium ermöglicht haben.