Prof. Dr. Torsten Wedhorn Kommutative Algebra Sommersemester

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Prof. Dr. Torsten Wedhorn
Kommutative Algebra
Sommersemester 2008
Universität Paderborn
Version vom 30. September 2008
LATEX-Satz und Grafiken von Benjamin Letschert,
redigiert von Torsten Wedhorn
Das Skript beschreibt einen Teil der Vorlesung Algebra I von Professor Torsten Wedhorn an der Universität Paderborn im Sommersemester 2008.
Dieses Skript mag trotz gewissenhafter Niederschrift und Korrekturlesungen verschiedener Personen noch Fehler enthalten!
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Notation
Alle Ringe sind kommutativ mit Eins.
3
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Tensorprodukte
(A) Definition des Tensorproduktes
(B) Exkurs: Funktoren
(C) Homomorphismus-Funktor und Tensor-Funktor
(D) Flache Moduln
(E) Skalar-Erweiterungen und Skalar-Restriktionen
Notationen: Sei A ein (kommutativer) Ring.
A. Definition des Tensorproduktes
22.1 Definition: Seien M , N und P Moduln über A. Eine Abbildung β : M × N → P
heißt A-bilinear, falls gilt:
(i) Für alle n ∈ N ist β(·,n) linear (d.h. m 7→ β(m,n) ist linear als Abbildung M → P ).
(ii) Für alle m ∈ M ist β(m,·) linear.
Sei BilA (M × N,P ) die Menge der A-bilinearen Abbildungen M × N → P .
22.2 Bemerkung: Seien M,N und P Moduln über A. Definiere auf HomA (M,N ) :=
{ u : M → N ; u ist A-linear } eine A-Modulstruktur vermöge
(u + u0 )(m) := u(m) + u0 (m),
(au)(m) := a · u(m),
u,u0 ∈ HomA (M,N ),
a ∈ A.
Genauso wird BilA (M × N,P ) zu einem A-Modul.
Wir haben Isomorphismen von A-Moduln:
∼
β 7→ (n 7→ β(·,n)),
∼
β 7→ (m 7→ β(m,·)).
BilA (M × N,P ) → HomA (N, HomA (M,P )),
BilA (M × N,P ) → HomA (M, HomA (N,P )),
22.3 Satz und Definition: Seien M,N Moduln über A. Dann existiert ein A-Modul T
und eine A-lineare Abbildung τ : M × N → T mit folgender (universeller) Eigenschaft:
Für jede A-bilineare Abbildung β : M × N → P existiert genau eine A-lineare Abbildung
u : T → P mit u ◦ τ = β, d.h.
4
22 Tensorprodukte
∀β
/
w; P
w
w
ww
τ
ww ∃!u
w
w
T.
M ×N
Ist (T 0 ,τ 0 ) ein weiteres Paar mit dieser Eigenschaft, so existiert genau ein Isomorphismus
v : T → T 0 mit v ◦ τ = τ 0 .
Definition: Der A-Modul T heißt das Tensorprodukt von M und N (mit bilinearer
Abbildung τ ). Bezeichung: T = M ⊗A N = M ⊗ N .
Schreibe m ⊗ n := τ (m,n) ∈ M ⊗ N, m ∈ M,n ∈ N .
Bemerkung: Die universelle Eigenschaft besagt:
HomA (M ⊗A N,P ) → BilA (M × N,P )
u
7→
u◦τ
ist bijektiv. Für P = M ⊗A N ist τ ∈ BilA (M × N,M ⊗A N ) das zu idM ×N korrespondierende Element.
22.4 Bemerkung und Definition: Die Elemente der Form m ⊗ n ∈ M ⊗A N heißen
reine Tensoren. Sie erzeugen M ⊗A N . Allgemeine Elemente von M ⊗A N sind von der
r
P
Form
mi ⊗ ni .
i=1
Vorsicht: m ⊗ n = m0 ⊗ n0 ; m = m0 , n = n0 .
Es gilt: • am ⊗ n = m ⊗ an,
a ∈ A, m ∈ M, n ∈ N
• (m + m0 ) ⊗ n = m ⊗ n + m0 ⊗ n,
m,m0 ∈ M, n ∈ N
0
0
• m ⊗ (n + n ) = m ⊗ n + m ⊗ n ,
m ∈ M, n,n0 ∈ N
22.5 Bemerkung: Man kann auch multilineare Abbildungen M1 × M2 × . . . × Mr−1 ×
Mr → P betrachten. Entsprechend hat man Tensorprodukt M1 ⊗A M2 ⊗A . . . ⊗A Mr mit
HomA (M1 ⊗A . . . ⊗A Mr ,P ) = MultA (M1 × . . . × Mr ,P ).
22.6 Proposition: Seien M,N und P A-Moduln. Dann existieren eindeutig bestimmte
Isomorphismen von A-Moduln:
∼
(1) M ⊗ N → N ⊗ M mit m ⊗ n 7→ n ⊗ m
∼
∼
(2) (M ⊗N )⊗P → M ⊗(N ⊗P ) → M ⊗N ⊗P mit (m⊗n)⊗p 7→ m⊗(n⊗p) 7→ m⊗n⊗p
∼
(3) A ⊗A M → M mit a ⊗ m 7→ am
22.7 Proposition: Sei (Mi )i∈I eine Familie von A-Moduln und N ein A-Modul. Dann
existiert ein eindeutig bestimmter Isomorphismus
!
!
M
M
X
X
∼
u:
Mi ⊗A N →
(Mi ⊗A N ) ,
mi ⊗ n 7→
(mi ⊗ n)
i∈I
i∈I
i∈I
i∈I
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(endliche Summen, selbst wenn I unendlich ist)
22.8 Satz: Sei M ein A-Modul und a ⊂ A ein Ideal. Dann existiert ein eindeutig
bestimmter Isomorphismus
∼
M ⊗A A/a → M/aM
mit m ⊗ (a + a) 7→ am + aM.
B. Exkurs: Funktoren
22.9 Definition: Seien C und D Kategorien. Ein (kovarianter) Funktor von C nach D
F :C→D
besteht aus Abbildungen F : Ob(C) → Ob(D) (dabei ist Ob(C) die Menge der Objekte
von C) und für zwei Objekte X,Y ∈ Ob(C) einer Abbildung
F : HomC (X,Y ) → HomD (F (X),F (Y )),
so dass für g ∈ HomC (Y,Z), h ∈ HomC (X,Y ) gilt:
• F (g ◦ h) = F (g) ◦ F (h),
• F (idX ) = idF (X)
Ein kontravarianter Funktor F : C → D besteht aus
F : Ob(C) → Ob(D) , F : HomC (X,Y ) → HomD (F (Y ),F (X)) ,
so dass gilt:
• F (g ◦ h) = F (h) ◦ F (g),
• F (idX ) = idF (X) .
22.10 Bemerkung: Sei F : C → D ein Funktor, X,Y ∈ Ob(C) und g : X → Y ein
Morphismus in C. Ist g ein Isomorphismus, so ist F (g) : F (X) → F (Y ) ein Isomorphismus
in D.
22.11 Beispiel:
(1) Sei C = (Ring) := Kategorie der Ringe und D = (Grp) := Kategorie der Gruppen.
Definiere Funktor F : C → D, R 7→ (R× ,·), (ϕ : R → S) 7→ (ϕ|R× : R× → S × ). Dies
ist ein kovarianter Funktor.
(2) Sei C = (Grp) := Kategorie der Gruppen und D = (Sets) := Kategorie der Mengen.
Definiere Funktor F : C → D, (G,·) 7→ G, (ϕ : (G,·) → (H,·)) 7→ (ϕ : G → H). Dies
ist ein kovarianter Funktor (Vergissfunktor ).
(3) Sei C eine Kategorie und X,Y ∈ Ob(C).
6
22 Tensorprodukte
(i) Betrachte
hY : C → (Sets)
Ob(C) 3 S 7→ hY (S) := HomC (S,Y )
(ϕ : S → T ) 7→ hY (ϕ) : hY (T ) → hY (S), u 7→ u ◦ ϕ
(ii) Betrachte
hX : C → (Sets)
S 7→ hX (S) := HomC (X,S)
(ϕ : S → T ) 7→ hX (ϕ) : hX (S) → hX (T ), v 7→ ϕ ◦ v
Dann ist hY ein kontravarianter Funktor und hX ein kovarianter Funktor.
22.12 Definition: Seien C und D zwei Kategorien und F,G : C → D zwei Funktoren.
Ein Morphismus von Funktoren α : F → G ist eine Abbildung
Ob(C) 3 X 7→ (α(X) : F (X) → G(X)) ∈ HomD (F (X),G(X)),
so dass gilt: ∀g ∈ HomC (X,Y ) kommutiert das Diagramm
F (X)
α(X)
F (g)
F (Y )
/ G(X)
G(g)
α(Y )
/ G(Y ).
C. Homomorphismus-Funktor und Tensor-Funktor
22.13 Bemerkung: Sei R ein Ring (nicht notwendig kommutativ). Seien R-(Links)Moduln M und N gegeben. Dann ist HomR (M,N ) vermöge
(u + u0 )(m) = u(m) + u0 (m),
∀u,u0 ∈ HomR (M,N ),m ∈ M
eine abelsche Gruppe.
(Beachte: HomR (M,N ) ist kein R-Modul, denn für ein a ∈ R und ein u ∈ HomR (M,N )
ist au : M → N mit (au)(m) = au(m) nicht R-linear, denn für b ∈ R gilt im Allgemeinen:
(au)(bm) = abu(m) 6= bau(m) = b(au)(m)).
Sei (R − Mod) die Kategorie der R-Moduln und (Ab) die Kategorie der abelschen
Gruppen. Wir erhalten Funktoren:
HomR (·,N ) : (R − Mod) → (Ab),
HomR (M,·) : (R − Mod) → (Ab),
M 7→ HomR (M,N )
N 7→ HomR (M,N )
Satz 22.1. Sei R ein nicht notwendig kommutativer Ring.
kontravariant,
kovariant.
7
(1) Sei
(∗)
ϕ
ψ
M 0 → M → M 00 → 0
eine Sequenz von R-Moduln. Dann ist (∗) genau dann exakt, wenn für alle R-Moduln
N die Sequenz abelscher Gruppen
(∗0 )
0 → HomR (M 00 ,N )
ψ̄
→
u7→u◦ψ
HomR (M,N )
ϕ̄
→
v7→v◦ϕ
HomR (M 0 ,N )
exakt ist.
(2) Sei
0 → N 0 → N → N 00
(∗∗)
eine Sequenz von R-Moduln. Dann ist (∗∗) genau dann exakt, wenn für alle R-Moduln
M die Sequenz abelscher Gruppen
(∗∗0 )
0 → HomR (M,N 0 ) → HomR (M,N ) → HomR (M,N 00 )
exakt ist.
Insbesondere gilt: Die Funktoren HomR (·,N ) und HomR (M,·) sind linksexakt.
22.15 Bemerkung: Sei A ein kommutativer Ring, u : M → M 0 und v : N → N 0
Homomorphismen von A-Moduln. Betrachte
β : M × N → M 0 ⊗ N 0 , (m,n) 7→ u(m) ⊗ v(n)
Dann ist β bilinear. Wir erhalten einen eindeutigen Homomorphismus von A-Moduln
u ⊗ v : M ⊗ N → M 0 ⊗ N 0 mit m ⊗ n 7→ u(m) ⊗ v(n). Sei u0 : M 0 → M 00 , v 0 : N 0 → N 00
A-Modul-Homomorphismen. Dann gilt:
(∗)
(u0 ◦ u) ⊗ (v 0 ◦ v) = (u0 ⊗ v 0 ) ◦ (u ⊗ v)
(Klar auf reinen Tensoren. Reine Tensoren erzeugen M ⊗ N ⇒ (∗))
Insbesondere gilt: Sei M ein A-Modul. Dann ist
(A − Mod)
→
(A − Mod)
N
7→
M ⊗A N
(v : N → N 0 ) 7→ (M ⊗A N 7→ M ⊗A N 0 , idM ⊗v)
ein kovarianter Funktor.
22.16 Satz: Sei M ein A-Modul. Der Funktor N 7→ M ⊗A N ist rechtsexakt, d.h. für
jede exakte Sequenz
u
v
N 0 → N → N 00 → 0
(E)
von A-Moduln ist die Sequenz
(M ⊗ E)
exakt.
id ⊗u
id ⊗v
M ⊗ N 0 −→ M ⊗ N −→ M ⊗ N 00 → 0
8
22 Tensorprodukte
v
22.17 Warnung: Im Allgemeinen folgt aus der Exaktheit von 0 → N 0 → N nicht die
id ⊗v
Exaktheit von 0 → M ⊗ N 0 → M ⊗ N . Mit anderen Worten: “v injektiv” ; “id ⊗v
injektiv”.
Betrachte dazu folgendes Beispiel:
n7→2n
Sei A = Z. Betrachte 0 → Z −→ Z, M = Z/2Z. Dann gilt:
0 → Z/2Z ⊗Z Z −→ Z/2Z ⊗Z Z
n̄7→2n̄
=Z/2Z
=Z/2Z
−→
=0
D. Flache Moduln
22.18 Satz und Definition: Sei A ein kommutativer Ring und M ein A-Modul. Dann
sind äquivalent:
(i) Für jede exakte Sequenz
ϕi+1
ϕi
. . . → Ni−1 −→ Ni −→ Ni+1 → . . .
(E)
ist
(M ⊗ E)
. . . → M ⊗ Ni−1
idM ⊗ϕi
−→ M ⊗ Ni
idM ⊗ϕi+1
−→
M ⊗ Ni+1 → . . .
exakt.
(ii) Für jede injektive A-lineare Abbildung ϕ : N 0 → N ist idM ⊗ϕ : M ⊗ N 0 → M ⊗ N
injektiv.
(iii) Für jedes endlich erzeugtes Ideal a ⊂ A ist
M ⊗A a → M ⊗A A = M,
m ⊗ a 7→ a · m
injektiv.
Erfüllt M diese Eigenschaften, so heißt M flacher Modul.
22.19 Beispiele:
(1) Sei A = Z dann ist
•
•
•
•
M
M
M
M
= Z/nZ für n ≥ 2 nicht flach - siehe (22.17) oder 2.
= Zr für r ≥ 1 flach - siehe 3.
= Q flacher Z−Modul - siehe 2.
= Q/Z kein flacher Z−Modul - siehe 2.
(2) Sei A ein Hauptidealring. Dann ist ein A-Modul M genau dann flach, wenn er torsionsfrei ist (d.h. ∀0 6= a ∈ A ist der Homomorphismus M → M , m 7→ am injektiv).
(3) Freie Moduln sind flach. Begründung:
M freier A − Modul ⇔ M ∼
= A(I) , I Menge
!
M
(22.7) M
⇒ ∀A − Moduln N ist A(I) ⊗A N =
A ⊗A N =
(A ⊗A N ) = N (I)
i∈I
i∈I
Also: Ist N → N injektiv, ⇒ M ⊗A N ∼
= (N )
0
0
0 (I)
→N
(I)
∼
= M ⊗A N ist injektiv.
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(4) Sei M = A[T ] ein Polynomring. Dann ist M ∼
= A(N0 ) ein freier A-Modul. Also ist
A[T ] ein flacher A-Modul. Allgemeiner ist A[T1 , . . . ,Tn ] ein flacher A-Modul.
E. Skalar-Erweiterungen und Skalar-Restriktionen
22.20 Definition: Seien A,B (nicht notwendig kommutative) Ringe, ϕ : A → B ein
Ring-Homomorphismus und sei N ein B-Modul. Definiere auf N eine Skalarmultiplikation
von A durch
A×N →N ,
(a,n) 7→ ϕ(a) · n
Dieser A-Modul heißt Skalar-Restriktion von N bzgl. ϕ. Bezeichnung: ϕ∗ (N ).
Insebsondere können wir B als A-Modul auffassen. Wir erhalten einen Funktor:
ϕ∗ : (B − Modul) → (A − Modul)
N 7→ ϕ∗ (N )
(v : N → N 0 ) → (v : ϕ∗ (N ) → ϕ∗ (N 0 ))
22.21 Definition: Sei ϕ : A → B ein Homomorphismus von kommutativen Ringen und
M ein A-Modul. Setze
ϕ∗ (M ) := MB := B ⊗A M.
Dann ist ϕ∗ (M ) ein B−Modul, vermöge b0 (b ⊗ m) := (b0 b) ⊗ m , b,b0 ∈ B, m ∈ M . Dieser
B−Modul heißt Skalar-Erweiterung von M bzgl. ϕ. Wir erhalten einen Funktor:
ϕ∗ : (A − Modul) → (B − Modul)
M 7→ ϕ∗ (M )
(u : M → M 0 ) → (B ⊗A M
idB ⊗u
→
B ⊗A M 0 )
22.22 Proposition: Sei ϕ : A → B ein Ring-Homomorphismus von kommutativen
Ringen.
(1) Sei M ein endlich erzeugter A-Modul, dann ist ϕ∗ (M ) = B⊗A M ein endlich erzeugter
B−Modul.
(2) Sei M ein flacher A-Modul, dann ist B ⊗A M ein flacher B−Modul.
10
23
Algebren
(A) Algebren
(B) Monoid-Algebren
(C) Endlich erzeugte Algebren, Hilbertscher Basissatz
(D) Existenz des algebraischen Abschluss’
A. Algebren
23.1 Definition: Sei A ein kommutativer Ring. Eine A-Algebra R ist ein A-Modul R
mit einer A-bilinearen Multiplikation
R×R→R
,
(r,s) 7→ rs ,
so dass (R, + ,·) ein (nicht notwendig kommutativer) Ring ist. Seien R und S zwei AAlgebren. Ein A-Algebra-Homomorphismus ϕ : R → S ist eine A-lineare Abbildung
mit
(i) ϕ(1R ) = 1S ,
(ii) ϕ(r · r0 ) = ϕ(r) · ϕ(r0 ) ∀r,r0 ∈ R
23.2 Beispiel: Der Polynomring A[T ] ist eine A-Algebra. Allgemeiner ist A[T1 , . . . ,Tn ]
eine A-Algebra.
23.3 Bemerkung:
(1) Sei R eine A-Algebra. Dann ist ϕ : A → R, ϕ(a) := a · 1R ein Ring-Homomorphismus
mit Im(ϕ) ⊂ Cent(R), wobei Cent(R) = { r ∈ R ; rr0 = r0 r ∀r0 ∈ R }.
(2) Umgekehrt sei ϕ : A → R ein Ring-Homomorphismus mit Im(ϕ) ⊂ Cent(R). Dann
ist R ein A-Modul nach (22.20) und die Multiplikation R × R → R ist A-bilinear, da
Im(ϕ) ⊂ Cent(R).
Fazit : Es gilt:
ϕ
∧
A − Algebra R = Ring-Homomorphismus A → R mit Im(ϕ) ⊂ Cent(R).
Insbesondere:
∧
(Kommutative A−Algebra B) = (Ring-Homomorphismus kommutativer Ringe A → B)
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23.4 Tensorprodukte von A-Algebren: Sei A ein kommutativer Ring und R,S nicht
notwendig kommutative A-Algebren. Wir wollen eine A-bilineare Multiplikation
R ⊗A S × R ⊗A S → R ⊗A S
definieren. Äquivalent: Definiere A-lineare Abbildung
(R ⊗A S) ⊗A (R ⊗A S) → R ⊗A S.
Betrachte dazu:
R × S × R × S → R ⊗A S , (r,s,r0 ,s0 ) 7→ (rr0 ⊗ ss0 ).
Dies ist A-multilinear. Somit erhalten wir eine Multiplikation auf R ⊗A S, so dass
(r ⊗ s)(r0 ⊗ s0 ) = rr0 ⊗ ss0 .
Klar: Sind R und S kommutativ, so ist auch R ⊗A S kommutativ. Wir haben A-AlgebraHomomorphismen
ιR : R → R ⊗A S
r 7→ r ⊗ 1S
,
ιS : S → R ⊗A S
s 7→ 1R ⊗ s
23.5 Bemerkung: Sei A ein kommutativer Ring, und seien B und C kommutative
A-Algebren. Dann erfüllt das Tripel (B ⊗A C,ιB ,ιC ) die folgende universelle Eigenschaft:
Ist E eine kommutative A-Algebra und sind ϕ : B → E und ψ : C → E A-AlgebraHomomorphismen, so existiert genau ein A-Algebra-Homomorphismus ω : B ⊗A C → E
mit ω ◦ ιB = ϕ und ω ◦ ιC = ψ. Mit anderen Worten, wir haben eine bijektive Abbildung
∼
HomA−Alg (B ⊗A C,E) −→ HomA−Alg (B,E) × HomA−Alg (C,E),
ω 7−→ (ω ◦ ιB ,ω ◦ ιC ).
B. Monoid-Algebren
23.6 Definition: Sei A ein kommutativer Ring und (M,·) ein Monoid. Definiere eine
A-Algebra A[M ] wie folgt:
Zugrundeliegender A-Modul vom A[M ] ist A(M ) (mit Standardbasis (em )m∈M ). Definiere
eine A-bilineare Multiplikation durch
A(M ) × A(M ) → A(M )
.
(em ,em0 ) 7→ emm0
Die Multiplikation in (M,·) ist assoziativ. Also ist die Multiplikation in A[M ] ist assoziativ. Das Einselement von A[M ] ist e1 (wobei 1 ∈ M Einselement). A[M ] ist genau dann
kommutativ, wenn (M,·) kommutativ ist.
A[M ] heißt Monoid-Algebra über A bezüglich M .
12
23 Algebren
23.7 Bemerkung: Sei M ein Monoid. Dann ist der A-Modul A[M ] frei; insbesondere
ist A[M ] flach.
23.8 Beispiele:
(1) Ist M = {1}, so folgt A[M ] = A.
(2) Ist M = (N0 ,+), so folgt A[N0 ] = A[T ] (dabei gilt T n = en für n ∈ N0 ). Allgemeiner:
A[Nr0 ] = A[T1 , . . . ,Tr ] mit Ti = ei , wobei i = (0, . . . ,0,1,0, . . . ,0) ∈ Nr0 mit 1 an der
i-ten Stelle.
(3) Sei G ein Gruppe (und damit ein ein Monoid). In diesem Fall heißt A[G] die Gruppenalgebra von G über A.
(I)
23.9 Polynomringe: Sei I eine Indexmenge. Dann ist (N0 ,+) ein Monoid. Für i ∈ I
(I)
(I)
sei i ∈ N0 ein Tupel mit 1 an der i−ten Stelle, 0 sonst. Setze Ti := ei ∈ A[N0 ]. Dann
(I)
heißt A[N0 ] Polynomring in den Unbestimmten Ti (i ∈ I) mit Koeffizienten in A.
Bezeichnung: A[(Ti )i∈I ]
23.10 Proposition: Sei M ein Monoid, B eine A-Algebra. Dann ist
HomA−Alg (A[M ],B) → HomMon (M,(B,·))
ϕ 7→ (m 7→ ϕ(em ))
eine bijektive Abbildung.
23.11 Korollar: Sei I eine Indexmenge und B eine kommutative A-Algebra. Dann ist
HomA−Alg (A[(Ti )i∈I ],B) → B I = Abb(I,B)
ϕ 7→ (ϕ(Ti ))i∈I
bijektiv.
Insbesondere: HomA−Alg (A[T1 , . . . ,Tr ],B) = B r für r ∈ N0 .
23.12 Satz: Sei M ein kommutativer Monoid und B eine kommutative A-Algebra. Sei
a ⊂ A[M ] ein Ideal. Dann existiert ein eindeutig bestimmter B−Algebra-Homomorphismus
∼
B ⊗A A[M ]/a −→ B[M ]/aB[M ]
mit b ⊗ f 7→ bf .
23.13 Korollar: Sei B eine kommutative A-Algebra und r ≥ 0 eine ganze Zahl. Dann
gilt:
(1) B ⊗A A[T1 , . . . ,Tr ] ∼
= B[T1 , . . . ,Tr ].
(2) Seien f1 , . . . ,fn ∈ A[T1 , . . . ,Tr ]. Dann gilt:
B ⊗A A[T1 , . . . ,Tr ]/(f1 , . . . ,fr ) ∼
= B[T1 , . . . ,Tr ]/(f1 , . . . ,fn ).
13
C. Endlich erzeugte Algebren, Hilbertscher Basissatz
23.14 Erinnerung und Definition: Sei B eine kommutative A-Algebra.
(a) Eine A-Unteralgebra S von B ist eine Teilmenge S ⊂ B, so dass
• S ⊂ B ist A-Untermodul,
• 1B ∈ S,
• b1 ,b2 ∈ S ⇒ b1 b2 ∈ S.
(b) Der Schnitt von A-Unteralgebren ist wieder eine A-Unteralgebra.
Insbesondere: Ist Z ⊂ B eine Teilmenge, so ist
\
A[Z] :=
S
S ⊂ B Unteralgebra
S⊃Z
die kleinste A-Unteralgebra, die Z enthält. Ist Z = {b1 , . . . ,bn }, so gilt
A[b1 , . . . ,bn ] := A[Z] = { f (b1 , . . . ,bn ) ; f ∈ A[T1 , . . . ,Tn ] }.
(c) Eine A-Algebra B heißt endlich erzeugt, falls b1 , . . . ,bn ∈ B existieren, so dass
A[b1 , . . . ,bn ] = B.
23.15 Bemerkung: Eine kommutative A-Algebra B ist genau dann endlich erzeugt,
wenn es eine Surjektion π : A[T1 , . . . ,Tn ] → B von A-Algebren gibt.
(⇒ B ∼
= A[T1 , . . . ,Tn ]/a für ein Ideal a ⊂ A[T1 , . . . ,Tn ])
Erinnerung:
A heißt noethersch ⇔ Jedes Ideal ist endlich erzeugt
⇔ Jede aufsteigende Kette a0 ⊂ . . . ⊂ an ⊂ . . . wird stationär.
23.16 Theorem (Hilbertscher Basissatz): Sei A noethersch und B eine endlich
erzeugte kommutative A-Algebra. Dann ist B noethersch (als Ring).
23.17 Korollar (=(7.15)): Sei A noethersch. Dann ist A[T1 , . . . ,Tn ] noethersch. Insbesondere ist für jeden Körper K der Ring K[T1 , . . . ,Tn ] noethersch.
D. Existenz des algebraischen Abschluss’
23.18 Theorem: Sei K ein Körper. Dann gibt es ein algebraisch abgeschlossene KörperErweiterung Ω ⊃ K.
23.19 Korollar (=(10.12)): Jeder Körper K besitzt einen algebraischen Abschluss.
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24
Moduln über kommutativen Ringen
(A) Radikale
(B) Lemma von Nakajama
(C) Projektive Moduln
(D) Moduln von endlicher Präsentation, Schlangenlemma
Notation: Sei A ein kommutativer Ring.
A. Radikale
24.1 Definition und Erinnerung:
(a) a ∈ A heißt Einheit ⇔ ∃ b ∈ A : ab = 1.
(b) a ∈ A heißt Nullteiler ⇔ ∃ b ∈ A,b 6= 0 : ab = 0.
(c) a ∈ A heißt nilpotent ⇔ ∃ n ∈ N : an = 0.
(d) A heißt reduziert, wenn A keine nilpotenten Elemente 6= 0 besitzt.
(z.B. A nullteilerfrei ⇒ A reduziert)
24.2 Definition und Satz: Setze
\
Jac(A) :=
m
(∗)
= {a ∈ A| ∀x ∈ A : 1 − ax ∈ A× }.
m⊂A
maximales Ideal
Jac(A) heißt das Jacobson-Radikal (Warnung: Jac(A) ist nicht Standardbezeichnung).
24.3 Beispiel:
(1) Sei A = Z. ⇒ Jac(A) =
T
(p) = {0}
pPrimzahl
Allgemeiner: Sei A ein Hauptidealring, der kein Körper ist. Dann gilt:
Jac(A) = {0} ⇔ A besitzt unendlich viele maximale Ideale.
(2) Sei A ein Körper. Dann gilt: Jac(A) = {0}
(3) Sei p eine Primzahl, n ≥ 1. Dann besitzt Z/pn Z nur ein maximales Ideal, nämlich
pZ/pn Z. ⇒ Jac(Z/pn Z) = pZ/pn Z
24.4 Definition und Bemerkung: Sei a ⊂ A ein Ideal. Setze
15
√
a := rad(a) := {a ∈ A| ∃n ≥ 1 : an ∈ a}.
Dann ist rad(a) ein Ideal von A, genannt das Radikal von a.
Insbesondere ist nil(A) := rad((0)) = {a ∈ A| ∃n ≥ 1 : an = 0} ein Ideal, genannt das
Nilradikal von A.
Beispiel : Sei A = Z und a = (pn ) für ein n ≥ 1. Dann gilt:
rad(a) = { x ∈ A ; ∃ r ≥ 1 : pn | xr } = (p).
Allgemeiner: a = pε11 · . . . · pεrr , pi paarweise verschiedene Primzahlen mit εi ≥ 1. Dann
gilt:
rad((a)) = (p1 · . . . · pr )
Analoge Aussagen gelten für beliebige faktorielle Ringe.
24.5 Satz: Sei a ⊂ A ein Ideal. Dann gilt:
\
rad(a) =
p.
p ⊂ A Primideal
mit p ⊃ a
Insbesondere:
nil(A) =
\
p.
p Primideal
B. Lemma von Nakajama
24.6 Satz (Caley-Hamilton): Sei n ≥ 0 eine ganze Zahl, M ein A-Modul, der
von n Elementen erzeugt wird. Sei a ⊂ A ein Ideal und ϕ : M → M ein A-ModulEndomorphismus mit ϕ(M ) ⊂ aM . Dann existiert eine Identität von Endomorphismen
von M : ϕn + α1 ϕn−1 + . . . + αn−1 ϕ + αn mit αi ∈ a (genauer sogar αi ∈ ai ).
24.7 Korollar (Lemma von Nakayama) Sei M ein endlich erzeugter A-Modul,
a ⊂ A ein Ideal mit aM = M . Dann existiert x ∈ A mit x ≡ 1 mod a und xM = 0.
24.8 Korollar (Lemma von Nakayama) Sei M ein endlich erzeugter A-Modul,
a ⊂ A ein Ideal mit a ⊂ Jac(A) und aM = M . Dann ist M = 0.
24.9 Korollar (Lemma von Nakayama) Seien M,N A−Moduln, M endlich erzeugt,
a ⊂ A ein Ideal mit a ⊂ Jac(A) und sei ϕ : N → M eine lineare Abbildung. Dann ist ϕ
genau dann surjektiv, wenn
ϕ̄ := ϕ ⊗ idA/a : N ⊗A A/a → M ⊗A A/a
| {z }
| {z }
N/aN
M/aM
16
24 Moduln über kommutativen Ringen
surjektiv ist.
24.10 Satz: Sei M ein endlich erzeugter A-Modul, u : M → M ein surjektiver Endomorphismus. Dann ist u bijektiv.
24.11 Warnung: Sei M ein endlich erzeugter A-Modul. Dann
i.A.
“u : M → M injektiv” ; “u bijektiv”.
Beispiel: A = Z, M = Z, u(m) = 7m für m ∈ Z.
C. Projektive Moduln
24.12 Satz und Definition: Sei R ein nicht notwendig kommutativer Ring. Für einen
R-Modul P sind äquivalent:
(i) Der Funktor HomR (P,·) : (A-Mod) → (abelsche Gruppen) ist exakt, d.h. für jede
kurze exakte Sequenz
0 → M 0 → M → M 00 → 0
ist die Sequenz
0 → HomR (P,M 0 ) → HomR (P,M ) → HomR (P,M 00 ) → 0
exakt.
(ii) P ist direkter Summand eines freien Moduls, d.h. es existiert ein R-Modul P 0 , so
dass P ⊕ P 0 ein freier R-Modul ist.
(iii) Für jede exakte Sequenz von R-Moduln
(E)
u
v
0 → M0 → M → P → 0
existiert eine lineare Abbildung i : P → M mit v ◦ i = idP .
Sind diese äquivalenten Bedingungen erfüllt, so erhält man in (iii) einen Isomorphismus
∼
P ⊕ M 0 → M von R-Moduln, gegeben durch (p,m0 ) 7→ i(p) + u(m0 ). Man sagt dann, dass
die exakte Sequenz (E) spaltet.
Definition: Ein R-Modul P , der diese Eigenschaften erfüllt, heißt projektiv.
24.13 Proposition:
(1) Jeder freie Modul ist projektiv.
(2) Jeder projektive Modul ist flach.
17
D. Moduln von endlicher Präsentation, Schlangenlemma
24.14 Definition: Ein A-Modul heißt von endlicher Präsentation, falls eine exakte
Sequenz
v
An → Am → M → 0
mit ganzen Zahlen m,n ≥ 0 existiert (d.h. es existiert eine Surjektion v : Am → M , so
dass Ker(v) endlich erzeugt ist).
24.15 Proposition:
(1) Jeder A-Modul von endlicher Präsentation ist endlich erzeugt.
(2) Jeder projektive und endlich erzeugte A-Modul ist von endlicher Präsentation.
(3) Ist A noethersch, so ist ein A-Modul genau dann von endlicher Präsentation, wenn
er endlich erzeugt ist.
24.16 Satz (Schlangenlemma): Sei A ein nicht notwendig kommutativer Ring und
sei
/0
/ M2 p / M3
M1
u1
0
/ N1
u2
/ N2
j
u3
/ N3
ein kommutatives Diagramm von A-Moduln mit exakten Zeilen. Dann existiert genau
ein A-Modul-Homomorphismus d : Ker(u3 ) → Coker(u1 ), so dass d(m3 ) = π(n1 ), wobei
π : N1 → Coker(u1 ) der kanonische Homomorphismus, n1 ∈ N1 , m2 ∈ M2 , m3 ∈ Ker(u3 )
mit p(m2 ) = m3 und j(n1 ) = u2 (m2 ). Die Sequenz
d
Ker(u1 ) → Ker(u2 ) → Ker(u3 ) → Coker(u1 ) → Coker(u2 ) → Coker(u3 )
ist exakt.
24.17 Satz: Sei M ein A-Modul. Dann sind äquivalent:
(i) M ist ein flacher A-Modul.
(ii) Für jede exakte Sequenz 0 → N1 → N2 → M → 0 und für jeden A-Modul E ist
0 → N1 ⊗ E → N2 ⊗ E → M ⊗ E → 0 exakt.
18
25
Primspektren
(A) Exkurs über topologische Räume
(B) Primspektrum eines kommutativen Ringes
A. Exkurs über topologische Räume
25.1 Definition: Ein topologischer Raum ist ein Paar (X,TX ), wobei X eine Menge
und TX ⊂ P(X) eine Menge von Teilmengen von X ist, genannt offene Mengen von X,
so dass gilt:
(T1 ) ∅, X sind offene Mengen (d.h., ∅, X ∈ TX ).
(T2 ) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist wieder offen.
(T3 ) Der Schnitt endlich vieler offener Mengen ist wieder offen.
Schreibe auch X statt (X,TX ). Eine Teilmenge Y ⊂ X heißt abgeschlossen, falls X \ Y
offen ist. TX heißt Topologie auf X.
Bemerkung : Um eine Topologie auf X zu definieren, genügt es, die abgeschlossenen
Mengen anzugeben.
25.2 Beispiel:
(1) Sei (X,d) ein metrischer Raum. Für x ∈ X und ε > 0 sei
Bε (x) := { y ∈ X ; d(y,x) < ε }
der offene Ball mit Radius ε um x. Dann ist
TX := { U ⊂ X ; ∀x ∈ U ∃ε > 0 : Bε (x) ⊂ U }
eine Topologie auf X.
(2) Sei A ein Hauptidealring, und sei
X = Spec(A) := { p ⊂ A ; p Primideal }
= { m ⊂ A ; m maximales Ideal } ∪ {(0)}
= { (p) ; p Primelement } ∪ {(0)}.
Definiere Y ⊂ X als abgeschlossen, falls Y ⊂ { (p) ; p Primelement } eine endliche
Teilmenge oder Y = X ist. Dann gilt:
(i) ∅, X sind abgeschlossen.
T
(ii) Für Yi ⊂ X abgeschlossen (i ∈ I) ist
Yi abgeschlossen.
i∈I
(iii) “Y,Y 0 ⊂ X abgeschlossen” ⇒ “Y ∪ Y 0 abgeschlossen”.
19
25.3 Beispiel: Sei K ein Körper und n ≥ 1. Sei X = K n . Setze K[T ] := K[T1 , . . . ,Tn ].
Definiere Y ⊂ X als abgeschlossen, falls eine Teilmenge M ⊂ K[T ] existiert, so dass
Y = V (M ) := { x ∈ K n ; f (x) = 0 ∀f ∈ M }.
Bemerkung : Sei M ⊂ K[T ]. Sei
a := (M )(= {
r
X
fi gi ; fi ∈ K[T ], gi ∈ M , r ≥ 0 }
i=1
das von M in K[T ] erzeugte Ideal. Es gilt V (M ) = V (a). Mit dem Hilbert’schen Basissatz
(23.18) folgt, dass K[T ] noethersch ist. Also existieren f1 , . . . ,fr ∈ a mit V (f1 , · · · ,fr ) =
V (a) = V (M ).
Behauptung : Dies definiert eine Topologie auf X.
(T1 ) ∅T= V (1), X = VS(0).
(T2 )
V (Mi ) = V ( Mi ) für Teilmengen Mi ⊂ K[T ] (i ∈ I).
i∈I
i∈I
(T3 ) Seien a1 ,a2 ⊂ K[T ] Ideale. Dann gilt: V (a1 ) ∪ V (a2 ) = V (a1 a2 ).
25.4 Definition: Sei K ein Körper. Die Menge K n zusammen mit der in (25.3) definierten Topologie wird mit An (K) bezeichnet und heißt n−dimensionaler affiner Raum
über K. Die Topologie von An (K) heißt Zariski-Topologie.
Warnung : Dieser Ansatz ist für nicht algebraisch abgeschlossene Körper häufig zu naiv.
25.5 Definition: Seien X,X 0 topologische Räume. Eine Abbildung f : X → X 0 heißt
stetig, falls sie eine der beiden folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt:
U 0 ⊂ X 0 offen
Y 0 ⊂ X 0 abgeschlossen
⇒ f −1 (U 0 ) ⊂ X offen
⇒ f −1 (Y 0 ) ⊂ X abgeschlossen
Toplogische Räume und stetige Abbildungen bilden eine Kategorie. Isomorphismen dieser
Kategorie heißen Homöomorphismen. Dies sind stetgie Abbildungen f : X → X 0 , so dass
eine stetige Umkehrabbildung g : X 0 → X existiert.
Warnung : f stetig und bijektiv ; f −1 stetig (im Allgemeinen).
25.6 Definition: Sei (X,TX ) ein topologischer Raum und Y ⊂ X eine Teilmenge.
Definiere auf Y eine Topologie TY := {Y ∩ U | U ∈ TX }. Dann ist (Y,TY ) ein topologischer Raum. TY heißt die von TX induzierte Topologie (oder Teilraum-, Relativ- bzw.
Spurtopologie).
Mit anderen Worten: Eine Teilmenge Z ⊂ Y ist genau dann offen (bzw. abgeschlossen),
wenn eine offene (bzw. abgeschlossene) Teilmenge W ⊂ X existiert mit W ∩ Y = Z.
25.7 Definition: Sei X ein topologischer Raum und Y ⊂ X eine Teilmenge. Dann ist
\
Y :=
A
A ⊂ X abgeschlossen
A⊃Y
20
25 Primspektren
die kleinste abgeschlossene Teilmenge, die Y enthält. Y heißt der Abschluss von Y in X.
25.8 Beispiel:
(1) Sei X = R mit der üblichen Topologie, Y = ]0,1[. Dann ist Y = [0,1].
(2) Sei A ein Hauptidealring und Y = Spec(A). Abgeschlossene Mengen: X, endliche
Teilmengen von Max(A) = {(p)| p Primelement}
1. m ∈ Max(A), {m} = {m}.
2. Y ⊂ X unendlich ⇒ Y = X.
3. p = (0) ⇒ {p} = X.
B. Primspektrum eines kommutativen Ringes
Erinnerung: Alle Ringe sind kommutativ.
25.9 Satz: Sei A ein Ring.
(1) Seien p1 , . . . ,pn ⊂ A Primideale, a ⊂ A ein Ideal mit a ⊂
mit a ⊂ pi .
(2) Sei a1 , . . . ,an ⊂ A Ideale und p ⊂ A ein Primideal mit
(∗)
n
\
ai ⊂ p
n
S
pi . Dann existiert ein i
i=1
(“ p teilt kgV(a1 , . . . ,an )”)
i=1
Dann existiert ein i mit ai ⊂ p. Ist (∗) eine Gleichheit, so gilt: ai = p.
25.10 Definition und Satz: Sei A ein Ring. Setze Spec(A) := {p ⊂ A| p Primideal}
Sei M ⊂ A eine Teilmenge. Setze
V (M ) = { p ∈ Spec(A) ; p ⊃ M }.
Klar: V (M ) = V ((M )), wobei (M ) das von M erzeugte Ideal in A ist. Es gilt:
(1) V (0) = Spec(A), V (1) = ∅.
(2) Mi ⊂ A Teilmengen, i ∈ I, I Menge. Dann gilt:
!
\
[
V (Mi ) = V
Mi .
i∈I
i∈I
(3) Seien a,b ⊂ A Ideale. Dann gilt:
V (a) ∪ V (b) = V (a ∩ b)
(folgt aus (25.9)(2)).
21
Definition: Eine Teilmenge Y ⊂ Spec(A) ist als abgeschlossen definiert, falls eine
Teilmenge M ⊂ A existiert mit Y = V (M ) (⇔ ∃ a ⊂ A Ideal mit Y = V (a)). Diese
Topologie heißt Zariski-Topologie und Spec(A) zusammen mit der Zariski-Topologie heißt
das Primspektrum von A.
25.11 Beispiel:
(1) Sei K ein Körper ⇒ Spec(K) = {(0)} = {Punkt}
(2) Sei A = Z ein Ring, a = nZ, n ≥ 0.

∅.
wenn n = 1;



 {(p )| i = 1, . . . ,r}, wenn n > 1
i
Dann gilt V (nZ) =

und pi |n;



Spec(Z).
wenn n = 0.
Also hat Spec(Z) hat die in (25.2)(2) beschriebene Topologie. Allgemein gilt dies für
beliebige Hauptidealringe.
25.12 Beispiel: Sei K ein Körper und sei n ≥ 1 eine ganze Zahl. Setze A := K[T1 , . . . ,Tn ],
und sei x = (x1 , . . . ,xn ) ∈ K n . Dann ist mx = (T1 −x1 ,T2 −x2 , . . . ,Tn −xn ) ein maximales
Ideal.
(Beweis: Betrachte ϕx : A → K, ϕx (f ) := f (x). Dies ist ein surjektiver Ring-Homomorphismus und Ker(ϕx ) = mx . Dies zeigt A/mx ∼
= K, also ist mx ein maximales Ideal.)
Wir erhalten eine injektive Abbildung K n ,→ Spec(K[T1 , . . . ,Tn ]), x 7→ mx . Die von
der Zariski-Topologie auf Spec(K[T1 , . . . ,Tn ]) auf K n induzierte Topologie ist die ZariskiTopologie auf dem An (K) = K n .
25.13 Definition und Bemerkung: Für f ∈ A setze
D(f ) := {p ∈ Spec(A)| f ∈
/ p} = Spec(A) \ V (f ).
Dann ist D(f ) ⊂ Spec(A) offen. Die offenen Mengen der Form D(f ) (für f ∈ A) heißen
prinzipal offene Mengen.
(1) Ist
T U ⊂ Spec(A) offen,
S dann existiert M ⊂ A mit U = Spec(A) \ V (M ). Da V (M ) =
V (f ) ⇒ U =
D(f ).
f ∈M
f ∈M
Fazit: Jede offene Teilmenge ist die Vereinigung von prinzipal offenen Teilmengen.
(2) Für f,g ∈ A gilt: D(f ) ∩ D(g) = D(f g).
(Beweis: Für jedes Primideal p gilt f g ∈
/p⇔f ∈
/ p,g ∈
/ p.)
Eigenschaften (1) und (2) bedeuten: Die D(f ) für f ∈ A bilden eine Basis der Topologie
von Spec A.
25.14 Proposition: Sei (fi )i∈I eine Familie von fi ∈ A. Dann gilt:
[
D(fi ) = Spec(A) ⇔ (fi | i ∈ I) = A.
i∈I
In diesem Fall existiert eine endliche Teilmenge J ⊂ I, so dass
S
i∈J
D(fi ) = Spec(A).
22
26
Lokalisierung
(A) Lokalisierung
(B) Exkurs: Induktiver Limes
(C) Geometrische Interpretation der Lokalisierung
(D) Lokal-Global-Eigenschaften
Notation: Es bezeichne A einen Ring.
A. Lokalisierung
26.1 Definition: Eine Teilmenge S ⊂ A heißt multiplikativ (abgeschlossen), falls S ⊂
(A,·) ein Untermonoid ist, d.h. falls gilt:
(a) 1 ∈ S.
(b) s,t ∈ S ⇒ st ∈ S.
26.2 Beispiel:
(1) Sei p ⊂ A ein Primideal. Dann ist S := A \ p multiplikativ.
(2) Sei A nullteilerfrei. Dann ist S := A \ {0} multiplikativ.
(3) Sei f ∈ A. Dann ist Sf := {1,f,f 2 , . . .} multiplikativ.
(4) Sei a ⊂ A ein Ideal. Dann ist S := 1 + a = { 1 + f ; f ∈ a } multiplikativ.
26.3 Definition (Lokalisierung): Sei S ⊂ A eine multiplikative Teilmenge. Definiere
auf A × S eine Äquivalenzrelation durch
(a,s) ∼ (a0 ,s0 ) :⇔ ∃t ∈ S : t · (a · s0 − a0 · s) = 0.
S −1 A := (A × S)/ ∼ heißt Lokalisierung von A nach S.
Noch zu zeigen: ∼ ist Äquivalenzrelation:
Symmetrie und Reflexivität sind klar.
Transitivität: (a,s) ∼ (b,t), (b,t) ∼ (c,u) ⇔ ∃ v,w ∈ S: v(at − bs) = 0, w(bu − ct) = 0
⇒ vatwu − vbswu + wbuvs − wctvs = tvw(au − cs) = 0 mit tvw ∈ S.
Die Äquivalenzklasse von (a,s) wird mit as bezeichnet. Definiere eine Ringstruktur auf
S −1 A:
a b
ab
a b
at + bs
· :=
,
+ :=
(wohldefiniert!)
s t
st
s
t
st
Die Abbildung ι : A → S −1 A, a 7→
a
1
ist ein Ringhomomorphismus, genannt kanonisch.
23
Bemerkung : ι : A → S −1 A ist genau dann injektiv, wenn S keine Nullteiler enthält.
Beispiel: A nullteilerfrei, S = A \ {0} ⇒ S −1 A = Quot(A).
26.4 Proposition (Universaleigenschaft der Lokalisierung): Sei S ⊂ A eine multiplikative Teilmenge, ι : A → S −1 A der kanonische Homomorphismus. Für jeden Ringhomomorphismus ϕ : A → B mit ϕ(S) ⊂ B × existiert genau ein Ringhomomorphismus
ϕ0 : S −1 A → B mit ϕ0 ◦ ι = ϕ. Mit anderen Worten:
HomRing (S −1 A,B) → { ϕ ∈ HomRing (A,B) ; ϕ(S) ⊂ B × },
ϕ0 7→ ϕ0 ◦ ι
ist bijektiv.
26.5 Lokalisierung von Moduln: Sei M ein A-Modul und S ⊂ A eine multiplikative
Teilmenge. Setze S −1 M := (M × S)/ ∼ mit
(m,s) ∼ (m0 ,s0 ) :⇔ ∃t ∈ S : t(ms0 − sm0 ) = 0
Äquivalenzklassen werden mit
m m0
s0 m + sm0
+ 0 :=
s
s
ss0
m
s
bezeichnet. S −1 M ist (S −1 A)−Modul via
a m
am
·
:=
s t
st
,
∀m,m0 ∈ M,s,s0 ,t ∈ S,a ∈ A
26.6 Bemerkung: Sei S ⊂ A multiplikative Teilmenge. Wir haben einen kovarianten
Funktor
S −1 : (A − Mod) → ((S −1 A) − Mod)
M 7→ S −1 M
(u : M → M 0 ) 7→ (S −1 u : S −1 M → S −1 M 0 )
u(m)
m
s 7→ s
Ist (Mi )i∈I eine Familie von A-Moduln. Dann ist
M
M
∼
S −1 (
Mi ) −→
(S −1 Mi )
i∈I
i∈I
X mi
1 X
(
mi ) 7−→
s
s
i∈I
i∈I
ein Isomorphismus von (S −1 A)−Moduln.
u
v
26.7 Satz: Der Funktor S −1 ist exakt, d.h. ist M 0 → M → M 00 eine exakte Sequenz
von A-Moduln, so ist S −1 M
−1
0 S u
S −1 v
→ S −1 M → S −1 M 00 exakt.
26.8 Korollar: Sei M ein A-Modul und S ⊂ A eine multiplikative Teilmenge.
(1) Seien N ⊂ M ein Untermodul. Dann gilt: S −1 N ⊂ S −1 M ist ein Untermodul und
S −1 (M/N ) = S −1 M/S −1 N .
(2) Seien N 0 ,N 00 ⊂ M Untermoduln. Dann gilt:
24
26 Lokalisierung
(i) S −1 (N 0 + N 00 ) = S −1 N 0 + S −1 N 00
(ii) S −1 (N 0 ∩ N 00 ) = S −1 N 0 ∩ S −1 N 00
26.9 Satz: Sei S ⊂ A multiplikativ und M ein A-Modul. Dann existiert genau ein
∼
Isomorphismus von (S −1 A)-Moduln S −1 A ⊗A M → S −1 M mit as ⊗ m 7→ am
s .
26.10 Korollar: S −1 A ist ein flacher A-Modul.
26.11 Korollar: Seien M,N A−Moduln. Dann existiert genau ein Isomorphismus von
(S −1 A)-Moduln
∼
S −1 M ⊗S −1 A S −1 N → S −1 (M ⊗A N ),
m n
m⊗n
⊗ 7→
.
s
t
st
mit
26.12 Satz: Sei S ⊂ A eine multiplikative Teilmenge, ι : A → S −1 A der kanonische
Homomorphismus. Die Abbildungen
{b ⊂ S −1 A Ideal}
b→ι−1 (b)
{a ⊂ A| kein Element von S ist Nullteiler in A/a}
S −1 a←a
sind zueinander inverse Bijektionen. Insbesondere hat man Bijektionen
{q ⊂ S −1 A Primideal}
q→ι−1 (q)
{p ⊂ A Primideal| p ∩ S = ∅}
S −1 p←p
Bemerkung : Dies zeigt: Spec(S −1 A)
Homöomorphismus.
q→ι−1 (q)
−→
{p ∈ Spec(A)| p ∩ S = ∅} ist ein
26.13 Definition: Ein (kommutativer) Ring A heißt lokal, falls A genau ein maximales
Ideal m besitzt. Schreibe auch (A,m) statt A.
Klar: A lokal ⇔ A \ A× ist ein Ideal (und dieses ist dann das maximale Ideal).
26.14 Definition und Korollar: Sei p ⊂ A ein Primideal, S := A \ p. Dann heißt
Ap := S −1 A
Lokalisierung von A an (der Stelle) p.
Ap ist ein lokaler Ring mit maximalen Ideal pAp = S −1 p.
25
B. Exkurs: Induktiver Limes
26.15 Motivation: Sei X ein topologischer Raum (z.B. X = R), x ∈ X. Für U ⊂ X
offen setze
CX (U ) := {f : U → R stetig}.
Dann ist CX (U ) ein Ring. Für V ⊂ U offen ist CX (U ) → CX (V ), f 7→ f|V ein Ringhomomorphismus. Sei CX,x der “Ring der stetigen Funktionen in einer Umgebung von X”.
Genauer:
CX,x := {(U,f )| U ⊂ X offen mit U 3 x, f : U → R}/ ∼,
wobei (U1 ,f1 ) ∼ (U2 ,f2 ) :⇔ ∃V ⊂ U1 ∩ U2 offen, V 3 x, so dass f1|V = f2|V . Dies ist ein
Ring mit [U1 ,f1 ] + [U2 ,f2 ] := [U1 ∩ U2 ,f1|U1 ∩U2 + f2|U1 ∩U2 ], genauso für das Produkt.
Behauptung: CX,x ist ein lokaler Ring mit (wohldefiniertem) maximalen Ideal mx :=
{[U,f ]| f (x) = 0}.
26.16 Defintion: Sei (I, ≤) eine partiell geordnete Menge. Dann heißt (I, ≤) gerichtet,
falls für alle i,j ∈ I ein k ∈ I existiert mit i ≤ k und j ≤ k.
Beispiel : Sei X ein topologischer Raum und x ∈ X. Definiere Ix := {U ⊂ X offen| U 3
x} mit U ≤ U 0 ⇔ U ⊃ U 0 . Dann ist (Ix , ≤) gerichtet (denn U,V ∈ Ix ⇒ U ∩ V ∈ Ix ).
26.17 Definition: Sei C eine Kategorie.
(a) Ein induktives System in C ist ein Tupel ((Xi )i∈I ,(ϕji : Xi → Xj )i,j∈I,i≤j ), wobei
• I partiell geordnete Menge
• Xi ∈ Ob(C) ∀i ∈ I
• ϕji : Xi → Xj Morphismen in C für i ≤ j, so dass ϕkj ◦ ϕji = ϕki for all
i ≤ j ≤ k.
(b) Ein induktiver Limes (oder Colimes) ist ein Tupel (X,(ϕi )i∈I ), wobei X ∈ Ob(C)
und ϕi : Xi → X ein Morphismen in C mit ϕj ◦ ϕji = ϕi für alle i ≤ j, so dass gilt:
Sind αi : Xi → Y für i ∈ I Morphismen mit αj ◦ ϕji = αi ∀i ≤ j, so existiert genau
ein Morphismus α : X → Y , so dass das Diagramm
Xi
ϕi
−→
αi &
X
↓α
Y
kommutiert.
Bezeichnung : X = (X,(ϕi )) = lim Xi (= colim Xi ).
−→
i∈I
i∈I
Klar: (lim Xi ,(ϕi )) ist eindeutig bestimmt bis auf eindeutigen Isomorphismus.
−→
i
26.18 Proposition: Sei C die Kategorie der Mengen, oder der Ringe, oder der AModuln, oder der Gruppen, oder der A-Algebren, und sei ((Xi )i∈I ,(ϕji )i≤j ) ein induktives System in C, so dass I gerichtet ist. Dann existiert lim Xi .
−→
26
26 Lokalisierung
Beweis. Setze
X := { (i,xi ) ; i ∈ I,xi ∈ Xi }/ ∼ ,
wobei
(i,xi ) ∼ (j,xj ) ⇔ ∃ k ≥ i,j : ϕki (xi ) = ϕkj (xj ).
Definiere ϕi : Xi → X, xi 7→ [i,xi ]. Sei Addition, Multiplikation, Skalarmultiplikation,
usw. in offensichtlicher Weise definiert. (Ist z.B. C die Kategorie der abelschen Gruppen,
so ist die Addition auf X folgendermaßen definiert: [i,xi ] + [j,xj ] := [k,ϕki (xi ) + ϕkj (xj )]
für ein k ≥ i,j.)
Dann ist (X,(ϕi )i ) der induktive Limes von ((Xi )i∈I ,(ϕji )i≤j ).
Beispiel : Sei Z ein topologischer Raum, z ∈ Z, I = { U ⊂ Z offen ; U 3 z }. Für U ∈ I
sei CZ (U ) := {f : U → R stetig}. Dann gilt CZ,z = lim CZ (U ).
−→
U ∈I
26.19 Proposition:
(1) Sei ((Mi )i∈I ,(ϕji )i≤j ) ein gerichtetes induktives System von A-Moduln, und sei N
ein A-Modul. Dann existiert genau ein Isomorphismus von A-Moduln
∼
(lim Mi ) ⊗A N −→ lim(Mi ⊗A N )
−→
mit
−→
[i,mi ] ⊗ n 7→ [i,mi ⊗ n].
(2) Seien ((Mi0 )i∈I ,(ϕ0ji )i≤j ), ((Mi )i∈I ,(ϕji )i≤j ), ((Mi00 )i∈I ,(ϕ00ji )i≤j ) gerichtete induktive Systeme von A-Moduln und seien ui : Mi0 → Mi , vi : Mi → Mi00 mit (i ∈
I) A−Modulhomomorphismen, so dass
Mi0
0
ϕji ↓
Mj0
u
u
→i Mi
Mi
↓ ϕji und ϕji ↓
uj
→ Mj
Mj
v
→i Mi00
↓ ϕ00ji ∀i ≤ j kommutieren.
vj
→ Mj00
v
Seien Mi0 →i Mi →i MI00 exakte Sequenzen für alle i ∈ I. Dann erhält man eine exakte
Sequenz
lim Mi0 −→ lim Mi −→ lim Mi00 .
−→
−→
−→
C. Geometrische Interpretation der Lokalisierung
26.20 Bezeichnung: Sei M ein A-Modul.
(a) Sei f ∈ A. Setze S = {f n | n ≥ 0} und definiere
Af := S −1 A
Mf := S −1 M
(dies ist eine A-Algebra),
(26.9)
= Af ⊗A M
(dies ist ein Af -Modul).
(b) Sei p ⊂ A ein Primideal, S := A\p. Definiere Ap := S −1 A (A-Algebra, lokaler Ring),
Mp := S −1 M = Ap ⊗A M (Ap -Modul).
27
ι
26.21 Bemerkung: Sei f ∈ A, S = { f n ; n ≥ 0 }, und sei A → Af der kanonische
Homomorphismus. Dann gilt mit (26.12): Die Abbildung
Spec(Af )
q7→ι−1 (q)
−→ { p ∈ Spec(A) ; S ∩ p = ∅ }
= { p ∈ Spec(A) ; f ∈
/ p } = D(f )
ist ein Homöomorphismus.
Bezeichnung: Sei M ein A-Modul und f ∈ A. Setze
M|D(f ) := Af ⊗A M = Mf
“Einschränkung von M auf D(f )”. Sei u : M → N ein Homomorphismus von A-Moduln.
Setze
m
u(m)
u|D(f ) : M|D(f ) → N|D(f ) ,
.
7→
f
fn
Mit anderen Worten: u|D(f ) = S −1 u, wobei S = { f n ; n ≥ 0 }.
Warnung: Man muss noch zeigen: M|D(f ) hängt nur von D(f ) ab (und nicht von f ) dies folgt aus (26.23)
26.22 Satz: Seien a,b ⊂ A ideale. Dann gilt:
V (a) ⊂ V (b) ⇔ rad(a) ⊃ rad(b).
26.23 Korollar: Seien f,g ∈ A.
(1) Äquivalent sind:
(i) D(f ) ⊂ D(g).
(ii) ∃n ≥ 0 : f n ∈ Ag (= (g)).
(iii) g1 ∈ (Af )× .
In diesem Fall existiert ein eindeutiger Ringhomomorphismus ϕf,g : Ag → Af , so dass
ϕf,g ◦ ιg = ιf , wobei ιf : A → Af und ιg : A → Ag die kanonischen Homomorphismen
sind.
(4) Ist D(f ) = D(g), so ist ϕf,g ein Isomorphismus mit Umkehrabbildung ϕg,f .
26.24 Lokalisierung in einem Punkt: Sei M ein A-Modul und p ∈ Spec(A). Beachte:
D(f ) 3 p ⇔ f ∈
/ p. Für g,f ∈ A mit D(f ) ⊂ D(g) definiere
uf,g :
M|D(g)
q
Ag ⊗A M
−→
−→
ϕf,g ⊗idM
MD(f )
q
,
Af ⊗A M
d.h uf,g ( gmn ) = gmn . Sei I := {D(f )|p ∈ D(f )} mit D(g) ≤ D(f ) :⇔ D(f ) ⊂ D(g). Wir
erhalten ein induktives System ((M|D(f ) )D(f )∈I , (uf,g )D(f )⊂D(g) ).
Satz:
lim
M|D(f ) = Mp .
−→
D(f )3p
28
26 Lokalisierung
D. Lokal-Global-Eigenschaften
u
v
26.25 Theorem: Sei M 0 → M → M 00 eine exakte Sequenz von A-Moduln. Dann sind
äquivalent:
u
v
(1) M 0 → M → M 00 ist exakt.
u|D(f )
v|D(f )
0
00
(2) Für alle f ∈ A ist M|D(f
) → M|D(f ) → M|D(f ) exakt.
(2’) Es existieren f1 , . . . ,fr ∈ A mit
0
M|D(f
i)
u|D(fi )
→
M|D(fi )
n
S
D(fi ) = Spec(A), so dass
i=1
v|D(fi )
→
00
M|D(f
für alle i = 1, . . . ,r exakt ist.
i)
u
v
(3) Für alle Primideale p ∈ Spec(A) ist Mp0 → Mp → Mp00 exakt.
u
v
0
00
(3’) Für alle maximalen Ideale m ⊂ A ist Mm
→ Mm → Mm
exakt.
L
26.26 Lemma: Sei Max(A) := {m ⊂ A| m maximales Ideal}. Der A-Modul
Am
m∈Max(A)
ist treuflach.
26.27 Korollar: Sei u : M → N ein A-Modul-Homomorphismus. Dann sind äquivalent:
(1) u : M → N ist injektiv (bzw. surjektiv, bijektiv, = 0).
(2) ∀f ∈ A ist u|D(f ) injektiv (bzw. surjektiv, bijektiv, = 0).
(2’) ∃f1 , . . . ,fr ∈ A mit
r
S
D(fi ) = Spec(A), so dass u|D(f ) injektiv (bzw. surjektiv,
i=1
bijektiv, = 0) ist ∀i = 1, . . . ,r.
(3) ∀p ∈ Spec(A) ist up : Mp → Np injektiv (bzw. surjektiv, bijektiv, = 0).
(3’) ∀m ⊂ A maximales Ideal ist um : Mm → Nm injektiv (bzw. surjektiv, bijektiv, = 0).
26.28 Korollar: Sei M ein A-Modul. Dann sind äquivalent:
(1) M = 0 (bzw. M ist flach).
(2) ∀f ∈ A ist M|D(f ) = 0 (bzw. M|D(f ) ist flach).
(2’) ∃f1 , . . . ,fr ∈ A mit
r
S
D(fi ) = Spec(A), so dass M|D(fi ) = 0 ∀i = 1, . . . ,r
i=1
(bzw. M ist flach).
(3) ∀p ∈ Spec(A) ist Mp = 0 (bzw. Mp ist flach).
(3’) ∀m ⊂ A maximales Ideal ist Mm = 0 (bzw. Mm ist flach).
29
26.29 Satz: Seien M und N zwei A-Moduln, und sei M von endlicher Präsentation. Sei
p ∈ Spec(A) und sei u0 : Mp → Np ein Homomorphismus von Ap -Moduln. Dann existiert
ein Paar (D(f ),u), wobei f ∈ A, D(f ) 3 p und u : M|D(f ) → N|D(f ) , so dass up = u0 .
Ist (D(g),v) ein zweites solches Paar, so existiert D(h) ⊂ D(f ) ∩ D(g) mit D(h) 3 p, so
dass u|D(h) = v|D(h) .
Bemerkung : Der Satz besagt gerade, dass der kanonische Homomorphismus
∼
lim
HomAf (M|D(f ) ,N|D(f ) ) → HomAp (Mp ,Np )
−→
D(f )3p
ein Isomorphismus ist.
26.30 Korollar: Seien M , N zwei A-Moduln von endlicher Präsentation, und sei
p ∈ Spec(A), so dass Mp ∼
= Np (als Ap -Moduln). Dann existiert eine prinzipal offene
Umgebung D(f ) 3 p, so dass M|D(f ) ∼
= N|D(f ) .
26.31 Lemma: Seien M , N zwei A-Moduln und B eine A-Algebra. Dann existiert
genau ein B-Modul-Homomorphismus
α : B ⊗A HomA (M,N ) → HomB (B ⊗A M,B ⊗A N ) mit (1 ⊗ u) 7→ idB ⊗u .
Ist B eine flache A-Algebra und M von endlicher Präsentation, so ist α ein Isomorphismus.
26.32 Theorem: Sei M ein A-Modul von endlicher Präsentation. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(i) M ist projektiv.
(ii) M ist flach.
r
S
(iii) M ist lokal frei (d.h. ∃f1 , . . . ,fr ∈ A :
D(fr ) = Spec(A),
i=1
so dass M|D(fi ) ein freier Afi −Modul ist ∀i = 1, . . . ,r).
(iv) Mp ist ein freier Ap -Modul für alle p ∈ Spec(A).
(v) Mm ist ein flacher Am -Modul für alle m ⊂ A maximales Ideal.
30
27
Moduln über Dedekindringe
(A) Diskrete Bewertungsringe und Dedekindringe
(B) Projektive Moduln über Dedekindringen, freie Moduln über Hauptidealringen
(C) Endlich erzeugte Moduln über Dedekindringen
(D) Primidealzerlegung in Dedekindringen
(E) Elementarteilersatz
(F) Torsionsmoduln über Dedekindringen
(G) Jordan-Normalform
A. Diskrete Bewertungsringe und Dedekindringe
27.1 Satz und Definition: Sei A ein nullteilerfreier Ring mit K := Quot(A) 6= A.
Dann sind äquivalent:
(i) A ist ein lokaler Hauptidealring.
(ii) ∃π ∈ A \ A× , so dass ∀a ⊂ A Ideal mit a 6= 0 ein n ≥ 0 existiert, so dass a = (π n ).
(iii) Es existiert eine Abbildung v : K × → Z mit
(a) v(ab) = v(a) + v(b) (d.h. v : (K × ,·) → Z ist Gruppenhomomorphismus),
(b) v(a + b) ≥ min(v(a),v(b)) ∀a,b ∈ K × , a + b 6= 0,
so dass A = {a ∈ K × | v(a) ≥ 0} ∪ {0}.
Erfüllt A diese äquivalenten Eigenschaften, so heißt A diskreter Bewertungsring. Ein
Element π wie in (ii) heißt uniformisierendes Element. Eine Abbildung v wie in (iii)
heißt diskrete Bewertung. Eine diskrete Bewertung v heißt normiert, falls v(K × ) = Z.
Setze v(0) = ∞, wobei ∞ ∈
/ Z ein Symbol ist mit ∞ ≥ n und ∞ + n = ∞ für alle
n ∈ Z ∪ ∞. Es gilt dann:
A× = { a ∈ K ; v(a) = 0 },
A = { a ∈ K ; v(a) ≥ 0 },
m = { a ∈ K ; v(a) > 0 },
wobei m das maximale Ideal von A bezeichnet.
27.2 Beispiel: Sei A ein Hauptidealring, A 6= Quot(A), und sei m ⊂ A ein maximales
Ideal. Dann ist Am ein diskreter Bewertungsring.
Für A = Z ist m = (p), wobei p eine Primzahl ist. Betrachte die Lokalisierung
• Z(p) = { ab | p - b ∈ Z, a ∈ Z} ⊂ Q
31
• vp : Q× → Z mit vp (a) = n, falls a = pn cb , b,c ∈ Z teilerfremd zu p.
Dann ist vp eine diskrete Bewertung und Z(p) = {a ∈ Q| v(a) ≥ 0} der zugehörige
diskrete Bewertungsring.
Gleiches gilt für beliebige Hauptidealringe.
27.3 Definition: Ein nullteilerfreier Ring A, A 6= Quot(A), heißt Dedekindring, falls
gilt:
(a) A ist noethersch.
(b) Für jedes maximale Ideal m ⊂ A ist Am ein Hauptidealring (⇒ Am ist ein diskreter
Bewertunsgring).
27.4 Beispiel:
(1) Jeder
√ der kein Körper ist, ist ein Dedekindring.
√ Hauptidealring,
(2) Z[ √−5] = {a + b −5| a,b ∈ Z} ist ein Dedekindring,
√
√ der kein Hauptidealring ist.
(Z[ −5] ist nicht faktoriell: 6 = 2·3 = (1+ −5)(1− −5) sind zwei nicht assoziierte
Zerlegungen von 6 in irreduzible Elemente.)
Allgemein gilt:
Theorem von Krull-Akizuki: Sei A ein Dedekindring und L ⊃ K := Quot(A) eine
endliche Körpererweiterung. Dann ist
B := {b ∈ L| ∃f ∈ A[T ] normiert: f (b) = 0}
ein Dedekindring.
B. Projektive Moduln über Dedekindringe, freie Moduln über
Hauptidealringen
27.5 Bemerkung:
(1) Sei A ein Hauptidealring. Dann ist jedes Ideal 0 6= a ⊂ A ein freier A-Modul vom
Rang 1.
(2) Sei A ein Dedekindring. Dann ist jedes Ideal a ⊂ A ein projektiver A-Modul (von
endlicher Präsentation).
27.6 Exkurs - Wohlordnungen: Eine partiell geordnete Menge (E, ≤) heißt wohlgeordnet, falls jede Teilmenge F ⊂ E mit F 6= ∅ ein kleinstes Element x besitzt (d.h. x ∈ F
und x ≤ f ∀f ∈ F ). (Dann ist x eindeutig bestimmt.)
Bemerkung: Jede wohlgeordnete Menge ist total geordnet. (Betrachte F = {x,y} für
x,y ∈ E.)
Beispiel:
(1) (N0 , ≤) ist wohlgeordnet.
(2) (Z, ≤) ist nicht wohlgeordnet.
(3) (R≥0 , ≤) ist nicht wohlgeordnet.
32
27 Moduln über Dedekindringe
Transfinite Induktion: Sei E wohlgeordnet, und sei P ⊂ E eine Teilmenge, so dass
für alle x ∈ E gilt:
{ y ∈ E ; y < x } ⊂ P ⇒ x ∈ P.
Dann gilt: P = E.
Wohlordnungsaxiom: Jede Menge E besitzt eine Wohlordnung.
27.7 Theorem: Sei A ein Ring, so dass jedes Ideal a ⊂ A ein projektiver A-Modul ist
(z.B. A Dedekindring).
Sei I eine Indexmenge, und sei M ein A-Untermodul von A(I) .
L
∼
Dann gilt: M =
ai für Ideale ai ∈ A.
i∈I
27.8 Korollar: Sei A ein Ring, in dem jedes Ideal projektiv ist (z.B. A Dedekindring),
und sei M ein projektiver A-Modul. Dann ist jeder Untermodul N von M projektiv.
27.9 Korollar: Sei A ein Hauptidealring.
(1) Ein A-Modul ist genau dann frei, wenn er projektiv ist.
(2) Jeder Untermodul N eines freien A-Moduls M ist frei. Ist M endlich erzeugt, so gilt:
rkA (N ) ≤ rkA (M ).
C. Endlich erzeugte Moduln über Dedekindringe
27.10 Definition: Sei A ein nullteilerfreier Ring und M ein A-Modul.
(a) m ∈ M heißt Torsionselement, falls 0 6= a ∈ A existiert mit am = 0.
(b) Mtors := {m ∈ M | m Torsionselement} heißt Torsionsmodul von M .
(Mtors ist Untermodul: m,m0 ∈ Mtors , 0 6= a,a0 ∈ A mit am = a0 m0 = 0. Dann gilt
(aa0 )(m + m0 ) = 0 und aa0 6= 0, da A nullteilerfrei ist.)
(c) M heißt torsionsfrei, falls Mtors = {0}.
27.11 Korollar: Sei A ein Dedekindring, M ein endlich erzeugter A-Modul. Dann sind
äquivalent:
(ii) M ist projektiv.
(iii) M ist flach.
(iv) M ist torsionsfrei.
Ist A ein Hauptidealring, so sind (ii),(iii) und (iv) äquivalent zu
(i) M ist frei.
Bemerkung : (iii) ⇔ (iv) gilt auch für nicht notwendig endlich erzeugte A-Moduln.
27.12 Satz und Definition: Sei A ein Dedekindring, K = Quot(A) und M ein endlich
erzeugter A-Modul. Dann existiert ein projektiver Untermodul P ⊂ M , so dass M =
P ⊕ Mtors .
Für jedes solche P gilt: K ⊗A P = K ⊗A M . Die Zahl dimK (K ⊗A M ) heißt Rang von
M.
33
27.13 Korollar: Sei A ein Hauptidealring, und sei M ein endlich erzeugter A-Modul.
Sei r der Rang von M . Dann gilt: M ∼
= Ar ⊕ Mtors .
D. Primidealzerlegung in Dedekindringe
27.14 Proposition: Sein A ein Ring, M ein A-Modul und N,N 0 ⊂ M A-Untermoduln.
Dann gilt:
0
N = N 0 ⇔ Nm = Nm
∀m ⊂ A maximales Ideal.
27.15 Satz (Prinzip der noetherschen Induktion): Sei I eine partiell geordnete
Menge, so dass jede Teilmenge ∅ 6= J ⊂ I ein maximales Element besitzt (Beispiel: I
Menge der Ideale in einem noetherschen Ring).
Sei P ⊂ I eine Teilmenge, so dass für alle i ∈ I gilt:
{ j ∈ I ; j > i } ⊂ P ⇒ i ∈ P.
Dann gilt P = I.
27.16 Definition: Sei A ein Dedekindring, K = Quot(A), m ⊂ A maximales Ideal
(⇒ Quot(Am ) = K) und sei πm ∈ Am ein uniformierendes Element. Sei a ⊂ A ein Ideal.
n
Dann ist am ein Ideal von Am , also am = (πm
) für ein eindeutig bestimmtes n ≥ 0.
Setze vm (a) := n. Dann heißt vm (a) die m−adische Bewertung von a. Für a ∈ A setze
vm (a) := vm ((a)).
27.17 Theorem: Sei A ein Dedekindring und 0 6= a ⊂ A ein Ideal. Dann gilt:
Y
a=
mvm (a) ,
m∈Max(A)
wobei vm (a) = 0 für fast alle m ∈ Max(A). Die Zerlegung ist eindeutig bis auf Reihenfolge.
E. Elementarteilersatz
27.18 Theorem (Elementarteilersatz): Sei A ein Hauptidealring, sei M ein freier
A-Modul mit n := rkA (M ) < ∞, und sei N ⊂ M ein A-Untermodul. Dann gibt es eine
Basis v1 , . . . ,vn von M und a1 , . . . ,an ∈ A mit
n
L
(1) N =
Aai vi .
i=1
(2) Aa1 ⊃ Aa2 ⊃ . . . ⊃ Aan .
34
27 Moduln über Dedekindringe
Die Ideale Aai sind eindeutig durch M und N bestimmt.
Vi
Bemerkung : Genauer gilt Aai = Ann( A (M/N )).
27.19 Korollar: Sei A ein Hauptidealring, M ein endlich erzeugter A-Modul und sei
r der Rang von M . Dann existieren eindeutig bestimmte Ideale Aai , i = 1, . . . s, so dass
gilt:
s
M
r
M∼
A
⊕
A/Aai und Aa1 ⊃ Aa2 ⊃ . . . ⊃ Aan 6= (0).
=
i=1
F. Torsionsmoduln über Dedekindringe
27.20 Bemerkung: Seien A1 ,A2 Ringe, und sei M ein (A1 × A2 )−Modul. Dann gilt:
M = M1 ⊕ M2 , wobei Mi ein Ai −Modul ist.
27.21 Lemma: Sei A ein Dedekindring, M ein endlich erzeugter A-Torsionsmodul. Dann
r
L
existieren eindeutig bestimmte maximale Ideale m1 , . . . ,mr von A, so dass M =
Mi
i=1
und Mi 6= 0 ist Ami −Torsionsmodul ∀i = 1, . . . ,r.
27.22 Korollar: Sei A ein Dedekindring, M ein endlich erzeugter A-Torsionsmodul.
Dann existieren eindeutig bestimmte paarweise verschiedene maximale Ideale m1 , . . . ,mr
und eindeutig bestimmte ganze Zahlen 1 ≤ ai,1 ≤ . . . ≤ ai,si (i = 1, . . . r), so dass
M∼
=
si
r M
M
a
A/mi i,j .
i=1 j=1
G. Jordan-Normalenform
Notation: Sei jetzt K ein Körper.
27.23 Bemerkung:
(1) Ist V ein K[T ]−Modul, dann ist f : V → V, v 7→ T · v eine K−lineare Abbildung.
(2) Ist V ein K−Vektorraum und f : V → V eine K−lineare Abbildung, so wird V zu
einem K[T ]-Modul via
!
n
n
X
X
X
i
ai T · v :=
ai f i (v),
ai T i ∈ K[T ],v ∈ V.
i=0
i=0
Fazit : (K[T ]-Modul) = (K-Vektorraum V und f : V → V K−linear)
27.24 Bemerkung: Sei V ein K−Vektorraum und f : V → V eine K−lineare Abbildung, aufgefasst als K[T ]-Modul.
35
(1) Es gilt:
dimK (V ) < ∞ ⇔ (V,f ) endlich erzeugter K[T ]-Torsionsmodul
si
r M
M
(27.22)
a
⇔ (V,f ) =
K[T ]/(Pi i,j ),
i=1 j=1
wobei P1 , . . . ,Pr ∈ K[T ] paarweise teilerfremde irreduzible normierte Polynome und
1 ≤ ai,1 ≤ . . . ≤ ai,si ganze Zahlen sind, die eindeutig bestimmt sind.
(2) Sei P = T n + an−1 T n−1 + . . . + a0 ∈ K[T ] ein Polynom. Dann gilt:
(V,f ) ∼
= K[T ]/(P ) ⇔ P = µf und dimK (V ) = deg(µf )
⇔ P = µf = χf
⇔ existiert Basis B = (v1 , . . . ,vn ) von V , so dass


0
−an−1


..

 1 ...
.


B
.

.
.. ..
Mf = 
..

.
.



1 0
−a1 
1
−a0
(3) In der Situation von (1) gilt:
χf =
si
r Y
Y
a
Pi i,j ,
i=1 j=1
a
µf = kgV(Pi i,j | i = 1, . . . ,sr ,j = 1, . . . ,si ) =
r
Y
ai,si
Pi
.
i=1
27.25 Korollar (Jordan-Normalform): Sei V ein K-Vektorraum von endlicher Dimension, und sei f : V → V ein trigonalisierbarer Endomorphismus. Dann besitzt f eine
Jordan-Normalform, und die Jordanblöcke sind eindeutig bis auf Reihenfolge.
Beweis. Betrachte (V,f ) wie in (27.24)(1). Dann gilt: f trigonalisierbarer ⇔ P1 , . . . ,Pr
haben Grad 1.
Es gilt (V,f ) = (V1 ,f1 ) ⊕ (V2 ,f2 ) ⇔ ∃ Basis Bi von Vi , so dass
!
MfB11
0
(B1 ,B2 )
Mf
=
.
0
MfB22
Ohne Einschränkung sei also (V,f ) = K[T ]/(T − a)m für ein a ∈ K. Sei q := (T − a)m .
Konstruiere eine Basis von V :
v1 := (T − a)m−1
..
.
vm−1 :=
vm :=
(T − a)1
1
+ (q)
+ (q)
+ (q)
36
27 Moduln über Dedekindringe



Behauptung: Sei B := (v1 , . . . ,vm ). Dann gilt MfB := 


a
1
..
.

..
.
..
.


.

1 
a
Es gilt:
f (v1 ) = T v1 = (T − a + a) · (T − a)m−1 = (T − a)m + a(T − a)m−1 ≡ a · v1 mod (q).
Für i = 2, . . . ,m und vi = (T − a)m−i gilt:
f (vi ) = (T − a) · (T − a)m−i + a(T − a)m−i ≡ vi−1 + avi mod (q)