Übungen zu Kapitel 4: Einführung in die Spieltheorie

Universität Erfurt – Lehrstuhl für Mikroökonomie – Prof. Dr. Bettina Rockenbach
Übungen zu Kapitel 4: Einführung in die Spieltheorie
Aufgabe 4.1
Spieler A
Spieler B
B1
B2
A1
5,6
7,2
A2
4,5
9,1
Im obigen Spiel gilt:
a) Spieler A hat eine dominante Strategie
b) Spieler B hat eine dominante Strategie
c) Beide Spieler haben eine dominante Strategie
d) Keiner der beiden Spieler hat eine dominante Strategie
Wie lautet das Nash-Gleichgewicht (in reinen Strategien) des obigen Spiels?
Lösung:
Spieler A hat keine dominante Strategie!
Spieler B hat eine dominante Strategie! (B1; egal ob Spieler A A1 oder A2 wählt ist es für
Spieler B immer beste Antwort B1 zu wählen)
Nash-Gleichgewicht: A1,B1
Aufgabe 4.2
Spieler A
Spieler B
B1
B2
A1
6,6
4 , 12
A2
12 , 4
10 , 10
Im obigen Spiel gilt:
a. Spieler A hat eine dominante Strategie
b. Spieler B hat eine dominante Strategie
c. Beide Spieler haben eine dominante Strategie
d. Keiner der beiden Spieler habt eine dominante Strategie
Wie lautet das Nash-Gleichgewicht (in reinen Strategien) des obigen Spiels?
Lösung:
Spieler A hat eine dominante Strategie! (A2; egal ob Spieler B B1 oder B2 wählt ist es für
Spieler A immer beste Antwort A2 zu wählen)
Spieler B hat eine dominante Strategie! (B2; egal ob Spieler A A1 oder A2 wählt ist es für
Spieler B immer beste Antwort B2 zu wählen)
Nash-Gleichgewicht: A2,B2
Mikroökonomie I – WS 2004/05 – Übungsaufgaben und Lösungen
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Aufgabe 4.3
Pepsi-Cola
Coca-Cola
Werbung
keine
Werbung 2 , 4
4,2
keine
3,6
0.4 , 8
Das obige Spiel zeigt die Gewinne (in Mio. US-Dollar) von Coca-Cola und Pepsi-Cola im
Falle von Werbung und keine Werbung.
1) Wie lautet das Nash-Gleichgewicht (in reines Strategien) des obigen Spiels?
2) Wenn sich beide Firmen durch Abschluss eines bindenden Vertrages verpflichten
könnten, keine Werbung zu machen, sollten sie dies tun? Wenn ja, warum?
Lösung:
1) Nash-Gleichgewicht: Werbung, Werbung
2) ja, weil für beide Anbieter effizienter
Aufgabe 4.4
Stellen Sie folgende Situationen als Spiel in extensiver Form anhand eines Spielbaumes dar.
1) Der Autohändler A hat einen alten VW Käfer, den er mit 8.000€ bewertet. Er kann den
Wagen dem Privatmann P für 10.000€ oder für 15.000€ oder gar nicht anbieten. Der P
kann ein Angebot annehmen oder ablehnen. P bewertet den Käfer mit 12000€.
2) Mr. Smith und Mrs. Cooper haben sich zum Mittagessen in New York verabredet. Sie
haben jedoch vergessen, den Ort ihres Treffens zu vereinbaren. Als Treffpunkt kommen
lediglich das Empire State Building und die Freiheitsstatue in Frage. Mr. Smith und Mrs.
Cooper können vor dem Treffen nicht mehr miteinander in Kontakt treten. Beide müssen
sich entscheiden, wohin sie gehen. Gelingt das Treffen, können sie miteinander essen, was
beiden 100$ wert ist. Andernfalls müssen sie alleine essen, was beide mit 0$ bewerten.
Lösung:
1)
.
A
.
1 5 .0 0 0
1 0 .0 0 0
P
.
N ic h t
a n b ie te n
P
N ic h t
N ic h t
anannehm en nehm en
.
.
annehm en
( 0 ;0 )
( 2 0 0 0 ;2 0 0 0 )
.
.
.
annehm en
( 7 0 0 0 ;-3 0 0 0 )
( 0 ;0 )
(0 ;0 )
2)
.
M r. S
M r. C
E S B
.
1 0 0 ;1 0 0
.
E S B
F S
F S
E S B
.
0 ;0
.
0 ;0
.
M r. C
F S
.
1 0 0 ;1 0 0
Mikroökonomie I – WS 2004/05 – Übungsaufgaben und Lösungen
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Aufgabe 4.5
Betrachten Sie zwei Firmen, die denselben Output produzieren und ihn in einem Markt mit
der folgenden Nachfragefunktion absetzen:
D(p) = max {0, 12 -p}.
Nehmen Sie an, dass Firma 1 aus technologischen Gründen entweder 3 Einheiten des Gutes
zu Kosten von 9, 4 Einheiten zu Kosten von 10, oder 6 Einheiten zu Kosten von 15
produzieren kann. Firma 2 kann ebenfalls aus technologischen Gründen entweder 3 Einheiten
zu Kosten von 8, oder 4 Einheiten zu Kosten von 10 produzieren. Beide Firmen treffen ihre
Produktionsentscheidung gleichzeitig.
1) Bestimmen Sie die Menge der (reinen) Strategien jedes Spielers. Bestimmen Sie für jede
Strategienkombination den Preis, der sich am Markt einstellt.
2) Stellen Sie die Auszahlung der Spieler zu jeder Strategienkombination als
Auszahlungsmatrix dar.
3) Bestimmen Sie die Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien.
Lösung:
1) D( p ) = max{0,12 − p}
Firma 1
Einheiten
3
4
6
Firma 2
Einheiten
3
4
p = 12 – q für p < 12
Kosten
9
10
15
Kosten
8
10
Strategiekombination
p Æ (12-q)
Π1
Π2
(3,3)
6
9
10
(3,4)
5
6
10
(4,3)
5
10
10
(4,4)
4
6
6
(6,3)
(6,4)
3
2
3
-3
1
-2
Firm a 2
2)
3
4
9
6
3
10
10
10
Firm a 1
4
*
6
7
3
6
*
6
-3
1
-3
3) Nash-Gleichgewichte: (4,3) und (3,4)
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Aufgabe 4.6
Haben Sie eine Idee, warum man das Spiel mit der folgenden Auszahlungsmatrix „Battle of
the sexes“ nennt? Bestimmen Sie die Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien.
Ballett
Boxen
Lösung:
Nash-Gleichgewichte:
Ballett
(2,1)
(0,0)
Boxen
(0,0)
(1,2)
Ballett, Ballett
Boxen, Boxen
Aufgabe 4.7
Das Unternehmen Solari (S), eines der Marktführer von Photovoltaikanlagen für
Einfamilienhäuser, plant, in der Stadt E ein Sonderprogramm zu starten, um die Verbreitung
von Photovoltaikanlagen in der Stadt E zu erhöhen. Als Reaktion kündigt das lokale
Gasversorgungsunternehmen (G) für den Fall eines solchen Programms an, den Gaspreis so
weit zu senken, dass sich die Anschaffungskosten für eine Photovoltaikanlage nicht mehr
lohnen würden. Nun überlegt S, ob es das Sonderprogramm wirklich auflegen soll. Tut S dies
nicht, so bleibt die Gewinnsituation beider Unternehmen unverändert: S macht einen
Jahresgewinn in Höhe von 2 Mio. € und G einen Jahresgewinn von 6 Mio. €. Startet S das
Sonderprogramm und senkt G die Gaspreise, müssen beide Unternehmen mit Rückgang ihrer
Jahresgewinne rechnen, d.h. einem 0,5 Mio. € Jahresgewinn für S und 3 Mio. € für G. Sollte
G die Gaspreise jedoch nicht senken, obwohl S das Sonderprogramm startet, so ist mit
Jahresgewinnen von 4 Mio. € für S und von 5 Mio. € für G zu rechnen.
1) Stellen Sie die Situation als extensives Spiel dar.
2) Bestimmen Sie mit Hilfe der Rückwärtsinduktion das teilspielperfekte Gleichgewicht.
Wie lautet es?
3) Wie lautet das zugehörige Normalformspiel?
4) Bestimmen Sie die Nash Gleichgewichte des Normalformspiels.
5) Vergleichen Sie die Menge der teilspielperfekten Gleichgewichte und die Menge der Nash
Gleichgewichte. Erklären Sie den Unterschied.
Lösung:
1)
.
S
Sonderaktion
.
K eine Sonderaktion
G
Preiskam pf
.
(0,5;3)
K ein
.
Preiskam pf
(4;5 )
.
(2;6)
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2) teilspielperfekte Gleichgewicht: Sonderaktion/kein Preiskampf
3) Normalformspiel
G
Kein
Preiskampf
0,5
Preiskampf
4
Sonderaktion
3
S
2
5
2
Keine Sonderaktion
6
6
4) Nash-Gleichgewichte:
(Sonderaktion/kein Preiskampf)
(keine Sonderaktion/Preiskampf)
5) Es gibt ein teilspielperfektes Gleichgewicht und zwei Nash-Gleichgewichte. Das NashGleichgewicht (keine Sonderaktion/Preiskampf) ist keine glaubwürdige Drohung, S sollte
sich daher nicht abschrecken lassen.
Aufgabe 4.8
Gegeben sei das folgende 2 Personen Normalformspiel.
Spieler 1
T
M
B
L
3, 3
4, 2
5, 7
Spieler 2
C
0, 5
8, 7
5, 8
R
1, 2
6, 4
2, 5
1) Hat Spieler 1 eine dominante Strategie?
2) Hat Spieler 2 eine dominante Strategie?
3) Bestimmen Sie die Nash Gleichgewichte dieses Spiels.
Lösung:
1) Spieler 1 hat keine dominante Strategie!
2) Spieler 2 hat eine dominante Strategie! (auf jede Entscheidung von Spieler 1 ist es „beste
Antwort“ von Spieler 2 C zu wählen.
3) Nash-Gleichgewichte: (M,C)
Aufgabe 4.9
Gegeben sei das folgende 3 Personen Normalformspiel, in dem Spieler 1 die Zeile, Spieler 2
die Spalte und Spieler 3 die Tabelle wählen kann.
Spieler 1
Spieler 1
T
B
Spieler 2
L
6, 3, 2
2, 3, 9
R
4, 8, 6
4, 2, 0
T
B
Spieler 2
L
8, 1, 1
9, 4, 9
R
0, 0, 5
0, 0, 0
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Die erste Zahl in einer Zelle stellt die Auszahlung für Spieler 1 dar, die zweite die für Spieler
2 und die dritte die für Spieler 3. Bestimmen Sie die Nash Gleichgewichte.
Lösung:
Nash-Gleichgewicht: Tabelle 1 – (T,R),
Tabelle 2 – (B,L)
Spieler 3 wird sich demnach für Tabelle 2 entscheiden.
Aufgabe 4.10
Zwei Schweine, eines dominant und eines unterwürfig, werden in einen Käfig gesperrt.
An dem einen Ende des Käfigs befindet sich ein Hebel. Wird dieser Hebel betätigt, wird am
anderen Ende des Käfigs Futter eingelassen. Dies bedeutet, dass das Schwein, welches den
Hebel betätigt, zunächst zum anderen Ende des Käfigs laufen muss, um an das Futter zu
kommen. In dieser Zeit hat das andere Schwein fast das ganze Futter – jedoch nicht alles aufgefressen.
Falls beide Schweine beim Futter sind, ist das dominante Schwein in der Lage das
unterwürfige Schwein vom Futter zu vertreiben, so dass letzteres nichts abbekommt.
Nehmen Sie an, dass beide Schweine versuchen, so viel Futter zu bekommen wie möglich.
Welches Schwein wird den Hebel betätigen?
Lösung:
Dominantes Schwein
Kein
Hebel
0
Hebel
0
Hebel
100
Unterw. Schwein
100- ε
100
0
Kein Hebel
ε
0
Das dominante Schwein wird den Hebel betätigen.
Aufgabe 4.11 (Centipede Game)
Ein reicher Thüringer Bürger hat sich entschlossen, einer Universität 1.000.000.000 € zu
schenken. Er lädt die Kanzler der Universitäten Jena und Erfurt zu sich ein, wo er das Geld in
einem Koffer bereithält. Bevor er das Geld einer der beiden Universitäten zukommen lässt,
möchte er, dass die beiden Kanzler ein Spiel spielen, um aufgrund des Spiels zu entscheiden,
welche Uni das Geld bekommt. Das Spiel läuft folgendermaßen ab: Zuerst wird dem Kanzler
der Uni Jena ein € angeboten, den er nehmen oder ablehnen kann. Lehnt er ab, bietet der
Thüringer Bürger dem Kanzler der Uni Erfurt 10 € an. Lehnt dieser ab, werden dem Kanzler
der Uni Jena 100€ angeboten, d.h. nach jeder Ablehnung wird der Betrag verzehnfacht und
dem jeweils anderen vorgeschlagen. Die maximal vorgeschlagene Summe beträgt 109 €. Wird
auch dieser Betrag abgelehnt, erhalten beide nichts. Zeichnen sie die Extensivform des Spiels.
Bestimmen Sie das teilspielperfekte Gleichgewicht?
. . . . . . . . . .
KJ n
KE
n
j
j
(1;0)
(0;10)
n
KJ
j
(10²;0)
n
KE
j
(0;103)
n
KJ
j
(104;0)
n
KE
j
n
KJ
j
(0;105) (106;0)
n
KE
j
n
KJ
j
(0;107) (108;0)
n
KE n
(0;0)
j
(0;109)
Lösung: Durch Rückwärtsinduktion findet sich das Gleichgewicht (1; 0).
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