Kürzen und Erweitern von Bruchtermen

Erweitern und Kürzen von Bruchtermen
1. Prüfe, ob man den Bruch auf den in Klammern angegebenen Nenner bringen kann!
Erweitere dann – falls möglich – auf diesen Nenner.
a)
c)
e)
g)
2− x
[ x 2 + 6 x + 9]
3+ x
1+ x
[ 4 x 2 − 25]
5 + 2x
3− x
[ x2 + 4 x + 4 ]
2+ x
1+ x
[ 9 x 2 − 16]
4 + 3x
b)
d)
f)
h)
5x
x−5
3x
x−4
3x
x−3
4x
x−6
[ x 2 − 3 x −10 ]
[ 3 x 2 − 12 x ]
[ x 2 + 2 x −15]
[ 4 x 2 − 24 x ]
2. Faktorisiere Zähler und Nenner und kürze vollständig.
a)
12 xy 2 − 18 x 2 y
15 xy 2 − 30 x 2 y
c)
6 xy + 9 y
4 x 2 + 12 x + 9
d)
18 x 2 y − 12 xy 2
30 x 2 y − 15 xy 2
f)
6 xy + 4 y
9 x 2 + 12 x + 4
b)
2x2 − 8 y2
x 2 + 4 xy + 4 y 2
e)
2 y 2 − 8x2
y 2 + 4 xy + 4 x 2
Lösungen
1. a)
2− x
(2 − x) ⋅ (3 + x)
6 − x − x2
=
= 2
3+ x
(3 + x) ⋅ (3 + x) x + 6 x + 9
[ x2 + 6x + 9 ]
b)
5x
5 x ⋅ ( x + 2)
5 x 2 + 10 x
=
= 2
x−5
( x − 5) ⋅ ( x + 2) x − 3 x − 10
[ x 2 − 3 x −10 ]
c)
1+ x
(1 + x) ⋅ (2 x − 5)
2 x 2 − 3x − 5
=
=
5 + 2 x (5 + 2 x ) ⋅ (2 x − 5)
4 x 2 − 25
d)
3x
3 x ⋅ 3x
9x2
=
= 2
x − 4 ( x − 4) ⋅ 3 x 3 x − 12 x
e)
3− x
(3 − x) ⋅ (2 + x)
6 + x − x2
=
= 2
2+ x
(2 + x) ⋅ (2 + x) x + 4 x + 4
[ x2 + 4x + 4 ]
f)
3x
3 x ⋅ ( x + 5)
3 x 2 + 15 x
=
= 2
x − 3 ( x − 3) ⋅ ( x + 5) x + 2 x − 15
[ x 2 + 2 x − 15]
g)
1+ x
(1 + x) ⋅ (3 x − 4) 3 x 2 − x − 4
=
=
4 + 3x (4 + 3 x) ⋅ (3 x − 4)
9 x 2 −16
h)
4x
4 x ⋅ 4x
16 x 2
=
= 2
x − 6 ( x − 6) ⋅ 4 x 4 x − 24 x
2. a)
b)
c)
d)
e)
f)
[ 4 x 2 − 25]
[ 3 x 2 −12 x ]
[ 9 x 2 − 16 ]
[ 4 x 2 − 24 x ]
12 xy 2 − 18 x 2 y 6 xy (2 y − 3 x) 2 (2 y − 3 x)
4 y − 6x
=
=
=
2
2
15 xy − 30 x y 15 xy ( y − 2 x)
5( y − 2 x )
5 y − 10 x
2x2 − 8 y2
2 ( x 2 − 4 y 2 ) 2 ( x − 2 y )( x + 2 y ) 2 x − 4 y
=
=
=
x 2 + 4 xy + 4 y 2
( x + 2 y)2
( x + 2 y )( x + 2 y )
x + 2y
6 xy + 9 y
3 y (2 x + 3)
3y
=
=
2
4 x + 12 x + 9 (2 x + 3) (2 x + 3) 2 x + 3
18 x 2 y − 12 xy 2
6 xy ( 3 x − 2 y ) 2 ( 3 x − 2 y )
6x − 4 y
=
=
=
2
2
30 x y − 15 xy
15 xy ( 2 x − y )
5( 2 x − y ) 10 x − 5 y
2 y 2 − 8x2
2 ( y 2 − 4 x 2 ) 2 ( y − 2 x) ( y + 2 x) 2 y − 4 x
=
=
=
y 2 + 4 xy + 4 x 2
( y + 2 x) 2
( y + 2 x) ( y + 2 x)
y + 2x
6 xy + 4 y
2 y (3 x + 2)
2y
=
=
2
9 x + 12 x + 4 (3 x + 2) (3 x + 2) 3 x + 2