Beta-Funktion

„Wer A sagt, muss B sagen, oder von der Abelschen Integraltransformation zur Beta-Funktion zur Gamma-Funktion!“
Bei der Inversion der Abelschen Integraltransformation treten Integrale vom Typ
Z s
dt
= Γ(α)Γ(1 − α), 0 ≤ α < 1,
α
1−α
x (t − x) (s − t)
auf.
Die Frage ist natürlich, warum gilt diese Formel??
Als erstes vereinfachen wir das Problem durch die Variablen-Transformation
t = λs + (1 − λ)x,
also dt = (s − x)dλ und 0 ≤ λ ≤ 1 ergibt
Z 1
Z 1
Z s
(s − x) dλ
dλ
dt
=
=
.
α
1−α
α
1−α
α
1−α
0 (λs + (1 − λ)x − x) (s − λs − (1 − λ)x)
0 λ (1 − λ)
x (t − x) (s − t)
Damit kommen wir zur Beta-Funktion:
Definition 1 Die unvollständige Beta-Funktion ist definiert als:
Z x
ua−1 (1 − u)b−1 du,
a > 0, b > 0, x ∈ [0, 1],
B(a, b, x) :=
0
die gewöhnliche (vollständige) Beta-Funktion ist B(a, b) := B(a, b, 1).
Diese Definition ist sinnvoll, da für a ≥ 1 und b ≥ 1 der Integrand eine beschränkte Funktion ist und das Integral im eigentlichen Sinn als Riemann-Integral existiert. Für 0 < a < 1 oder 0 < b < 1 handelt es sich um ein konvergentes uneigentliches Integral. Denn
xa−1 (1 − x)b−1 ≤ xa−1 2b−1
xa−1 (1 − x)b−1 ≤ 2a−1 (1 − x)b−1
Da die uneigentlichen Integrale
Z 1
2
xa−1 dx
1
für 0 ≤ x ≤ ,
2
1
für
≤ x ≤ 1.
2
1
Z
(1 − x)b−1 dx
und
1
2
0
konvergieren für a, b > 0 ist B(a, b, 1) wohldefiniert.
Wir können also feststellen, dass gilt
Z s
dt
= B(α, 1 − α).
α
1−α
x (t − x) (s − t)
1
Wir müssen also “nur noch“ herausfinden, wie sich die Beta-Funktion zur
Gamma-Funktion verhält. Dazu fangen wir mit der Beta-Funktion für natürliche
Zahlen an, d.h. wir betrachten B(n, m) mit n, m ∈ N. Es gilt per Definition
Z 1
um−1 (1 − u)n−1 du
B(m, n) :=
0
und damit
Z
1
du = 1,
B(1, 1) =
0
Z
1
u
B(m, 1) =
0
Z
m−1
1
1 m 1
du = u = ,
m
m
0
1
(1 − u)
B(1, n) =
0
n−1
1
−1
1
n
du =
(1 − u) = .
n
n
0
Durch partielle Integration ergibt sich die Beziehung
Z 1
B(m, n) =
um−1 (1 − u)n−1 du
0
Z
1 m
n−1 1 m
n−1 1
u (1 − u)n−2 du
=
u (1 − u)
+
0
m
m
0
Z
−1 m−1
m − 1 1 m−2
n 1
=
u
(1 − u)n du
u
(1 − u) 0 +
n
n
0
m−1
n−1
B(m + 1, n − 1) =
B(m − 1, n + 1).
=
m
n
Hieraus folgt
n−1
(n − 1) (n − 2)
B(m + 1, n − 1) =
B(m + 2, n − 2) = . . .
m
m (m + 1)
(n − 1) (n − 2)
1
=
···
B(m + n − 1, 1)
m (m + 1)
(m + n − 2)
1
(n − 1) (n − 2)
1
=
···
m
m+1
(m + n − 2) (m + n − 1)
1
1
(n − 1)!(m − 1)!
Γ(n) Γ(m)
=
=
,
!=
m m+n−1
(m + n − 1)!
Γ(m + n)
B(m, n) =
m
da Γ(n) = (n − 1)! und 0! = 1.
Was gilt für B(a, b) mit a, b > 0 im Allgemeinen? Genau dasselbe, nur ist es
schwieriger zu beweisen! Wie man auf der folgenden Seite sehen kann:
http://www.iadm.uni-stuttgart.de/LstAnaMPhy/Weidl/analysis2/vorlesung-ana2/node109.html
2
Für Freunde der Wahrscheinlichkeitsrechnung/Statistik, die Beta-Verteilung besitzt die Wahrscheinlichkeitsdichte
f (x; α, β) = R 1
0
xα−1 (1 − x)β−1
uα−1 (1 − u)β−1 du
=
Γ(α + β) α−1
1
x (1 − x)β−1 =
xα−1 (1 − x)β−1 .
Γ(α)Γ(β)
B(α, β)
Die Betaverteilung wird dann zur groben Modellierung verwendet, wenn keine
Daten vorhanden sind. Sie kann zur Darstellung von zufälligen Proportionalitäten, wie z.B. dem Anteil defekter Teile einer Lieferung verwendet werden.
3