Blatt 3 (Präsenzübung) - Technische Universität Braunschweig

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 R THEORETISCHE PHYSIK
INSTITUT FU
Prof. Dr. W. Brenig
Dipl.-Phys. S. Grossjohann
 T BRAUNSCHWEIG
TECHNISCHE UNIVERSITA
Thermodynamik und statistische Mechanik
WiSe 2005/06
 bungsblatt
3. U
Abgabe: Prasenzubung, keine Abgabe
Zum idealen Gas
7. Zustandssumme und andere tolle Sachen...
Wir interessieren uns fur die thermodynamischen Eigenschaften des idealen Gases. Sperren
Sie dazu N nichtwechselwirkenden Teilchen in einen Wurfel mit Kantenlange L, wobei Sie
dazu ein Potential annehmen sollten, welches innerhalb des Wurfels 0 und ansonsten unendlich hoch ist. Berechnen Sie die Zustandssumme Z , Zustandsdichte (Termdichte) (E )
und die Zahl der Zustande g (E ) unterhalb die Energie E . Gehen Sie dazu wie folgt vor:
(a) Die N Teilchen sowie ihre 6N zugehorigen Phasenraumkoordinaten sind voneinander
unabhangig - der Hamilton-Operator kann deshalb fur ein Teilchen in einer Dimension
betrachtet werden. Geben sie die Losung der Wellenfunktion und der Energie an.
(b) Die Verallgemeinerung auf N Teilchen ist nicht schwer - berechnen Sie nun die Zustandssumme fur N Teilchen in drei Dimensionen. Zum auftretenden Gauschen Inte bungsblattes!1
gral erinnern Sie sich an die Hilfe des aktuellen U
(c) Um nun die Anzahl der Zustande unterhalb einer Energie E zu bestimmen, brauchen
Sie das Volumen einer 3N -dimensionalen Kugel (warum?).
Vorgehensweise:
Schreiben Sie ein Volumenintegral in kartesischen Koordinaten uber den Integranten 1 fur eine Kugel mit Radius R in N Dimensionen auf.
Versuchen Sie mithilfe einer Substitution daraus ein Volumenintegral uber eine
Einheitskugel zu machen.
Dann berechnen Sie folgenden Ausdruck:
Z
1
1
Z
dx1
1
1
dx2 Z
1
1
dxN e
(x12 +x22 +:::+xN2 )
Wovon hangt der Integrant ab? Sie konnen demnach die Integration uber Kugelschalen ausfuhren, d.h.:
dV = dx1 dxn
! (d Kugelschale)dR
 berlegen Sie sich dazu, wie das Volumen der Kugel mit ihrer Oberache zusamU
menhangt2 .
Bitte Ruckseite beachten =)
R
R
2
(Gau Integr al )2 = 11 e x dx 11 e
2
zur Not auch erstmal im R3
1
y2
dy
! Polarkoordinaten einfuhren.
Konnen Sie eventuell vereinfachen mithilfe der -Funktion?
Z
(n) =
0
1
x n 1e
x
 berprufen Sie das Ergebnis fur das Volumen einer Kugel im R3 mithilfe der ReU
p
kursionsformel fur die -Funktion: (n + 1) = n (n) und (1=2) = .
(d) Da Sie nun das Volumen einer N-dimensionalen Kugel bestimmt haben brauchen Sie fur
das Phasenraumvolumen von 3N Variablen zu einer Energie E nur noch einsetzen. Alles
was Ihnen fehlt ist die obere Integrationsgrenze, also der Radius der 3N-dimensionalen
Kugel dem die Energie E entsprechen muss.
(e) Um schlielich die Zustandsdichte (E ) zu bestimmen, ohne fur die richtigen Beziehungen in der Vorlesung nachzuschlagen, denken Sie kurz daruber nach was genau die
Zustandsdichte eigentlich ist und wie sie mit g (E ) in Beziehung stehen konnte3 .
8. Die Anfange des idealen Gases - von 1662 bis 1811
Gesetz von Boyle Mariotte: Der Druck idealer Gase bei gleichbleibender Temperatur
und gleichbleibender Stomenge ist indirekt proportional zum Volumen.
p1 V1 = p2 V2 ;
T; n = const
Gesetz von Gay-Lussac, Grundlage zur Kelvin-Temperaturskala: Das Volumen idealer
Gase ist bei gleichbleibendem Druck und gleichbleibender Stomenge direkt proportional zur Temperatur.
V1
T1
=
V2
T2 ;
p; n = const
Gesetz von Amontons oder auch 2. Gesetz von Gay-Lussac: Der Druck idealer Gase
bei gleichbleibendem Volumen und gleichbleibender Stomenge ist direkt proportional
zur Temperatur.
p1
T1
=
p2
T2 ;
V; n = const
Gesetz von Avogadro: Zwei gleich groe Gasvolumina, die unter demselben Druck stehen
und die dieselbe Temperatur haben, schlieen auch dieselbe Teilchenzahl ein.
V1
n1
=
V2
n2 ;
p; T = const
Das hat zur Folge, dass 1 mol (NA = 6:023 1023 ) eines jeden idealen Gases bei 273.5
K und dem Druck von 101 kPa ein Volumen von rund 22.4 Litern einnimmt.
Leiten Sie aus den gegebenen Gleichungen das ideale Gasgesetz her. Tip: Gesucht ist ein
Zusammenhang zwischen T , p und V - uberfuhren Sie dazu ein Gas doch einmal von
(p0 ; V0 ; T0 ) ! (p; V; T ) und uberlegen Sie anschlieend, welche der auftretenden Groen
extensiv (proportional zur Stomenge N ) und welche davon intensiv sind. Die fehlende
Proportionalitatskonstante ist die Boltzmann-Konstante, also kB = 1:38 10 23 J=K .
3
Falls Ihnen das nicht viel geholfen hat uberlegen Sie sich einmal die Anzahl von Zustanden in einem Energieintervall dE .