Erweitern und Kürzen

Erweitern und Kürzen
51 y 4 − 204 y 2
340 y 4 − 85 y 6
Wie lautet die Definitionsmenge des gegebenen Terms?
1. Kürze so weit wie möglich:
Lösung:
51y 2 (y 2 − 4)
−3 · 17(4 − y 2 )
3
51 y 4 − 204 y 2
=
=
=− 2
4
6
4
2
2
2
340 y − 85 y
85y (4 − y )
5 · 17y (4 − y )
5y
D = Q \ {−2, 0, 2}
2. Kürze so weit wie möglich:
Lösung:
36a3 b − 24a2 b2
18ab2 − 27a2 b
12a2 b(3a − 2b)
−4a(2b − 3a)
4a
36a3 b − 24a2 b2
=
=
=−
18ab2 − 27a2 b
9ab(2b − 3a)
3(2b − 3a)
3
3. Bringe auf den jeweils in Klammern angegebenen Nenner! Gib auch jeweils den
Erweiterungsfaktor an!
(a)
10
21a2 b2 c
(c)
2a − b
a−b
Lösung: (a):
(c):
(126a4 b3 c)
(b)
(2b2 − 2a2 )
60a2 b
; EWF= 6a2 b
126a4 b3 c
(b):
−18ab
; EWF= 6ab
− 30ab2
24a2 b
2b2 − 2ab − 4a2
; EWF= −2 · (a + b)
2b2 − 2a2
4. Mache die beiden Bruchterme gleichnamig!
x+3
15
und
2x − 6
9 − x2
Lösung:
−3
4a − 5b
−(x + 3)2
30
und
2
18 − 2x
18 − 2x2
5. Mache die beiden Bruchterme gleichnamig!
x+2
14
und
2x − 4
4 − x2
1
(24a2 b − 30ab2 )
Lösung:
28
−(x + 2)2
und
2
8 − 2x
8 − 2x2
6. Kürze vollständig:
−a2 + a3 + 2ab − 2a2 b − b2 + ab2
a2 − ab − a + b
Lösung: a − b
7. Kürze soweit wie möglich:
Lösung:
60 a x − 45 b x + 24 a y − 18 b y
24 a x + 60 a y − 18 b x − 45 b y
5x + 2y
2x + 5y
8. Bestimme die Definitionsmenge und kürze soweit wie möglich:
x−1
2x3 − 4x2 + 2x
Lösung: D = Q \ {0; 1};
1
2x(x−1)
9. Kürze soweit wie möglich:
Lösung:
8v 3 − 24uv 2 + 18u2v
18u3 − 8uv 2
v(3u−2v)
u(3u+2v)
10. Zerlege Zähler und Nenner in Faktoren und kürze vollständig:
42xy − 49y − 9x2 y
9x2 y − 49y
Lösung: − 3x−7
3x+7
11. Kürze vollständig:
12x2 − 108y 2
24x2 y − 36xy 2 − 4x3
2
Lösung:
3(3y+x)
x(3y−x)
12. Zerlege Zähler und Nenner in Faktoren und kürze vollständig:
−6xy + 8y 2
54x2 y − 144xy 2 + 96y 3
Lösung:
1
3(4y−3x)
13. Bestimme die Definitionsmenge des Terms und kürze ihn vollständig:
45x2 + 30x3
12x3 − 27x
Lösung: D = Q \ {0; ± 23 }, Ergebnis:
14. Kürze vollständig:
Lösung:
4x2
5x
2x−3
9xy 2 − 6x2 y − 6x2 y 2 + 4x3 y
24x3 y − 81y − 16x4 + 54x
−xy
+ 6x + 9
15. Fasse zusammen und vereinfache so weit wie möglich:
3 + 5x
x2 − 4x − 5
x2 − 11x + 23
1− 2
x − 10x + 25
1+
Lösung:
(x − 5) · (x − 1)
(Linearfaktorzerlegung eines quadr. Terms nötig!)
x+1
16. Kürze den Term soweit wie möglich:
(2f − 9)(4x2 + 20x + 25)
36x − 8xf + 90 − 20f
Lösung: − 2x+5
2
3
17. Kürze soweit wie möglich und gib die Definitionsmenge D0 des ungekürzten sowie
D1 des gekürzten Bruches an:
(x4 − 1) (x2 − 6 x + 9)
(x2 − 1) (x2 − 9)
x2 + 1 (x − 3)
x3 − 3 x2 + x − 3
=
Lösung:
x+3
x+3
D0 = Q\{−3 ; −1 ; 1 ; 3} ; D1 = Q\{−3}
18. Bestimme die Definitionsmenge D des Terms T (x) und kürze den Term vollständig
(G = Q)! Gib auch für den gekürzten Term T ∗ (x) die Definitionsmenge D ∗ an!
(a) T (x) =
8x4 + 24x3 + 18x2
12x3 − 27x
2
(b) T (x) = 15x − 20x3
48x − 27x
2x(2x + 3)
,
3(2x − 3)
5
,
(b) T ∗ (x) = −
3(3x + 4)
Lösung: (a) T ∗ (x) =
3 3
3
D = Q \ {− ,0, },
D∗ = Q \ { }
2 2
2
4 4
4
D = Q \ {− ,0, },
D ∗ = Q \ {− }
3 3
3
19. Kürze folgenden Term vollständig!
49ab2 − 25a3
50a3 − 140a2 b + 98ab2
Lösung:
7b + 5a
2(7b − 5a)
20. Bestimme die Definitionsmenge D des Terms T (x) und kürze den Term vollständig!
Gib auch für den gekürzten Term T ∗ (x) die Definitionsmenge D ∗ an!
3
2
(a) T (x) = 12x −4 60x +2 75x
8x − 50x
2
(b) T (x) = 20x − 12x3
27x − 75x
3(2x − 5)
2x(2x + 5)
4
(b) −
3(5x + 3)
Lösung: (a)
5 5
5
D = Q \ {− ,0, } D ∗ = Q \ {− ,0}
2 2
2
3 3
3
D = Q \ {− ,0, } D ∗ = Q \ {− }
5 5
5
4
21. Kürze folgenden Term vollständig!
36b3 − 25a2 b
50a2 b − 120ab2 + 72b3
Lösung:
6b + 5a
2(6b − 5a)
22. Kürze vollständig!
Lösung:
45a3 − 60a2 b + 20ab2
40ab3 − 90a3 b
2b − 3a
2(2b + 3a)
23. Kürze vollständig!
Lösung:
40a2 b − 120ab2 + 90b3
45ab3 − 20a3 b
2(3b − 2a)
a(3b + 2a)
24. (a) Bestimme die Definitionsmenge D für den Term
T (x) =
24x2 + 6 − 24x
12x2 − 3
(b) Kürze den Bruchterm vollständig und gib für den gekürzten Term T ∗ (x) die
Definitionsmenge D ∗ an!
Lösung: (a) D = Q \ {− 21 , 21 }
(b) T (x) =
2(2x−1)
2x+1 ,
D ∗ = Q \ {− 12 }
25. (a) Bestimme die Definitionsmenge D (G = Q) für den Term
T (x) =
36x2 + 4 − 24x
18x2 − 2
(b) Kürze den Bruchterm vollständig und gib für den gekürzten Term T ∗ (x) die
Definitionsmenge D ∗ an!
Lösung: (a) D = Q \ {− 31 , 31 }
(b) T (x) =
2(3x−1)
3x+1 ,
D ∗ = Q \ {− 13 }
5