Logik Selbsttest zur Aussagenlogik – Habe ich die zentralen

Logik Selbsttest zur Aussagenlogik –
Habe ich die zentralen Konzepte richtig verstanden?
Aussagenlogik – Wohlgeformtheit
1) Eine Formel ist wohlgeformt (WFF) genau dann wenn
a) sie erfüllbar ist.
b) sie nur aus den Zeichen der Sprache der Aussagenlogik aufgebaut ist.
c) sie entweder eine atomare Formel ist, oder durch Voranstellen eines Junktors ∧ oder ¬ aus einer
atomaren Formel gebildet wurde.
d) sie entweder eine atomare Formel ist, oder mithilfe der Bildungsregeln für WFF aus atomaren
Formel gebildet werden kann.
2) Eine Formel ist wohlgeformt (WFF) wenn
a) sie eine atomare Formel ist.
b) sie durch die Bidungsregeln der WFF, aus einer atomaren Formel gebildet werden kann.
c) sie gleich viele atomare Formeln wie Junktoren enthält.
d) die Junktoren immer vor einer atomaren Formel stehen.
3) Richtig oder falsch (nach der Definition der Wohlgeformtheit aus der VO)?
a) Aussagen (Sätze) müssen eine WFF sein.
b) Ist eine Formel keine WFF, so ist sie in jeder Interpretation falsch.
c) Der Satz p ∧ ¬p ist keine WFF.
d) Eine Formel, die nicht WFF ist, besitzt, unabhängig von den Interpretation der atomaren Formeln, keine Wahrheitswerte.
Lösung:
1) d; 2) a,b;
3) a - richtig, b - falsch, c - falsch , d - richtig.
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Aussagenlogik – Semantik
1) Ein Argument ist genau dann semantisch gültig wenn
a) in allen Interpretationen alle Prämissen und die Konklusion wahr sind.
b) in allen Interpretationen, in denen alle Prämissen wahr sind, auch die Konklusion wahr ist.
c) in keiner Interpretation alle Prämissen wahr sind.
d) in keiner Interpretation, in der alle Prämissen wahr sind, die Konklusion falsch ist.
e) es eine Interpretation gibt, in der alle Prämissen wahr sind, und dort auch die Konklusion wahr
ist.
f) die Konklusion eine Tautologie ist.
2) Ein Argument ist semantisch gültig wenn
a) in allen Interpretationen alle Prämissen und die Konklusion wahr sind.
b) in allen Interpretationen, in denen alle Prämissen wahr sind, auch die Konklusion wahr ist.
c) in keiner Interpretation alle Prämissen wahr sind.
d) in keiner Interpretation, in der alle Prämissen wahr sind, die Konklusion falsch ist.
e) es eine Interpretation gibt, in der alle Prämissen wahr sind, und dort auch die Konklusion wahr
ist.
f) die Konklusion eine Tautologie ist.
3) Eine wff heis̈t allgemeingültig oder Tautologie genau dann wenn
a) sie für die Mehrheit der Interpretationen wahr ist.
b) sie in jeder Interpretation wahr ist.
c) es eine Interpretation gibt, in der sie wahr ist.
d) sie in keiner Interpretation falsch ist.
4) Eine wff heis̈t widersprüchlich oder Kontradiktion genau dann wenn
a) es keine Interpretation gibt, in der sie wahr ist.
b) sie selbstwidersprüchlich ist.
c) sie in allen Interpretationen falsch ist.
d) sie in der Mehrheit der Interpretationen falsch ist.
5) Ex falso quod libet“ bedeutet
”
a) dass ein Argument mit falschen Prämissen keine Konklusion erlaubt.
b) dass ein Konditional mit falschem Antezedenz immer wahr ist.
c) dass aus einer Kontradiktion jeder Satz folgt.
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d) dass aus falschen Prämissen jede Konklusion folgt.
6) Eine wff ist genau dann erfüllbar wenn
a) sie in einer Interpretation wahr ist.
b) sie in jeder Interpretation wahr ist.
c) sie keine Kontradiktion ist.
d) sie in mehr als einer Interpretation wahr ist.
7) Eine wff ist erfüllbar wenn
a) sie in einer Interpretation wahr ist.
b) sie in jeder Interpretation wahr ist.
c) sie keine Kontradiktion ist.
d) sie in mehr als einer Interpretation wahr ist.
8) Eine wff ist unerfüllbar genau dann wenn
a) es mehr Intepretationen gibt in denen sie falsch ist, als solche in denen sie wahr ist.
b) sie eine Kontradiktion ist.
c) sie in jeder Interpretation falsch ist.
d) sie in höchstens einer Interpretation wahr ist.
9) Richtig oder Falsch?
a) Wenn die Prämissen unerfüllbar sind, ist ein Argument nicht semantisch gültig.
b) Wenn die Prämissen unerfüllbar sind, ist ein Argument semantisch gültig, egal ob die Konklusion erfüllbar ist oder nicht.
c) Wenn die Konklusion eine Tautologie ist, dann ist das Argument semantisch gültig, egal ob die
Prämissen erfüllbar sind.
d) Wenn die Konklusion eine Kontradiktion ist, dann ist das Argument nicht semantisch gültig,
egal ob die Prämissen erfüllbar sind oder nicht.
e) Tautologien sind Sätze die in jeder Interpretation wahr sind.
Lösung:
1) b,d; 2) a,b,c,d,f; 3) b,c ; 4) a,c; 5) b,c,d;6) a,c; 7) a,b,c,d; 8)b,c;
9) a - falsch, b - richtig, c - richtig, d - falsch (siehe antwort b), e - richtig.
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Aussagenlogik – Syntax
1) Ein Argument ist (in der Aussagenlogik) genau dann syntaktisch gültig, wenn
a) die Negation der Konklusion, mit den Axiomen und Schlussregeln des gewählten Kalküls (und
den Prämissen), auf einen Widerspruch geführt werden kann.
b) sich die Konklusion, mit den Axiomen und Schlussregeln des gewählten Kalküls, aus den
Prämissen herleiten lässt.
c) es einen Beweis im gewählten Kalkül gibt, der mit den Prämissen beginnt, und in dessen letzter
Zeile die Konklusion steht.
d) es semantisch gültig ist.
2) Ein Satz ist ein Theorem“ der Aussagenlogik genau dann wenn
”
a) er im gewählten Kalkül (ohne Prämissen) hergeleitet werden kann.
b) er aus wahren Prämissen abgeleitet werden kann.
c) seine Negation im gewählten Kalkül nicht herleitbar ist.
d) es einen Beweis (ohne Prämissen) gibt in dessen letzter Zeile dieser Satz steht.
3) Ein Kalkül ist korrekt, genau dann wenn
a) jedes syntaktisch gültige Argument auch semantisch gültig ist.
b) kein Widerspruch in diesem Kalkül herleitbar ist.
c) für alle Sätze G und alle Satzmengen Γ gilt: Γ ` G =⇒ Γ |= G.
d) jedes syntaktisch gültige Argument, eine erfüllbare Konklusion besitzt.
4) Wenn ein Kalkül korrekt ist, dann
a) können nur erfüllbare Sätze hergeleitet werden.
b) ist keine Kontradiktion in diesem Kalkül herleitbar.
c) ist jedes Theorem eine Tautologie.
d) ist jedes semantisch gültige Argument, syntaktisch herleitbar.
5) Ein Kalkül ist vollständig, genau dann wenn
a) für alle Sätze G und alle Satzmengen Γ gilt: Γ |= G =⇒ Γ ` G.
b) jede Tautologie ein Theorem ist.
c) keine Kontradiktion ein Theorem ist.
d) jedes semantisch gültige Argument auch syntaktisch herleitbar ist.
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6) Welche Ableitungsregel wurde in folgendem Beispiel in welcher Zeile falsch verwendet?
1
p
Präm.
2
q → ¬p
Präm.
3
q
Annahme
4
q → ¬p
Reiteration, 2
5
¬p
→ - Elimination, 3, 4
6
¬p
Reiteration 5
7
p ∧ ¬p
∧ - Einführung 1,6
7) Betrachten Sie folgenden Beweis“:
”
1
A
Präm.
2
S→F
Präm.
3
A
Reiteration,1
4
S
Annahme
5
S→F
Reiteration, 2
6
F
→ - Elimination, 4,5
7
A→F
→ - Einführung 3
Was läuft hier falsch?
a) In Zeile 4 darf nicht einfach S angenommen werden, wenn S keine Prämisse ist.
b) Der Modus Ponens in Zeile 6 ist falsch angewendet.
c) Die →-Einführung ist falsch angewendet: A msste am Anfang des Unterbeweises angenommen
werden.
d) Die Prämissen sind fehlerhaft.
Lösung:
5
1) b,c; 2) a,d; 3) a,c 4) a,b,c (Achtung: 4a ist richtig, da Tautologien natürlich immer erfüllbar
sind).
5) a,b,d
6) Die Reiteration in der 6. Zeile darf nicht durchgeführt werden.
7) c
6