Skript - Universität Paderborn

Elektrodynamik
Theoretische Physik B
WS 2010/2011
Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
Inhaltsverzeichnis
1 Die Maxwellgleichungen
4
1.1
Ladungen und Ströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
Differentielle Maxwellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3
Kramers-Kronig-Beziehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.4
Integrale Maxwellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.5
Mikroskopische und Makroskopische Elektrodynamik . . . . . . . . . . .
15
2 Elektrostatik
21
2.1
Elektrisches Feld im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2
Skalares Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.3
Energie des elektrischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.4
Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.5
Energien und Kräfte bei Anwesenheit von Medien . . . . . . . . . . . . .
43
2.6
Übergangsbedingungen an Grenzflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
2.7
Clausius-Mossotti-Beziehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.8
Das Randwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
2.8.1
Die Greenschen Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
2.8.2
Eindeutigkeit der Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
2.8.3
Schein- und Influenzladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
2.8.4
Methode der Greenschen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.8.5
Kapazitätskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
3 Magnetostatik
72
3.1
Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
3.2
Magnetische Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
3.3
Magnetische Kraftwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
3.4
Magnetische Feldenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
2
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3.5
Grenzbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
3.6
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
4 Quasistationäre Felder
96
4.1
Faradaysches Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Kirchhoffsche Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5 Volles Systen der Maxwellgleichungen
97
107
5.1
Energiebilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2
Eichtransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.3
Freie elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4
Transparente lineare Medien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.5
Erzeugung elektromagnetischer Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.5.1
Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.5.2
Elektrische Dipolstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik
139
6.1
Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.2
Pseudoeuklidischer Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.3
Elektromagnetische Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7 Anhang: Hamilton-Prinzip
153
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1 Die Maxwellgleichungen
1.1 Ladungen und Ströme
Elektrische Ladungen sind an Materie gebunden.
Ladungseinheit: Coulomb (C)
1C = 1As
Die Ladung ist eine skalare und extensive Größe.
Q1 und Q2 seien Ladungen in disjunkten Raumbereichen. Die Gesamtladung beträgt
somit:
Q = Q1 + Q2
Für Q = 0 gilt nicht Q1 = Q2 = 0, da es sowohl negative, als auch positive Ladungen
gibt.
Freie Ladungen sind immer Vielfache einer Elementarladung e = 1, 602 · 10−19 C.
Oft ist es sinnvoll mit der Ladungsdichte zu arbeiten.
∆Q
∆V →0 ∆V
ρ(~r) = lim
∆Q ist hierbei die Ladung in ∆V .
Offensichtlich gilt:
Z
Q(t) =
d3~rρ(~r, t)
Für die Beschreibung von Punktladungen gilt:
ρ(~r) = q · δ(~r − ~r 0 )
Analog gilt für mehrere Punktladungen
ρ(~r) =
N
X
qα · δ(~r − r~α )
α=1
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Falls die Punktladungen beweglich auf der Bahnkurve r~α (t) sind gilt:
ρ(~r, t) =
N
X
qα · δ(~r − r~α (t))
α=1
Bei einer Ladungsänderung in einfach zusammenhängendem Raumbereich V ergibt sich:
∆Q = ∆Q(1) + ∆Q(2)
Dabei ist ∆Q(1) die im Raumbereich erzeugte bzw. vernichtete Ladung und ∆Q(2) die
durch die Oberfläche zu-/abgeflossene Ladung.
Die pro Zeiteinheit durch die Oberfläche (V ) fließende Ladung gibt Anlaß zum Ladungsstrom.
∆Q(2)
∆t→0 ∆t
I = − lim
Für I < 0 fließt der Strom nach innen und für I > 0 fließt der Strom nach außen.
Mit Hilfe der Erzeugungs-/Vernichtungsrate Λ ≡ Q̇(1) im Volumen V gilt folgende Bilanzgleichung:
Q̇ + I = Λ
Die Erfahrung besagt, daß es keine Quellen oder Senken für elektrische Ladungen gibt.
Daraus folgt der Erhaltungssatz für die elektrische Ladung.
Q̇ + I = 0
Für die differentielle Betrachtung definieren wir die Stromdichte senkrecht zum Flächenelement
∆a.
∆I
∆a→0 ∆a
jn = j⊥ = lim
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Z
da j⊥ (~r, t)
I(t) =
a
mit
j⊥ = ~en · ~j(~r, t)
wobei ~j(~r, t) das Vektorfeld der Strömung bzw. das Stromdichtefeld ist.
Mit Hilfe von
da ~en = d~a
folgt somit
Z
I(t) =
d~a · ~j(~r, t)
a
Für das Stromdichtefeld bewegter Punktladungen gilt:
~j(~r, t) =
N
X
qα · ~r˙α (t) · δ(~r − ~rα (t))
α=1
Damit können wir den Erhaltungssatz der Ladungen formulieren als
Z
Z
d
3
d~a · ~j(~r, t) = 0
d ~rρ(~r, t) +
dt V
(V )
|
{zR
} |
{z
}
V =const:
d3 ~
rρ̇(~
r,t)
R
V
~ ~j(~
d3 ~
r ∇·
r,t)
Damit ergibt sich die lokale (diefferentielle) Form der Ladungserhaltung, die sogenannte
”Kontinuitätsgleichung ”:
~ · ~j = 0
ρ̇ + ∇
1.2 Differentielle Maxwellgleichungen
Im Vakuum kann der elektromagnetische Zustand des Raumes durch zwei Vektorfelder
beschrieben werden:
~ r, t)
• elektrisches Feld E(~
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~ r, t)
• magnetisches Induktionsfeld B(~
Im Inertialsystem sind diese Felder mit Ladungsdichten und Stromdichten verknüpft
durch folgende Gleichungen:
~ ·B
~ = 0 homogene M W G im V akuum
∇
~ ×E
~ +B
~˙ = 0 homogene M W G im V akuum
∇
~ ·E
~ = 1 ·ρ
∇
0
1
~ ×B
~ − ·E
~˙ = µ0 · ~j
∇
c2
inhomogene M W G im V akuum
inhomogene M W G im V akuum
Vs
mit µ0 = 4π · 10−7 Am
, 0 = 8, 854 · 10−12 VAsm , 0 · µ0 =
1
c2
mit c = 3 · 108 ms .
Bemerkung:
Die Maxwellgleichungen sind linear.
⇒ Felder können sich überlagern ohne sich gegenseitig zu beeinflussen.
Die Maxwellgleichungen beschreiben den Einfluß von Ladungen und Strömen auf Felder,
welche ihrerseits auf geladene Teilchen wirken.
Ein System von N Punktladungen qα erfährt die Lorentz-Kraft:
N
N
X
X
~ rα (t), t) + qα~r˙α (t) × B(~
~ rα (t), t)
~
~
F =
Fα =
qα E(~
α=1
α=1
Die zugehörige Kraftdichte ergibt sich aus:
~ r, t) + ~j(~r, t) × B(~
~ r, t)
f~(~r, t) = ρ(~r, t)E(~
Diese erfüllt
F~ =
Z
d3~rf~(~r, t)
V
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Die Maxwellgleichungen im Vakuum beschreiben elektromagnetische Eigenschaften der
Materie korrekt, aber sind für makroskopische Systeme oft unpraktisch: typischerweise
sind 1023 Einzelladungen zu berücksichtigen.
Beispiel:
In der Optik müssten alle Blenden, Linsen und Spiegel auf atomistischem Niveau beschrieben werden.
⇒Mittelung über atomistische Strukturen
⇒makroskopische Maxwellgleichungen, die nur noch makroskopisch relevante Ladungen
enthalten
Die mikroskopischen Informationen sind jetzt in
Polarisation P~ (~r, t) und
~ (~r, t)
Magnetisierung M
enthalten.
Wir definieren das Verschiebungsfeld
~ r, t) = 0 E(~
~ r, t) + P~ (~r, t)
D(~
und die magnetische Feldstärke
~ r, t) = 1 · B(~
~ r, t) − M
~ (~r, t)
H(~
µ0
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Dafür gelten jetzt die makroskopischen Maxwellgleichungen:
~ ·B
~ =0
∇
~ ×E
~ +B
~˙ = 0
∇
~ ·D
~ =ρ
∇
~ ×H
~ −D
~˙ = ~j
∇
Hierbei sind ρ und ~j jetzt die makroskopisch relevanten Ladungs- und Stromdichten. Ein
~ und in H-Feldern
~
Teil der Ladungs- und Stromdichten ist jetzt bereits in D
enthalten.
Der materialspezifische Zusammenhang zwischen Feldern und Polarisation/Magnetisierung
wird durch die Materialgleichung bestimmt. Im allgemeinsten Fall wird dies durch Funktionale bestimmt.
h
i
h
i
~ r, t), B(~
~ r, t) ⇒ D(~
~ r, t) = D
~ E(~
~ r, t), B(~
~ r, t)
P~ (~r, t) = P~ E(~
h
i
h
i
~
~
~
~
~
~
~
~
M (~r, t) = M E(~r, t), B(~r, t) ⇒ H(~r, t) = H E(~r, t), B(~r, t)
Spezialfall: lineare Medien, lokaler Zusammenhang
Z
Pi (~r, t) = 0
∞
dt0
| 0 {z }
dielektrische Suszeptibilitaet
z }| {
χij (~r, t0 )
Ej (~r, t − t0 ) + ... +
(0)
Pi (~r, t)
| {z }
thermische F luktationen
Kausalitaet
Das Zeitintegral trägt der Kausalität Rechnung und läuft effektiv nur über die endliche
Zeit, die durch das Gedächtnis des Systems gegeben ist. Die thermischen Fluktationen
werden im folgenden vernachlässigt.
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Bei der Betrachtung im Frequenzraum ergibt sich:
Z
~
~ r, ω)
E(~r, t) = dω e−iωt E(~
Z
P~ (~r, t) = dω e−iωt P~ (~r, ω)
Z ∞
dτ χij (~r, τ )eiωτ
χij (~r, ω) =
0
Damit ergibt sich für die Materialgleichung
Pi (~r, ω) = 0 χij (~r, ω)Ej (~r, ω)
~ = 0 E
~ + P~ ergibt sich:
Mit D
Di (~r, ω) = 0 (δij + χij (~r, ω)) Ej (r, ω)
|
{z
}
ij (~
r,ω)
wobei ij (~r, ω) der komplexwertige Dielektrizitätstensor ist.
Spezialfall: schmalbandige Felder
ij (~r, ω) ≈ ij (~r, ω0 ) ≡ ij (~r)
dann gilt approximativ
Di (~r, t) = ij (~r)Ej (~r, t)
bzw. für isotrope Medien
~ r, t) = (~r)E(~
~ r, t)
D(~
Oft = 0 · r , wobei r die relative Dielektrizitätskonstante und (~r) die Dielektrizitätskonstante ist.
Analog können die magnetischen Medien betrachtet werden. Für isotrope Medien gilt:
~ r, t) =
H(~
1
µ(~r)
|{z}
~ r, t) mit µr =
· B(~
P ermeabilitaet
10
µ
µ0
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1.3 Kramers-Kronig-Beziehung
Sind Real- und Imaginärteil der Suszeptibilität
Z ∞
dτ eiωτ χ(τ )
χ(ω) =
0
voneinander unabhängig?
Untersucht wird folgendes Kurvenintegral in der komplexen Ebene:
I
χ(ω)
dω
I = lim
η→+0 C ω − ω0 + iη
Z
∞
dτ exp {−τ Imω + iτ Reω} χ(τ )
χ(ω) =
0
Dieses Integral ist endlich für Im ω > 0 (obere Halbebene).
Falls Im ω = 0, so gilt:
Z ∞
Z
iτ
Reω
<
dτ
e
χ(τ
)
0
∞
dτ eiτ
0
Reω Z
χ(τ ) =
dτ χ(τ ) = χs
0
11
∞
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Für statische Felder gilt:
∞
Z
0 dτ χ(τ ) E(t − τ ) = 0 χs Es
| {z }
P (t) = Ps =
0
Es
⇒ χ(ω) ist in der gesamten oberen Halbebene regulär.
Bemerkung:
Dies ist Folge der Kausalität, d.h. der unteren Integrationsgrenze in χ(ω) =
R∞
0
dτ eiωτ χ(τ )!
⇒Der Integrand von I hat keine Polstelle innerhalb von C
∞
Z
⇒ I = 0 = lim
η→0
iϕ
Mit ω = ω0 + R e
Z
Kreisbogen
−∞
χ(ω)
dω +
ω − ω0 + iη
Z
χ(ω)
dω
ω − ω0
Kreisbogen
gilt:
χ(ω)
dω = i
ω − ω0
Z
0
π
χ(ω0 + R eiϕ )
R eiϕ dϕ = i
R eiϕ
Z
π
χ(ω0 + R eiϕ ) dϕ
0
mit
Z
iϕ
∞
dτ exp {−τ R sin ϕ + iτ [ω0 + R cos ϕ]}χ(τ )
χ(ω0 + R e ) =
0
Dies verschwindet für R → ∞ und für 0 < ϕ < π.
Z ∞
χ(ω)
⇒ lim
dω = 0
η→0 −∞ ω − ω0 + iη








Z ∞
Z ∞ (ω − ω )χ(ω)

iηχ(ω)
0
0 = lim
dω −
dω
2
2
η→0  −∞ (ω − ω0 )2 + η 2

−∞ (ω − ω0 ) + η



{z
} |
{z
}

|
(1)
(2)
Es folgt für (1)
Z
∞
−∞
(ω − ω0 )χ(ω)
η→0
dω → C.H.
2
2
(ω − ω0 ) + η
Z
∞
−∞
χ(ω)
dω
ω − ω0
und für (2)
Z
∞
−∞
iηχ(ω)
1
η
dω mit δ(x) = lim 2
2
2
(ω − ω0 ) + η
π η→0 x + η 2
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Z
∞
δ(ω − ω0 )χ(ω)dω → iπ χ(ω0 )
⇒ −iπ
−∞
1
⇒ χ(ω0 ) =
C.H.
iπ
0
Z
∞
−∞
χ(ω)
dω
ω − ω0
00
Mit χ(ω) = χ (ω) + iχ (ω) folgen die Kramer-Kronig-Relationen:
Z ∞
1
χ (ω0 ) = C.H.
π
Z−∞
∞
1
χ00 (ω0 ) = − C.H.
π
−∞
0
χ00 (ω)
dω
ω − ω0
χ0 (ω)
dω
ω − ω0
D.h. Realteil und Imaginärteil der Suszeptibilität (und damit auch der dielektr. Funktion) sind nicht frei wählbar.
Bemerkung:
• Sind keine Materialeigenschaften sondern Ausdruck des Kausalitätsprinzips
• praktische Relevanz: aus der Messung von χ00 wird typischerweise χ0 bestimmt
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ω1 und ω2 werden Mediumresonanzen genannt. Dort tritt der Energieverlust des elektromagnetischen Feldes auf.
1.4 Integrale Maxwellgleichungen
~ ·B
~ =0
∇
(1)
~ ×E
~ +B
~˙ = 0
∇
(2)
~ ·D
~ =ρ
∇
(3)
~ ×H
~ −D
~˙ = ~j
∇
(4)
Wir integrieren (3) über dem Volumen V
Z
~ ·D
~ =
d ~r ∇
}
| V {z
Z
d3~r ρ
| V {z }
3
R
(V )
~
d~a·D
Q→Gesamtladung in V
⇒ Der Fluß des Verschiedungsfeldes durch die Oberfläche eines Volumens ist gleich der
darin enthaltenen Ladung.
Beim integrieren über (1) ergibt sich:
Z
~ =0
d~a · B
(V )
⇒ Der Fluß der magnetischen Induktion durch die Oberfläche eines jeden endlichen
Volumens verschwindet → @ magnetische Ladungen
Wir integrieren (4) über der Fläche a:
Z
Z
Z
~
~
~˙
d~a · ∇ × H = d~a · ~j + d~a · D
a
|a
{z
} | a {z }
R
(a)
I
~
d~
r ·H
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Für zeitlich unveränderliche Flächen gilt:
Z
Z
d
~ =I+
~
d~r · H
d~a · D
dt a
(a)
D.h. die Ladungsströme I und die “Verschiebungsströme“
d
dt
R
a
~ führen zu Wirbeln
d~a · D
des magnetischen Feldes.
Analog ergibt sich aus (2) das sogenannte “Induktionsgesetz“:
Z
Z
d
~
~
d~r · E = −
d~a · B
dt a
(a)
D.h. zeitlich veränderlicher magnetischer Fluß führt zu Wirbeln des elektrischen Feldes,
d.h. zur Induktion.
Bemerkung:
• Integrale und differentielle Maxwellgleichungen sind offensichtlich äquivalent.
• Historisch gesehen wurde zuerst die integrale Form gefunden. → physikalisch anschaulicher
• Die differentielle Form ist gelegentlich mathematisch geeigneter.
1.5 Mikroskopische und Makroskopische Elektrodynamik
d
dt
~ ·D
~ =ρ
∇
~ ·D
~˙ = ρ̇
∇
(∗)
~
·∇
~ ×H
~ −D
~˙ = ~j
∇
~ ~ ×H
~ ~ ·D
~˙ = ∇
~ · ~j
∇
}
| ·∇
{z } − |∇{z
0
(∗)=ρ̇
15
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~ · ~j = 0
⇒ ρ̇ + ∇
D.h. die Maxwellgleichungen enthalten die Ladungserhaltung, welche hier abgeleitet ist
für die makroskopischen Ladungen. Offensichtlich gilt dies auch für die mikroskopischen
Ladungen:
d
1 0
~
~
∇·E = ρ
dt
0
~ ·E
~˙ = 1 ρ̇0
∇
0
1
~
~ ×B
~− E
~˙ = µ0~j 0
∇
·∇
2
c
~˙ = µ0 ∇
~ · ~j 0
~ · ∇
~ ×B
~ − 1E
∇
2
c
⇒−
1
1
~ · ~j 0
·
ρ̇0 = ∇
2
c 0 · µ0
mit 0 · µ0 =
Es gilt:
~ ·D
~ =ρ
∇
(∗)
~ ×H
~ −D
~˙ = ~j
∇
(∗∗)
~ und H-Feld
~
~.
Wir eliminieren D
zu Gunsten von P~ und M
~ = 0 E
~ + P~
D
1 ~
~
~
H=
B−M
µ0
Aus (∗) folgt:
~ ·E
~ = 1 ρ−∇
~ · P~ = 1 ρ0
∇
0 |
{z
} 0
ρ0 =ρ+ρ00
~ · P~ gilt.
wobei ρ00 = −∇
Aus (∗∗) folgt:
~ ×
∇
1 ~
~
~˙ − P~˙ = ~j
B−M
− 0 E
µ0
16
1
c2
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1
1
˙
˙
~ ×B
~− E
~ = µ0 ~j + P~ + ∇
~ ×M
~
⇒∇
c2
µ0
{z
}
|
~j 0 =~j+~j 00
˙
wobei ~j 00 = P~ +
1 ~
∇
µ0
~ ist.
×M
D.h. wir haben makroskopische Maxwellgleichungen (∗)/(∗∗) in die Form der mikroskopischen Maxwellgleichungen gebracht,
~ ·E
~ = 1 ρ0
∇
0
1
˙
~− E
~ ×B
~ = µ0~j 0
∇
c2
jedoch für modifizierte Ladungen und Stromdichten ρ0 und ~j 0 .
Sowohl für ρ0 und ~j 0 , als auch für ρ und ~j gilt die Kontinuitätsgleichung.
ρ, ~j: “sichtbare“ oder “freie“ Ladungen bzw. deren Stromdichte
ρ00 , ~j 00 : “unsichtbare“ oder “gebundene“ Ladungen bzw. deren Stromdichte, die Anlaß
~ des Mediums geben
zur Polarisation P~ und Magnetisierung M
Interpretation der unsichtbaren Ladungen?
Wir betrachten einen makroskopischen Körper mit endlichem Volumen.
17
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00
Z
3
d ~r
Q =
V
Z
00
ρ =−
|{z}
~ P
~
=−∇·
d~a · P~ = 0
(V )
Da P~ außerhalb des Körpers verschwindet, resultiert die Ladungsdichte der unsichtbaren
Ladungen in verschwindender Gesamtladung.
Für weitere Betrachtungen definieren wir eine Mittelung der Feldfunktion mit einer
reellen Testfunktion g(~r):
Z
d3~r0 g(~r0 ) F (~r − ~r0 , t)
hF (~r, t)i =
Diese Testfunktion ist isotrop, auf Eins normiert und glatt im Bezug auf den Abstand
atomarer Bausteine.
Offensichtlich gilt:
∂F (~r − ~r0 , t)
∂xi
Z
∂
r − ~r0 , t)
∂F (~r − ~r0 , t)
3 0
0 ∂F (~
hF (~r, t)i = d ~r g(~r )
=
∂t
∂t
∂t
Angewendet auf die Maxwellgleichungen heißt das, daß die Mittelung der mikroskopi∂
hF (~r, t)i =
∂xi
Z
∂F (~r − ~r0 , t)
d ~r g(~r )
=
∂xi
3 0
0
schen Gleichungen resultieren in:
D
E
D E
~ ·B
~ =∇
~ B
~ =0 → ∇
~ ·B
~ = 0 (makroskopische Gleichung)
∇
18
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D
D E
~
D E ∂ B
˙
~ ×E
~ +B
~
~
~˙ = 0 (makroskopische Gleichung)
~
~
~
→ ∇
∇×E +B =∇× E +
∂t
E
Jetzt werden die inhomogenen Gleichungen betrachtet:
D
E
D E
~ ·E
~ = 1 hρi
~
~
~
~ = 1 hρi → ∇
∇·E =∇· E
0
0
und
D E
~
D E
D
D E
E
∂
E
1
1 ~˙
~
~
~
~ ×B
~ − 1E
~˙ = µ0 ~j
~
∇ × B − 2E = ∇ × B − 2
= µ0 ~j → ∇
c
c
∂t
c2
Nun wird die Ladungsdichte genauer betrachtet:
ρ(~r, t) =
+
ρ (~r, t)
| f {z }
f reie Ladungen
ρat (~r, t) =
ρ (~r, t)
| at{z }
atomare Ladungen
alleX
Atome
ρn (~r, t)
n
alle Ladungen des n−ten Atoms
ρn (~r, t) =
X
qαn δ(~r − ~rαn (t))
αn
Nun werden Mittelpunktskoordinaten ~rn und Relativkoordinaten ~rαn eingeführt
~rαn → ~rn + ~rαn
damit
hρ(r, t)i =
X
Z
qαn
d3~r g(~r) δ(~r − ~r0 − ~rn (t) − rnα (t)) =
αn
X
qαn g [~r − ~rn (t) − ~rnα (t)]
αn
Nun wird die Taylor-Entwicklung innerhalb des Atoms gemacht.
n
o
X
~ · ~rαn g(~r − ~rn ) + ...
hρn i =
qαn g(~r − ~rn ) − ∇
αn
mit qn =
P
αn
P
qαn als Gesamtladung des n-ten Atoms und d~n =
rαn (t) als
αn qαn ~
Dipolmoment des n-ten Atoms.
Hieraus folgt:
D
E
~ d~n (t) g(~r−~rn )+... = hqn δ(~r − ~rn (t)i−∇·
~ d~n (t) δ(~r − ~rn (t)) +...
hρn (~r, t)i = qn g(~r−~rn (t))−∇·
19
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Nun wird über alle Beiträge summiert und ausgenutzt, daß gilt
+
*
X
ρ(~r, t) ≡ ρf (r, t) +
qn (t) δ(~r − ~rn (t))
* n
X
P~ (~r, t) ≡
+
d~n (t) δ(r − rn (t))
n
Damit wurde gezeigt, daß folgendes gilt:
~ · P~ (~r, t) ≡ ρ0 (~r, t)
hρi = ρ(~r, t) − ∇
| {z }
ρ00
Wobei ρ(~r, t) als “wahre“, “freie“ Ladung, ρ00 als “unsichtbare“ Ladung und ρ0 (~r, t) als
~
Quelle des gemittelten E-Feldes
bezeichnet wird.
Analog hierzu die Betrachtung für die mikroskopische Stromdichte im ruhenden Medium.
~j(~r, t) =
X
qα ~r˙α (t) δ(~r − ~rα (t))
α
Dies führt auf
D
E
~
~ r, t)
~j(~r, t) → ~j 0 (~r, t) = j(~r, t) + P~˙ (~r, t) + µ−1
0 ∇ × M (~
mit der Magnetisierung
~ (~r, t) =
M
*
X
+
m
~ n (t) δ(~r − ~rn (t))
n
wobei das magnetische Moment des n-ten Atoms m
~ n definiert ist durch:
X µ0 q α
1 X
n ~
m
~ n = µ0
qαn ~rαn (t) × ~r˙αn (t) =
L αn
2
2m
αn
α
α
n
n
~ αn dem Drehimpuls der Ladung αn
Hierbei entspricht L
~ und P~ wurden auf atomistische Größen der Materie zurückgeführt.
⇒M
20
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2 Elektrostatik
2.1 Elektrisches Feld im Vakuum
Wir untersuchen zunächst zeitunabhängige Felder.
~˙ = D
~˙ = B
~˙ = H
~˙ = 0
E
damit vereinfachen sich die Maxwellgleichungen zu
~ ·D
~ =ρ
∇
~ ×E
~ =0
∇
~˙ · B
~ =0
∇
~ ×H
~ = ~j
∇
Bei den ersten beiden Gleichungen handelt es sich um elektrische Feldgleichungen, welche
der Elektrostatik angehören, und bei den letzten beiden Gleichungen um magnetische
Feldgleichungen (Magnetostatik).
Voraussetzungen für statische Felder?
~˙ = 0 ⇒ 0 = ∇
~D
~˙ = ρ̇
D
wegen
~ ~j = 0 ⇒ ∇
~ ~j = 0
ρ̇ + ∇
⇒ Es existieren keine Stromquellen im Endlichen.
~˙ = 0 ⇒ 0 = ∇
~ ×H
~˙ = ~j˙ ⇒ ~j˙ = 0
H
⇒ Die Stomdichte ist zeitlich konstant.
21
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Bemerkung:
˙
ρ̇ = 0 und ~j = 0
mit ~j 6= 0 nur für “verschmierte“ Ladungs- und Stromdichte erfüllbar, da für punktförmige
Ladungen gilt:
ρ=
X
qα δ(~r − ~rα )
und daher ρ̇ = 0 ruhende Ladungen bedeutet
Elektrisches Feld von Punktladungen?
Sei ρ(~r) = q δ(~r)
~ ·D
~ =ρ
∇
~ · E(~
~ r) = q δ(r)
⇒ 0 ∇
weiter gilt:
~ ×E
~ =0
∇
Wir suchen nun die Lösung dieser beiden Differentialgleichungen. Das Problem ist kugelsymmetrisch:
~r
r
~ ×E
~ = 0 erfüllt wird.
Das Feld ist wirbelfrei, was heißt, daß automatisch ∇
~ r) = E(r)
⇒ E(~
Es bleibt weiterhin:
Z
d3~r
~ · E(~
~ r) = q δ(r)
0 ∇
Z
~ E(~
~ r) = q
0
d3~r ∇
V
|
{z
}
=
Z
~ r)
0
d~a · E(~
(V )
22
V
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Bei Integration über einer Kugel vom Radius r ergibt sich:
Z
~ r) = 4π r2 0 E(r)
0
d~a · E(~
(V )
⇒ E(r) =
1
q
· 2
4π 0 r
~
⇒ E(r)
=
q
~r
· 3
4π 0 r
Verallgemeinert gilt für Nα Punktladungen an ~rα :
~
E(r)
=
1 X
~r − ~rα
qα
4π 0 α
|r − rα |3
Übergang zur kontinuierlichen Ladungsverteilung:
Z
~r − r~0
1
~
d3~r0 ρ(~r0 )
E(r) =
4π 0
|r − r0 |3
⇒ “quellenmäßige Darstellung“ des E-Feldes
Beispiele zur Feldberechnung:
1. Kugelsymmetrische Ladungsverteilung
23
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Die “quellenmäßige Darstellung“ ist immer möglich:
Z
1
ρ(~r)
~
r − ~r0 ) d3~r
E(~r) =
3 (~
0
4 π 0
|~r − ~r |
Die Rechnung ist beliebig kompliziert. Oft ist es also einfacher vom Gauß’schen
Gesetz zu starten.
Z
~ = 1
d~a · E
0
(V )
Z
ρ(~r) d3~r
V
Wir wählen als Integrationsgebiet eine Kugel, die die Ladung zentrisch einschließt.
Z
Z
~ = E(r)
d~a · E
da = E(r) 4πr2
|~
r|=r
|~
r|=r
|
{z
}
1
Q0
0
⇒ E(r) =
1 Q0
4 π 0 r 2
Speziell:
Für eine homogen geladene Kugel mit Radius R und Gesamtladung Q gilt:

Q

 4 3 |~r| ≤ R
πR
3
ρ(~r) =


0
|~r| > R

3

 Qr
R3
⇒ Q0 (r) =

Q
r≤R
r>R
Qr
1
R3
⇒ E(r) =
4 π 0 
Q
r2



24
r≤R
r>R
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2. Linienladung (∞ langer Stab)
λ ist die Ladung pro Längeneinheit (homogen geladen)
Z
~ = E(r) · 2πr · L
d~a · E
(Zylinder)
~ gibt es keinen Beitrag von der Leiterfläche. Für die eingeschlossene
Da d~a⊥E
Ladung gilt:
0
~ =Q
d~a · E
0
(Zylinder)

2

λ · L r
r≤R
R2
Q0 (r) =

λ·L
r>R
Z
25
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



λr
0 2πR2
⇒ E(r) =
λ



0 2πr
r≤R
r>R
3. homogen geladene, ∞ ausgedehnte Fläche
σ ist die Ladung pro Flächeneinheit.
σ · πR2
Q =
x

 σ · πR2
h
Z
~ = E(x) · 2 ·
d~a · E
0
Q0
=
0
Z



(Zylinder)
|x| > h
|x| ≤ h
Zylindergrundf läche
26
d~a = 2 · E(x) · πR2
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~ a auf dem Zylindermantel.
mit E⊥d~
σ
Q0
1
20
·
⇒ E(x) =
=
2
σ
x

0 2πR

·
20 h



|x| > h
|x| ≤ h
Bemerkung: Abklingverhalten für r → ∞
• Punktladung: E(r) ∝ r−2
• Linienladung: E(r) ∝ r−1
• Flächenladung: E(r) ∝ r0
Coulombsches Kraftgesetz
Die Punktladung q1 sei an ~r1
~ r2 ) =
E(~
q1
~r2 − ~r1
·
4 π 0 |~r2 − ~r1 |3
Die Probeladung q2 an ~r2 erfährt nach dem Lorentzschen Kraftgesetz:
~ r2 )
F~ ≡ F~21 = q2 · E(~
27
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D.h. für das “Coulombsches Kraftgesetz“ gilt
q1 · q2 ~r2 − ~r1
F~21 =
·
4 π 0 |~r2 − ~r1 |3
Bemerkung:
1. Umgekehrt erfährt q1 im Feld der Ladung q2 die Kraft
q1 · q2 ~r1 − ~r2
= −F~21
F~12 =
·
4 π 0 |~r1 − ~r2 |3
2. Wir haben in F~21 nur das Feld von q1 betrachtet, nicht das Feld von q2 . Dieses
wäre unendlich groß, aber nicht gerichtet, da die Punktladung im Zentrum ihres eigenen Feldes ist. Die sogenannte “Selbstwechselwirkung“ tritt aber bei der
kontinuierlichen Ladungsdichte auf. Dann gilt für die Kraftdichte:
~ r)
f~(~r) = ρ(~r)E(~
Diese wirkt auf
~ r)
dq = dV ρ(~r) mit dF~ = dV ρ(~r) E(~
3. Das Coulomb-Gesetz folgt dem gleichen Abstandsgesetz wie die Gravitationskraft.
Es kann allergings anziehend und abstoßend wirken. Die Coulombkraft ist sowohl
zentral, als auch konservativ.
4. Das Coulomb-Gesetz verknüpft Ladungen mit Kräften und Längen und legt damit
den Wert von 0 fest.
28
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2.2 Skalares Potential
Wir starten wieder von den elektrischen Feldgleichungen
~ ·E
~ = 1ρ
∇
0
~ ×E
~ =0
∇
~ muß als Gradient eines skalaren Potentials darstellbar sein:
E
~ r ) = −∇
~ ϕ(~r)
E(~
Damit folgt aus obiger Feldgleichung die Poisson-Gleichung:
1
∆ϕ(~r) = − ρ(~r)
0
Damit kann die Berechnung des elektrischen Feldes auf die Lösung der Poisson-Gleichung
für das skalare Potential zurückgeführt werden.
ϕ kann nur bis auf eine Konstante bestimmt werden.
⇒ Nur die Potentialdifferenz ist physikalisch relevant. Diese Potentialdifferenzen werden
als “Spannung“ U bezeichnet.
U = U12 = ϕ(~r1 ) − ϕ(~r2 )
Die Einheit des Potentials/der Spannung ist das Volt. [ϕ] = [U ] = V
29
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Offensichtlich hat die Punktladung q bei ~r0 folgendes Potential
ϕ(~r) =
1
q
· 4 π 0 ~r − r~0 denn es gilt:
~ = −∇ϕ
~ =
E
~r − r~0
q
·
3
4 π 0 ~r − r~0 Die Poissonsgleichung ist linear, d.h. für das Potential gilt das Superpositionsprinzip.
Dies bedeutet, daß das Potential mehrerer Punktladungen gegeben ist durch
ϕ(~r) =
1 X qα
4 π 0 α |~r − ~rα |
bzw. für eine inselförmige Ladungsdichte
1
ϕ(~r) =
4 π 0
Z
ρ(~r0 )
d3~r0 0
~
~
r
−
r
Ist eine Lösung der Poisson-Gleichuung bekannt, können weitere konstruiert werden,
indem beliebige Lösungen der homogenen Potentialgleichung (d.h. Laplace-Gleichung)
addiert werden.→Wir können damit RB befriedigen.
∆ϕ = 0 “Laplace − Gleichung“
Bemerkung:
Die “Green-Funktion“ der Poisson-Gleichung ist definiert durch
∆G0 (r) = −δ(r)
Es gilt die Identität
Z
ρ(~r) =
|{z}
d3~r0 δ(~r − ~r0 ) ρ(~r0 )
| {z }
−∆G0 (~
r−~
r0 )
−0 ∆ϕ(~
r)
d.h.
1
ϕ(~r) =
0
Z
d3~r0 G0 (~r − ~r0 ) ρ(~r0 )
30
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Speziell bei einer Punktladung bei ~r00
Z
1
d3~r0 G0 (~r − ~r0 ) q δ(~r0 − ~r00 )
ϕ(~r) =
0
⇒
1
q
q
·
=
G0 (~r − ~r00 )
00
4 π 0 |~r − ~r |
0
1 1
·
⇒ G0 (~r) =
4π |~r|
damit ergibt sich
1
ϕ(r) =
4 π 0
Z
d3~r0
ρ(~r0 )
|~r − ~r0 |
d.h. das bekannte Ergebnis wurde reproduziert durch den “Umweg“ über die GreenFunktion.
Aus dem Potential
1
ϕ(r) =
4 π 0
Z
d3~r0
ρ(~r0 )
|~r − ~r0 |
folgt die Feldstärke
~ r) = −∇ϕ(~
~ r) = −
E(~
1
4 π 0
Z
~
d ~r ρ(r ) ∇
3
0
1
1
=
0
|~r − ~r |
4 π 0
Z
d3~r ρ(r0 )
2.3 Energie des elektrischen Feldes
~ r) längs einer Kurve C.
Wir verschieben die Punktladung q im Feld E(~
31
~r − ~r0
|~r − ~r0 |3
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Für die verrichtete Arbeit gilt:
Z
d~r · F~ (~r) = q
W =
Z
C
~ r)
d~r · E(~
C
~ = −∇ϕ
~ folgt
mit E
Z
~
d~r · ∇ϕ
C
Z ~r2
dϕ
= −q
W = −q
~
r1
= q(ϕ(~r1 ) − ϕ(~r2 ))
= q U12
~ ein Potential besitzt. Wir können nun die potentielle
Die Arbeit ist wegunabhängig, da E
Energie
Wpot (~r) = q ϕ(~r)
einführen. Sie mißt die Arbeit, die an der Punktladung zu verrichten ist, um sie aus dem
Unendlichen an Punkt ~r zu verschieben.
Z ~r
Z ~r
0 ~ 0
dϕ = qϕ(~r)
d~r · E(~r ) = q
Wpot (~r) = −q
∞
∞
Das Potential einer bei ~r0 befindlichen Punktladung q 0 war:
ϕ(~r) =
1
q0
4 π 0 |~r − ~r0 |
⇒Die potentielle Energie einer Punktladung q bei ~r im Feld von q 0 bei ~r0 ist gegeben
durch
Wpot =
1
q q0
4 π 0 |~r − ~r0 |
Wir berechnen nun die Arbeit, um endliches Punktladungssytem zu installieren.
Wir bringen q1 → ~r1 . Dies erfordert keine Arbeit, W1 = 0.
q2 → ~r2 erfordert W2 = q2 ϕ1 (~r2 ) =
q1 q2
1
4 π 0 |~
r2 −~
r1 |
32
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q3 → ~r3 erfordert W3 = q3 (ϕ1 (~r3 ) + ϕ2 (~r3 )) =
q3
1
( r2q−~
4 π 0 |~
r1 |
+
q2
)
|~
r2 −~
r1 |
Offensichtlich gilt:
α−1
X
α−1
qα X
qα0
W α = qα
ϕα0 · (~rα ) =
4 π 0 α0 =1 |~rα0 − ~rα0 |
α0 =1
Um die Gesamtarbeit um N Punktladungen zu installieren gilt:
N
X
N α−1
1 X X qα qα0
1 X qα qα0
W =
Wα =
=
4 π 0 α=1 α0 =1 |~rα0 − ~rα0 |
8 π 0 α6=α0 |~rα0 − ~rα0 |
α=1
Anmerkung:
Es werden über alle α, α0 summiert mit α 6= α0 , d.h. die Selbstenergie ist nicht enthalten.
Verallgemeinert gilt für kontinuierliche, inselförmige Ladungsverteilungen:
Z
Z
1
ρ(~r)ρ(~r0 )
3
W =
d ~r d3~r0
8 π 0
|~r − ~r0 |
Bemerkung:
Im Energieinhalt oben ist die Selbstenergie enthalten.
Mit ϕ(~r) =
1
4 π 0
R
0
r)
d3~r |~ρ(~
folgt:
r−~
r0 |
1
W =
2
Z
d3~r ρ(~r) ϕ(~r)
Weiteren Umformung mittels der Poisson-Gleichung
1
∆ϕ(~r) = − ρ(~r)
0
33
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ergibt
0
W =−
2
Z



Z
0
~
~ r)) −
d ~r ϕ(~r) ∆ϕ(~r) = −
d3~r∇(ϕ(~
r)∇ϕ(~
2 

{z
}
|
3
=
Z
Z
~ r))2
d3~r (∇ϕ(~







~ r)
d~a ϕ(~r)∇ϕ(~
(V )
Für
läuft







1
r
1
~ ∝
V → ∞ ∇ϕ

r2




 (V ) ∝ r2
R
(V )
ϕ∝
~ r) gegen 0.
d~a ϕ(~r)∇ϕ(~
Somit ergibt sich
0
W =
2
Z
~ r))2
d3~r (∇ϕ(~
~ = −∇ϕ
~
Dies ergibt mit E
0
Wel =
2
Z
~ 2 (~r)
d3~r E
Die obige Gleichung impliziert eine Energiedichte
1 ~2
wel (~r) = 0 E
(~r)
2
die auch in Raumbereichen von Null verschieden ist, in denen keine Ladung existiert.
Bemerkung:
• Im Fall eines linearen Hintergrundmediums mit (~r) gilt
1~
~ r)
wel (~r) = D(~
r)E(~
2
34
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•
W =
1 X qα qα0
8 π 0 α6=α0 |rα − rα0 |
kann größer oder kleiner Null sein.
Z
0
W =
2
~ 2 (~r)
d3~r E
hingegen ist immer größer Null!
Warum?
Da die Selbstenergie im ersten Ausdruck nicht enthalten ist!
2.4 Multipolentwicklung
Eine räumlich beschränkte Ladungsverteilung:
Wir interessieren uns für das Fernfeld dieser Ladung bei ~r mit |~r0 | << |~r|
Das Potential ist gegeben durch
1
ϕ(~r) =
4 π 0
Z
d3 r~0
ρ(~r0 )
|~r − ~r0 |
Es gilt:
|~r − ~r0 | =
Sei ~v 0 =
Sei ~e =
~
r0
,
r
~
r
r
√
r
r2 + r02 − 2~r~r0 = r
es gelte |~v | << 1.
der Einheitsvektor zum Aufpunkt.
35
1+
r02 2~r~r0
− 2
r2
r
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Damit ergibt sich
√
|~r − ~r0 | = r 1 + v 02 − 2~e~v 0
Wir machen die Taylor-Entwicklug um ~v 0 = 0
∞
X 1
1
=
|~r − ~r0 | n=0 n!
1
=
r
∂
vα0 0
∂vα
α=x,y,z
!n
X
1
r 1 + v 02 − 2~e~v 0
√
1
0
0 2
02
1 + ~e~v + 3(~e~v ) − ~v + ...
2
1
~r · ~r0 3(~r · ~r0 )2 − ~r02 · ~r2
+
+
+ ...
|~r|
|~r|3
2 |~r|5
Damit gilt für das Potential
Z
i
rα · rβ h 0 0
1
1
rα · rα0
0 2
3
0
+
3rα · rβ − |~r | δαβ + ...
ϕ(~r) =
d ~r ρ(~r )
+
4 π 0
|~r|
|r|3
2 |~r|5
=
(Konvention: summieren über doppelte Indizes)
Es gilt:
Z
d3~r0 ρ(~r0 )
Q=
Wir definieren das Dipolmoment
Z
pα =
d3~r0 ρ(~r0 ) rα0
und das Quadrupolmoment
Z
Qαβ =
h
i
0
0
0 2
d ~r ρ(~r ) 3rα · rβ − |~r | δαβ
3 0
0
Somit erhalten wir für das Potential
1
Q
rα · pα rα · rβ · Qαβ
ϕ(~r) =
+
+
+ ...
4 π 0 |~r|
|r|3
2 |~r|5
36
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Bemerkung:
• Der Tensor des Quadrupolmoments ist symmetrisch.
⇒ wir erwarten 6 unabhängige Komponenten
In Wirklichkeit sind es aber nur 5, da die Spur verschwindet:
3
3 Z
h
i
X
X
2
Qαα =
d3~r0 ρ(~r0 ) 3rα0 rα0 − |~r0 |
α=1
α=1
Z
=
h
i
2
d3~r0 ρ(~r0 ) 3 |~r0 | − 3 |~r|2 = 0
• Wir können die Taylor-Entwicklung nach kartesischen Koordinaten beliebig fortsetzen. Die Ausdrücke werden dann beliebig komplex.
⇒ Oft ist eine Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen vorteilhafter.
Übergang zu sphärischen Koordinaten:
~r → (r, Θ, ϕ)
~r0 → (r0 , Θ0 , ϕ0 )
Dann gilt:
∞ X
l
X
1
r0l 4π
∗
=
Y (Θ, ϕ)Ylm
(Θ0 , ϕ0 )
l+1 2l + 1 lm
|~r − ~r0 |
r
l=0 m=−l
mit der komplexen Kugelflächenfunktion
s
2l + 1 (l − m)! m
Ylm (Θ, ϕ) =
P (cos Θ)eimϕ
4π (l + m)! l
Dabei sind die reellen Funktionen Plm die zugeordneten Legendreschen Polynome.
m
d
m
m
2 m
2
Pl (x) = (−a) (1 − x )
Pl (x)
dx
Hier sind Pl (x) die Legendreschen Polynome
l
1
d
Pl (x) = l
(x2 − 1)l
2 l! dx
37
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Das Einsetzen in die Potentialgleichung liefert
∞
l
1 X 1 X qlm
Ylm (Θ, ϕ)
ϕ(~r) =
0 l=0 rl+1 m=−l 2l + 1
mit dem sphärischen Moment
Z
∗
qlm = ρ(~r0 ) r02+l Ylm
(Θ0 , ϕ0 ) sin Θ0 dϕ0 dΘ0 dr0
Für den Zusammenhang mit den kartesischen Momenten gilt:
q2±2
q00 = Q
M onopol
r
3
q10 =
(pz ) Dipol
4π
r
3
q11 = −
(px − ipy ) Dipol
8π
r
3
(px + ipy ) Dipol
q1−1 =
8π
r
1 5
Q77 Quadrupol
q20 =
2 4π
r
1 15
q2±1 = ±
(Qx7 ∓ iQy7 ) Quadrupol
3 8π
r
1 15
(Qxx − iQyy ∓ 2iQxy ) Quadrupol
=
12 2π
Bemerkung:
Sowohl sphärische Momente, als auch Kugelflächenfunktionen sind komplex. Im Potential heben sich die Imaginärteile aber auf.
Beispiel: Punktdipol
Wir betrachten 2 Punktladungen −q, +q mit dem Abstand s.
38
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Das Potential ist gegeben durch die Summe der Punktladungen.
!
1
1
q
−
ϕ(r) =
4π0 ~r − ~2s ~r + ~2s Wir machen die Taylorentwicklung für kleine ~s (s << r)
2q
1 ~1
3
ϕ(~r) = −
~s · ∇ + 0(s )
4π0 2
r
Grenzübergang:
s→0
q→∞
Jedoch sei das Dipolmoment q · s = p konstant.
Es ergibt sich
ϕ(~r) = −
ϕ(~r) =
1
~1
p~ · ∇
4π0
r
1 p~ · ~r
4π0 r3
39
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Kraft auf einen Punktdipol
~
s
~
s
~ ~r −
~ ~r +
−E
F~ = q E
2
2
Mit der Taylorentwicklung für kleine ~s ergibt sich:
F~ = 2q
1 ~ ~
~s · ∇E(~r) + O(s3 )
2
wobei O(s3 ) den Nullvektor darstellt. Daraus folgt mit s → 0 und q · s = p:
~ E(~
~ r)
F~ (~r) = p~ · ∇
Bemerkung:
~E
~ 6= ∇
~ ·E
~ (Divergenz) komponentenweise interpretieren.
Den Vektorgradient ∇


E
Ex,y Ex,z
 x,x



~E
~ = E
∇
E
E
y,x
y,y
y,z 


Ez,x Ez,y Ez,z
~E
~ = F~ gilt:
Speziell für p~ · ∇


Ex,x · px + Ex,y · py + Ex,z · pz




F~ =  Ey,x · px + Ey,y · py + Ey,z · pz 


Ez,x · px + Ez,y · py + Ez,z · pz
D.h. nur Feldinhomogenitäten führen zu Kräften auf Punktdipole.
40
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Potentielle Energie eines Punktdipols


~s
~s
1
~ +O(s3 )
Wpot (~r) = q ϕ(~r + ) − ϕ(~r − ) = 2q  ~s · ∇ϕ

2
2
2 |{z}
~ r)
−E(~
Für s → 0 und q · s = p gilt:
~ r)
Wpot (~r) = −~p · E(~
Die potentielle Energie des Punktdipols hängt von Ort und Orientierung ab. Der Punktdipol erfährt ein Drehmoment:
~ (~r) = p~ × E(~
~ r)
M
Beispiel: Quadrupol
Es handelt sich um einen reinen Quadrupol mit Q = 0, p~ = 0, wie zum Beispiel das
CO2 -Molekül.
ρ(~r) = qδ(x)δ(y) {δ(z − a) − 2δ(z) + δ(z + a)}
41
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Z
Qαβ =
d3~r ρ(~r) 3rα rβ − |~r|2 δαβ
⇒ Qαβ = 0 f ür α 6= β
(wegen ρ ∝ δ(x)δ(y) ist x oder y immer 0)
Z
Qxx = q d3~r δ(x)δ(y) { } (3x2 − x2 − y 2 − z 2 )
Z
= −q z 2 dz {δ(z − a) − 2δ(z) + δ(z + a)}
= −q(a2 + (−a)2 )
= −2qa2
wegen der Symmetrie gilt:
Qyy = Qxx = −2qa2
wegen
P3
α=1
Qαα = 0 folgt:
Qzz = 4qa3
Bermerkung:
Für die Ladungsverteilung mit Kugelsymmetrie gilt:
Z
p~ = d3~r0 ρ(~r0 )~r0 = 0
Qαβ = 0
⇒ Quadrupolmoment als “Maß“ für die Abweichung einer Ladungsverteilung von der
Kugelsymmetrie.
Zusammenfassung:
Wechselwirkung einer Probeladung mit der Ladungsverteilung:
42
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1
ϕ(~r) =
4π0
Q
p~ · ~r rα rβ Qαβ
+ 3 +
+ ...
|r|
|r|
2 |r|5
2.5 Energien und Kräfte bei Anwesenheit von Medien
Erinnerung 2.3
Z
1
W =
8π0
3
Z
d ~r
d3~r0
ρ(~r)ρ(~r0 )
|~r − ~r0 |
Damit ist die Änderung der Energie bei Änderung der Ladungsdichte ρ um δρ gegeben
durch:
1
δW =
4π0
Z
3
d ~r
Z
δρ(~r)ρ(~r0 )
d ~r
=
|~r − ~r0 |
3 0
(quellenmäßige Darstellung von ϕ(~r))
mit ρ0 = ρ + ρ00 (Erinnerung 1.5) folgt:
|{z} |{z} |{z}
~ E
~
0 ∇·
~ D
~
∇·
~ P
~
−∇·
43
Z
d3~r δρ(~r)ϕ(~r)
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Z
Z
3
~
~
~
~
δW = 0 d ~r ∇ · δ E(~r) ϕ(~r) + d ~r ∇ · δ P (~r) ϕ(~r)
Z
Z
3
~ r)
~ r) · ∇ϕ(~
~ r) − d3~r δ P~ (~r) · ∇ϕ(~
= −0 d ~r δ E(~
| {z }
| {z }
3
~
−E
~
−E
Das Überwälzen des Differentialoperators ist möglich, weil
+∞
~ r), ϕ(~r) r →
E(~
0
damit ergibt sich:
Z
δW =
Z
3
d ~rδρ(~r)ϕ(r) =
~ r)E(~
~ r)
d3~rδ D(~
als
Z
δW = 0
|
Z
~ r)
~ r) · E(~
~ r) + d3~r δ P~ (~r) · E(~
d ~r δ E(~
{z
} |
{z
}
3
(1)
(2)
wobei (1) die Energieänderung durch die Variation des Feldes beschreibt und (2) die
Energieänderung durch die Polarisationsänderung (“Spannen“ bzw. Orientierung der
Dipole).
~ = E
~ gilt:
Speziell für die lineare Materialgleichung D


Z
Z


h
i
3
3
2
~
~
~
~
~
δW = d ~r δ (~r)E(~r) · E(~r) = d ~r δ(~r)E (~r) + (~r)δ E(~r)E(~r)
|
{z
}

=
1
~ 2 (~r)
(~r)δ E
2
Mit
1
1
1
2
2
~
~
~ 2 (~r)
(~r)δ E (~r) = δ (~r)E (~r) − δ(~r)E
2
2
2
ergibt sich

Z
δW =

1
~ 2 (~r) + 1
d ~r δ  (~r)E
2 | {z }
2
3
=
~ r) · E(~
~ r)
D(~
44
Z
~ 2 (~r)
d3~rδ(~r)E
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Für δW ergibt sich somit:
Z
δW = δ
1~
~ r) + 1
d ~r D(~
r) · E(~
2
2
3
Z
~ 2 (~r)
d3~rδ(~r)E
Für die Energiedichte des elektrostatischen Feldes bei vorgegebenen (~r) (d.h. δ(~r) = 0)
gilt:
1~
~ r)
w̃(~r) = D(~
r) · E(~
2
Die Gesamtenergie des Systems, bestehend aus dem Feld und dem linearen Medium mit
festen (~r), ergibt sich aus:
Z
Z
Z
1
1
3
3
~
~
W̃ = d ~r w̃ =
D(~r) · E(~r)d ~r =
d3~r ρ(~r)ϕ(~r)
2
2
Z
1
~ 2 (~r)
δW = δ W̃ +
d3~r δ(~r)E
2
{z
}
|
(1)
(1) entspricht der Arbeit, die verrichtet wird um die Materialeigenschaften zu ändern,
d.h. die Dichte des Dipols zu variieren.
Früher(2.4): Die Dipole in (inhomogenen) elektrischen Feldern erfahren Kräfte ⇒ wir
erwarten Kräfte auf makroskopische Körper
Wir betrachten die Änderung der Systemenergie W̃ bei Änderung der dielektrischen
Eigenschaften und unveränderlichem (sichtbaren) Feldquellen, d.h. δρ = 0 ⇒ δW = 0
1
δ W̃ = −
2
Z
~ 2 (~r)
d3~r δ(~r) E
mit δ W̃ = −δA = −F δs, wobei −δA die dabei verrichtete Kraft durch Verrückung eines
endlichen Körpers um δs; dabei wird Kraft wirksam.
Offensichtlich gilt:
δ > 0 → Körper wird ins Feld hineingezogen
δ < 0 → Körper wird aus dem Feld herausgedrängt
45
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2.6 Übergangsbedingungen an Grenzflächen
Leiter := ∃ verschiebbare Ladungen (Metalle, Elektrolyte,...)
~ gilt:
Im Feld E
~
⇒ F~ = q E
~ = 0 im Leiter
⇒ Ladungen bewegen sich bis die Kräfte im Gleichgewicht sind. ⇒ E
⇒ ϕ(~r) = const., d.h. Leiter sind Äquipotentialgebiet
Z
~
d~a E(r)
= 0 ⇒ Qeingeschlossen = 0
im Leiter
⇒ Ladungen wandern an die Oberfläche und nehmen dort 1-2 Atomlagen ein.
Ladungsverschiebung := Influenz
Die Leiteroberflächen werden oft durch die Flächenladungsdichte σ gekennzeichnet.
Wir betrachten jetzt die Grenzflächen zwischen 2 Medien. Dazu legen wir eine “Dose“
in die Grenzfläche.
Z
da
II
(D⊥
(~r)
−
I
D⊥
(~r))
∆a
Z
~ r) = ∆Q =
+
d~a · D(~
| M antel {z
}
h→0
→ 0
Mit σ(~r) als Flächenladungsdichte.
II
I
σ(~r) = D⊥
(~r) − D⊥
(~r)
46
Z
daσ(~r)
∆a
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~
Die Normalkomponente des D-Feldes
erleidet an der Grenzfläche einen Sprung, falls eine
Flächenladungsdichte existiert.
Wir legen ein geschlossenes Rechteck in die Grenzfläche.
Z
~ r) = − d
d~r E(~
dt
Rechteck
Z
~ r) = 0 (f ür Elektrostatik)
d~a · B(~
Rechteck
Mit
Z
~ r) h→0
d~r E(~
→
Z
dl EkII (~r) − EkI (~r)
Rechteck
ergibt sich:
EkII (~r) = EkI (~r)
Die Tangentialkomponente des E-Feldes geht an der Grenzfläche stetig über.
Beispiele:
• 2 ideale Isolatoren
seien lineare Medien:
~ r) in I
~ r) = I E(~
D(~
~ r) = II E(~
~ r) in II
D(~
Für ideale Isolatoren gibt es keine Oberflächenladung, d.h. σ = 0.
II E⊥II − I E⊥I = 0
EkII − EkI = 0
47
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d.h. die Tangentialkomponenten sind stetig.Die Normalkomponente springt:
E⊥II
I
=
II
E⊥I
~
Für das D-Feld
gilt die umgekehrte Situation:
Die Normalkomponente ist stetig und die Tangentialkomponente springt.
EkI = EkII
DkI
I
=
⇒
DkII
II
DkI
DkII
=
I
II
• Grenzfläche idealer Leiter im Vakuum
~ I (~r) = 0 E
~ I (~r) in I (V akuum)
D
~ II (~r) = E
~ II (~r) = 0 in II (Leiter)
D
II
I
σ(~r) = D⊥
(~r) − D⊥
(~r) = 0 − 0 E⊥I
⇒ E⊥ = −
48
σ
0
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EkI (~r) = EkII (~r) ⇒ EkI (~r) = 0
| {z }
0
d.h. das elektrische Feld auf Leiter hat nur Normalkomponente und keine Tangentialkomponenten.
Für das Potential mit
∂
∂n
als Normalableitung bezüglich ~e⊥ gilt
0
∂ϕ
=σ
∂n
• dielektrische Kugel im homogenen Feld im Vakuum
für r → ∞ gilt:
~ = E0 ~ez
E
ϕ = −E0 z
Es befinden sich keine freien Ladungen auf der Kugeloberfläche ⇒ Normalkompo-
49
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~ stetig, d.h.
nente von D
Dri |r=a = Dra |r=a
−
∂ϕi
∂ϕa
|r=a = −
|r=a
∂r
∂r
Ansatz mittels einem homogenen Feldes im Inneren (k E0 ):
ϕi = −Ei z
ϕa = −E0 z +
wobei
pz cos(ϑ)
4π0 r2
pz cos(ϑ)
4π0 r2
die Störung des Nahfeldes durch den Kugeldipol beschreibt.
Mit z = r · cos(ϑ) folgt:
∂ϕa
∂ϕi
|r=a = −
|r=a
∂r
∂r
2pz cos(ϑ)
Ei cos(ϑ) = E0 cos(ϑ) +
4π0 a3
−
⇒ Ei = E0 +
2pz
4π0 a3
(∗)
Wir werten nun die Stetigkeit der Tangentialkomponente aus.
∂ϕa
∂ϕi
|r=a =
|r=a
∂ϑ
∂ϑ
pz
⇒ Ei = E0 −
4π a3
| {z0 }
(∗)
1
⇒ Ei = E0 − (Ei − E0 )
2
1
⇒ Ei (1 + ) = E0 (1 + )
2
2
3
~i =
~ 0 (∗∗)
E
E
| {z
+ 2}
≤1
~
Das E-Feld
ist in der Kugel geschwächt.
Die Polarisation, d.h. die Dipoldichte ist gegeben durch
=
p~z
p~z
−1 ~
P~ =
= 4 3 (∗/ ∗ ∗) 3
0 E0
V
+2
πa
3
50
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bzw.
~
~i = E
~0 − P
E
30
D.h. durch Polarisation der Kugel findet eine “Entelektrisierung“ statt.
~
~
Das D-Feld
ist gebrochen. Das E-Feld
ist gebrochen und geschwächt und P~ ist die
Polarisation in der Kugel.
2.7 Clausius-Mossotti-Beziehung
Wir betrachten die Feldeinwirkung auf einzelne Dipole im Dielektrikum (lokales Feld).
Im folgenden Bild wird die approximative Beschreibung durch das Dielektrikum mit kugelförmiger Vakuole verdeutlicht.
51
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Offensichtlich haben wir hier die umgekehrte Situation, wie bei einer Kugel im Vakuum.
Dort gilt
~
~i = E
~0 − P
E
30
Jetzt verstärkt die Polarisation das Feld in der Hohlkugel.
~
~ loc = E
~ + P Lorentz − Relation
E
30
Wir nehmen jetzt an, daß die Dipole durch Einwirkung des äußeren Feldes entstehen:
~ loc
p~ = αE
wobei p~ das molekulare Dipolmoment und α die Polarisierbarkeit beschreibt, d.h.
~+
p~ = α(E
1 ~
P ) mit P~ = N p~
30
52
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wobei N die Dichte der molekular Dipole beschreibt.
~ − 1 P~ )
⇒ N p~ = N α(E
30
1
~−
~
⇒ 0 ( − 1)E = N α(E
0 ( − 1)E)
30
Daraus ergibt sich die Clausius-Mossotti-Relation
N α = 30
−1
+2
Bemerkung:
Diese approximative Relation zwischen makroskopischer Dielektrizitätskonstante und
mikroskopischer Polarisierbarkeit gilt für Stoffe mit kleiner Polarisierbarkeit, z.B. Gase
( ≈ 1)⇒ N α ≈ 0 ( − 1)
2.8 Das Randwertproblem
2.8.1 Die Greenschen Sätze
Offensichtlich gilt
~ · Ψ(~r)~v (~r) = Ψ(~r)∇
~ · ~v (~r) + ~v (~r) · ∇Ψ(~
~ r)
∇
Wir wenden den Gaußschen Satz an:
Z
Z
3 ~
d~a · Ψ(~r)~v (~r)
d ~r ∇Ψ(~r)~v (~r) =
(V )
V
|
{z
}
=
Z
n
o
3
~
~
d ~r Ψ(~r)∇ · ~v (~r) + ~v (~r) · ∇Ψ(~r)
V
~
Speziell sei ~v = ∇ϕ
53
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Z
n
h
i h
io Z
~ r) · ∇Ψ(~
~ r) =
d ~r Ψ(~r)∆ϕ(~r) + ∇ϕ(~
~ r)
d~aΨ(~r)∇ϕ(~
3
V
(V )
Erster Greenscher Satz
Wir vertauschen Ψ ↔ ϕ:
Z
n
h
i h
io Z
3
~
~
d ~r ϕ(~r)∆Ψ(~r) + ∇Ψ(~r) · ∇ϕ(~r) =
V
~ r)
d~aϕ(~r)∇Ψ(~
(V )
und bilden die Differenz
Z
Z
3
d ~r {Ψ(~r)∆ϕ(~r) − ϕ(~r)∆Ψ(~r)} =
V
n
o
~
~
d~a · Ψ(~r)∇ϕ(~r) − ϕ(~r)∇Ψ(~r)
(V )
Zweiter Greenscher Satz
2.8.2 Eindeutigkeit der Lösung
Wir betrachten einen einfach zusammenhängenden Raumbereich V , in dem die Poissongleichung gilt:
∆ϕ = −
ρ(~r)
0
Die Lösung ϕ(~r) ist eindeutig im Fall von Dirichletschen oder Neumannschen Randbedingungen (in diesem Fall bis auf eine Konstante) oder für gemischte Randbedingungen.
• Dirichletsche Randbedingung: ϕ(~r) auf (V ) gegeben
• Neumannsche Randbedingung:
∂ϕ
∂n
(Normalenableitung) auf (V ) gegeben
Beweis
Wir nehmen an, ϕ1 (~r) und ϕ2 (~r) seien Lösungen.
54
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Für die Differenz Ψ = ϕ1 − ϕ2 muß gelten
∆Ψ = 0
(∗)
Mit den Dirichletschen bzw. Neumannschen Randbedingungen gilt:
Ψ = 0 (Dirichlet)
(∗∗)
∂Ψ
= 0 (N eumann)
∂n
(∗ ∗ ∗)
Der erste Greensche Satz liefert:
Z
h
i Z
3
2
~
d ~r Ψ∆Ψ + (∇Ψ) =
V
(V )
Wegen (*) und (**) bzw. (***) gilt:
Z
da Ψ
∂Ψ
∂n
~ 2=0
d3~r(∇Ψ)
V
Daraus folgt:
~ verschwindet in V
• ∇
• Ψ = const. (im Fall von (**) Ψ = 0)
• Bis auf eine (eventuelle) Konstante ist das Potential eindeutig bestimmt.
~ = −∇ϕ ist eindeutig bestimmt!
• E
55
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Beispiel: Plattenkondensator
Aus Symmetriegründen gilt:
~ = (E, 0, 0)
E
d.h. ϕ = ϕ(x).
Da es keine Raumladungen gibt, vereinfacht sich das Poissonproblem
∆ϕ = −
ρ(~r)
0
zu
d2 ϕ
=0
dx2
Für die allgemeine Lösung gilt
ϕ(x) = ax + b
Wir berücksichtigen die Randbedingungen
ϕ(0) = ϕ1 ⇒ b = ϕ1
ϕ(x = d) = ϕ2 ⇒ ad + ϕ1 = ϕ2 ⇒ a = −
56
ϕ1 − ϕ2
U
=−
d
d
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Daraus folgt:
U
⇒ ϕ(x) = − x + ϕ1
d
dϕ
U
⇒E=−
=
dx
d
Bemerkung:
Im allgemeinen Fall sind die Randbedingungen nicht frei wählbar. Diese stellen sich in
Abhängigkeit von der Raumladungsdichte ρ(~r) ein.
Das wird aus der Maxwellgleichung klar:
Z
Z
~
d~a · E =
−
(V )
d.h. nicht alle
∂ϕ
∂n
(V )
da
∂ϕ
1
=− Q
∂n
0
werden es erlauben, die Maxwellgleichung zu erfüllen. Metallische Lei-
ter bilden hier eine Ausnahme. Deren Potential kann von außen eingestellt werden.
57
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2.8.3 Schein- und Influenzladungen
Wir betrachten ein Volumen V welches die Ladung ρ enthält.
Wir suchen das Potential in V . Es gilt:
1
∆ϕ(r) = − ρ(r)
0
Die spezielle Lösung ist gegeben durch eine quellenmäßige Darstellung:
Z
r0 )
1
3 0 ρ(~
d ~r
ϕp (r) =
4π0 V
|~r − ~r0 |
Diese Lösung wird im allgemeinen nicht die Randbedingungen auf (V ) erfüllen.
⇒ Wir addieren eine geeignete Lösung ϕ0 (~r) der Laplace-Gleichung.
ϕ(~r) = ϕp (~r) + ϕ0 (~r)
Oft ist es zielführend ϕ0 so zu konstruieren, daß wir außerhalb von V eine fiktive Raumladungsdichte ρ0 (~r) installieren.
58
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Das Poisson-Integral von ρ0 ist gegeben durch:
Z
1
ρ(~r0 )
0
3
ϕp (~r) =
d ~r
4π0 V 0
|~r − ~r0 |
Für ~r ∈ V gilt:
ρ0 (r) = 0
⇒ ϕ0p genügt in V einer Laplace-Gleichung
∆ϕ0p (~r) = 0 f ür ~r ∈ V
⇒ ϕ0p kann ein geeignetes ϕ0 (~r) sein, d.h.
1
ϕ(~r) =
4π0
Z
V
ρ(~r0 )
d ~r
+
|~r − ~r0 |
3
ρ0 (~r0 )
d ~r
|~r − ~r0 |
V0
Z
3 0
Dabei ist ρ0 (~r) völlig beliebig. Die Kunst besteht darin, ρ0 (~r) so zu wählen, daß die
Randbedingungen auf (V ) erfüllt sind.
ρ0 (r) wird als Scheinladungsdichte bezeichnet.
59
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Beispiel: Punktladung vor leitender Wand
ϕp (~r) =
q
1
4π0 |~r − ~r0 |
mit ~r0 = (x0 , 0, 0)
Das Coulombpotential der Punktladung erfüllt nicht die Randbedingung, da ϕp (0, y, z) 6=
0.
Jetzt installieren wir eine spiegelsymmetrische Scheinladung q 0 = −q bei −~r0 = (−x0 , 0, 0)
⇒ ϕ0p (~r) = −
q
1
4π0 |~r + ~r0 |
Damit ergibt sich:
ϕ(~r) = ϕp (~r) +
ϕ0p (~r)
q
=
4π0
1
1
−
|~r − ~r0 | |~r + ~r0 |
Im uns interessierenden Volumen von der Wand erfüllt ϕ(r)
1
∆ϕ(r) = − qδ(~r − r~0 )
0
und die Randbedingung ϕ(0, y, z) = 0.
⇒ Problem gelöst!
60
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Bemerkung:
~
• Das E-Feld
ist leicht auszurechnen.
• Spiegelsymmetrisch positionierte Scheinladungen werden oft als Spiegelladungen
bezeichnet.
• Scheinladungen sind fiktiv, aber die Flächenladungsdichten sind real.
Ex = −
∂ϕ
q
x0
|x=0 = −
p
3
∂x
2π0
x20 + y 2 + z 2
f ür x > 0
Ex = 0 f ür x < 0 (inneres von Leitern ist f eldf rei)
Ey,z = 0
⇒ Die Normalkomponente des elektrischen Feldes springt.
61
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⇒ Gibt Flächenladungsdichte auf der Wand
σ = −0
∂ϕ
q
x0
|x=0 = −
p
3
∂x
2π0
x20 + y 2 + z 2
Wir integrieren über die ganze Fläche:
Z
Z
Z
Z ∞
qx0 2π
r dr
Q = dy dz σ(y, z) = −
dϕ
3 = −q
p
2π 0
2
0
2
x
+
r
| {z }
0
2π
|
{z
}
1
x0
D.h. es existiert eine zur Punktladung entgegengesetzte und betragsmäßig gleichgroße Ladung auf der Oberfläche der Wand.
Ladungen dieser werden “Influenzladungen“ genannt. Der Effekt heißt “Influenz“.
Dieser Effekt ist real meßbar, wenn eine Ladung vor eine geerdete Metallplatte
gebracht wird: ⇒ Ladung wird induziert; wir unterbrechen die Erdverbindung
⇒ Influenzladung bleibt auf der Platte
2.8.4 Methode der Greenschen Funktion
In Kapitel 2.2 wurde die Greenfunktion der Poisson-Gleichung eingeführt über
∆~r G0 (~r, ~r0 ) = ∆~r0 G0 (~r, ~r0 ) = −δ(~r − ~r0 )
Um spezielle Randbedingungen erfüllen zu können, addieren wir die Lösungen der LaplaceGleichung und definieren
G(~r, ~r0 ) = G0 (~r, ~r0 ) + F (~r, ~r0 ) mit ∆r~0 F (~r, ~r0 ) = 0
Wir wenden den zweiten Greenschen Satz auf die Greenfunktion und das Potential an.


(
)
Z

 Z
0
0)
~
∂ϕ(
r
∂G(~
r
,
~
r
)


d3~r0 G(~r, ~r0 ) ∆r~0 ϕ(r~0 ) −ϕ(r~0 ) ∆r~0 G(~r, ~r0 ) =
−
ϕ(r~0 )
da~0 G(~r, ~r0 )
0
0
|
{z
}
|
{z
}
∂n
∂n


V
(V )
−
ρ(r~0 )
0
−δ(~
r,~
r0 )
62
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damit ergibt sich
1
−
0
Z
1
⇒ ϕ(~r) =
0
Z
o Z
0
~
d ~r G(~r, ~r )ρ(~r − 0 δ(~r, ~r )ϕ(r ) =
3
n
0
0
0
V
(V )
r0 ) ∂G(~r, ~r0 )
0 ∂ϕ(~
0
d ~rG(~r, ~r )ρ(~r +
d~a G(~r, ~r )
−
ϕ(~r )
∂n0
∂n0
(V )
0
3
V
d~a0 {...}
0
Z
0
D.h. falls die Ladungsverteilung ρ(~r) und die Randbedingungen bekannt sind, können
wir das Potential angeben, vorausgesetzt wir kennen G(~r, ~r0 ).
Die Bestimmung von G(~r, ~r0 ) ist einfacher, da die Greenfunktion nur von der Geometrie
und nicht von der Ladungsverteilung abhängt.
Wir spezifizieren die Randbedingung für die Greenfunktion:
• Dirichlet-Randbedingung: ϕ(~r) für ~r ∈ (V ) gegeben
⇒ Wir fordern G(~r, ~r0 ) = 0 für ~r0 ∈ (V )
⇒ Das Potential ist gegeben durch
Z
Z
1
∂G(~r, ~r0 )
3 0
0
0
ϕ(~r) =
d ~r G(~r, ~r )ρ(~r ) −
da0
ϕ(~r0 )
0
0 V
∂n
(V )
D.h. wir müssen jetzt das Randwertproblem für G(~r, ~r0 ) = G0 (~r, ~r0 )+F (~r, ~r0 ) lösen
mit G0 (~r, ~r0 ) =
1
1
4π |~
r−~
r0 |
und ∆~r0 F (~r, ~r0 ) = 0 und G(~r, ~r0 ) = 0 für ~r0 ∈ (V )
Das ist das Problem der Berechnung des Potentials einer Einheitsladung am Ort
~r bei geerdeter Oberfläche. Dies kann zum Beispiel über Spiegelladungen gelöst
werden. Wir können mit diesem G(~r, ~r0 ) dann ϕ(~r) für beliebige ρ(~r) und Randbedingungen ϕ(~r0 ) für ~r0 ∈ (V ) angeben!
• Neumann-Randbedingung:
∂ϕ(r)
für ~r ∈ (V )
∂n
0
∂G(~
r,~
r)
= 0 für ~r0 ∈ (V
∂n0
Es ist die Normalenableitung
gegeben.
Idealerweise würde man
) fordern. Dies ist aber leider nicht
möglich, da
Z
(V )
∂G(~r, ~r
da0
∂n0
0
)
Z
3 0
0
Z
d ~r ∆ G(~r, ~r ) = −
=
~
r0
V
V
63
d3~r0 δ(~r − ~r0 ) = −1
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Wir können aber die Normierung
∂G
(~r, ~r0 )
∂n0
= − a1 , mit a als Flächeninhalt der
Randfläche, fordern. Damit ergibt sich das Potential zu
Z
Z
Z
1
r0 ) 1
3 0
0
0
0
0 ∂ϕ(~
ϕ(~r) =
d ~r G(~r, ~r )ρ(~r ) +
da G(~r, ~r )
+
da0 ϕ(~r0 )
0
0 V
∂n
a
(V )
(V )
|
{z
}
ϕ
wobei ϕ der Mittelwert des Potentials auf der Randfläche ist.
Beispiel:
Beliebige Ladungsverteilung von geerdeter, leitender Wand (∞ ausgedehnt)
d.h. Dirichletproblem mit ϕ(~r0 ) = 0 für ~r ∈ (V )
Z
1
d3~r0 G(~r, ~r0 )ρ(~r0 )
⇒ ϕ(~r) =
0 V
G(~r, ~r0 ) erfüllt:
∆~r0 G(~r, ~r0 ) =
1
1
4π |~r − ~r0 |
mit G(~r, ~r0 ) = 0 f ür ~r0 ∈ (V )
Das ist analog zum Problem für die Punktladung q vor einer leitenden Wand. Dies ist
bereits gelöst mit der Methode der Spiegelladung:
64
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wobei ~rs = (−x, y, z)
mit
q
0
→ 1 folgt für G:
1
G(~r, ~r ) =
4π
0
1
1
− 0
0
|(~r − ~r)| |(~r − ~rs )|
⇒ ϕ(~r) ist berechenbar aus ρ(~r).
2.8.5 Kapazitätskoeffizienten
Wir betrachten einen Leiter mit dem Potential ϕk , welcher die Ladung Qk trägt. Er sei
eingebettet in ein Volumen V .
65
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1
ϕ(r) =
0
Z
3 0
0
Z
0
da0
d ~r G(~r, ~r )ρ(~r ) −
V
(V )
∂G(~r, ~r0 )
ϕ(~r0 )
∂n
Das Volumen um den Körper sei leiterfrei und enthält somit keine Ladungen ⇒ ρ(~r0 ) = 0
Z
∂G(~r, ~r0 )
⇒ ϕ(~r) = −
ϕ(~r0 )da0
0
∂n
(k)
a
Z
∂G(~r, ~r0 )
(∗)
= −ϕk
da0
∂n0
a(k)
Für die Flächenladungsdichte auf dem Leiter gilt:
σ(~r)|a(k) = 0
∂ϕ(~r)
| (k)
∂n a
Die Integration über die Leiteroberfläche liefert:
Z
∂ϕ(r)
Qk = 0
da
∂n
a(k)
Mit (∗) folgt:
Z
Qk = −ϕk 0
|
∂
da
∂n
a(k)
Z
da0
(k)
a
{z
−Ck
∂G(~r, ~r0 )
∂n0
}
wobei Ck die Kapazität des Leiters angibt. Diese hängt nur von der Geometrie ab, da
~ r, ~r0 ) nur von der Geometrie abhängt.
G(~
Daraus ergibt sich folgender linearer Zusammenhang:
Qk = Ck · ϕk
Wir betrachten nun mehrere Körper im leeren Raum und verallgemeinern (∗) zu:
X Z
∂G(~r, ~r0 )
ϕ(~r) =
ϕk
da0
∂n0
a(k)
k
Damit folgt für
Z
Qk = 0
∂ X
da
−ϕk0
∂n k0
a(k)
Z
a(k
0)
da0
∂G(~r, ~r0 )
∂n0
d.h.
Qk =
X
Ckk0 · ϕk0
k0
66
(∗∗)
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Mit dem symmetrischen, geometrieabhängigen Kapazitätskoeffizienten ergibt sich:
Z
Z
∂ 2 G(~r, ~r0 )
Ckk0 = −0
da
da0
0
∂n∂n0
a(k)
a(k )
Wir können nun aus (∗∗) für gegebene Ladungen Qk die Potentiale ϕk der einzelnen Leiter berechnen.
Wir berechnen die Feldenergie für eine Leiteranordnung.
Früher (siehe Kapitel 2.3):
0
Wel =
2
Z
~ 2 (~r)
d3~rE
V
0
Wel =
2
Z
h
i2
~ r)
d3~r ∇ϕ(~
V
Z
h
i
0
~ · ϕ(~r)∇ϕ(~
~ r) − ϕ(~r)∆ϕ(~r)
d3~r ∇
=
2 V
Z
Z
0
0
~
=
d~a ϕ(~r)∇ϕ(~r) −
d3~r ϕ(~r) ∆ϕ(~r)
| {z }
2 (V )
2 V
|
{z
}
ρ(~
r)
|
{z
}
(1)
(2)
Für (1) gilt:
Z
~ r) =
d~a ϕ(~r)∇ϕ(~
X
(V )
Z
ϕk
a(k)
k
∂ϕ(~r) X
Qk
=
ϕk
∂n
0
k
Für (2) gilt, falls ρ = 0 ist:
0
2
Z
d3~r ϕ(~r)ρ(~r) = 0
V
Daraus folgt:
⇒ Wel =
mit Qk =
P
k0
1X
ϕk Qk
2 k
Ckk0 ϕk0 folgt:
Wel =
1X
Ckk0 ϕk ϕk0
2 k,k0
d.h., daß die elektrische Feldenergie eine quadratische Form in den Potentialen ist. Ist
67
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Wel als Funktion der Potentiale bekannt, so lassen sich die Kapazitätskoeffizienten bestimmen aus:
Ckk0 =
∂ 2 Wel
∂ϕk ∂ϕk0
Kapazitäten von Leitersystemen
Nun betrachten wir 2 Leiter, wobei der eine vom anderen umschlossen ist.
Q2 ist hierbei durch die Ladung Q1 auf dem inneren Leiter induziert. Im Hohlraum
zwischen den Leitern befindet sich keine Ladung.
Z
Z
Z
∂ϕ
∂ϕ
~
⇒0=Q=
d~a · D = 0
da
+ 0
da
∂n
∂n
(2)
(1)
a(1) +a(2)
| a {z
} | a {z
}
Q1
Q2
D.h. auf der Oberfläche des Außenleiters sitzt gerade die Ladung Q2 , die die Ladung Q1
kompensiert: Q2 = −Q1
Mit
Z
Q1 = −Q2 = −0
da
a( 2)
68
∂ϕ
∂n
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und
ϕ=−
X
Z
da0
ϕk
a( k)
k
∂G(~r, ~r0 )
∂n0
folgt:
Z
Q1 = 0
∂
da
∂n
a( 2)
Z
ϕ1
∂G
da0 0
∂n
a( 1)
Z
+ ϕ2
a( 2)
∂G
da0 0
∂n
= −C21 ϕ1 − C22 ϕ2
Andererseits gilt nach Definition:
Q1 = C11 ϕ1 + C12 ϕ2
Q2 = C21 ϕ1 + C22 ϕ2
d.h. es muß gelten:
C11 = −C21
C12 = −C22
Aus Symmetriegründen gilt:
C12 = C21
Damit ergibt sich:
Q1 = C11 (ϕ1 − ϕ2 )
Q2 = C22 (ϕ2 − ϕ1 )
D.h. wir können nur die Potentialdifferenz ∆ϕ = ϕ1 − ϕ2 bestimmen.
⇒ Wir definieren die Kapazität einer Leiteranordnung über das Verhältnis der Ladung
auf einem Leiter zur Potentialdifferenz zwischen den Leitern:
C :=
Q
∆ϕ
69
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Beispiel: Plattenkondensator
Für die Flächenladungsdichte auf der linken Platte gilt:
σ1 = −0
U
dϕ
|x=0 = dx
d
Damit ergibt sich die Gesamtladung auf dieser Platte zu:
Q ≡ Q1 = σ1 · a = 0
U
a
d
wobei a die Fläche der Platte ist. Damit folgt für die Kapazität:
C=
Q
U
a
= 0 · a · U −1 = 0
∆ϕ
d
d
Für die elektrische Feldenergiedichte gilt (vgl. 2.3):
1 ~2
wel = 0 E
2
Mit E = − dϕ
=
dx
U
d
folgt:
1 U2
wel = 0 2
2 d
70
(∗)
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D.h. die Feldenergie im Volumen V = a · d ergibt sich zu:
1
1 a
Wel = wel · a · d = 0 U 2 =(∗) CU 2
2 d
2
Bemerkung:
Vorhin
Ckk0 =
∂ 2 We l
d2 Wel
→ C = C11 =
∂ϕk ∂ϕk0
dU 2
Diese stimmen überein!
71
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3 Magnetostatik
Der magnetische Teil der Maxwellgleichungen für den stat. Fall lautet:
~ · B(~
~ r) = 0
∇
~ × H(~
~ r) = ~j(~r) (mit ∇
~ · ~j(~r) = −ρ̇ = 0)
∇
mit der Materialgleichung:
~ r) (µ0 = 4π · 10−7 V s )
~ r) = 1 B(~
H(~
µ0
Am
3.1 Vektorpotential
~ · B(~
~ r) = 0 ⇒ ∃ V ektorpotential A
~ mit B(~
~ r) = ∇
~ × A(~
~ r)
∇
n
o
~ × (∇
~ × A(~
~ r)) = 1 ∇
~∇
~ · A(~
~ r) − ∆A(~
~ r)
~ × H(~
~ r) = 1 ∇
⇒∇
| {z } µ0
µ0
~j(~
r)
Die Definition des Vektorpotentials ist nicht eindeutig. Wir betrachten:
~ r) = A(~
~ r) + ∇χ(~
~ r)
A(~
wobei χ(~r) ein skalares Feld beschreibt.
~ ×A
~ 0 (~r) = ∇
~ × A(~
~ r) + ∇
~ × ∇χ(~
~ r)
∇
| {z } | {z }
~ r)
B(~
0
~ r) und A
~ 0 (~r) liefern das gleiche B-Feld.
~
d.h. A(~
Wir nutzen diesen Freiheitsgrad und fordern:
~ · A(~
~ r) = 0
∇
Coulomb − Eichung
Ist diese Eichbedingung immer erfüllbar?
72
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~ r) erfülle nicht die Coulomb-Eichung, aber liefert ein korrektes B-Feld.
~
A(~
Immer möglich ist:
~ 0 (~r) = A(~
~ r) + ∇χ(~
~ r)
A
~ ·A
~ 0 (~r) = ∇
~ · A(~
~ r) + ∆χ(~r)
∇
~ · A(~
~ r) gilt. Dies geht immer, z.B. in Form des
Wir wählen χ(~r) so, daß ∆χ(~r) = −∇
Poisson-Integrals.
~ 0 (~r) erfüllt die Eichbedingung.
⇒A
Vorhin:
~
µ0~j(~r) = ∇
~ · A(~
~ r)
∇
| {z }
~ r)
−∆A(~
=0 Coulomb−Eichung
~ r) = −µ0~j(~r)
∆A(~
~ genügt einer Poisson-Gleichung. Die
d.h. jede der kartesischen Komponenten von A
Lösung ist bekannt aus der Elektrostatik (Poisson-Integral)
~ r ) = µ0
A(~
Z
d3~r0 G0 (~r − ~r0 )~j(~r0 )
Z
~j(~r0 )
µ0
d3~r0
4π
|~r − ~r0 |
~ r) in dieser Darstellung der Coulomb-Eichung?
Genügt A(~
Z
~ · A(~
~ r) = µ0 d3~r∇
~ r · G0 (~r − ~r0 )~j(~r0 )
∇
~ r G0 = −∇
~ r0 G0 ergibt sich:
wegen ∇
Z
~
~
~ r0 · G0 (~r − ~r0 )~j(~r0 ) mit ∇
~ ~j = 0
∇ · A(~r) = −µ0 d3~r∇
Z
= −µ0 d~a0 · G0 (~r − ~r0 )~j(~r0 )
Für inselförmige Stromverteilungen gilt:
Z
(V )→∞
−µ0 d~a0 · G0 (~r − ~r0 )~j(~r0 ) → 0
73
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~ ·A
~=0
⇒∇
~ r) = ∇
~ × A(~
~ r) folgt für das Magnetfeld einer beliebigen inselförmigen StromverMit B(~
teilung ~j(~r):
~ r ) = µ0
B(~
= −µ0
Z
~ r × G0 (~r − ~r0 )~j(~r0 )
d3~r0 ∇
Z
~ r G0 (~r − ~r0 )
d3~r0 ~j(~r0 ) × ∇
mit
1
4π |~r − ~r0 |
G0 (~r − ~r0 ) =
folgt
1 ~r − ~r0
~ r G0 (~r − ~r0 ) = 1 ∇
~ r0 1
∇
=
−
4π
|~r − ~r0 |
4π |~r − ~r0 |3
und damit folgt:
~ r) = µ0 H(~
~ r ) = µ0
B(~
4π
Z
d3~r0
~j(~r) × (~r − ~r0 )
|~r − ~r0 |3
Bemerkung:
Analogon zu
~ r) = 1
E(~
4π0
Z
~r − ~r0
d ~r ρ(~r )
|~r − ~r0 |3
3 0
0
~
d.h. der quellenmäßen Darstellung des E-Feldes.
Einfachster Quelltyp in der Elektrostatik → Punktladung
Einfachster Quelltyp in der Magnetostatik → Stromfaden
d.h. konstanter Strom entlang einer Raumkurve C.
74
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Für kleine Querschnitte ∆a und kleines ∆~r gilt:
I = ~j(~r) ∆a
d.h.
I∆~r = ~j(~r)∆V
d.h. unter dem Integral gilt:
Z
~j(~r)d ~r →
3
V
Z
I d~r
C
d.h. speziell für das Vektorpotential vom Stromfaden gilt:
Z
Z
~ r0 )
µ0 I
µ0
d~r0
3 0 j(~
~
d ~r
=
A(~r) =
4π
|~r − ~r0 |
4π C |~r − ~r0 |
und
~ r ) = µ0
B(~
4π
Z
d3~r
~j(~r0 ) × (~r − ~r0 )
|~r − ~r0 |
wird zum Biot-Savart-Gesetz:
~ r ) = µ0 I
B(~
4π
Z
C
75
d~r0 × (~r − ~r0 )
|~r − ~r0 |3
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Das Stromfadenelement I d~r0 liefert zum Magnetfeld folgenden Beitrag
~ r) =
dB(~
µ0 I d~r0 × (~r − ~r0 )
4π
|~r − ~r0 |3
Beispiel: ∞ langer Stromfaden
wobei der Strom entlang z fließt.
76
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Die Rechnung wird in Zylinderkoordinaten durchgeführt.
~r − ~r0 = (z − z 0 )~ez + ρ~eρ
2
|~r − ~r0 | = (z − z 0 )2 + ρ2
d~r0 = dz 0~ez
d~r0 × (~r − ~r0 ) = ρ dz 0 ~eϕ
Damit ergibt sich:
Z
d~r0 × (~r − ~r0 )
µ0
~
I
B(~r) =
4π C |~r − ~r0 |3
Z ∞
µ0 Iρ
dz 0
=
~eϕ
3
4π
−∞ (z − z 0 )2 + ρ2 2
Z
µ0 Iρ 1 ∞
dz 0
~eϕ 3
=
32
4π
ρ −∞ 0 2
z−z
+1
ρ
mit x =
z−z 0
ρ
ergibt sich:
~ r) = µ0 I~eϕ
B(~
4πρ
Z
∞
−∞
|
dx
3
2
(x2 + 1)
{z
}
=
µ0 I
~eϕ
2πρ
2
~
d.h. das B-Feld
verläuft entlang konzentrischer Kreise um den Leiter.
77
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Entlag dieser Kreise gilt:
Z
~ r) = 2πρ · µ0 · I = µ0 I
d~r · B(~
2πρ
C
Dies ist konsistent mit
Z
˙
~ = I + d~a · D
~
d~r · H
Z
(a)
a
Induktionskoeffizienten
Wir betrachten N Stromschleifen. K-te Schleife werde vom Strom IK durchflossen. Damit gilt:
~ r ) = µ0 I
A(~
4π
Z
C
Z
d~r0
µ0 X
d~r0
→
I
K
|~r − ~r0 |
4π K
r − ~r0 |
C (K) |~
~
Für den Fluß des B-Feldes
durch die Fläche a(K) gilt:
Z
Z
Z
~
~
~
~ r)
Φk =
d~a · B(~r) =
d~a · ∇ × A(~r) =
d~r · A(~
a(K)
a(K)
C (K)
Z
Z
X
d~r0
µ0 X
0
LKK 0 · IK 0
IK
=
=
d~r
0
4π K 0
r − ~r0 |
C (K ) |~
C (K)
0
K
mit dem Induktionskoeffizienten
LKK 0
µ0
=
4π
Z
Z
C (K)
C (K
0)
d~r · d~r0
|~r − ~r0 |
LKK 0 mit K 6= K 0 wird Gegeninduktionskoeffizient und LKK Selbstinduktionskoeffizient
genannt.
78
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3.2 Magnetische Multipolentwicklung
Erinnerung: elektrische Multipolentwicklung (2.4)
Z
1
ρ(~r0 )
ϕ(~r) =
d3~r
4 π 0
|~r − ~r0 |
mit
Z
Q = d3 r~0 ρ(~r0 )
Z
p~ = d3~r0 ρ(~r0 )~r0
0
folgt für |~r0 | << |~r|
1
ϕ(~r) =
4 π 0
Q ~r · p~ rα rβ Qαβ
+ 3 +
+ ...
|~r|
|~r|
2 |~r|5
Es ist eine analoge Entwicklung für folgenden Term möglich:
Z
~j(~r0 )
µ0
~
A(~r) =
d3~r0
4π
|~r − ~r0 |
Die Taylorentwicklung für |~r0 | << |~r| liefert:
Z
Z
µ0 1
1
3 ~0~ ~0
3 ~0
0
0
~
~
~
~
A(~r) =
d r j(r ) + 3 d r ~r · r j(r ) + ...
4π |~r|
|~r|
Wir betrachten den 1. Term genauer:
Z
d3 r~0~j(r~0 )
Es gilt
~ · ~j(~r)~r = ~r ∇
~ · ~j(~r) +~j(~r) · ∇~
~ r = ~j(~r)
∇
|{z}
| {z }
−ρ̇=0
Ib
wobei Ib die Einheitsmatrix bezeichnet.
Z
Z
Z
3 0~ 0
3 0~ ~ 0 0
⇒
d ~r j(~r ) =
d ~r ∇ · j(~r )~r =
V
V
(V )
79
da0~j(~r0 )~r0 = 0
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⇒ Die magnetische Multipolentwicklung beginnt mit dem 2. Term!
Wir betrachten nun den 2. Term:
1
|~r|3
Z
d3 r~0 ~r · r~0~j(r~0 )
Es gilt:
~ ~r0 · ~j(~r0 )~r0
~r · ~r0 ~j(~r0 ) = ~r · ~r0 ∇
|{z}
~ 0 ·~j(~
∇
r0 )~
r0
~
r
~ 0 · ~j(~r0 )~r0~r · ~r0 −~r0~j(~r0 ) · ∇
~ ~r0 ~r0 ·~r
=∇
| {z
}
| ~r
{z
}
(1)
Ib
| {z }
~
r
das Volumenintegral über (1) kann in ein verschwindendes Obeflächenintegral umgewandelt werden, daher
Z
3 0
0
Z
0
d ~r ~r · ~r j(~r ) = −
d3~r0 ~r · ~j(~r0 )~r0
(∗)
Allgemein gilt:
~a × (~b × ~c) = ~b(~a · ~c) − ~c(~a · ~b)
Deshalb gilt:
h
i
~r × ~r0 × ~j(~r0 ) = ~r · ~j(~r0 )~r0 − ~r · ~r0~j(~r0 )
Z
Z
Z
h
i
3 0
0~ 0
0
0
3 0
~
⇒
d ~r ~r · ~r j(~r ) = − ~r × ~r × j(~r ) d ~r + d3~r0 ~r · ~r0~j(~r0 )
|
{z
}
(∗)
d.h.
Z
1
d ~r ~r · ~r j(~r ) =
2
3 0
0~
0
Z
h
i
0
0
~
d ~r ~r × j(~r ) × ~r
3 0
Wir definieren das magnetische Dipolmoment
Z
1
m
~ = µ0 d3~r ~r × ~j(~r)
2
und finden somit für den (niedrigsten) Dipolanteil des Vektorpotentials:
80
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~ × ~r
~ D (~r) = 1 m
A
4π r3
Bemerkung:
Für den Dipolanteil des elektrostatischen Potentials gilt (vgl. 2.4):
ϕD (~r) =
1 ~r · p~
4π0 r3
~
Für das zugehörige B-Feld
gilt:
~ × ~r
~ ×m
~ D (~r) = ∇
~ ×A
~ D (~r) = 1 ∇
B
4π
r3
Mit ~a × (~b × ~c) = ~b(~a · ~c) − ~c(~a · ~b) ergibt sich:
1
~r
~r
~
~
~
BD (~r) =
~ ·∇ 3
m
~∇· 3 −m
4π
r
r
Für r 6= 0 gilt für den 1. Term:
~ · ~r = 1 ∇
~ · ~r +~r · ∇
~ 1 =0
∇
|
{z
}
3
3
r
r
r3
|{z}
3
3~
r
r5
Wir behandeln nun den 2.Term in Komponentenschreibweise:
~r
∂ xi
δij
3xi xj
~
m
~ · ∇ 3 = mj
= mj 3 − mj 5
3
r i
∂xj r
r
r
d.h.
~ 2 − 3m
~ · ~r~r
~ ~r = mr
m
~ ·∇
3
5
r
r
d.h.
~ · ~r~r − mr
~ 2
~ D (~r) = 1 3m
B
4π
r5
81
(r > 0)
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Punktdipol
Das magnetische Dipolmoment ist definiert als
Z
1
m
~ = µ0 d3~r ~r × ~j(~r)
2
Dieses sei durch einen Stromfaden hervorgerufen:
Z
Z
~jd3~r →
I d~r
V
C
Daraus folgt für das magnetische Dipolmoment:
Z
1
~r × d~r
m
~ = µ0 I
2
C
Wir betrachten speziell eine kreisförmige Leiterschleife.
mit
~r = R~er
d~r = R dϕ ~eϕ
82
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Es gilt:
Z
2π
Z
~r × d~r =
C
0
2
R2~er × ~eϕ dϕ = |2πR
{z } ~ez
2a
⇒ m
~ = µ0 I~a
Wird die Fläche a immer mehr verkleinert, so daß a → 0 und I gleichzeitig so vergrößert, daß das Produkt I · a konstant bleibt, so verschwinden die Beträge höherer
Multipolmomente und nur der Dipolbeitrag bleibt übrig. ⇒ “Punktdipol“
3.3 Magnetische Kraftwirkungen
~
~ r) eine Kraftdichte einIm Kapitel (1.2) wurde für die Stromdichte ~j(~r) im B-Feld
B(~
geführt:
f (~r) = ~j(~r) × B(~r)
D.h. die Stromschleife C erfährt eine Kraft
Z
Z
3
~
~ r)
F =
d ~r f (~r) = d3~r ~j(~r) × B(~
V
F~ = I
Z
~ r)
d~r × B(~
C
83
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Beispiel: Kraft zwischen parallelen Leitern
Für die Kraft auf das Leiterelement d~r1 = dl ~ez gilt:
~ r1 ) = I1 dl ~ez × B(~
~ r1 )
dF~12 = I1 d~r1 × B(~
In (3.1) wurde berechnet:
~ r1 ) = µ0 I2 ~eϕ
B(~
2πd
damit ergibt sich:
dF~1 2
I1 I2
= µ0
~ez × eϕ
dl
2πd | {z }
−~eρ
d.h. gleichsinnig stromdurchflossene Leiter ziehen sich an und ungleichsinnig durchflossene stoßen sich ab.
84
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3.4 Magnetische Feldenergie
Magnetostatik kann in Analogie zur Elektrostatik formuliert werden. Insbesondere gilt
dies für die Energie von elektrischen bzw. magnetischen Dipolanordnungen.
⇒ analoge Ausdrücke für die Feldenergie
Z
d3~r wmag (~r)
Wmag =
mit
1~
~ r) = 1 1 B 2 (~r)
wmag (~r) = B(~
r) · H(~
2
2 µ0
~ =∇
~ ×A
~ gilt
mit B
Wmag
1
=
2
Z
h
i
~ r) · ∇
~ × A(~
~ r)
d3~r H(~
Es gilt:
h
i
~ · A(~
~ r) × H(~
~ r)
∇
∂
Aj Hk
∂xi
∂Aj
∂Hk
= ijk
· Hk + ijk Aj
∂xi
∂xi
h
i
h
i
~ · ∇
~ ×A
~ −A
~· ∇
~ ×H
~
=H
= ijk
Daraus folgt:
1
⇒
2
Z
h
i
~
~
~
d ~r H(~r) · ∇ × A(~r)
Z
h
i 1Z
h
i
1
3 ~
~×H
~ +
~· ∇
~ ×H
~
=
d ~r ∇ A
d3~r A
2
2
| {z }
|
{z
}
3
~j
(1)
Für (1) gilt:
Z
i Z
h
~ A
~×H
~ =
d ~r ∇
h
i
→∞
~×H
~ V→
0
d~a · A
3
(V )
Damit gilt:
Wmag
1
=
2
Z
~ r)
d3~r ~j(~r) · A(~
85
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Bemerkung:
• Analogon zu
1
Wel =
2
Z
d3~r ρ(~r)ϕ(~r)
• Für eine Leiterschleife gilt offensichtlich
Z
Z
Z
1
1
1
~
~
~
~ r) = 1 IΦ
d~r · A(~r) = I d~a · ∇ × A = I da · B(~
Wmag = I
2 C
2 a
2 a
2
Für mehrere Leiterschleifen gilt entsprechend:
Wmag =
Unter Ausnutzung von Φk =
P
k0
1X
Ik Φk
2 k
Lkk0 Ik0 (vgl. 3.1) folgt:
Wmag =
1X
Lkk0 Ik Ik0
2 kk0
D.h. die Energie ist alleine durch die Stromstärken und die geometrieabhängigen
Induktionskoeffizienten gegeben.
Ebenfalls können wir umgekehrt aus der Feldenergie die Induktionskoeffizienten
bestimmen
Lkk0 =
86
∂ 2 Wmag
∂Ik ∂Ik0
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3.5 Grenzbedingungen
Analogie zur Elektrostatik, Integration über Dose
~ · B(~
~ r) = 0 ⇒
∇
Z
~ · B(~
~ r)d3~r = 0
∇
VDose
Es gilt:
Z
VDose
~ · B(~
~ r)d3~r =
∇
Z
~ r)d~a = aDose (B I (~r) − B II (~r))
B(~
⊥
⊥
aDose
D.h. es gilt:
I
II
B⊥
(~r) = B⊥
(~r)
~
Die Normalkomponente des B-Feldes
geht stetig durch die Grenzflächen.
Für das Kurvenintegral durch die Grenzfläche gilt:
Z
d~a
~ × H(~
~ r) = ~j(~r)
∇
Z
~ r) = I
d~r H(~
C
87
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Mit h → 0 gilt:
HkII (~r) − HkI (~r) = s(~r)
s(~r) wird als Oberflächenstromdichte bezeichnet.
~
Die Tangentialkomponente des H-Feldes
ist stetig, falls es keine Oberflächenströme gibt.
Wir betrachten speziell die lineare Materialgleichung:
~ r) = µH(~
~ r)
B(~
Daraus folgt:
µI II
B (~r)
µII k
µII II
I
H⊥ (~r) = I H⊥ (~r)
µ
BkI (~r) =
~
~
d.h. die Tangentialkomponente des B-Feldes
und die Normalkomponente des H-Feldes
springen.
3.6 Beispiele
1. Rotierende, geladene Kugel
88
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Die Ladung Q ist gleichmäßig auf der Oberfläche verteilt.
σ=
Q
4πR2
Für die Stromdichte gilt:
~j = ρ ~v = σδ(r − R) ω
~ × ~r
Für das Vektorpotential gilt:
Z ~ 0
Z
Z
µ0
σδ(r0 − R) ω
~ × ~r0 3 0
Qµ0
δ(r0 − R) ~r0 3 0
µ0
j(~r ) 3 0
~
A(~r) =
d
~
r
=
d
~
r
=
d ~r
ω
~
×
4π
|~r − ~r0 |
4π
|~r − ~r0 |
16π 2 R2
|~r − ~r0 |
|
{z
}
~ r)
I(~
~ r) ein rotationssymmetrisches Integral bezüglich ~r bezeichnet.
Wobei I(~
~ r) = I(r) · ~r
⇒ I(~
r
Das Integral wird über Kugelkoordinaten ausgewertet.
d3~r0 = r02 sin(Θ)dΘ dϕ dr0
Es gilt:
~r · ~r0 = rr0 cos(Θ)
1
|~r − ~r0 | = r2 + r02 − 2rr0 cos(Θ) 2
89
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Damit ergibt sich:
~ r) = ~r
I(~
r
Z
2π
Z
∞
Z
dr0
dΘ
dϕ
0
π
δ(r0 − R)r0 cos(Θ)r02 sin(Θ)
1
0
0
Z
~r
= 2π
r
π
dΘ
{r2 + r02 − 2rr0 cos(Θ)} 2
R3 cos(Θ)sin(Θ)
1
{r2 + R2 − 2rRcos(Θ)} 2
0
Mit Hilfe der Substitution
cos(Θ) = x
dx
=
−sin(Θ)
⇒
sin(Θ)dΘ
=
−dx
dΘ
folgt
~ r) = − ~r 2πR3
I(~
r
Z
−1
1
xdx
2
1
2
{r| +
2rR x} 2
{zR} − |{z}
A
B
Allgemein gilt:
Z
√
1
xdx
2
= − 2 (2A + Bx(A − Bx) 2 + const.
3B
A − Bx
Damit ergibt sich:
2
I(r) = −2πR · −
·
3 · 4r2 R2
1
1 { 2 r2 + R2 − 2rR r2 + R2 + 2rR 2 − 2 r2 + R2 + 2rR r2 + R2 − 2rR 2 }
|
{z
}
|
{z
}
3
r+R
|r−R|
2πR 2
2
2
2
=
(r
+
R
−
rR)(r
+
R)
−
(r
+
R
+
rR)
|r
−
R|
3r2
Es gilt für r < R : |r − R| = R − r
{...} = r(r2 + R2 − rR + r2 + R2 + rR) + R(r2 + R2 − rR − r2 − R2 − rR)
= 2r3 + 2rR2 − 2rR2 = 2r3
D.h.
4
I(r) = πRr
3
90
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Es gilt für r > R : |r − R| = r − R
{...} = −2r2 R + 2r2 R + 2R3 = 2R3
D.h.
4 R4
I(r) = π 2
3 r
Damit ergibt sich für das Vektorpotential

ω
~ × ~r


µ
Q
0
R
~=
A
~r
12π 
2
R ω
~× 3
r
r<R
r>R
~ =∇
~ × A.
~ Für r < R gilt:
Es gilt B
~ × (~ω × ~r)
~ =B
~ (i) = µ0 Q ∇
B
12πR
Die Auswertung erfolgt Komponentenweise:
~ × (~ω × ~r))i = ijk
(∇
∂
klm ωl xm
∂xj
= ijk klm ωl δjm
= ijk klj ωl
= ijk ljk ωl
| {z }
2δil
= 2ωi
Daraus folgt:
~ (i) = µ0 Q ω
~
⇒ B
6πR
~ ist homogen und proportional zu ω im Kugelinneren.
B
Für r > R gilt (ähnliche Rechnung wie in 3.2):
µ0 QR2 ~
(a)
~
~
B=B =
∇× ω
~×
12π
2
(~ω · ~r)~r
0 QR
=
3
−
12π
r5
91
~r
r3
ω
~
r3
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Zur Erinnerung: Das Magnetische Dipolfeld in 3.2
~ · ~r~r − mr
~ 2
~ D (~r) = 1 · 3m
B
4π
r5
Wir identifizieren das magnetische Dipolmoment hier mit:
m
~ =
QR2 ω
~
3
d.h. die rotierende geladene Kugel hat im Außenraum das Magnetfeld eines Dipols
⇒ primitives Modell für den Erdmagnetismus
2. Stabmagnet
Wir betrachten einen gleichmäßig magnetisierten Zylinder.
• Wir betrachten zunächst die Stirnflächen.
~ geht stetig über (vgl. 3.4):
Die Normalkomponente von B
~ = 1 (B
~ −M
~ ) (1.2)
H
µ0
~ springt auf der Stirnfläche. D.h. dort be⇒ Die Normalkomponente von H
~
finden sich die Quellen und Senken von H.
• Nun wird die Mantelfläche betrachtet.
92
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Wir betrachten zunächst das Volumen V.
Z ~ ~
Z
Z
Z ~ ~
~
M
∇·B 3
∇·M 3
3
~
~
d ~r −
d ~r = −
d~a
∇ · H d ~r =
µ
µ0
V
(V ) µ0
V
| V {z0
}
0
~ ⊥d~a im Inneren und M
~ = 0 im Äußeren gilt, folgt:
Da M
Z
−
(V )
~
M
d~a = 0
µ0
~ auf den Mantelflächen.
⇒ Es gibt keine Quellen und Senken von H
Wir betrachten nun die Kontur C:
Z
Z
Z
~ d~r =
~ ×H
~ d~a +
~ d~r
B
µ0 ∇
M
C
A
C
Für lim h → 0 gilt:
Z
~ ×H
~ d~a +
µ0 ∇
{z
}
|
A
~j=0
Z
~ d~r = M · L
M
C
~
⇒ Es gibt Wirbel des B-Feldes
auf den Mantelflächen.
Weiterhin gilt im Außenraum:
~ = µ0 H
~
B
Damit ist eine qualitative Diskussion möglich.
93
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• Nun wird die quantitative Lösung betrachtet.
~ ×H
~ = 0 ⇒ ∃ ϕm : H
~ = −∇ϕ
~ m
∇
Wobei ϕm als skalares magnetisches Potential bezeichnet wird.
!
~
~
B
M
~ ·H
~ = −∆ϕm = ∇
~ ·
∇
−
µ0 µ0
=−
1 ~ ~
∇·M
µ0
⇒ ∆ϕm =
~ ·B
~ = 0)
(∇
1~ ~
ρm
∇ · M =: −
µ
µ0
mit ρm als magnetische Ladungsdichte, welche allein durch Dipole gegeben
wird.
Offensichtlich ergibt sich ϕm als Lösung des Poissonproblems wie in der Elek-
94
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trostatik.
1
ϕm (~r) = −
4πµ0
Z ~0 ~ 0 3 0
∇ M (~r )d ~r
|~r − ~r0 |
~ = −∇ϕ
~ m
H
95
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4 Quasistationäre Felder
Wir lassen jetzt zeitlich veränderliche Felder zu, wie sie für niederfrequente Elektrotechnik typisch sind.
Der Stromfluß erfolgt durch eine Kraft auf die Ladungsträger. Die Ursache dieser Kraft
ist oft ein elektrisches Feld.
~j(~r, t) = ~j [E(~r, t)]
In linearer, lokaler und instantaner Näherung gilt das Ohmsche Gesetz:
~ r, t)
~j(~r, t) = σ E(~
mit der Leitfähigkeit σ.
Elektrische Felder sind quasistationär für
~˙ ~ D
<<
j d.h.
~ ×H
~ −D
~˙ = ~j → ∇
~ ×H
~ = ~j
∇
Weiterhin gilt:
~ ·B
~ =0
∇
~ ×E
~ +B
~˙ = 0
∇
~ ·D
~ =ρ
∇
Wir verwenden im folgenden die Materialgleichungen in linearer Näherung.
~ = E
~ = ~j
D
σ
d.h.
~˙ = ~j˙
D
σ
˙
Sei ~j ∼ eiωt ⇒ ~j ∼ iω~j. Damit ergibt sich:
~˙ ∼ i ω ~j
D
σ
96
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~˙ Die Bedingung für quasistationäre Felder D << ~j führt auf:
ω
σ
<< 1 bzw. ω <<
σ
d.h. quasistationäre Felder erfordern gut leitende Medien.
~˙ nicht vernachlässigen:
Wir können deshalb B
~˙ induziert ein E-Feld.
~
~
B
Selbst kleine E-Felder
können in gut leitenden Medien starke
Ströme verursachen.
~ ×H
~ = ~j
∇
~
∇·
~ · ~j = 0
⇒ ∇
Aufgrund der Kontinuitätsgleichung gilt:
~ · ~j = 0
∇
| {z }
−ρ̇
D.h. wir erwarten keine zeitliche Änderung der Ladungsdichte. Exakt gilt:
~ ·D
~
~ · ~j = −∇
~ · σE
~ = −σ ∇
ρ̇ = −∇
| {z }
ρ
~ und D
~ die von ρ im leitenden Medium erzeugten Eigenfelder sind.
wobei E
Aus ρ̇ = − σ ρ folgt:
t
ρ = ρ0 e− τ
mit τ =
σ
D.h. die in einem leitenden, insgesamt elektrischen neutralen Material vorhandene Raumladungsdichte ρ 6= 0 klingt exponentiell ab. Die Ursache liegt im Eigenfeld. (Beispiel Cu:
τ ≈ 10−17 s)
4.1 Faradaysches Induktionsgesetz
Das Induktionsgesetz lautet in differentieller Form:
Z
˙
~
~
~
∇ × E + B = 0 d~a
a
97
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Für zeitunabhängige Geometrien gilt offensichtlich:
Z
Z
~
~˙ r, t) = − dΦ(t)
d~r · E(~r, t) = − d~a · B(~
dt
(a)
a
mit dem magnetischen Fluß
Z
~ r, t)
d~a · B(~
Φ(t) =
a
Die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses Φ durch eine Fläche a liefert ein von
Null verschiedenes Wegintegral der elektrischen Feldstärke längs der Berandungskurve
der Fläche.
Nach Kapitel (2.3) gilt:
~
Wegintegral des E-Feldes
=
ˆ Spannung
d.h. für die induzierte Spannung entlang C gilt:
Uind = −
98
dΦ(t)
dt
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Wir betrachten eine (unterbrochene) Leiterschleife:
Z
Uind =
~ r, t) =
d~r · E(~
C
Z
Z
2
~ r, t) +
~ r, t)
d~r · E(~
d~r · E(~
| {z }
C0
1
|
{z
}
0 f ür σ→∞
|
{z
}
U12
0
d.h. für einen idealen Leiter gilt:
U12 = Uind = −
dΦ(t)
dt
Jetzt betrachten wir einen bewegten Leiter. Wir betrachten das Inertialsystem
P
sich bezüglich
mit konstanter Geschwindigkeit ~v bewegt.
99
P0
das
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P
P
Für die Transformation der Felder in
und 0 gilt:
γ
−
1
~
v
~
v
0
~ =γ E
~
~ + ~v × B
~−
E
·E
γ v2
γ − 1 ~v~v ~
~v
0
~
~
~
·B
B =γ B− 2 ×E−
c
γ v2
mit
γ=q
1
1−
v2
c2
Der Beweis folgt in Kapitel (6.3).
Jetzt wird der nichtrelativistische Grenzfall betrachtet:
|~v | << c, d.h. γ → 1
~0 = B
~
B
~0 = E
~ + ~v × B
~
E
P
Die bewegte Leiterschleife ruhe in 0 . Wir können folgenden Term umformen:
Z
Z
Z
˙
0
~+
~
~ = − d~a · B
d~r · (~v × B)
Uind =
d~r · E
(∗)
(a)
a
(a)
{z
}
|
(1)
Wobei Uind der in der bewegten Leiterschleife induzierte Spannung entspricht. Zu (1)
läßt sich sagen, daß durch die Bewegung des Leiters in ihm Ladungsträger bewegt werden, welche eine Kraft im Magnetfeld erfahren.
100
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Änderung des magnetischen Flusses durch eine bewegte Leiterschleife?
Es gibt 2 Anteile:
• Änderung des Feldes
• Änderung der Fläche= d~l × d~r = dt ~v × d~r
Z
Z
~
~ = −dt d~r · (~v × B)
dΦ B=const = dt (~v × d~r) · B
C
C
d.h. die gesamte zeitliche Änderung von Φ ist gegeben durch
Z
Z
dΦ
˙
~
~
d~r · (~v × B)
= d~a · B −
dt
a
C
Der Vergleich mit (*) liefert:
Uind = −
dΦ
dt
D.h. die induzierte Spannung ist generell durch eine lokale zeitliche Änderung des Induktionsflusses gegeben; auch für zeitlich veränderliche Geometrien.
Jetzt wird ein System von Leiterschleifen betrachtet. In Kapitel (3.1) eingeführt:
Φk =
X
Lkk0 Ik0
k0
101
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wobei Φk den Induktionsfluss durch die k-te Leiterschleife, Lkk0 den geometrieabhängigen
Induktionskoeffizienten und Ik0 den Strom in der k’-ten Leiterschleife beschreibt.
D.h.
Φ̇k =
X
Lkk0 I˙k0
k0
Daraus folgt:
Ukind = −
X
Lkk0 I˙k0
k0
Diese Gleichung gibt die in der k-ten Leiterschleife induzierte Spannung an.
4.2 Kirchhoffsche Regeln
Wir betrachten einen Leiterknoten im Raumbereich V.
Die Kontinuitätsgleichung besagt:
~ · ~j = 0
ρ̇ + ∇
wobei bei quasistationären Feldern ρ̇ = 0 gilt.
Z
Z
XZ
3 ~ ~
⇒ 0=
d ~r ∇ · j =
d~a · ~j =
d~a · ~j
V
(V )
a
k
k | {z }
Ik
102
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wobei ak die Querschnittsfläche des k-ten Leiters beschreibt.
Daraus folgt die Kirchhoffsche Stromregel:
X
Ik = 0
k
Wir betrachten den k-ten Leiterkreis aus einem System von Leiterkreisen. Dafür gilt das
Induktionsgesetz:
Z
~ = −Φ̇ = U ind
d~r · E
k
Ck
Daraus folgt die Kirchhoffsche Spannungsregel:
Z
~ − Ukind = 0
d~r · E
Ck
Die Summe aller in einem Leiterkreis auftretenden Spannungen ist Null.
Bemerkung:
Die induzierte Spannung wirkt hier als elektromotorische Kraft. Diese geht mit negativen
Vorzeichen mit ein. Dies gilt auch für jede andere im Stromkreis befindliche elektromotorische Kraft Ukext .
Beispiel: Reihenschwingkreis
103
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Die Spannungsregel liefert:
Z
Z
Z
~
~
~ − U ind = U ext
d~r · E +
d~r · E +
d~r · E
L
|{z}
CR
CC
CDraht
| {z } | {z } |
{z
} −L·I
(1)
(2)
(3)
Für (1) gilt:
Z
~ =
d~r · E
Z
CR
CR
d~r · ~j
σ
Wenn ~j konstant über dem Leiterquerschnitt ∆a ist gilt:
Z
Z
dr
d~r · ~j
=I
= IR
σ
σ∆a
CR
| {z }
R
Für (2) gilt nach (2.8.5):
Z
~ = UC = Q
d~r · E
C
CC
Und zu (3) läßt sich sagen, daß es entweder vernachlässigt werden kann oder über R
berücksichtigt wird.
Also gilt:
Q
LI˙ + RI + = U ext
C
d
dt
Q̇
LI¨ + RI˙ + = U̇ ext
C
mit Q̇ = I folgt schließlich:
I
LI¨ + RI˙ + = U̇ ext
C
Seit speziell U
ext
(t) = Re Ũ e
iωt
. Dann gilt im stationären Zustand:
˜ iωt
I(t) = Re Ie
˜ iωt in die DGL liefert:
Das Einsetzten von Ie
1 ˜
2
−Lω + iRω +
I = iω Ũ
C
104
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d.h.
1
R + i ωL −
I˜ = Ũ
ωC
{z
}
|
R̃
wobei R̃ als komplexer oder Scheinwiderstand bezeichnet wird. Dieser setzt sich zusammen aus:
• reeller Ohmscher Widerstand
R̃R = R
• imaginärer induktiver Widerstand
R̃L = iωL
• imaginärer kapazitiver Widerstand
RC =
−i
ωC
⇒ Wir können mit der komplexen Schreibweise den Einfluß von Induktivitäten und
Kapazitäten formal analog zum Einfluß eines Ohmschen Widerstands behandeln.
Wir schreiben:
R̃ = R̃ eiδ
Ũ = Ũ eiφU
I˜ = I˜ eiφI
Damit ergibt sich
iφU iδ ˜ iφI
Ũ e = R̃ e I e
d.h. für die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom gilt:
∆φ = φU − φI = δ
105
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Es gibt 3 mögliche Fälle:
1. Der Strom bleibt hinter der Spannung zurück
ωL >
1
⇒ δ>0
ωC
2. Strom und Spannung sind in Phase
ωL =
1
⇒ δ=0
ωC
3. Der Strom eilt der Spannung voraus
ωL <
1
⇒ δ<0
ωC
106
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5 Volles Systen der Maxwellgleichungen
Wir nehmen jetzt alle Terme in den Maxwellgleichungen mit.
~ ·B
~ =0
∇
~ ×E
~ +B
~˙ = 0
∇
~ ·D
~ =ρ
∇
~ ×H
~ −D
~˙ = ~j
∇
5.1 Energiebilanz
~˙ + ∇
~ ×E
~ =0
B
n
o
~˙ + ∇
~ ×H
~ = ~j
− −D
~
H
~
E
~ ·B
~˙ + E
~ ·D
~˙ + H(
~ ∇
~ × E)
~ −E
~ · (∇
~ × H)
~ = −~j · E
~
H
|
{z
}
~ E×
~ H)
~
∇·(
Dies gilt da:
~ · (E
~ × H)
~ = ∂ ijk Ej Hk = ijk Hk ∂Ej + ijk Ej ∂Hk
∇
∂xi
∂xi
∂xi
∂
∂
~ · (∇
~ × E)
~ − E(
~ ∇
~ × H)
~
= Hk kij
Ej − Ej jik
Hk = H
∂xi
∂xi
Damit ergibt sich:
~ ·D
~˙ + H
~ ·B
~˙ + ∇
~ · (E
~ × H)
~ = −~j · E
~
E
Wir definieren den Poynting-Vektor
~ r, t) = E(~
~ r, t) × H(~
~ r, t)
S(~
und erhalten:
~ ·D
~˙ + H
~ ·B
~˙ + ∇
~ ·S
~ = −~j · E
~
E
107
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Speziell im Vakuum gilt:
~ = 0 E
~
D
~ = µ0 H
~
B
Damit ergibt sich:
~ ·D
~˙ + H
~ ·B
~˙ = ∂
E
∂t
1 ~2 1 ~ 2
0 E + µ0 H
2
2
|
{z
}
ω(~
r,t)
wobei ω(~r, t) die Dichte der elektromagnetischen Feldenergie angibt.
Damit ergibt sich für die lokale Bilanzgleichung:
~ ·S
~ = −~j · E
~
ω̇ + ∇
In integraler Form wird dies als Poyntingscher Satz bezeichnet:
Z
Z
dW
~
~=−
d3~r ~j · E
d~a · S
+
dt
V
(V )
Dies entspricht der Energiebilanz in der Elektrodynamik. Der Poyntingvektor ist die elektromagnetische Energiestromdichte.
Die elektromagnetische Feldenergie ist keine Erhaltungsgröße. Sie kann entstehen und
~ ungleich Null ist.
vergehen und zwar genau dann, wenn der Quellkern −~j · E
Wir betrachten zur Veranschaulichung ein System von geladenen Punktteilchen:
1X
Wkin =
mα~r˙α2
2 α
X
dWkin
1X
=
mα 2~r˙α~r¨α =
~r˙α F~α
dt
2 α
α
wobei F~α die Kraft auf das α-te Teilchen angibt.
Die Teilchen sollen nur elektromagnetische Kräfte erfahren.
~α
F~α = qα Eα + qα~r˙α × B
Damit ergibt sich:
dWkin X ˙ ~
=
qα~rα · Eα
dt
α
108
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mit
~j =
X
qα~r˙α δ(~r − ~rα )
α
gilt:
dWkin
=
dt
Z
~
d3~r ~j · E
(∗)
V
d.h. der Poyntingschen Satz nimmt jetzt folgende Form an:
Z
d
~
d~a · S
(W + Wkin ) = −
dt
(V )
zu (*):
~ beschreibt die Leistungsdichte der vom elektromagnetischen Feld an der Stromdichte
~j· E
~j verrichteten Arbeit. Es beschreibt die Umwandelbarkeit von elektromagnetischer Energie in andere Energieformen:
• mechanische (kinetische) Energie → elektromagnetische Energie (Generator)
• elektromagnetische Energie → mechanische (kinetische) Energie (Motor)
• elektromagnetische Energie → kinetische Energie → Wärme (Ohmscher Widerstand)
Bisher haben wir Vakuum betrachtet; jetzt handelt es sich um ein lineares Medium
(wobei die Dispersion zunächst vernachlässigt wird).
~ r, t) = (~r)E(~
~ r, t)
D(~
~ r, t) = µ(~r)H(~
~ r, t)
B(~
Der Poyntingsche Satz gilt unverändert, aber die Dichte der elektromagnetischen Feldenergie wird jetzt geben durch:
1
~ 2 (~r, t) + 1 µ(~r)H
~ 2 (~r, t)
ω(~r, t) = (~r)E
2
2
109
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Wir erlauben jetzt Dispersion und betrachten ein monochromatisches Feld:
~ r, t) = 1 E(~
~ r, ω)e−iωt + c.c.
E(~
2
~ r, t) = 1 H(~
~ r, ω)e−iωt + c.c.
H(~
2
Bemerkung:
~ 2 (~r, t) und H
~ 2 (~r, t) über die Periode T ergibt.
Mittelung von E
D E 1
~ 2 = |E(~r, ω)|2
E
2
D E 1
2
~
H
= |H(~r, ω)|2
2
~ und H
~ folgen D
~ und B:
~
Aus E
i
1h ~
~
~
0 E(~r, ω) + P (~r, ω) e−iωt + c.c.
D(~r, t) =
2
h
i
1
~
~
~
B(~r, t) =
µ0 H(~r, ω) + M (~r, ω) e−iωt + c.c.
2
∂
∂t
liefert:
h
i
~ r, ω) + P~ (~r, ω) e−iωt + c.c.
~˙ r, t) = − i ω 0 E(~
D(~
2
i
i h ~
˙~
~ (~r, ω) e−iωt + c.c.
B(~r, t) = − ω µ0 H(~r, ω) + M
2
Einsetzen liefert:
n
o
D
E
~ ·D
~˙ + H
~ ·B
~˙ = ω Im (P~ (ω) · E
~ ∗ (ω)) + Im (M
~ (ω) · H
~ ∗ (ω))
hω̇i = E
2
d.h. die gemittelte lokale Bilanzgleichung
~ ·S
~ = −~j · E
~
ω̇ + ∇
geht für die Abwesenheit makroskopischer Ströme (d.h. ~j = 0) in folgenden Term über:
D E
o
ωn
∗
∗
~
~
~
~
~
~
∇· S =−
Im (P (ω) · E (ω)) + Im (M (ω) · H (ω))
2
~ = 0. Daraus folgt:
Im Vakuum gilt P~ = M
D E
~ · S
~ =0
∇
110
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D.h. ein monochromatisches elektromagnetisches Feld im leeren Raum bedeutet einen
im zeitlichen Mittel konstanen Energiestrom.
Für ein lineares Medium gilt:
~
P~ (ω) = 0 χel (ω)E(ω)
d.h.
~ ∗ (ω))
Im (P~ (ω) · E
2
~
= Im (0 χel (ω) E(ω) )
2
~
= Im (ω) · E(ω)
| {z }
~ r,t)i
2hE(~
T
Analog gilt:
D
E
~ (ω) · H
~ ∗ (ω)) = 2Im µ(ω) H(~
~ r, t)
Im (M
T
Damit wird aus (*):
D
E
n
D
E
D
Eo
2
2
~
~
~
~
∇ · S(~r, t) = −ω Im (ω) E(~r, t) + Im µ(ω) H(~r, t)
D.h. die im Medium stattfindende Absorption (d.h. Dissipation) elektromagnetischer
Felder wird durch die Imaginärteile von und µ bestimmt!
5.2 Eichtransformationen
~ ·B
~ =0 ⇒ B
~ =∇
~ ×A
~
∇
~ ×E
~ +B
~˙ = 0 wird zu
∇
h
i
˙
~
~
~
∇× E+A =0
~ +A
~˙ muß sich als Gradient eines skalaren Feldes darstellen lassen:
d.h. E
~ +A
~˙ = −∇ϕ
~
E
bzw.
~ r, t) = −A(~
~˙ r, t) − ∇ϕ(~
~ r, t)
E(~
111
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Es verbleiben noch die inhomogenen Maxwellgleichungen:
~ ·D
~ =ρ
∇
~ ×H
~ −D
~˙ = ~j
∇
Im Vakuum gilt:
~ ·E
~ = −0 ∇
~ · (∇ϕ
~ + A)
~˙
~ ·D
~ = 0 ∇
∇
}
| {z
ρ
Daraus folgt:
~ ·A
~˙ = ρ
−∆ϕ − ∇
0
(∗)
entsprechend gilt:
~ ×H
~ −D
~˙ = ∇
~ × 1B
~ − 0 E
~˙
~j = ∇
|{z}
µ
| {z 0 }
(2)
(1)
Für (1) gilt:
~ × 1B
~ = 1∇
~ × (∇
~ × A)
~ = 1 (∇
~∇
~ ·A
~ − ∆A)
~
∇
µ0
µ0
µ0
Aus (2) folgt:
~˙ = −0 (A
~¨ + ∇
~ ϕ̇)
0 E
Somit gilt:
~¨ − ∆A
~ + ∇(
~ ∇
~ ·A
~ + 0 µ0 ϕ̇) = µ0~j
0 µ0 A
|{z}
|{z}
1
c2
1
c2
d.h.
1 ~¨
~ + ∇(
~ ∇
~ ·A
~ + 1 ϕ̇) = µ0~j
A − ∆A
2
c
c2
(∗∗)
(*) und (**) koppeln das skalare und das Vektorpotential miteinander. Ist die Entkopplung durch eine geeignete Eichtransformation möglich?
~ und A
~ 0 gleichberechtigte Vektorpotentiale
In Kapitel (3.1) wurde angenommen, daß A
sind, wenn gilt:
~0 − A
~ = ∇χ
~
A
112
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~ =B
~ 0.
d.h. dann gilt B
Wir fordern jetzt
~˙ − ∇ϕ
~ =E
~ =E
~ 0 = −A
~˙ 0 − ∇ϕ
~ 0
−A
d.h.
~ 0 − A)
~
~ 0 − ϕ) = − ∂ (A
∇(ϕ
|
{z }
∂t
~
∇χ
~ 0 − ϕ + χ̇) = 0
⇒ ∇(ϕ
~ r, t) und B(~
~ r, t) unverändert
d.h. ϕ0 = ϕ − χ̇(+const.). Das bedeutet, daß die Felder E(~
unter folgender Eichtransformation bleiben:
~ r, t) → A
~ 0 (~r, t) = A(~
~ r, t) + ∇χ(~
~ r, t)
A(~
ϕ(~r, t) → ϕ0 (~r, t) = ϕ(~r, t) − χ̇(~r, t)
Eine spezielle Eichung ist die Coulombeichung:
~ ·A
~=0
∇
Diese geht immer (vgl. 3.1).
Damit vereinfachen wir (*) zu:
1
∆ϕ = − ρ
0
und aus (**) wird:
1 ~¨
~+∇
~ 1 ϕ̇ = µ0~j
A
−
∆
A
c2
c2
Mit der longitudinalen Stromdichte
~ ϕ̇
~jk = 0 ∇
und der transversalen Stromdichte
~j⊥ = ~j − ~jk
113
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gilt:
1 ~¨
~ = µ0 (~j − 0 ∇
~ ϕ̇) = µ0~j⊥
A − ∆A
c2
Die Lösung von ∆ϕ = − 10 ρ ist gegeben durch das Poissonintegral:
Z
∂
r0 , t)
1
3 0 ρ(~
ϕ(~r, t) =
d ~r
∂t
4π0
|~r − ~r0 |
Z
ρ̇(~r0 , t)
1
ϕ̇(~r, t) =
d3~r0
4π0
|~r − ~r0 |
mit ρ̇ + div ~j = 0 folgt:
1
ϕ̇(~r, t) = −
4π0
Z
1 ~0 ~ 0
~
∇
·
j(~
r
,
t)
0 ∇
|~r − ~r0 |
Z
(~r − ~r0 ) ~ 0 ~ 0
1
~ ϕ̇(~r, t) =
d3~r0
∇ · j(~r , t)
0 ∇
| {z } 4π
|~r − ~r0 |3
|
{z
}
~jk (~
r,t)
d3~r0
(1)
Aus (1)
Z
(~r − ~r0 ) ~ 0 ~ 0
∇ · j(~r , t) = −
d ~r
|~r − ~r0 |3
3 0
Z
0
~ 0 (~r − ~r )
d3~r0~j(~r0 , t) · ∇
|~r − ~r0 |3
D.h. ~jk (~r, t) ist als Funktional von ~j(~r, t) bekannt. Es handelt sich um einen nicht lokalen
Zusammenhang, da die longitudinale Stromdichte am Ort ~r von ~j an allen möglichen
Orten ~r0 abhängt.
Letztlich haben wir so gezeigt, daß die Coulombeichung die Gleichungen für das skalare
Potential und das Vektorpotential tatsächlich entkoppeln.
Bemerkung:
~ und ϕ gibt es immer ein Eichfeld χ, welches sicherstellt, daß A
~ 0 = A+
~ ∇χ
~
Für beliebige A
der Coulombeichung genügt (vgl. 3.1):
~ ·A
~ 0 (~r, t) = ∇
~ · A(~
~ r, t) + ∆χ(~r, t)
∇
| {z }
=0 !
~ · A(~
~ r, t) = ∆χ(~r, t)
⇒ −∇
114
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~ eine Funktion von Ort und Zeit.
Im allgemeinen ist A
⇒ χ und χ̇ sind auch Funktionen der Zeit.
⇒ Zeitabhängigkeit auch in ϕ0 = ϕ − χ̇.
Im Hinblick auf eine kovariante Formulierung der Elektrodynamik ist eine weitere Eichung hilfreich, die sogenannte Lorentz-Eichung:
~ · A(~
~ r, t) + 1 ϕ̇(~r, t) = 0
∇
c2
Für (*) gilt dann:
~ ·A
~˙ = ρ
−∆ϕ − ∇
| {z } 0
1
−
ϕ̈
c2
Daraus folgt:
1
1
ϕ̈
−
∆ϕ
=
ρ
c2
0
Für (**) folgt:
1 ~¨
~ + ∇(
~ ∇
~ ·A
~ + 1 ϕ̇ ) = µ0~j
A
−
∆
A
c2
c2
|{z}
~ A
~
−∇·
Daraus folgt:
1 ~¨
~ = µ0~j
A − ∆A+
c2
D.h. die Gleichungen für skalares und Vektorpotential gehen in inhomogene Wellengleichungen über.
Ist die Lorentz-Eichung immer möglich?
Allgemein gilt:
~0 = A
~ + ∇χ
A
ϕ0 = ϕ − χ̇
Wir fordern
~ ·A
~ 0 + 1 ϕ̇0
0=∇
| {z
} c2
|{z}
(1)
(2)
115
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Für (1) gilt:
~ ·A
~0 = ∇
~ ·A
~ + ∆χ
∇
und für (2) gilt:
1 0
1
1
ϕ̇
=
ϕ̇
−
χ̈
c2
c2
c2
d.h.
1
~ ·A
~ + 1 ϕ̇
χ̈ − ∆χ = ∇
2
c
c2
Damit ergibt sich das Eichfeld als Lösung einer inhomogenen Wellengleichung, welche
immer Lösungen besitzt.
5.3 Freie elektromagnetische Wellen
Freie Wellen heißt ρ = 0 = ~j, damit gehen Potentialgleichungen in Coulombeichung
(5.2) über in:
∆ϕ = 0
1 ~¨
~=0
A − ∆A
c2
Im Unendlichen verschwindet das Potential. Damit gilt ϕ = 0 und es verbleibt zu lösen:
1 ~¨
~ = 0 unter Bed. ∇
~ ·A
~ = 0 (∗)
A − ∆A
c2
Entsprechend ergibt sich in Lorentzeichung (**)
1
ϕ̈ − ∆ϕ = 0
c2
1 ~¨
~=0
A − ∆A
c2
~ ·A
~ + 1 ϕ̇ = 0
unter Bed. ∇
c2
Wir können auch direkt von den MWG starten:
~ ×H
~ −D
~˙ = ~j = 0
∇
116
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Im Vakuum gilt:
~ = 1B
~
H
µ0
~˙ = 0 E
~˙
D
Daraus folgt:
~˙
~ ×B
~ = 1E
∇
2
c
1 ~¨
~ × B
~˙
∇
|{z} = c2 E
∂
∂t
~ E
~
−∇×
⇒
1 ~¨
~ × (∇
~ × E)
~ = −∇
~ ∇
~ ·E
~ +∆E
~
E = −∇
}
| {z
c2
1
0
⇒
ρ=0
1 ~¨
~
E = ∆E
c2
Andererseits gilt:
~
~˙
~ ×B
~ = 1E
∇
∇×
c2
~ × (∇
~ × B)
~ =∇
~ ∇
~ ·B
~ −∆B = 1 ∇
~ ×E
~˙
∇
| {z }
c2 | {z }
0
~¨
−B
Daraus folgt:
1 ~¨
~
B = ∆B
c2
Damit ergibt sich die 3. Variante (***)
1 ~¨
~ =0
E − ∆E
c2
1 ~¨
~ =0
B − ∆B
c2
~ ×E
~ +B
~˙ = 0
unter Bed. (M W G) ∇
~˙ = 0
~ ×B
~ − 1E
∇
2
c
Unter den 3 Varianten die die freien elektromagnetischen Wellen beschreiben (*/**/***)
117
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stellt die Potentialvariante mit der Coulombeichung offentsichtlich die optimale dar.
⇒ untersuchen im folgenden
1 ~¨
~=0
A − ∆A
c2
~ ·A
~ = 0)
(∇
daraus ergeben sich die Felder als
~ = −A
~˙ − ∇ϕ
~ = −A
~˙
E
|{z}
0
~ =∇
~ ×A
~
B
Der einfachste Fall der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen im Vakuum wird duch
(Überlagerung) ebener Wellen beschrieben:
~ r, t) = ~a(~k)ei(~k~r−ωt)
A(~
offensichtlich gilt für ebene Wellen:
~ ·A
~ = i~k · A
~
∇
~ ×A
~ = i~k × A
~
∇
~ = −k 2 A
∆A
Durch Einsetzen des ebenen-Wellen-Ansatzes in die Wellengleichung ergibt sich:
1 ~¨
~=0
A − ∆A
c2
ω2 ~
~=0
+ k2A
− 2A
c
Damit ergibt sich die Dispersionsrelation (für ω > 0)
ω =k·c
Nach der Coulombeichung gilt:
~ ·A
~ = 0 = i~k · A
~
∇
118
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~
⇒ A⊥k
d.h. ~a(~k)⊥~k
Der Vektor ~a(~k) steht senkrecht zum Wellenzahlvektor in einer Ebene, welche von ~eσ (~k)
für σ = 1; 2 aufgespannt werde. D.h.
~a(~k) =
2
X
aσ (~k)~eσ (~k)
mit eσ (~k)⊥~k
1
Für gegebenes t ist
~ = ~a(~k)ei~k~r−ωt
A
~ ist konstant auf einer Ebene,
konstant, wenn das Skalarprodukt ~k · ~r konstant ist, d.h. A
~ = const. werden Wellenfronten
welche senkrecht zu ~k ist (Ebene ⊥~k). Flächen mit A
genannt.
Sei speziell ~kk~ez , dann gilt ~k · ~r = k · z. Wellenfronten längs z sind räumlich periodisch.
~ + λ) =! A(z)
~
A(z
!
⇒ eiλk = 1 ⇒ λk = 2π
Somit ergibt sich für die Wellenlänge λ:
λ=
2π
k
119
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~ periodisch in der Zeit:
Für gegebenes ~r ist A
~ + T ) =! A(t)
~
A(t
!
⇒ eiωT = 1
Damit ergibt sich für die Periode T :
T =
2π
ω
Mit ω = k · c folgt:
T =
2π
λ
=
k·c
c
Für die Frequenz ν gilt:
1
c
=
T
λ
Wir betrachten eine Wellenfront bei (z, t). Zum späteren Zeitpunkt t + ∆t ist diese
ν=
Wellenfront bei z + ∆z, d.h.:
!
ei(kz−ωt) = ei(k(z+∆z)−ω(t+∆t))
Daraus folgt:
k∆z = ω∆t
∆z
ω
k·c
= =
=c
∆t
k
k
D.h. die Wellenfronten bewegen sich mit einer Geschwindigkeit von c in Richtung ~k. c
wird als “Phasengeschwindigkeit“ bezeichnet.
Jetzt gehen wir vom Vektorpotential zu den Feldern:
120
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~ = −A
~˙ = iω A
~
E
~ =∇
~ ×A
~ = i~k × A
~
B
~ und B
~ ebenfalls in Form von ebenen Wellen.
D.h. E
~
~ = k k ×E
~
~ = i~k × A
~ = 1 ~k × E
B
|{z} ω
ω
k
|{z}
~
E
1
c
iω
~
~ = 1k ×E
~
B
ck
~ und B
~ einer ebenen elektromagnetischen Welle stehen senkrecht
Die Vektoren ~k, E
aufeinander und bilden ein rechtshändiges Dreibein.
Wegen der Linearität der Wellengleichung
1 ~¨
~=0
A − ∆A
c2
ist jede Linearkombination von transversalen, monochromatischen ebenen Wellen, welche die Dispersionsrelation ω = k · c erfüllen, Lösung.
Eine allgemeine Lösung können wir daher in folgender Form angeben:
2 Z
X
~
~
A(~r, t) =
d3~k aσ (~k)~eσ (k)ei(k~r−kct) + c.c.
σ=1
D.h. wir können beliebige elektromagnetische Wellenpakete im leeren Raum als FourierEntwicklung darstellen.
Mit
~ = iω A
~
E
~ = i~k × A
~
B
121
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~ und B-Feldes
~
folgen die Fourierdarstellungen des E2 Z
X
~
~
E(~r, t) = i
d3~k kc aσ (~k)~eσ (~k)ei(k~r−kct) + c.c.
~ r, t) = i
B(~
σ=1
2 Z
X
~
d3~k aσ (~k)~k × ~eσ (~k)ei(k~r−kct) + c.c.
σ=1
Bemerkung:
~ und B
~ wären wir auch unter Zugrundele• Zu den obigen Darstellungen von E
~ hätte sich nicht auf eine Ebene ⊥~k
gung der Lorentz-Eichung gekommen, aber A
beschränkt.
• Polarisationszustände
~ r, t) = a(~k)~eσ (~k)ei(~k·~r−ωt)
A(~
heißen linear polarisiert.
Die allgemeinste ebene Welle ist eine Überlagerung zweier linear polarisierter Wellen:
h
i
~ r, t) = a1 (~k)~e1 (~k) + a2 (~k)~e2 (~k) ei(~k·~r−ωt) mit a1;2 (~k) ∈ Z
A(~
~ iδσ (~k)
~
aσ (k) = aσ (k) e
– falls δ1 (~k) = δ2 (~k) dann handelt es sich um eine linear polarisierte Welle
– Sind die Phasen unterschiedlich, so handelt es sich um elliptisch polarisierte
Wellen
Spezialfall: zirkular polarisierte Wellen für
a1 (~k) = a(~k)
π
a2 (~k) = a(~k)e±i 2
Damit ergibt sich:
h
i
~ r, t) = ~e1 (~k) ± i~e2 (~k) a(~k)ei(~k·~r−ωt)
A(~
122
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Somit ergibt sich für die x,y-Komponente des reellen Potentials:
~ Ax (~r, t) = a(k) cos(kz − ωt + δ)
Ay (~r, t) = ∓ a(~k) sin(kz − ωt + δ)
Energiestrom assoziiert mit elektromagnetischer Welle
~ r, t) = 1 E(
~ ~k)ei(~k·~r−iωt) + c.c.
E(~
2
~
Das dazugehörige B-Feld
erfüllt:
~ r, t) = 1 ~k × E(~
~ r, t)
B(~
ω
Für die Dichte der magnetischen Feldenergie gilt:
wmag =
1 ~2
1 1 ~ ~
~
B =
(k × E) · (~k × E)
2µ0
2µ0 ω 2
mit
~ · (~k × E)
~ = ilm kl Em ijk kj Ek
(~k × E)
= ilm ijk kl Em kj Ek
123
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mit ilm ijk = δlj δmk − δlk δmj folgt
ilm ijk kl Em kj Ek = kj kj Ek Ek − kk Ek km Em
~2 −
= ~k 2 E
~ 2
(~k · E)
| {z }
=0 (transversale W ellen)
folgt:
wmag =
1 1 2 2
k E
2µ0 |{z}
ω2
=k2 c2
1
~ 2 = 1 0 E
~ 2 = wel
=
µ0 0 E
2µ0
2
Daraus folgt
~2
w = wel + wmag = 0 E
D.h. die magnetische und elektrische Energiedichte sind gleich groß. Dies gilt natürlich
auch für die zeitlich gemittelten Größen:
D E 1
~ 2 = 0 |E(k)|2
hwi = hwel i + hwmag i = 0 E
2
Poynting-Vektor:
~= 1E
~ ×B
~ = 1 E
~ × (~k × E)
~
S
µ0
µ0 ω
"
#
1 ~ ~2 ~ ~ ~
kE − E k
· E}
=
| {z
µ0 ω
=0
1 ~ ~2
kE
=
µ0 ω
r
0 ~ 2 ~k
=
E ·
µ0
k
~
~
1
~ 2 · k = cw k
=√
0 E
0 µ0 |{z} k
k
| {z } w
c
Im zeitlichen Mittel gilt:
hSi = c hwi
~k
~k
1
= c0 |E(k)|2
k
2
k
124
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D.h. der Poynting-Vektor zeigt in Richtung des Wellenzahlvektors. In dieser Richtung
findet ein Energiestrom statt, dessen Dichte proportional zur Energiedichte der Welle
ist.
5.4 Transparente lineare Medien
Bisher Vakuum, d.h.
~ = 0 E
~
D
~ = µ0 H
~
B
Wir betrachten jetzt ein transparentes, lineares Medium, d.h.
~
~
D(ω)
= (ω)E(ω)
~
~
B(ω)
= µ(ω)H(ω)
mit (ω), µ(ω) ∈ R
Alle bisher abgeleiteten Ergebnisse bleiben richtig unter der Ersetzung von:
0 → (ω)
µ0 → µ(ω)
Insbesondere gilt für die im Vakuum als Phasengeschwindigkeit fungierende Lichtgeschwindigkeit
c= √
1
c
→ v(ω) =
0 µ0
n(ω)
wobei v(ω) als frequenzabhängige Phasengeschwindigkeit bezeichnet wird mit der Brechzahl n(ω)
s
n(ω) =
(ω)µ(ω) p
= r (ω)µr (ω)
0 µ0
125
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Aus der Dispersionsrelation ω = kc wird:
k
= kv(ω)
ω=p
(ω)µ(ω)
Wir betrachten jetzt einen Transparenzbereich ∆ω um die Mittenfrequenz ω0
|ω0 − ω| ≤ ∆ω
Die nach obiger Dispersionsrelation zugehörigen Wellenzahlvektoren sollen folgende Bedingung erfüllen
|k0 − k| ≤ ∆k
Die Überlagerung von ebenen Wellen aus diesem Frequenzgebiet liefert Wellenpakete
2 Z
X
~
~
d3~k aσ (~k)~eσ (~k)ei(k·~r−ω(k)t) + c.c.
A(~r, t) =
σ=1
∆k
wobei gilt
aσ (k) = 0 f ür
|k − k0 | > ∆k
Im Unterschied zu früher ist die Phasengeschwindigkeit
v(ω) =
ω(k)
1
=p
k
(ω)µ(ω)
Diese ist jetzt frequenzabhängig, d.h. die Wellenfronten von Wellen unterschiedlicher
Frequenzen breiten sich im allgemeinen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit aus.
⇒ lokalisierte Wellenpakete ändern ihre Form und laufen auseinander
Wir betrachen speziell ein Gaußsches Wellenpaket, das sich entlang z bewegt:
Z ∞
~ r, t) =
A(~
d3 k ~a(k)ei(kz−ω(k)t) + c.c.
0
mit
~a(k) = ~a(k0 )e
−
(k−k0 )2
4(∆k)2
Wir machen die Taylorentwicklung von ω(k)
1 d2 ω dω 2
(k
−
k
)
+
ω(k) = ω(k0 ) +
k
0
k (k − k0 ) + ...
dk 0
2 dk 2 0
126
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und werten das Integral aus
~ t) ∼ ~a(k0 ) e
A(r,
b(t)
mit
s
b(t) =
2
z− dω k ·t
dk
0
−
b(t)2
|
)
1
d2 ω
+
2i
|k · t
(∆k)2
dk 2 0
d.h. das Wellenpaket läuft mit der Zeit breit, abhängig von
d2 ω
|k
dk 2 0
und das Maximum des Wellenpaketes breitet sich mit der Geschwindigkeit
dω
|k
dk 0
entlang z aus.
Wir definieren sinnvollerweise eine Gruppengeschwindigkeit
vg (ω) =
dω
dk
vg bestimmt die Geschwindigkeit, mit der Signale übertragen werden können.
127
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Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
5.5 Erzeugung elektromagnetischer Wellen
Bisher haben wir die Lösungen der homogenen MWG (ρ = 0 = ~j) diskutiert, d.h. freie
Wellen. Jetzt untersuchen wir im folgenden den Einfluß von Ladungen und Strömen im
Endlichen.
Die inhomogene Potentialgleichungen wurden in Kapitel (5.2) diskutiert :
1 ~¨
~ = µ0~j⊥
A − ∆A
c2
(Coulombeichung)
mit
~j⊥ = ~j − ~jk
~ ϕ̇
~jk = 0 ∇
bzw.
1
1
ϕ̈ − ∆ϕ = ρ (Lorentzeichung)
2
c
0
1 ~¨
~ = µ0~j
A − ∆A
c2
~ r, t)
Wir betrachten zunächst die Coulombeichung; f (~r, t) sei eine Komponente von A(~
und s(~r, t) sei eine Komponente von µ0~j⊥ (~r, t). Analog ist dieses Vorgehen auch für die
Lozentzeichung möglich.
In jedem Fall kommen wir auf eine partielle DGL der Form:
1 ∂2
f (~r, t) − ∆f (~r, t) = s(~r, t)
c2 ∂t2
G(0) (~r, t) sei die Greenfunktion dieses Problems, d.h. erfülle:
1 ∂ 2 (0)
G (~r, t) − ∆G(0) (~r, t) = δ(~r)δ(t) (∗)
c2 ∂t2
Dann kann f dargestellt werden über G(0) und s durch:
Z
Z
3 0
f (~r, t) = d ~r
dt0 G(0) (~r − ~r0 , t − t0 )s(~r0 , t0 )
128
(∗∗)
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Bemerkung:
2
∂
Beweis klar, wenden c12 ∂t
2 − ∆ auf die Gleichung an:
Z
Z
1 ∂2
3 0
− ∆ f (r, t) = d ~r
dt0 {...} G(0) (~r − ~r0 , t − t0 )s
c2 ∂t2
Z
Z
3 0
= d ~r
dt0 δ(~r − ~r0 )δ(t − t0 )s
= s(~r, t)
d.h. die Identität wurde gezeigt.
δ(~r) ist kugelsymmetrisch, d.h. es sollte auch G(0) (~r) kugelsymmetrisch sein, d.h. G(0) (~r, t) =
G(0) (r, t) mit r = |~r|
⇒ Wir lösen (*) in Kugelkoordinaten.
Wir betrachten den radialen Anteil von ∆
∆→
1 ∂2
r
r ∂r2
damit ergibt sich (*) zu
1 ∂ 2 (0)
1 ∂ 2 (0)
rG
(r,
t)
− 2 G (r, t) = 0
r ∂r2
c ∂t
Mit dem Ansatz G(0) (r, t) = 1r g(r, t) folgt:
2
∂
1 ∂2
−
g(r, t) = 0
∂r2 c2 ∂t2
Dies wird gelöst durch eine beliebige Funktion g(t ± rc ). Damit ergibt sich
1
r
G(0) (~r, t) = g(t ± )
r
c
Wir müssen g so wählen, daß (*) erfüllt wird. Dazu integrieren wir (*) über ein Kugelvolumen, das den Ursprung enthält.
Z
Z
1 ∂ 2 G(0)
3
(0)
d ~r 2
− ∆G
= δ(t)
d3~rδ(~r)
2
c
∂t
V
| V {z }
1
129
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Unter Ausnutzung des Gaußschen Satzes folgt:
Z
Z
2 (0)
1
3 ∂ G
~ (0) = δ(t)
d ~r
−
d~a · ∇G
c2 V
∂t2
(V )
Wir lassen jetzt den Radius R des Kugelvolumens V gegen Null gehen; g sei endlich.
1
G(0) ∼ g
r
d.h.
1
c2
Z
∂ 2 G(0) R→0
→ 0 (da V ∼ r3 )
∂t2
~
~ =g∇
~ 1 + 1 ∇g
∇G
r
r
|{z}
d3~r
V
− ~er2
r
Bei
− ~rer2
handelt es sich um den nicht verschwindenen Beitrag zum Oberflächenintegral.
Z
~ (0) R→0
d~a · ∇G
→ −4πg(t) (da (V ) = 4πR2 )
(V )
d.h. insgesamt gilt g(t) =
1
δ(t).
4π
Damit ergeben sich zwei mögliche Greenfunktionen:
• die retardierte Greenfunktion
(0)
GR (~r, t) =
r
1
δ(t − )
4πr
c
• die avancierte Greenfunktion
(0)
GA (~r, t) =
1
r
δ(t + )
4πr
c
Aus (**) folgen dann das retardierte Vektorpotential in Coulombeichung
Z
~ r0 , t − |~r−~r0 | )
µ0
3 0 j⊥ (~
c
~
A(~r, t) =
d ~r
4π
|~r − ~r0 |
bzw. das retardierte Vektorpotential in Lorentzeichung:
Z
~ r0 , t − |~r−~r0 | )
µ0
3 0 j(~
c
~
A(~r, t) =
d ~r
4π
|~r − ~r0 |
130
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das retardierte skalare Potential in Lorentzeichung:
Z
r0 |
r0 , t − |~r−~
)
1
3 0 ρ(~
c
ϕ(~r, t) =
d ~r
0
4π0
|~r − ~r |
Interpretation der retardierten Potentiale
An einem Beobachtungspunkt ~r zu einer Zeit t werden die Quellverteilungen am Ort ~r0
zum früheren Zeitpunkt t0 = t −
|~
r−~
r0 |
c
registriert.
⇒ Die Wirkung eines Quellpunktes ist nicht momentan, sondern mit Lichtgeschwindigkeit verzögert.
Analog ergeben sich durch Einsetzen der avancierten Zeit t0 = t +
|~
r−~
r0 |
c
die avancierten
Potentiale.
Hier ist die Interpretation scheinbar schwieriger, da diese nicht mit dem Kausalitätsprinzip
übereinstimmen. Allerdings wirken die Felder (über die Lorentzsche Kraftdichte) auf die
Quellen selbst zurück. In diesem Sinne kann mittels der avancierten Potentiale aus den
Quellverteilungen zum Zeitpunkt t0 = t +
|~
r−~
r0 |
c
auf die Felder am Beobachtungspunkt ~r
zum Zeitpunkt t geschlossen werden.
Beispiel: Bewegte Punktladungen
Punktladungen bewegen sich längs einer Bahnkurve ~s(t)
ρ(~r, t) = qδ(~r − ~s(t))
~j(~r, t) = q · ~s˙ (t)δ(~r − ~s(t))
Vorhin wurden die Potentiale über die Greensche Funktion dargestellt als
Z
Z
3
f (~r, t) = d ~r dt0 G(0) (~r − ~r0 , t − t0 )s(~r0 , t0 )
mit
(0)
GR (~r, t) =
r
1
δ(t − )
4πr
c
131
Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
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folgt für
Z
Z
|~
r−~
r0 |
0
) 0 0
1
0
3 0 δ(t − t −
c
dt
d ~r
ρ(~r , t )
ϕ(~r, t) =
4π0
|~r − ~r0 |
Z
Z
|~
r−~
r0 |
0
) 0
q
3 0
0 δ(t − t −
c
=
δ(~r − ~s(t))
d ~r
dt
4π0
|~r − ~r0 |
Wir führen zunächst eine räumliche Integration aus
Z
|~
r−~s(t0 )|
0
)
q
0 δ(t − t −
c
ϕ(~r, t) =
dt
0
4π0
|~r − ~s(t )|
Bemerkung:
Es gilt, falls f (x) γ einfache Nullstellen hat:
−1
X df δ(f (x)) =
δ(x − xγ )
dx x=xγ γ
Wobei die xγ die einfachen Nullstellen der Funktion f (x) sind, d.h. f (xγ ) = 0.
Anwenden auf
|~r − ~s(t0 )|
f (~r, t ) = t − t −
c
0
0
∂f (~r, t0 )
(~r − ~s(t0 )) ˙ 0 1
=
−1
+
· ~s(t ) ·
∂t0
|~r − ~s(t0 )|
c
˙ 0 (~r − ~s(t0 )) ~s˙ (t0 ) ~s(t )
·
·
= −1 +
|~r − ~s(t0 )| ~s˙ (t0 ) | {z
c }
|
{z
} <1
−1...+1
Es gilt
|~s˙(t0 )|
c
< 1 da die Teilchen langsamer als Licht sind. Daraus folgt:
⇒ f˙ < 0
⇒ f˙ = −f˙
132
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d.h.
|~r − ~s(t0 )|
δ t−t −
c
0
=
δ(t0 − tret )
r−~s(tret )) ˙
1 − (~
~s(tret ) ·
|~
r−~s(tret )|
1
c
mit der retardierten Zeit
t − tret −
|~r − ~s(tret )|
=0
c
Die Zeitintegration führt auf das Liénard-Wiechert-Potential:
ϕ(~r, t) =
q
1
4π0 |~r − ~s(tret )| − (~r − ~s(tret ))~s˙ (tret ) 1c
wobei für die Retardierungsbedingung gilt:
tret = t −
|~r − ~s(tret )|
c
Analoge Umformung für das Vektorpotential ergibt:
~s˙ (tret )
~ r, t) = qµ0
A(~
4π |~r − ~s(tret )| − (~r − ~s(tret )) · ~s˙ (tret ) ·
1
c
Die praktische Auswertung ist wegen der Retardierungsbedingunng im allgemeinen nicht
trivial!
5.5.1 Multipolentwicklung
Wir betrachten das retardierte skalare Potential in der Lorentz-Eichung
1
ϕ(~r, t) =
4π0
Z
r
3 0 ρ(~
d ~r
0
r|
, t − |~r−~
)
c
0
|~r − ~r |
0
In Kapitel (2.4) haben wir das statische Potential betrachtet
Z
1
ρ(~r0 )
ϕ(~r) =
d3~r0
4π0
|~r − ~r0 |
und für kleine |~r0 | den Nenner entwickelt:
1
Q
p~ · ~r
ϕ(~r) =
+ 3 + ...
4π0 |~r|
|~r|
133
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Jetzt wird es etwas komplizierter, da der Abstand |~r − ~r0 | auch in der Retardierungszeit
vorkommt. Es gilt
0 ±1
|~r − ~r |
h
i± 12
0 2
= (~r − ~r )
1
= (r2 − 2~r · ~r0 + r02 )± 2
± 21
2~r · ~r0 r02
±1
1−
=r
+ 2
r2
r
Es gilt
r0
r
< 1. Wir entwickeln jetzt nach Potenzen von
r0
r
± 12
2~r · ~r0 r02
~r · ~r0
1−
=
1
∓
+
...
r2
r2
r2
Damit ergibt sich:
ρ ~r0 , t −
|~
r−~
r0 |
c
|~r − ~r0 |
1
=
r
r 1 ~r · ~r0
~r · ~r0
0
...
1 + 2 ... ρ ~r , t − +
r
c c r
0
Wir entwickeln jetzt die Ladungsdichte nach Potenzen von rr :
r 1 ~r · ~r0
r
r 1 ~r · ~r0
0
0
0
ρ ~r , t − +
... = ρ ~r , t −
+ ρ̇ ~r , t −
...
c c r
c
c c r
Damit ergibt sich insgesamt
r0 |
ρ ~r0 , t − |~r−~
c
1
r r 0
r i
r ~r · ~r0 h 0
0
=
+ 2 ρ ~r , t −
+ ρ̇ ~r , t −
...
ρ ~r , t −
|~r − ~r0 |
r
c
r
c
c
c
Das Potential ergibt sich als
Z
Z
1 1
r
r · ~r0 h 0
r r 0
r i
3 0
0
3 0 ~
ϕ(~r, t) =
d ~r ρ ~r , t −
+ d ~r
ρ ~r , t −
+ ρ̇ ~r , t −
+ ...
4π0 r
c
r2
c
c
c
Analog ergibt sich das retardierte Vektorpotential als
Z
Z
r i 0 h µ
r
~
r
·
~
r
r
r
0
˙
3
0
0
3
0
0
0
~ r, t) =
~j ~r , t −
A(~
d ~r ~j ~r , t −
+ d ~r
+ ~j ~r , t −
...
4πr
c
r2
c
c
c
Damit sind wir in der Lage für inselförmige Ladungs- und Stromverteilungen die Felder
(in weiterer Entfernung |~r| >> |~r0 |) anzugeben.
134
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5.5.2 Elektrische Dipolstrahlung
Mit
Z
Q = d3~r0 ρ(~r0 )
Z
p~ = d3~r0 ρ(~r0 )~r0
(vgl. 2.4) lässt sich das skalare Potential aus (5.5.1) angeben als:

1
ϕ(~r, t) =
4π0


1  Q t − r + 1 ~r · p~ t − r + 1 ~r · p~˙ t − r 
r
3
c {z cr2
c }
|
{z c } |r
ϕd
ϕ(0)
wobei ϕ(0) als Monopolterm und ϕd als Dipolterm bezeichnet wird.
Wir betrachten jetzt das Vektorpotential. Der erste Term ist:
Z
µ0
r
(0)
A (~r) =
d3~r0 ~j ~r0 , t −
4πr
c
Früher (vgl. 3.2) haben wir schon ausgenutzt, daß folgendes gilt:
~ · ~j(~r, t)~r = ~r ∇
~ · ~j(~r, t) +~j(~r, t)
∇
| {z }
−ρ̇(~
r,t)
Z
⇒
~ · ~j(~r, t)~r + ~rρ̇(r, t)
⇒ ~j(~r, t) = ∇
Z
r
~ · ~j ~r0 , t − r ~r0 + d3~r0 ρ̇ ~r0 , t − r r~0
d3~r0 ~j ~r0 , t −
= d3~r0 ∇
c
c
c
|
{z
}
|
{z
}
Z
(1)
(2)
Für (1) lässt sich zeigen, daß es für inselförmige Verteilungen verschwindet,
für (2) gilt:
Z
r
r ~0
r = p~˙ t −
d3~r0 ρ̇ ~r0 , t −
c
c
d.h. der erste Term in der Entwicklung des Vektorpotentials liefert uns bereits den (zur
elektrischen) Dipolnäherung relevanten Beitrag.
r
µ0 ˙ ~
Ad (~r, t) =
p~ t −
4πr
c
135
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Bemerkung:
das dieser Term bereits ausreicht, wird auch dadurch gezeigt, daß er die Lorentz-Eichung
erfüllt
~ ·A
~ d + 1 ϕ̇ = 0
∇
c2
1
1
1
r
r
mit ϕd (~r, t) =
+ 2 ~r · p~˙ t −
~r · p~ t −
4π0 r3
c
cr
c
Mit
~ =∇
~ ×A
~d
B
~ = −∇ϕ
~ d−A
~˙ d
E
ergeben sich (nach länglicher Rechnung) die von einem (zeitlich veränderlichen) Dipol
ausgehenden Felder
"
#
r
r
˙
¨
~
r
×
p
~
t
−
~
r
×
p
~
t
−
µ
c
c
~ r, t) = − 0
+
B(~
4π
r3
cr2
sowie
h

i 
r
¨

~r × ~r × p~ t − c 
3~r~r · p~ t − rc − r2 p~ t − rc
3~r~r · p~˙ t − rc − r2 p~˙ t − rc
1
~
E(~r, t) =
+
+

4π0 
r5
cr4
c2 r 3
Bemerkung:
Für ein konstantes Dipolmoment p~˙ = 0 erhält man offensichtlich das bekannte elektrostatische Dipolfeld.
136
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Die einzelnen Beiträge zum elektromagnetischen Feld klingen unterschiedlich schnell
ab. Für große Entfernungen r ist das mit r−1 abklingende Fernfeld relevant
¨ t− r
~
r
×
p
~
1
c
~ r, t) = −
B(~
4π0 c3
r2
h
i
¨ t− r
~
r
×
~
r
×
p
~
c
~ r, t) = 1
E(~
3
3
4π0 c
r
Bemerkung:
• Das Fernfeld ist proportional zu p~¨, d.h. es tritt nur für Ladungen auf, die eine
beschleunigte Bewegung vollführen.
• offensichtlich gilt
~ r, t) = 1 ~er × E(~
~ r, t)
B(~
c
~ r, t) = −c~er × B(~
~ r, t)
E(~
~ und E
~ stehen senkrecht aufeinander und senkrecht zur Ausbreitungsrichd.h. B
tung.
137
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• Nur das Fernfeld gibt zur Energieabstrahlung Anlaß. Der hierfür relevante PoyntingVektor ist
1
1
~ r, t) =
S(~
(4π)2 c3 0 r2
2 ~r
~r
r
× p~¨ t − ·
r
c r
~ r, t) = S(r, t)~er mit
S(~
p~¨ 2 t − rc
1
sin2 (ϑ)
S(r, t) =
(4π)2 c3 0
r2
⇒ Richtwirkung von Antennen
• Die pro Zeiteinheit und Raumwinkel abgestrahlte Energie wird beschrieben durch
I = r2 S
⇒ I ∼ p̈2
Sei
p(t) = p0 sin(ωt + α)
p̈(t) = −ω 2 p(t)
Daraus folgt:
I ∼ ω 4 p20
D.h. hochfrequente elektromagnetische Wellen lassen sich durch Antennen besser
abstrahlen als niederfrequente.
138
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6 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik
6.1 Lorentz-Transformation
Wir gehen von 2 Erfahrungen aus:
1. Alle Inertialsysteme sind gleichwertig, d.h. durch kein physikalisches Verfahren
kann ein ausgezeichnetes Inertialsystem gefunden werden.
2. Die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist in jedem Inertialsystem c.
P
P
P
Wir betrachten jetzt 2 Systeme
und 0 , wobei sich das System 0 relativ zum System
P
mit einer konstanten Geschwindigkeit ~v bewegt.
o.B.d.A ~v k~ex
139
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Aus diesen beiden Erfahrungen läßt sich die spezielle Lorentz-Transformation ableiten
x0 = γ(x − vt)
β
0
t =γ − x+t
c
y0 = y
z0 = z
1
mit γ = p
1 − β2
und β =
v
c
Für den Fall, dass ~v nicht parallel zu einer Koordinatenachse ist folgt die verallgemeinerte
Lorentz-Transformation. Sei
~r = ~r⊥ + ~rk
mit ~rk k~r⊥
dann:
~v~v
~r0 = ~r + (γ − 1) 2 · ~r − γ~v t
v
~v · ~r
0
t =γ − 2 +t
c
Bemerkung:
P
P
• Wir betrachten einen Stab mit der Länge l in . Wir beobachten im Sytem 0
P
das sich mit ~v k~ex bezüglich
bewegt, daß der Stab verkürzt erscheint
r
v2
0
l = 1− 2l
c
P
Der Effekt der Längenkontraktion ist natürlich symmetrisch. Ein Beobachter in
P
sieht einen in 0 ruhenden Stab ebenfalls verkürzt.
⇒ gleichförmig bewegte Maßstäbe sind kürzer als ruhende → “Längenkontraktion“
140
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P
• Wir betrachten den zeitlichen Abstand zweier Ereignisse in
(Periode einer Uhr)
P0
P
welcher ∆t sein möge. Der Beobachter in
(bewegt mit v bezüglich ) mißt
den zeitlichen Abstand
∆t0 = q
∆t
1−
v2
2
Auch dieser Effekt ist symmetrisch bezüglich der beiden Bezugspunkte.
⇒ gleichförmig bewegte Uhren gehen langsamer als ruhende → “Zeitdilatation“
6.2 Pseudoeuklidischer Raum
Wir vereinigen drei Komponenten des Ortsraumes mit Zeit t zu vierkomponentigen
Vektoren xµ bzw. xµ (µ = 0, 1, 2, 3) mit den Definitionen
x0 = ct
x1 = x
x2 = y
x3 = z
bzw:
x0 = ct
x1 = −x
x2 = −y
x3 = −z
Offensichtlich hängen die kontravarianten Komponenten xµ mit den kovarianten Komponenten xµ über folgende Beziehung zusammen:
xµ = g µγ xγ
xµ = gµγ xγ
141
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wobei der metrische Fundamentaltensor des 4D pseudoeuklidischen Raumes gemäß folgendem gegeben ist:

1
0
0
0





0 −1 0
0
 = (g µγ )

(gµγ ) = 

0 0 −1 0 


0 0
0 −1
Die spezielle Lorentz-Transformation ergibt sich jetzt als:
x00 = γx0 − βγx1
x01 = −βγx0 + γx1
x02 = x2
x03 = x3
und läßt sich in der Form
x0µ = Λµγ xγ
mit der Transformationsmatrix

−βγ 0 0
γ


−βγ
µ
(Λγ ) = 

 0

0
γ
0
0



0 0


1 0

0 1
darstellen.
Bemerkung: Über doppelt auftretende kontravariante und kovariante Indizes ist zu summieren.
Den Index γ im folgenden nicht mit der Zahl γ = √ 1
1−β 2
verwechseln!
Die Transformation der kovarianten Komponenten ergibt sich zu
142
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x0µ = Λγµ xγ
mit der Transformationsmatrix:


γ βγ 0 0




βγ γ 0 0
γ

(Λµ ) = 


0
0 1 0


0
0 0 1
Offensichtlich gilt:
Λµν = gµλ Λλρ g ρν
sowie
Λµν Λµλ = δνλ
wobei δγλ als Kroneckersymbol bezeichnet wird.
Die Lorentz-Transformation ist eine orthogonale Transformation. Damit gilt für das
Skalarprodukt zweier Vierervektoren, daß sie unter der Lorentz-Transformation invariant
ist:
a0µ b0µ = Λµγ Λλµ aγ bλ = aλ bλ
| {z }
δγλ
Wir definieren die Viererableitungen:
∂
∂xµ
∂
bzw. ∂ µ ≡
∂xµ
∂µ ≡
Es gilt
∂µ0 =
∂xγ ∂
·
∂x0µ ∂xγ
|{z}
(Λ−1 )γµ
wegen Orthogonalität
Λµγ Λλµ = δγλ
143
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folgt
(Λ−1 )µγ = Λµγ
und damit
∂µ0 = Λγµ ∂γ
analog gilt
∂ 0µ = Λµγ ∂ γ
Beispiel: Raum-Zeit-Abstand von Ereignissen
x(1)µ und x(2)µ seinen die kontravarianten Koordinaten zweier Ereignisse in
P
. Wir
definieren ihren Abstand als:
(∆s)2 = ∆xµ ∆xµ
mit
∆xµ = x(1)µ − x(2)µ
Wie ist der Abstand dieser Ereignisse in
P0
?
(∆s)2 = ∆x0µ ∆x0µ
= Λµγ ∆xγ Λλµ ∆xλ
= Λµγ Λλµ ∆xγ ∆xλ
| {z }
δγλ
= ∆xλ ∆xλ = (∆s)2
D.h. wie bei einer Drehung im 3D-Raum, bei der der räumliche Abstand zweier Punkte
unverändert bleibt, läßt die Lorentztransformation den Raum-Zeitabstand
(∆s)2 = c2 ∆t2 − (∆x)2 − (∆y)2 − (∆z)2
konstant.
∆s = 0
144
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p
⇒ c∆t = ± (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2
Diese Gleichung definiert den sogenannten Lichtkegel zum Bezugsereignis E (0) .
Wir können die Ereignisse E bezüglich ihrer Lage zum Lichtkegel von E (0) klassifizieren:
• innerhalb eines Lichtkegels, raumartiger Abstand
(∆s)2 < 0
• außerhalb des Lichtkegels, raumartiger Abstand
(∆s)2 > 0
• auf dem Lichtkegel, lichtartiger Abstand
(∆s)2 = 0
145
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6.3 Elektromagnetische Felder
Wir kombinieren die Ladungsdichte ρ und die Stromdichte ~j zum “Viererstrom“.
(j µ ) = (cρ, ~j) d.h. j 0 = cρ
~ zum “ViererpotenWir kombinieren das skalare Potential ϕ und das Vektorpotential A
tial“
(Aµ ) =
ϕ
c
~
,A
d.h. A0 =
ϕ
c
Damit ergibt sich die Kontinuitätsgleichung
~ · ~j = 0
ρ̇ + ∇
in kovarianter Form
∂µ j µ = ∂ µ jµ = 0
Wir gehen in ein anderes Inertialsystem
∂µ0 = Λγµ ∂γ
j 0µ = Λµ ρj ρ
∂µ0 j 0µ = Λγµ Λµ ρ ∂γ j ρ
| {z }
δργ
= ∂ρ j ρ = 0
D.h. die Kontinuitätsgleichung gilt (wie erwartet) in jedem Inertialsystem.
Die Lorentz-Bedingung (5.2)
~ ·A
~ + 1 ϕ̇ = 0
∇
c2
lautet in kovarianter Form
∂µ Aµ = ∂ µ Aµ = 0
Der d’Alembert-Operator
≡
1 ∂2
−∆
c2 ∂t2
146
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lautet in kovarianter Form:
= ∂ µ ∂µ
Damit wird aus der inhomogenen Wellengleichung für das skalare Potential (vgl. 5.2)
1
1
ϕ̈ − ∆ϕ = ρ
2
c
0
die folgende Gleichung
1
ϕ
ρ = µ0 cρ
=
c
c0
1
c= √
0 µ0
A0 = µ0 j 0
Wir können das mit der inhomogenen Potentialgleichung für das Vektorpotential
1 ~¨
~ = µ0~j
A − ∆A
c2
in kovarianter Form kombinieren zu
∂ γ ∂γ Aµ = µ0 j µ
~ lassen sich die B~ und E~ Felder ableiten
Aus dem skalaren und Vektorpotential ϕ und A
~ =∇
~ ×A
~
B
~ = −∇ϕ
~ −A
~˙
E
In kovarianter Formulierung wird dieser Zusammenhang beschrieben durch:
F µγ = ∂ µ Aγ − ∂ γ Aµ = −F γµ
wobei F µγ der Feldstärkentensor ist. Mit dem metrischen Fundamentaltensor (gµγ ) kommt
man zu
Fµγ = gµλ gγτ F λτ
= ∂µ Aγ − ∂γ Aµ
147
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Einsetzen und Nachrechnen führt zu:

0

 Ex
 c
µγ
(F ) = 
 Ey
 c

Ez
c
bzw:

− Ecx
− Ecy
− Ecz
0
−Bz
Bz
0
−By
Bx
Ex
c
Ey
c



By 


−Bx 

0
Ez
c

0



 Ex
− c
0
−Bz By 

(Fµγ ) = 

 Ey
− c
Bz
0
−Bx 


Ez
− c −By Bx
0
Wir bilden Viererdivergenz des Feldstärkentensors:
∂µ F µγ = ∂µ ∂ µ Aγ − ∂µ ∂ γ Aµ
| {z } | {z }
(1)
(2)
Für (1) gilt
∂µ ∂ µ Aγ = µ0 j γ
Dies ist die inhomogene Potentialgleichung.
Für (2) gilt:
∂µ ∂ γ Aµ = ∂ γ ∂µ Aµ
| {z }
0
µ
Es gilt ∂µ A = 0 aufgrund der Lorentz-Bedinung.
D.h.
∂µ F µγ = µ0 j γ
Das ist jedoch genau die kovariante Form der inhomogenen MWG:
~ ·E
~ = 1ρ
∇
0
1
~ ×B
~− E
~˙ = µ0~j
∇
c2
148
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Wegen der Antisymmetrie des Feldstärkentensors gilt
∂λ Fµγ + ∂µ Fγλ + ∂γ Fλµ = 0
Dies entspricht jedoch gerade den homogenen MWG:
~ ·B
~ =0
∇
~ ×E
~ +B
~˙ = 0
∇
Bemerkung:
Wir sind von den Potentialen in der Lorentz-Eichung, sowie von den Potentialgleichungen ausgegangen, um die Maxwellgleichungen in Viererform zu finden. Der umgekehrte
Weg ist natürlich auch möglich.
Wir betrachten jetzt den Feldstärkentensor in 2 Inertialsystemen
sammenhang wird durch die Lorentz-Transformation vermittelt:
F 0µγ = Λµσ Λγτ F στ
d.h. (vgl 6.2)


γ
−βγ 0 0






−βγ
γ
0
0
µ

(Λγ ) = 


 0
0
1 0


0
0
0 1
149
P
und
P0
. Der Zu-
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F 0µ0 = Λµσ Λ0τ F στ
= Λµσ Λ00 F σ0 + Λ01 F σ1
= Λµσ γF σ0 − γF σ1
= γΛµσ F σ0 − βF σ1
Wir betrachten speziell die Komponenten des elektrischen Feldes µ = 1:
F 010 = γ Λ10 F 00 + Λ11 F 10 − βΛ10 F 01 − βΛ11 F 11
#
"
F 11
= γ −βγ |{z}
F 00 +γF 10 + β 2 γF 01 − γβ |{z}
0
0
= γ 2 F 10 + β 2 γ 2 |{z}
F 01
−F 10
= γ 2 (1 − β 2 ) F 10
| {z }
1
= F 10
d.h.
Ex0 = Ex
Analoge Rechnung für µ = 2:
F 020 = γ(F 20 − βF 21 )
d.h.
Ey0 = γ(Ey − vBz )
Für µ = 3:
F 030 = γ(F 30 − βF 31 )
d.h.
Ez0 = γ(Ez − vBy )
150
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In kompakter Schreibweise läßt sich das zusammenfassen als:
~0 = E
~k
E
k
~ ⊥ + ~v × B)
~
~ ⊥0 = γ(E
E
~ 0 -Feldes aus F 032 , F 013 und F 021 bestimmt werden.
Analog können die Komponenten des B
In kompakter Schreibweise ergibt sich:
~0 = B
~k
B
k
~ 0 = γ(B
~ ⊥ + ~v × E)
~
B
⊥
c2
Offensichtlich ist die Bedeutung von elektrischen und magnetischen Feld relativ. Ru~
hende Ladungen stellen Quellen des E-Feldes
dar. Da ein bewegter Beobachter bewegte
~
Ladungen wahrnimmt, muß er Wirbel des B-Feldes
registrieren.
Mit
~0 = E
~ −E
~k
E
⊥
~
~ 0 = ~v~v · E)
E
k
v2
~
und den analogen Formeln für das B-Feld
kommen wir zu dem Transformationsverhalten:
γ − 1 ~v~v ~
0
~
~
~
E = γ E + ~v × B −
·E
γ v2
~
v
γ
−
1
~
v
~
v
0
~ =γ B
~ − ×E
~−
~
B
·B
c2
γ v2
~ und B-Feld
~
Der “Vermischung“ von E
entspricht eine “Vermischung“ von Ladungs- und
Stromdichte. Aus
j 0µ = Λµγ j γ
folgen die Transformationsgesetze:
151
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~v ~
ρ =γ ρ− ·j
c
~j 0 = γ ~j − ~v ρ
0
152
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7 Anhang: Hamilton-Prinzip
Bisher sind wir von den MWG als den Grundpostulaten der Elektrodynamik ausgegangen. Diese spielen eine ähnliche Rolle, wie die Newtonschen Axiome in der TM. Ähnlich
wie in der TM kann man auch in der ED einen Schritt weiter in der Abstraktion gehen
und von einer Lagrange-Funktion starten, die auf der Grundlage des Hamiltonsprinzips
die Feldgleichung in Form von Lagrange-Gleichungen liefert. Über die Beschreibung der
Kräfte auf Ladungen und Strömen können wir ED und TM zu einer einheitlichen Theorie zusammenführen.
In der Punktmechanik enthält die Lagrange-Funktion als Funktion der (generalisierten) Koordinaten und Geschwindigkeiten die relevante Information über das System. In
einer Feldtheorie tritt an ihre Stelle zunächst eine Lagrange-Dichte, wobei in der ED
die Potentiale sowie ihre zeitlichen und räumlichen Ableitungen die Rolle der Variablen
übernehmen, d.h.
• Lagrange-Dichte
L = L(Aµ , ∂ν Aµ )
• Lagrange-Funktional
Z
d4 xL
• Hamilton-Prinzip
Z
δ
d4 xL = 0
mit Randbedingung δAγ = 0
Die entsprechenden Euler-Lagrange-Gleichungen lauten:
∂L
∂
∂L
− µ
=0
∂Aγ
∂x ∂(∂µ Aγ )
Sinnvolle Forderung an L ist sicher die Lorentz-Invarianz, d.h. wir suchen die Lagrange-
153
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Dichte die ein Minkowski-Skalar ist.
Ein einfacher Ansatz der diese Forderung erfüllt
L=−
1 µγ
F Fµγ − j µ Aµ
4µ
Wir untersuchen die daraus folgenden Lagrange-Gleichungen (Erinnerung an 6.3. Fστ =
∂σ Aτ − ∂τ Aσ )
∂L
= −j γ
∂Aγ
∂L
∂L
∂Fτ
=
·
∂(∂µ Aγ )
∂Fστ ∂(∂µ Aγ )
1 στ µ γ
F (δσ δτ − δτµ δσγ )
=−
2µ0
1
= − F µγ
µ0
d.h.
1
∂
∂L
= − ∂µ F µγ
µ
∂x ∂(∂µ Aγ )
µ0
Damit lauten die Lagrange-Gleichungen
∂
∂L
1
∂L
− µ
= −j γ + ∂µ F µγ = 0
∂Aγ
∂x ∂(∂µ Aγ )
µ0
bzw.
∂µ F µγ = µ0 j γ
Damit ergeben die Lagrange-Gleichungen gerade die inhomogenen MWG! Der Potentialansatz für den Feldstärkentensor sichert ohnehin die homogenen MWG (vgl. 6.3).
Damit können die MWG offensichtlich aus dem Hamiltonprinzip abgeleitet werden.
Bemerkung:
• Die Lagrangedichte des freien Feldes
LF = −
1 µγ
F Fµγ
4µ0
1 ~2
~2
= (0 E
− µ−1
0 B )
2
154
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entspricht physikalisch der Differenz aus elektrischer und magnetischer Energie.
• Welchselwirkungsterm
~
LW = −j µ Aµ = −ρϕ + ~j · A
• Die räumliche Integration der Lagrangedichte liefert die Lagrangefunktion
Z
L = d3~r L
Mit dieser (unter Lorentz-Transformationen nicht invariant) Lagrange-Funktion
kann das (invariante) Hamiltonprinzip in der aus der TM bekannten Form
Z t2
δ
dt L = 0
t1
geschrieben werden.
Um die Dynamik der Feld-Teilchen-Wechselwirkung einzubeziehen, müssen wir die LagrangeFunktion um einen die Teilchenbewegung beschreibenden Term ergänzen.
Speziell: Ein nichtrelativistisches Teilchen
Punktteilchen der Masse m und mit der Ladung q bewege sich entlang der Bahnkurve
~s = ~s(t). Die Lagrange-Funktion des kräftefreien Teilchens ist die kinetische Energie.
1
LT = m~s˙ 2
2
Für die Lagrange-Funktion des freien elektromagnetischen Feldes ergibt sich:
Z
1 µγ
LF = d3~r LF
(LF = −
F Fµγ
4µ0
Für Punktteilchen gilt:
ρ = qδ(~r − ~s)
~j = q~s˙ δ(~r − ~s)
155
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Somit ergibt sich für den Wechselwirkungsterm
Z
d3~r LW
Z
n
o
~
= d3~r −qδ(~r − ~s)ϕ(~r) + q~s˙ δ(~r − ~s)A
LW =
~ s, t)
LW = −qϕ(~s, t) + q~s˙ · A(~
Die Lagrange-Funktion für das aus elektromagnetischen Feld und Teilchen bestehende,
gekoppelte Gesamtsystem ist dann
L = LT + LF + LW
Es wurde bereits gezeigt, daß L die richtigesn Feldgleichungen liefert. Liefert sie auch
die korrekten Bewegungsgleichungen?
Wir untersuchen die Lagrange-Gleichungen für die Teilchenbewegung
∂L
d ∂L
−
=0
∂si dt ∂ ṡi
(i = 1, 2, 3 f ür x, y, z − Komponenten)
~
∂L
∂ϕ
∂A
= −q i + q~s˙ · i
i
∂s
∂s
∂s
∂L
= mṡi + qAi
∂ ṡi
dAi
∂Ai
d ∂L
~ i
= ms̈i + q
= ms̈i + q
+ q~s˙ · ∇A
i
dt ∂ ṡ
dt
∂t
!
~
∂L
d ∂L
∂ϕ ∂Ai ˙ ∂ A
~ i − ms̈i
−
=q − i −
+ ~s · i − ~s˙ · ∇A
i
i
∂s
dt
∂
ṡ
∂s
∂t
∂s
|
{z
}
0
!
~
∂ϕ ∂Ai ˙ ∂ A
~ i
⇒ ms̈i = q − i −
+ ~s · i − ~s˙ · ∇A
∂s
∂t
∂s
d.h. vektoriell ergibt sich die Gleichung:
(
~
~ − ∂A + ∇
~A
~ · ~s˙ − ~s˙ · ∇
~A
~
ms̈ = q −∇ϕ
∂t | h {z i }
|
{z
}
~ ×A
~
~s˙ × ∇
~
E
| {z }
~
B
156
Prof. Dr. Wolf Gero Schmidt
Universität Paderborn, Lehrstuhl für Theoretische Physik
~ s, t) + q~s˙ × B(~
~ s, t)
ms̈(t) = q E(~
d.h. unser Ansatz für die Lagrangedichte führt zur bekannten Newtonschen Bewegungsgleichung unter Einfluß der Lorentzkraft.
⇒ Mit Hilfe des Hamiltonprinzips können ED und TM auf eine gemeinsame theoretische
Grundlage gestellt werden!
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