exp und log

exp und log
Die Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion
x 7→ exp(x)
Die Exponentialfunktion
x 7→ exp(x)
ist charakterisiert durch
die beiden Bedingungen
Wachstum wie Wert:
Wachstum wie Wert:
exp′(x) = exp(x)
Wachstum wie Wert:
exp′(x) = exp(x)
und
Wert bei Null = 1:
Wachstum wie Wert:
exp′(x) = exp(x)
und
Wert bei Null = 1:
exp(0) = 1
3
2
1
0
3
2
1
0
1
2
3
1
2
3
xn
exp(x) =
n=0 n!
∞
X
xn
exp(x) =
n=0 n!
∞
X
1
exp(1) =
=: e ≈ 2, 718
n=0 n!
∞
X
Wir erinnern:
Wir erinnern:
f (x + ∆x) = f (x) + f ′(x)∆x + o(∆x).
Wir erinnern:
f (x + ∆x) = f (x) + f ′(x)∆x + o(∆x).
Speziell für f (x) = exp(x):
Wir erinnern:
f (x + ∆x) = f (x) + f ′(x)∆x + o(∆x).
Speziell für f (x) = exp(x):
exp(x + ∆x) = exp(x) + exp(x)∆x + o(∆x)
Wir erinnern:
f (x + ∆x) = f (x) + f ′(x)∆x + o(∆x).
Speziell für f (x) = exp(x):
exp(x + ∆x) = exp(x) + exp(x)∆x + o(∆x)
exp(x + ∆x) = exp(x)(1 + ∆x) + o(∆x).
exp(x + ∆x) = exp(x)(1 + ∆x) + o(∆x).
exp(x + ∆x) = exp(x)(1 + ∆x) + o(∆x).
Mit x − ∆x anstelle von x:
exp(x + ∆x) = exp(x)(1 + ∆x) + o(∆x).
Mit x − ∆x anstelle von x:
exp(x) = exp(x − ∆x)(1 + ∆x) + o(∆x).
exp(x + ∆x) = exp(x)(1 + ∆x) + o(∆x).
Mit x − ∆x anstelle von x:
exp(x) = exp(x − ∆x)(1 + ∆x) + o(∆x).
Man kann also exp(x) näherungsweise
aus exp(x − ∆x) gewinnen,
exp(x + ∆x) = exp(x)(1 + ∆x) + o(∆x).
Mit x − ∆x anstelle von x:
exp(x) = exp(x − ∆x)(1 + ∆x) + o(∆x).
Man kann also exp(x) näherungsweise
aus exp(x − ∆x) gewinnen,
einfach durch Multiplikation mit (1 + ∆x).
exp(3)
20
18
exp(3 − 0.2)
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0,8
0,4
0,0
0,4
0,8
1,2
1,6
z. B.: ∆x = 0.2
2,0
2,4
2,8
x=3
Sukzessives Zurückspielen ergibt für n∆x = x:
Sukzessives Zurückspielen ergibt für n∆x = x:
exp(x) = exp(x − ∆x)(1 + ∆x) + o(∆x)
Sukzessives Zurückspielen ergibt für n∆x = x:
exp(x) = exp(x − ∆x)(1 + ∆x) + o(∆x)
= (exp(x − 2∆x)(1 + ∆x) + o(∆))(1 + ∆x) + o(∆x)
Sukzessives Zurückspielen ergibt für n∆x = x:
exp(x) = exp(x − ∆x)(1 + ∆x) + o(∆x)
= (exp(x − 2∆x)(1 + ∆x) + o(∆))(1 + ∆x) + o(∆x)
= exp(x − 2∆x)(1 + ∆x)2 + o(∆x) + o(∆x)
Sukzessives Zurückspielen ergibt für n∆x = x:
exp(x) = exp(x − ∆x)(1 + ∆x) + o(∆x)
= (exp(x − 2∆x)(1 + ∆x) + o(∆))(1 + ∆x) + o(∆x)
= exp(x − 2∆x)(1 + ∆x)2 + o(∆x) + o(∆x)
= exp(x − 3∆x)(1 + ∆x)3 + o(∆x) + o(∆x) + o(∆x) = ...
Sukzessives Zurückspielen ergibt für n∆x = x:
exp(x) = exp(x − ∆x)(1 + ∆x) + o(∆x)
= (exp(x − 2∆x)(1 + ∆x) + o(∆))(1 + ∆x) + o(∆x)
= exp(x − 2∆x)(1 + ∆x)2 + o(∆x) + o(∆x)
= exp(x − 3∆x)(1 + ∆x)3 + o(∆x) + o(∆x) + o(∆x) = ...
= exp(0)(1 + ∆x)n + n o(∆x)
Sukzessives Zurückspielen ergibt für n∆x = x:
exp(x) = exp(x − ∆x)(1 + ∆x) + o(∆x)
= (exp(x − 2∆x)(1 + ∆x) + o(∆))(1 + ∆x) + o(∆x)
= exp(x − 2∆x)(1 + ∆x)2 + o(∆x) + o(∆x)
= exp(x − 3∆x)(1 + ∆x)3 + o(∆x) + o(∆x) + o(∆x) = ...
= exp(0)(1 + ∆x)n + n o(∆x)
= (1 + ∆x)n + x o(∆x)
∆x
= (1 + ∆x)n + o(1)
mit o(1) → 0 für ∆x → 0.
Sukzessives Zurückführen ergibt für n∆x = x:
exp(x) = exp(x − ∆x)(1 + ∆x) + o(∆x)
= (exp(x − 2∆x)(1 + ∆x) + o(∆))(1 + ∆x) + o(∆x)
= exp(x − 2∆x)(1 + ∆x)2 + o(∆x) + o(∆x)
= exp(x − 3∆x)(1 + ∆x)3 + o(∆x) + o(∆x) + o(∆x) = ...
= exp(0)(1 + ∆x)n + n o(∆x)
= (1 + ∆x)n + x o(∆x)
∆x
= (1 + ∆x)n + o(1)
mit o(1) → 0 für ∆x → 0.
exp(3)
20
18
(1 + 0.2)15
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0,8
0,4
0,0
0,4
0,8
1,2
∆x = 0.2
1,6
2,0
2,4
n = 15
2,8
x=3
exp(3)
(1 + 0.02)150
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0,8
0,4
0,0
0,4
0,8
1,2
∆x = 0.02
1,6
2,0
2,4
n = 150
2,8
x=3
Die fundamentale Eigenschaft der Exponentialfunktion ist
exp(x1) exp(x2) = exp(x1 + x2).
Die fundamentale Eigenschaft der Exponentialfunktion ist
exp(x1) exp(x2) = exp(x1 + x2).
Sie folgt sofort aus der Produktdarstellung, denn
Die fundamentale Eigenschaft der Exponentialfunktion ist
exp(x1) exp(x2) = exp(x1 + x2).
Sie folgt sofort aus der Produktdarstellung, denn
exp(x1) exp x2 = (1 + ∆x)n1 (1 + ∆x)n2 + o(1)
Die fundamentale Eigenschaft der Exponentialfunktion ist
exp(x1) exp(x2) = exp(x1 + x2).
Sie folgt sofort aus der Produktdarstellung, denn
exp(x1) exp x2 = (1 + ∆x)n1 (1 + ∆x)n2 + o(1)
= (1 + ∆x)n1+n2 + o(1)
Die fundamentale Eigenschaft der Exponentialfunktion ist
exp(x1) exp(x2) = exp(x1 + x2).
Sie folgt sofort aus der Produktdarstellung, denn
exp(x1) exp x2 = (1 + ∆x)n1 (1 + ∆x)n2 + o(1)
= (1 + ∆x)n1+n2 + o(1)
= exp(x1 + x2).
Hier ist noch eine zweite Begründung für
Hier ist noch eine zweite Begründung für
exp(a) exp(b) = exp(a + b)
Hier ist noch eine zweite Begründung für
exp(a) exp(b) = exp(a + b)
durch gliedweises Ausmultiplizieren von
Hier ist noch eine zweite Begründung für
exp(a) exp(b) = exp(a + b)
durch gliedweises Ausmultiplizieren von
a2
a3
1 + a + 2! + 3! + ...
b2
b3
1 + b + 2! + 3! + ... :
1
1
1
a
a
a2 a2
2! 2!
a3 a3
3! 3!
.
.
b
b2
2!
b3
3!
3
2
b
b
b
2!
3!
3
2
ab
ab
ab 2!
3!
a2b a2b2 a2b3
2! 2!2! 2!3!
a3b a3b2 a3b3
3! 3!2! 3!3!
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
a
a
a2 a2
2! 2!
a3 a3
3! 3!
.
.
b2
2!
b
b3
3!
3
2
b
b
b
2!
3!
3
2
ab
ab
ab 2!
3!
a2b a2b2 a2b3
2! 2!2! 2!3!
a3b a3b2 a3b3
3! 3!2! 3!3!
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
a
a
a2 a2
2! 2!
a3 a3
3! 3!
.
.
b
b2
2!
b3
3!
3
2
b
b
b
2!
3!
3
2
ab
ab
ab 2!
3!
a2b a2b2 a2b3
2! 2!2! 2!3!
a3b a3b2 a3b3
3! 3!2! 3!3!
.
.
1+a+b
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
a
a
a2 a2
2! 2!
a3 a3
3! 3!
.
.
b
b2
2!
b3
3!
2
3
b
b
b
2!
3!
3
2
ab
ab
ab 2!
3!
a2b a2b2 a2b3
2! 2!2! 2!3!
a3b a3b2 a3b3
3! 3!2! 3!3!
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 + 2ab + b2)
(a
1+a+b+1
2
1
1
1
a
a
a2 a2
2! 2!
a3 a3
3! 3!
.
.
b
b2
2!
b3
3!
2
3
b
b
b
2!
3!
2
3
ab
ab
ab 2!
3!
a2b a2b2 a2b3
2! 2!2! 2!3!
a3b a3b2 a3b3
3! 3!2! 3!3!
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 + 2ab + b2)
(a
1+a+b+1
2
1 (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)+...
+ 3!
1
1
1
a
a
a2 a2
2! 2!
a3 a3
3! 3!
.
.
b
b2
2!
b3
3!
2
3
b
b
b
2!
3!
2
3
ab
ab
ab 2!
3!
a2b a2b2 a2b3
2! 2!2! 2!3!
a3b a3b2 a3b3
3! 3!2! 3!3!
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 + 2ab + b2)
1+a+b+1
(a
2
1 (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) + ...
+ 3!
1
1
1
a
a
a2 a2
2! 2!
a3 a3
3! 3!
.
.
b
b2
2!
b3
3!
2
3
b
b
b
2!
3!
2
3
ab
ab
ab 2!
3!
a2b a2b2 a2b3
2! 2!2! 2!3!
a3b a3b2 a3b3
3! 3!2! 3!3!
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 + 2ab + b2)
1+a+b+1
(a
2
1 (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) + ...
+ 3!
1 (a + b)2 + 1 (a + b)2 + ...
= 1 + (a + b) + 2!
3!
a2
a3
1 + a + 2! + 3! + ...
b2
b3
1 + b + 2! + 3! + ...
a2
a3
1 + a + 2! + 3! + ...
b2
b3
1 + b + 2! + 3! + ...
1 (a + b)2 + 1 (a + b)2 + ...
= 1 + (a + b) + 2!
3!
a2
a3
1 + a + 2! + 3! + ...
b2
b3
1 + b + 2! + 3! + ...
1 (a + b)2 + 1 (a + b)2 + ...
= 1 + (a + b) + 2!
3!
exp(a) exp(b) = exp(a + b)
exp(2) = exp(1 + 1) = e · e = e2
exp(2) = exp(1 + 1) = e · e = e2
n
)
=
e
·
...
·
e
=
e
exp(n) = exp(1
+
...
+
1
| {z }
{z
}
|
n
mal
n
mal
!
!
1
1
· exp
= exp(1) = e
exp
2
2
!
!
1
1
· exp
= exp(1) = e
exp
2
2
also
!
√
1
exp
= e = e1/2
2
!
!
1
1
· exp
= exp(1) = e
exp
2
2
also
!
√
1
exp
= e = e1/2
2
Analog:
1/k
exp 1
=
e
k
Wir haben gesehen:
ℓ
exp(ℓ) = e ,
!
1
= e1/k
exp
k
Wir haben gesehen:
ℓ
exp(ℓ) = e ,
!
1
= e1/k
exp
k
Allgemeiner:
!
ℓ
exp
= eℓ/k
k
1
exp(−x) =
exp(x)
1
exp(−x) =
exp(x)
denn
1
exp(−x) =
exp(x)
denn
exp(−x) exp(x) = exp(−x + x)
1
exp(−x) =
exp(x)
denn
exp(−x) exp(x) = exp(−x + x)
= exp(0) = 1.
All dies zusammen
All dies zusammen
macht klar:
All dies zusammen
macht klar:
ex := exp(x),
x∈R
All dies zusammen
macht klar:
ex := exp(x),
(ea)x := eax,
x∈R
a ∈ R, x ∈ R.
20
y = exp(x) = ex
15
10
5
x
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
20
y = exp(x)
Zu jedem b ∈ R+
15
gibt es genau ein
10
a ∈ R mit
b = ea .
5
x
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
20
y = exp(x)
Zu jedem b ∈ R+
gibt es genau ein
15
a ∈ R mit
10
b = ea .
5
Zum Beispiel:
b=π
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
Die (natürliche) Logarithmusfunktion
Die (natürliche) Logarithmusfunktion
ist definiert durch
y = log(x) :⇐⇒ ey = x.
Die (natürliche) Logarithmusfunktion
ist definiert durch
y = log(x) :⇐⇒ ey = x.
Sie ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.
Die (natürliche) Logarithmusfunktion
ist definiert durch
y = log(x) :⇐⇒ ey = x.
Sie ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.
Damit:
log(1) = 0
Die (natürliche) Logarithmusfunktion
ist definiert durch
y = log(x) :⇐⇒ ey = x.
Sie ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.
Damit:
log(1) = 0
log(e) = 1.
x
x
log(b)
b = e
x
x
log(b)
b = e
= elog(b)x
Die wichtigste Eigenschaft der Logarithmusfunktion:
Die wichtigste Eigenschaft der Logarithmusfunktion:
log(rs) = log(r) + log(s)
Die wichtigste Eigenschaft der Logarithmusfunktion:
log(rs) = log(r) + log(s)
denn
exp(log(rs) = rs
Die wichtigste Eigenschaft der Logarithmusfunktion:
log(rs) = log(r) + log(s)
denn
exp(log(rs) = rs
= exp(log(r)) · exp(log(s))
Die wichtigste Eigenschaft der Logarithmusfunktion:
log(rs) = log(r) + log(s)
denn
exp(log(rs) = rs
= exp(log(r)) · exp(log(s))
= exp (log(r) + log(s))
log(bx) = x log(b)
log(bx) = x log(b)
ist klar für natürliche Zahlen x.
log(bx) = x log(b)
ist klar für natürliche Zahlen x.
Und für reelles x?
log(bx) = x log(b)
ist klar für natürliche Zahlen x.
Und für reelles x?
Stimmt’s auch!
log(bx) = x log(b)
ist klar für natürliche Zahlen x.
Und für reelles x?
Stimmt’s auch!
Denn:
log(bx) = x log(b)
ist klar für natürliche Zahlen x.
Und für reelles x?
Stimmt’s auch!
Denn:
Wende auf beiden Seiten die Exponentialfunktion an:
log(bx) = x log(b)
ist klar für natürliche Zahlen x.
Und für reelles x?
Stimmt’s auch!
Denn:
Wende auf beiden Seiten die Exponentialfunktion an:
bx = exp(x log(b))
Die Logarithmusfunktion zur Basis b
Die Logarithmusfunktion zur Basis b
ist definiert durch
y = logb(x) :⇐⇒ by = x.
Die Logarithmusfunktion zur Basis b
ist definiert durch
y = logb(x) :⇐⇒ by = x.
Sie ist die Umkehrfunktion von x 7→ bx.
Die Logarithmusfunktion zur Basis b
ist definiert durch
y = logb(x) :⇐⇒ by = x.
Sie ist die Umkehrfunktion von x 7→ bx.
Durch Logarithmieren der Gleichung by = x sieht man:
Die Logarithmusfunktion zur Basis b
ist definiert durch
y = logb(x) :⇐⇒ by = x.
Sie ist die Umkehrfunktion von x 7→ bx.
Durch Logarithmieren der Gleichung by = x sieht man:
y log(b) = log(x)
Die Logarithmusfunktion zur Basis b
ist definiert durch
y = logb(x) :⇐⇒ by = x.
Sie ist die Umkehrfunktion von x 7→ bx.
Durch Logarithmieren der Gleichung by = x sieht man:
y log(b) = log(x)
also
log(x)
.
logb(x) =
log(b)
Ableitungen:
Ableitungen:
y = ex,
x = log y
Ableitungen:
y = ex,
x = log y
dy
dx = y
Ableitungen:
y = ex,
x = log y
dy
dx = y
dx = 1
dy
y
Ableitungen:
y = ex,
x = log y
dy
dx = y
dx = 1
dy
y
Also:
Ableitungen:
y = ex,
x = log y
dy
dx = y
dx = 1
dy
y
Also:
(ex)′ = ex
(log(x))′ = 1/x.
f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + o(h).
f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + o(h).
Also:
ea+h
=
ea+hea+o(h)
1
log(a+h) = log(a)+h +o(h).
a
f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + o(h).
Also:
ea+h
=
ea+hea+o(h)
1
log(a+h) = log(a)+h +o(h).
a
Speziell:
e0+h = e0 + h + o(h)
ex = 1 + x + o(x)
log(1 + h) = log(1) + h + o(h)
log(x) = x − 1 + o(x − 1)
2,5
y = ex
2
y =x+1
1,5
y =x−1
1
0,5
y = log(x)
0
-1
-0,5
0
-0,5
-1
0,5
1
1,5
2