Gleichungen und Ungleichungen

Vorbereitungskurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler SS 2015
Übung – 2
Gleichungen und Ungleichungen
Aufgabe 2.1 – Lineare Gleichungen
Lösen Sie folgende lineare Gleichungen nach der angegebenen Variable auf. Bringen Sie dazu
wenn nötig die Gleichung zunächst in eine linaere Form.
(a) 17x − 4 = 8x + 3 − 5(2x − 2), nach x
(c)
a−x
3−a
=
, nach a
b−a
a+7
(b)
3x − 4 2 + 2x
8x − 1
+
= 4x +
, nach x
7
5
−2
(d)
5x − 1
3x + 2
x2 − 30x + 2
−
=
, nach x
3x + 3 2(x − 1)
6x2 − 6
Aufgabe 2.2 – Prozentrechnung
(a) Berechnen Sie 19 % von 338 e.
(b) Der Preis für ein Paar Schuhe wird um 20 % reduziert. Um wie viel Prozent muss er nun
ansteigen, damit er 150 % des Preises vor der Reduzierung annimmt?
(c) 44 % Personen einer Versuchsgruppe sind männlich. Von diesen wiederum sind 17 % noch
unter 18 Jahren alt. Wie viele Personen sind männlich und über 18, wenn die Versuchsgruppe 396 Personen umfasste? Wie viel sind weiblich und über 18?
Aufgabe 2.3 – Quadratische Gleichungen
Finden Sie alle Lösungen der folgenden qudratischen Gleichungen für die angegebene Variable:
(a) x2 + 2x = 63, nach x
(c)
x−7
4x − 5
+
= 2, nach x
3x − 1 2x − 11
(b)
2 2
3 2
y = − , nach y
2
y 7
(d)
1
c−4
2
+ 2
+ 2
= 0, nach c
2
2c − c
c + 2c c − 4
Aufgabe 2.4 – Wurzel-Gleichungen
Finden Sie alle Lösungen der folgenden Wurzel-Gleichungen für die angegebene Variable:
√
√
(a) x + 4 = 2x, nach x
(b) 7 + 3 2x + 4 = 16, nach x
(c)
q
√
a − 1 + 2a + 5 = 2, nach a
(d)
p
y − 3x +
p
p
2y + x = 5y − 4x, nach y
Aufgabe 2.5 – Exponential-Gleichungen
Finden Sie alle Lösungen der folgenden Exponential-Gleichungen für die angegebene Variable:
(a) q 3x−1 = q 3(2x+4) , nach x
x
x
(d) 32 = 2(3 ) , nach x
(b) 93q−5 = 81q+3 , nach q
(c) 5x+1 + 5x−1 = 24, nach x
5a−2
a+5
3
2
(e) 25
= 37 ·
, nach a
4
3
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Aufgabe 2.6 – Logarithmen-Gleichungen
Finden Sie alle Lösungen der folgenden Logarithmus-Gleichungen für die angegebene Variable:
(a) lg x = −3, nach x
(c) 2 ln(x + 1) = ln(x − 1) + 1,
nach x
√
√
1
(e) lg x5 − 2(lg 2 + lg 3) = 3 lg 4 x − 3 lg x, nach x
4
(b) 4 + 3 log2 7q = 5, nach q
(d) 100lg z = 2 · eln z , nach z
Aufgabe 2.7
Lösen Sie folgende Gleichungen nach den angegebenen Variablen auf.
1
1
1
+
, nach R, R1
=
R
R1 R2
(a) Kn = K0 (1 + i)n , nach i, n
(b)
1
(c) s = v0 t − g · t2 , nach v0 , t
2
(d) f =
1
, nach a, z
a − 2P ·z
Aufgabe 2.8 – Betrags-Gleichungen
Finden Sie alle Lösungen der folgenden Betrags-Gleichungen für die angegebene Variable:
(a) |x − 5| = 7, nach x
(b) |y − 4| = |3y + 2|, nach y
(c) |b| · |b − 4| = 5, nach b
Aufgabe 2.9
Zeichnen Sie folgende Mengen in den Zahlenstrahl ein:
−
(b) R+
0 ∩R
(a) [1, 7] ∪ (−2, 0]
(c) R \ [−1, 1]
(d) {x ∈ R | x ≥ 2}
Drücken Sie folgende Teilmengen der reellen Zahlen in Mengenschreibweise aus:
[
(e)
(f)
-4
-2
-4
-2
)
0
2
4
2
4
Aufgabe 2.10 – Ungleichungen
Bestimmen Sie sie Lösungsmengen folgender Ungleichungen in x:
(a)
6x − 1
12x − 3
<−
3
4
(d) √
2
≤1
x−1
(g) |3x − 1| < |3 − x|
1
+1
x
(b) 2x + 1 > 5
2x + 21 < 3x + 14
(c) 3x − 5 >
(e) (3x + 4)2 + 4 < 20
(f) |2x − 1| ≤ x + 4
(h) ||x − 1| + 2| < x
(i) 2x < 32x−4 · 92
Aufgabe 2.11 – Ungleichungen
Der Preis für eine Ware A beträgt im Jahr 1992 genau 14,95 e und steigt jährlich um 71 ct an.
Der Preis für eine Ware B beträgt im Jahr 1998 exakt 51,62, e und fällt pro Jahr um 1,22 e. In
welchen Jahren nach 1998 ist der Preis für Ware A noch maximal halb so hoch wie für Ware B?