Folien GV 3 - Universität Hamburg

Systematik und ökonomische Relevanz
traditioneller Performancemaße
Vortrag an der Universität Hamburg
am 18. Juni 2001
PD Dr. Marco Wilkens
IFBG der Georg-August-Universität Göttingen
IFBG - Wilkens/Scholz
1
Grundlegende Performancemaße
Gliederung
1. Einleitung und Motivation der zweidimensionalen Performancemessung
2. Systematik grundlegender Performancemaße
2.1 Maße auf der Basis des Gesamtrisikos
2.2 Maße auf der Basis des Marktrisikos
3. Ökonomische Rechtfertigung grundlegender Performancemaße
3.1 Zur Relevanz/Irrelevanz von Sharpe- und Treynor-Ratio
3.2 Praktisch relevante Entscheidungssituationen
3.3 Das Investorspezifische Performancemaß ISM
3.4 Ableitung von Effizienzlinien und Rechtfertigung von Sharpe- und
Treynor-Ratio
4. Zusammenfassung und Ausblick
IFBG - Wilkens/Scholz
2
Grundlegende Performancemaße
Traditionelle Performancemessung - Überblick
Performancemessung
eindimensionale
Performancemaße
zweidimensionale
(risikoadjustierte)
Performancemaße
• arithmetisches Mittel
der Rendite
• zeitgewichtete
Rendite
• geometrisches Mittel
der Renditen
• wertgewichtete Rendite
(interne Rendite)
nicht risikonormierte
Performancemaße
risikonormierte
Performancemaße
•
•
•
•
•
•
Differenzrendite
Jensen Alpha
...
•
•
IFBG - Wilkens/Scholz
3
Sharpe-Ratio
Treynor-Ratio
Risk-Adjusted
Performance
Market RiskAdjusted Performance
...
Grundlegende Performancemaße
Berechnung durchschnittlicher Renditen I
Z Pt + APt
−1
diskrete Rendite einer Teilperiode: rPt =
Z Pt −1
rPt
ZPt
ZPt-1
APt
= diskrete Rendite des Portfolios P in der Teilperiode t
= Anteilswert des Portfolios P am Ende der Subperiode
= Anteilswert des Portfolios P zu Beginn der Subperiode
= Ausschüttungsbetrag je Anteil am Tag der Ausschüttung
(Fiktive) Renditen des DAX: im ersten Jahr +50% und im zweiten
Jahr -40%. Wie hoch war die Rendite im Durchschnitt?
arithmetisches Mittel der Renditen:
1 T
1
µ rP= ∑ rPt = (0,5 + (−0,4)) = 0,05 = 5%
T t =1
2
IFBG - Wilkens/Scholz
4
?
Grundlegende Performancemaße
Berechnung durchschnittlicher Renditen II
Wieviel hätte ein Anleger verdient, der vor zwei Jahren eine
Million DM in den DAX investiert hätte?
1.000.000 (1 + 0,05)2 = 1.102.250
Stimmt das? Probe: 1.000.000 (1 + 0,5) (1 – 0,4) = 900.000
IFBG - Wilkens/Scholz
5
Grundlegende Performancemaße
Arithmetisches versus
geometrisches Mittel der Renditen I
Geometrisches Mittel der Renditen:
GM
rP
=
T
T
∏ (1 + r
Pt
) −1 =
2
(1 + 0 , 5 )( 1 − 0 , 4 ) − 1 = − 5 ,13 %
t =1
Wieviel hätte ein Anleger verdient, der vor zwei Jahren eine Million DM
in den DAX investiert hätte?
1.000.000 (1 − 0,0513)2 = 900.000
Wie hoch ist die erwartete Rendite für einen Finanztitel
(DAX, Aktie, Bond) in der Zukunft?
Arithmetisches Mittel = µ rp = 5% (wird regelmäßig angenommen!)
IFBG - Wilkens/Scholz
6
Grundlegende Performancemaße
Arithmetisches versus
geometrisches Mittel der Renditen II
Kurse/Preise
Renditen
(arithm.) Mittel
geometr. Mittel
Standardabweichung
Varianz
IFBG - Wilkens/Scholz
Risiko
Fonds
100
50
140
90
180
250
-50,0%
180,0%
-35,7%
100,0%
38,9%
46,6%
20,1%
85,5%
73,6%
Gleich
Fonds
100
130
170
200
220
250
30,0%
30,8%
17,6%
10,0%
13,6%
20,4%
20,1%
8,5%
0,7%
Null
Fonds
100
130
170
200
220
100
30,0%
30,8%
17,6%
10,0%
-54,5%
6,8%
0,0%
31,6%
10,0%
7
Minus
Fonds
100
50
140
90
180
80
-50,0%
180,0%
35,7%
100,0%
-55,6%
27,7%
-4,4%
95,3%
90,8%
DAFOX
12,37% - 9,89%
= 2,48%
Grundlegende Performancemaße
Problematik der Akzeptanz zweidimensionaler
Performancemessung
“People can`t eat risk-adjusted return.
Investors just care
whether they made money or not.”
Quelle: The Wall Street Journal, 10.02.1997, Mikus - Mikus Capital
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8
Grundlegende Performancemaße
Notwendigkeit der Berücksichtigung des
Risikos bei der Bewertung von Portfolios
Wert
In welches Portfolio hätten Sie lieber investiert?
208
186
100
In welches Portfolio werden Sie investieren?
Zeit
IFBG - Wilkens/Scholz
9
Grundlegende Performancemaße
Ausgangsdaten für die beispielhafte Betrachtung
unterschiedlicher Performancemaße
Marktindex Fonds A
Fonds B
Geometrisches
Mittel der Renditen
(GMri)
7,56%
7,60%
13,52%
Erwartungswert der
Renditen (µri)
9,00%
8,00%
16,40%
Erwartungswert der
Überschußrendite
(Excess Return)
(µeri)
7,00%
6,00%
14,40%
Standardabweichung der Renditen
(σri)
17,00%
9,00%
24,00%
Zins (rf) = 2,00%
IFBG - Wilkens/Scholz
10
Grundlegende Performancemaße
Sharpe-Ratio
20%
SR i =
Rendite
15%
µ ri − r f
σ
Fonds B
16,40%
i
Fonds A
8,00%
10%
Marktindex
9,00%
5%
rf
0%
0%
IFBG - Wilkens/Scholz
4%
8%
12%
16%
Standardabweichung
11
20%
24%
Grundlegende Performancemaße
Differenzrendite
20%
Fonds A`
Differenzrendite B = 4,52%
Rendite
15%
Fonds B
16,40%
Fonds A
8,00%
10%
11,88%
Marktindex
5%
5,71%
Differenzrendite A = 2,29%
rf
0%
0%
IFBG - Wilkens/Scholz
4%
8%
12%
16%
Standardabweichung
12
20%
24%
Grundlegende Performancemaße
Risk-Adjusted Performance nach
MODIGLIANI/MODIGLIANI (RAP)
20%
Rendite
15%
13,33%
Fonds B
RAP (A)
RAP (B)
12,20%
10%
RAP (M)
9,00%
Marktindex
Fonds A
5%
rf
0%
0%
IFBG - Wilkens/Scholz
4%
8%
12%
16%
Standardabweichung
13
20%
24%
Grundlegende Performancemaße
Capital Asset Pricing Model (CAPM)
SHARPE (1964), LINTNER (1965), MOSSIN (1966)
Wesentliche Prämissen:
• homogene Erwartungen
• vollkommener Kapitalmarkt
Zentrales Ergebnis des CAPM:
• SML: µ ri = r f + ( µ rM − r f ) β ri
• Begründung des Erwartungswertes der Aktienrenditen in
Abhängigkeit vom Beta der Aktie
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14
Grundlegende Performancemaße
Treynor-Ratio
20%
Rendite
TRi =
µ ri − r f
βi
Fonds B
10%
Fonds A
Marktindex
rf
0%
0
0,5
1,0
1,5
Beta
IFBG - Wilkens/Scholz
15
Grundlegende Performancemaße
Schätzung des Jensen Alpha für Fonds B
50%
erB
yy == 0,06
0,06++1,2
1,2xx
30%
10%
JAB = 6%
-30%
-10%
10%
30%
50%
erM
-10%
-30%
IFBG - Wilkens/Scholz
16
Grundlegende Performancemaße
Interpretation des Jensen Alpha
20%
Fonds B
JAB= 6%
Rendite
16,40%
10%
Fonds A
10,40%
Marktindex
8,00%
JAA= 2,5%
5,50%
rf
0%
0%
0,5
1,0
1,5
Beta
IFBG - Wilkens/Scholz
17
Grundlegende Performancemaße
Market Risk-Adjusted Performance (MRAP)
Rendite
20%
Fonds B
MRAP (A)
=MRAP (B)
14,00%
10%
MRAP (M)
9,00%
Marktindex
Fonds A
rf
0%
0%
0,5
1,0
1,5
Beta
IFBG - Wilkens/Scholz
18
Grundlegende Performancemaße
Systematik traditioneller
zweidimensionaler Performancemaße
Risiko
Gesamtrisiko
Marktrisiko
Sharpe-Ratio
(1966)
(SR)
Treynor-Ratio
(1965)
(TR)
Differenzrendite
(1972)
(DR)
Jensen Alpha
(1968/69)
(JA)
Risk-Adjusted Performance
(1997)
(RAP)
Market Risk-Adjusted
Performance
(1997/1999)
(MRAP)
Vorgehensweise
Bestimmung des Verhältnisses
aus Überschußrendite und Risiko
Kombination aus Marktindex und
rf mit fonds-identischem Risiko
als Vergleichsportfolio 1 und
Bestimmung der Renditedifferenz
zwischen Fonds und
Vergleichsportfolio 1
Kombination aus Fonds und rf mit
markt-identischem (normiertem)
Risiko als Vergleichsportfolio 2
und Renditeermittlung für das
Vergleichsportfolio 2
IFBG - Wilkens/Scholz
19
Grundlegende Performancemaße
Problem: Auswahl des geeigneten Performancemaßes
Oft pauschale Empfehlung:
• hoher Anteil in einem Fonds
und rf
à Gesamtrisikomaß wie die
Sharpe-Ratio
• geringer Anteil in einem Fonds à Marktrisikomaß wie die
und rf
Treynor-Ratio
Wieviele Anleger betrifft das?
à Eine ökonomische Rechtfertigung traditioneller Performancemaße
in praktisch relevanten Entscheidungssituationen fehlt bisher!
IFBG - Wilkens/Scholz
20
Grundlegende Performancemaße
Ausgangsdaten des Beispiels
Verteii
lungsparameter
Arithmetischer Mittelwert
der Renditen (µ ri)
Standardabweichung der
Renditen (σri)
Beta
(βi)
Sharpe-Ratio
(SRi)
Treynor-Ratio
(TRi)
Marktindex M
Fonds A
Fonds B
Fonds C
9,0%
8,0%
16,4%
13,5%
17%
9%
24%
21%
1
0,5
1,2
0,7
0,412
0,667
0,600
0,548
0,070
0,120
0,120
0,164
Zins (rf ) = 2%
IFBG - Wilkens/Scholz
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Grundlegende Performancemaße
Ziel: Ableitung eines investorspezifischen
Performancemaßes
Praktisch relevante
Entscheidungssituation
(spezifisches Ausgangsportfolio des Anlegers)
µ-σ-Prinzip
Investorspezifisches Performancemaß ISM
zugleich ökonomische Rechtfertigung klassischer Performancemaße wie
Sharpe- und Treynor-Ratio in praktisch relevanten
Entscheidungssituationen
IFBG - Wilkens/Scholz
22
Grundlegende Performancemaße
Grundlegende Annahmen hinsichtlich der Fonds
Annahme 1: Die Erwartungswerte der Renditen aller Fonds sind
größer als rf.
Annahme 2: Die Standardabweichungen der Renditen aller Fonds
und deren Betafaktoren sind größer null.
Annahme 3: Ein Leerverkauf von Fonds ist nicht möglich.
IFBG - Wilkens/Scholz
23
Grundlegende Performancemaße
Praktisch relevante Entscheidungssituationen
• Anleger verfügt über ein Portfolio sowie eine risikofreie
Anlage/Kredit. Er möchte einen zusätzlichen Betrag in einen
Fonds und rf investieren.
• Wie oben, Anleger möchte einen bestimmten Teil des
bestehenden Portfolios in einen Fonds umschichten.
• Verallgemeinerte Entscheidungssituation
Anleger möchte sein Portfolio aus drei Teilen zusammensetzen:
einen fixierten Betrag in ein Portfolio, eine risikofreie Anlage/
Kredit, einen Fonds
IFBG - Wilkens/Scholz
24
Grundlegende Performancemaße
Struktur des Gesamtportfolios
Gesamtportfolio Gi auf Basis des Fonds i
Anteil (1– wD) in
Anteil wD
Portfolio P
in Portfolio Di
(z. B. Marktindex)
disponibel
Anteil (1– wi) in
Anteil wi in Fonds
risikofreier
Anlage/Kredit
Annahme 4: 0 < wD ≤ 1
IFBG - Wilkens/Scholz
25
Grundlegende Performancemaße
Ableitung des ISM I
ISMj > ISMk
wobei
  µ rD+ – rf
  σrP
ISMi = – wD  µ – r
  ri f
σri
 

2
µ rD+ – rf 

 + 2 (1 – wD) µ ri – rf 

σri rP / σ2rP 


µ rG+ – µ rP
mit µ rD+ =
+ µ rP
wD
IFBG - Wilkens/Scholz
26
Grundlegende Performancemaße
Ableitung des ISM II
Annahme 5: P = M

 µ rD+ – rf



σ rM
ISMi = – wD 
SRi







2


µ rD+ – rf
+ 2 (1 – wD)
TRi 
µ rG+ – µ rM
mit µ rD+ =
+ µ rM
wD
⇒Wenn SRj > SRk und TRj ≥ TRk dann dominiert Fonds j Fonds k
IFBG - Wilkens/Scholz
27
Grundlegende Performancemaße
ISM für wd = 0,55

 µ rD+ – rf



σrM
ISMi = – 0,55 

SRi







2


µ rD+ – rf
+ 2 ⋅ 0,45
TRi 
µ rG+ – µ rM
mit µ rD+ =
+ µ rM
0,55
IFBG - Wilkens/Scholz
28
Grundlegende Performancemaße
ISM in Abhängigkeit von µrG+ (wd = 0,55)
5,15 %
2%
7,35%
6%
9,55%10,54%
10% 11,79%
11,75%
14%
µrG+
µrD+
0
BP
0,5
C>A
A>C
Fonds C
-1,0
SAC2
-1,5
Fonds A
-2,0
Fonds B
ISMi
IFBG - Wilkens/Scholz
29
Grundlegende Performancemaße
Mögliche Gesamtportfolios für Fonds A
im µ/σ-Diagramm (wd = 0,55)
20%
µrG+
PAM
15%
10%
Fonds A
5%
Marktindex
BP
rf
0%
0%
IFBG - Wilkens/Scholz
4%
8%
12%
30
16%
20%
σrGi
24%
Grundlegende Performancemaße
Effizienzlinie im µ/σ-Diagramm (wd = 0,55)
20%
µrG+
15%
Fonds C
SAC2
10%
Fonds A
5%
Marktindex
BP
rf
0%
0%
IFBG - Wilkens/Scholz
4%
8%
12%
31
16%
20%
σrGi
24%
Grundlegende Performancemaße
Sharpe-Ratio, Treynor-Ratio und ISM
Spezialfall:
Spezialfall:
für µrG+ >> rf
∂ISMk
∂ISMj
>
∂µ rG+ µ rG+ = min µ rG ∂µ rG+ µ rG+ = min µ rG
⇒ SRj > SRk
2 (1 – wD)
2 (1 – wD)
⇒ –
>–
TRj wD
TRk wD
1
1
⇒
<
TRj
TRk
⇒ TRj > TRk
Sonst: ISM
IFBG - Wilkens/Scholz
32
Grundlegende Performancemaße
Weiterentwicklungen
• Investition des disponiblen Anteils in mehrere Fonds
• Variabilität des fixierten Anteils in dem Marktindex
⇒
IFBG - Wilkens/Scholz
Annäherung an Entscheidungsprobleme der
Portfolio-Selection-Theory
33
Grundlegende Performancemaße
Fazit
• Systematisierung traditioneller Performancemaße und Vorstellung des
RAP und MRAP
• Ableitung einer Kennzahl ISM für konkrete Entscheidungssituationen
à basiert auf Sharpe- und Treynor-Ratio
• Abhängigkeit des ISM von
a) einem fixierten Anteil eines bestehenden Portfolios (wD)
b) der gewünschten Rendite des Gesamtportfolios (µrG+)
• Ableitung von Effizienzlinien auf Basis des ISM
• Rechtfertigung von Sharpe- und Treynor-Ratio und damit traditioneller
Performancemaße für praktisch relevante Entscheidungssituationen
(z. B.: Wenn SRj > SRk und TRj ≥ TRk dann dominiert Fonds j Fonds k)
IFBG - Wilkens/Scholz
34
Grundlegende Performancemaße