Verallgemeinerte Ito

Verallgemeinerte Itô-Formel
Vortrag von Felix Endres im Seminar Mathematische Physik am 08 Januar 2013
Defintion 1 : Itô-Prozess
Ein Itô-Prozess ist ein stochastischer Prozess von der Form
Z t
Z t
g(s)ds, a ≤ t ≤ b,
f (s)dB(s) +
Xt = Xa +
(1)
a
a
wobei Xa Fa -messbar ist f ∈ Lad (Ω, L2 [a, b]), und g ∈ Lad (Ω, L1 [a, b]).
Eine Kurzform der Gleichung (1) ist das “stochastische Differential”
dXt = f (t)dB(t) + g(t)dt.
(2)
Dieses Differential hat aber an sich keine Bedeutung und sollte nur sinnbildlich verstanden werden.
Aus ihm ist aber schnell die Integralform aus Gleichung (1) abzulesen.
Satz 1: Die verallgemeinerte Itô-Formel
Sei Xt ein Itô-Prozess definiert wie in Gleichung (1) und θ(t, x) eine stetige Funktion mit stetigen par∂θ
∂2θ
tiellen Ableitungen ∂θ
∂t , ∂x , und ∂x2 . Dann ist θ(t, Xt ) auch ein Itô-Prozess und
t
∂θ
θ(t, Xt ) = θ(a, Xa ) +
(s, Xs )f (s)dB(s)
∂x
a
Z t
∂θ
1 ∂2θ
∂θ
2
(s, Xs ) +
(s, Xs )g(s) +
(s, Xs )f (s) ds.
+
∂t
∂x
2 ∂x2
a
Z
(3)
Dieser Satz kann durch die gleiche Methodik bewiesen werden, die schon zum Beweis der Itô-Formel
in der einfachen Form genutzt wurde. Die Gleichung (3) zu erhalten, ohne diese explizit zu beweisen,
gelingt mit der Itô-Tabelle:
×
dB(t)
dt
dB(t)
dt
0
dt
0
0
Dazu schreibt man die “Differentialform” der Gleichung (3) in Taylorentwicklung:
dθ(x, Xt ) =
∂θ
∂θ
1 ∂2θ
(t, Xt )dt +
(t, Xt )dXt +
(t, Xt )(dXt )2 .
∂t
∂x
2 ∂x2
Mit der Itô-Tabelle erhält man (dXt )2 = f (t)2 und somit
dθ(x, Xt ) =
∂θ
∂θ
1 ∂2θ
dt +
(f (t)dB(t) + g(t)dt) +
f (t)2 dt.
∂t
∂x
2 ∂x2
Beispiel 1 : Langevin Gleichung Gegeben ist die Langevin Gleichung :
dXt = αdB(t) − βXt dt,
X0 = x0 , α ∈ R und β > 0
Hierbei ist die Größe Xt die Geschwindigkeit zur Zeit t eines freien Teilchens in einer Flüssigkeit. Der
Term −βXt beschreibt die viskose Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit. Zudem wirkt eine Zufallskraft, beschrieben durch αdB(t), welche durch zufällige Stöße durch die Flüssigkeitsmoleküle
1
generiert wird. Diese “Stochastische Differentialgleichung” kann als folgende stochastische Integralgleichung interpretiert werden:
Z t
Z t
Xt = x0 +
αB(t) − β
Xs ds.
(4)
0
0
Lösung :
Sei θ(t, x) = eβt x. Dann gilt
∂θ
∂t
= βeβt x ,
∂θ
∂x
= eβt und
∂2θ
∂x2
= 0. Mit Gleichung (3) folgt dann:
d(eβt Xt ) = βeβt Xt dt + eβt dXt = βeβt Xt dt + eβt (αdB(t) − βXt dt) = αeβt dB(t).
Daraus folgt die stochastische Integralgleichung
Z t
αeβu dB(u), s ≤ t.
eβt Xt = eβs Xs +
s
und somit ist Xt geben durch
Z t
Xt = e−β(t−s) Xs + α
e−β(t−u) dB(u).
0
für s = 0 erhalten wir die Lösung der Gleichung (4)
Z t
Xt = e−βt x0 + α
e−β(t−u) dB(u).
0
Die Lösung Xt wird auch Ornstein-Uhlenbeck Prozess genannt.
Mehrdimensionale Itô-Formel
(1)
(2)
(n)
Seien B1 (t), B2 (t)....., Bm (t) m unabhängige brownsche Bewegungen und Xt , Xt , ....., Xt n ItôProzesse gegeben durch
Z t
n Z t
X
(i)
Xt = Xa(i) +
fi,j (s)dBj (s) +
gi (s)ds, 1 ≤ i ≤ n,
(5)
j=1
a
a
mit fi,j ∈ Lad (Ω, L2 [a, b]) und gi ∈ Lad (Ω, L1 [a, b]) für alle 1 ≤ i ≤ n und 1 ≤ j ≤ m. Durch die
Vekotren und Matrizen

 (1) 

f1,1 (t) . . . f1,m (t)
B1 (t)
Xt
 .
 . 
 . 
.





 , Xt =  .  , f (t) =  .
.
.
B(t) = 





 .
 . 
 . 
.
(n)
f
(t)
.
.
.
f
Bm (t)
n,1
n,m (f )
Xt
ergibt sich Gleichung (5) zur Matrixgleichung:

Z
Xt = Xa +
t
Z
f (s)dB(s) +
a




,




g(t) = 



g1 (t)
. 

. 

. 
gn (t)
t
g(s)ds,
a≤t≤b
a
Nun können wir die Itô-Formel (Gleichung (3)) auf den mehrdimensionalen Fall erweitern.
∂θ
∂2θ
Sei θ(t, x1 , ...., xn ) eine stetige Funktion auf [a, b] × Rn mit stetigen partiellen Ableitungen ∂θ
∂t , ∂xi , ∂xi ∂xj
(1)
(n)
für 1 ≤ i, j ≤ n. Dann ist das stochastische Integral von θ(t, Xt , ...., Xt ) gegeben durch
(1)
(n)
dθ(t, Xt , ...., Xt ) =
+
n
X
∂θ
∂θ
(1)
(n)
(1)
(n)
(i)
(t, Xt , ...., Xt )dt +
(t, Xt , ...., Xt )dXt
∂t
∂x
i
i=1
n
1 X ∂2θ
(1)
(n)
(i)
(j)
(t, Xt , ...., Xt )dXt dXt ,
2 i,j=1 ∂xi ∂xj
2
(6)
(i)
(j)
wobei die Produkte dXt dXt
mit der mehrdimensionalen Itô-Tabelle berechnet werden können:
×
dBi (t)
dt
dBj (t)
δi,j dt
0
dt
0
0
Beispiel 2 : Itô-Produkt-Formel
∂θ
Man betrachte nun die Funktion θ(x, y) = xy. Die partiellen Ableitungen ergeben sich zu ∂x
= y,
∂θ
∂θ
∂2θ
∂2θ
∂θ
=
x,
=
=
1,
und
=
=
0.
Wendet
man
jetzt
Gleichung
(6)
an
für
zwei
Itô-Prozesse
∂y
∂y∂x
∂x∂y
∂y 2
∂x2
Xt und Yt so erhält man
1
1
d(Xt Yt ) = Yt dXt + Xt dYt + dXt dYt + dYt dXt = Yt dXt + Xt dYt + dXt dYt .
2
2
Z t
Z t
Z t
dXs dYs .
Xs dYs +
Ys dXs +
⇒ Xt Yt = Xa Ya +
a
a
a
Diese Gleichung wird auch Itô-Produkt-Formel genannt.
Beispiel 2 : Brownsche Helix
Sei Xt = cosB(t), Yt = sinB(t) und Zt = B(t). Der Spaltenvektor Vt mit Komponenten Xt , Yt und Zt
gibt die Position zum Zeitpunkt t eines Objektes an, dass sich auf einer brownschen Helix bewegt. Mit
der Itô-Formel erhält man
1
1
dXt = −sinB(t)dB(t) − cosB(t)dt = −Yt dB(t) − Xt dt,
2
2
1
1
dYt = cosB(t)dB(t) − sinB(t)dt = Xt dB(t) − Yt dt,
2
2
dZt = dB(t).
Das heißt, das stochastische Differential von Vt erfüllt die lineare Gleichung
dVt = (KVt + q)dB(t) + LVt dt,
V0 = v0 ,

0
mit K, q, L, und v0 gegeben durch K = 1
0
 
1
v0 = 0
0
−1
0
0

 

-0.5
0
0
0 , q = 0 , L =  0
1
0
0

0
0
-0.5 0,
0
0
wobei man die stochastische Differentialgleichung als stochastische Integralgleichung interpretieren muss.
Quellen
Kuo, Hui-Hsiung: Introduction to Stochastic Integration, Springer Science+Business Media, New York,
2006
http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Ornstein-Uhlenbeck process
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