Fachwissenschaftliches Seminar zur Zahlentheorie

Fachwissenschaftliches Seminar
zur Zahlentheorie
Vortragsunterlagen zum Thema:
Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat“
”
Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat markiert den Beginn der “modernen” Zahlentheorie – zumindest in Europa, d.h. den Neuanfang nach
der Antike und dem weitgehenden mathematischen Stillstand im Mittelalter. Aus historischen wie auch aus fachmathematischen Gründen
ist ein Interesse an den dahinter stehenden Prinzipien außerordentlich
lehrreich.
Kapitel4
von Fermat
DerZwei-Quadrate-Satz
'Welche Zahlen könttenals Summevon ztvei Quadratendargestellt
'..' werden!
'::]
1 - t- +02
-2
2 - t - T| A 1 z
3 _??
4
+02
5 :z
+r'7?
6 -
Diese Frageist so alt wie die Zahlentheorie,und ihre Lösung ist ein Klassiker in diesemGebiet.Die größteHürde auf dem Weg zur Lösung ist der
Nachweis,dassjede Primzahl der Form 4m I I eine Summe von zwel
8
Quadratenist. G. H. Hardy schreibt,dass dieserZtvei-Quadrate-Satzvon
Fermat,,garrzzDRecht als einer der bestenSätzeder Arithmetik angesehen I
'.
10
wird Trotzdemist einerunsererBUCH-Beweiseziemlichneu.
1l
Wir beginnen mit ein paar ,,Aufwärmübungen".Zunächst müssen wir
zwischen der Primzahl p - 2, den Primzahlender Form p : 4tn I I,
und den Primzahlender Form P : 4rrt * 3 unterscheiden.JedePrimzahl
fällt in genaueinedieserKategorien.Ganzleicht könnenwir jetzt f'esthalten
(mit Hilfe der Methodevon Euklid), dasses unendlichviele Primzahlender
Form 4rn.-+ 3 gibt. Wenn es nämlich nur endlich viele gäbe,dann könnten
wir die größtePrimzahl p1.von dieserForm betrachten.Setztman dann
'/'/
'\;r'
(wobeipr : 2, p'z : 3, P: : 5, ' ' . die Folge der Primzahlenbezeichnet),
dann siehtman, dassA';, kongruentzu 13(mod4) ist, also einen Primfaktor Piene de Fermat
der Form ,lrn * 3 haben muss, und dieser Primfaktor ist größer als p6,
Widerspruch.Am Ende diesesKapitelswerdenwir auch ableiten,dasses
unendlichviele Primzahlenvom Typ p :4rn + 1 gibt.
Unser erstes Lemma ist ein Spezialfall des berühmten ,,R.eziprozitätsgesetzes":Es charakterisiertdie Primzahlen,für dre -1 im Körper Z, ein
Quadratist; siehedazu den Kastenüber Primkörperauf der nächstenSeite.
Lemma l, Far jede Printzohl p der Rtrm p - 4rn t L hat die Gleichung
s 2 = - 1 ( m o d p ) : w e i L ö s t u r g esn e { 1 , 2 . . . . , p l } , f t i r P : 2 g i b t
es genau eine solche Lösung, wührencles ftir Primzahlen t'on der Fornt
p : 4nt -t 3 keineLösunggibt.
I Beweis. Für p - 2 ist s : 1. Für ungeradesp konstruierenwir etne
A q u i v a l e n z r e l a t i oanu f d e r M e n g e { I . 2 , . . . . p - 1 } , d i e d a d u r c he r z e u g t
wird, dasswir jedesElementmit seinemadditivenund seinemmultiplikativenInversentnZo in Relationsetzen,die wir mit -e, bzw.T bezeichnen.
vier Elemente
Aquivalenzklassen
Damit enthaltendie ,,allgemeinen"
- . r . : x ,- i l r i .
i r!.
D er Zwei-Quadrate-Satz von Fermat
20
weil eine solchevierelementigeMenge die Inversenfür alle ihre Elemente enthältE
. s g i b t j e d o c ha u c hk l e i n e r eA q u i v a l e n z k l a s s edni e. a u f t r e t e n .
wenn einige dieservier Elementenicht voneinanderverschiedensind:
p unmöglich.
r : -:x ist für ungerades
r : i ist äquivalentzu :r2 : 1. Dies hat zwei Lösungen,nämlich
- 1}
r : 1 und :x - p - 1, und entsprichtder Aquivaienzklasse
{1,p
der Größe 2.
r : -T ist äquivalentzu12 - -1. Diese Gleichunghat entweder
keineLösung,oderzwei verschiedene
Lösungenr0jp - zs: in diesem
Fall ist die Aquivalenzklasse{no,p
ro}.
Für p : 11 ist die Zerlegung
{ 1 . 1 0 } ,{ 2 . 9 , 6 , 5 } ,{ 3 , 8 , 4 ,7 } ;
für p : 13 ist sie
{ 1 , 1 2 } ,{ 2 . 7 7 , 7 , 6 } ,{ 3 , 1 0 .9 , 4 } ,
{ 5 , 8 } : d a sP a a r{ 5 , 8 } e n t s p r i c hdte n
zwei Lösungenvon s' = -1 mocl 13.
D i e M e n g e { 1 , 2 , . . . , p - l } h a t p - 1 E l e m e n t eu, n d w i r h a b e ns i e i n
Quadrupel(Aquivalenzklassender Größe 4) aufgeteilt,plus ein oder zwei
Paare(Aquivalenzklassen
der Größe 2). Für p - 7 : 4'm -t 2 folgt daraus,
dasses nur ein Paar{1,p - 1} gibt, der RestbestehtausQuadrupeln,und
damit hat s2 : *l (modp) keineLösung.Fürp - I : 4m,musses aberein
zweitesPaargeben,und diesesenthältdie beidenLösungenvon s2 : -1,
nach denengefragtwar.
T
Primkörper
Für jede Primzahlp bildet die Menge Zp : {0,1, . . . ,p - 1} mit
Addition und Multiplikation ,,modulo l' einen endlichen Körper.
Diese Körper haben viele interessanteAspekte; wir werden nur die
folgenden drei einfachen Eigenschaftenbrauchen:
0
1
2
?
4
0
1
2
3
tl
01234
23,1.
01
12
340
,1 01
23
012
,1 0 7 2 3
01234
00
000
234
01
.1 13
02
112
03
321
01
Additionund Multiplikalionin 23
o Für z € Zo, n I 0, ist das Inverse bezüglich Addition (für das
wir üblicherweise-r schreiben)
durchp - z € {1, 2,. . ., p - I}
gegeben.Wenn p ) 2 ist, dann sind r und -r verschiedene
ElementevonZr.
o Jedesr e Ze\{O} hat ein eindeutigesmultiplikatives Inverses
i € V,e\{0}, mit m : 1 (modp).
Aus der Definition der Primzahlen folgt nämlich, dass die Abbildung Zp - Z, z ,- rz fiJ'r r * 0 injektiv ist. Auf der
endlichenMenge Zr\{0} musssie damit aberauch surjektiv sein,
und deswegengibt es für jedes r ein eindeutiges- I 0 mit
ri = | (modp).
o Die Quadrate02, l',2",.. . , h2 definierenverschiedene
Elemente
v o n Z o , t u rh : L E ) .
= 0 implizierl,
Dies folgtdaraus,dass*' = y2 bzw. (r+y)(r-y)
dassentwederr : A oder z : -y gilrtDie 1 * [!] Elemente
02, 12, . . . , h' nennt man die Quadratein Zo.
-Satz von Fermat
D er Zwei-Quctdrate
2l
An dieserStellebemerkenwir ,,ganznebenbei",dasses fft alle Primzahlen
eine Lösungder Gleichung# + U2 = -\ (modp) gibt. Es gibt nämlich
Quadrate12 inZo. und es gibt Lül + t verschiedene
Lf l * I verschiedene
Zahlender Form -(1 + y2;. Diese zwei Mengen von Zahlen sind aber
zu groß um disjunkt zu sein, weil Z, insgesamtnur p Elementehat, und
musses r und y gebenm.it12 : - (1 + g2) (modp).
deswegen
Lemma 2. Keine Zahl n : 4m -t 3 ist eine Summevon zwei Quadroten.
I Beweis. Das Quadrateiner geradenZahlist (2k)2 : 4k2 : 0 (mod4),
währendQuadratevon ungeradenZahlen(2k + I)2 : 4(k2 + k) + I : 1
(moda) ergeben.Damit ist jede Summevon zwei Quadratenzu 0, 1 oder 2
(mod4)kongruent.
!
Dies reicht uns als Beleg dafür, dassdie Primzahlenp : 4m )- 3 ,,schlecht''
sind. Also kümmern wir uns jetzt erst mal um die ,,guten"Eigenschaften
der Primzahlenvon der Form p : 4m, * 1. Das folgendeResultatist der
wichtigsteSchritt auf dem Weg zur Lösung unseresProblems.
Proposition. Jede Primzahl der Form'p : 4nt * 1 i^steine Summevon
sie kann ctlsoals p : 12 + y2 dargestelltwerden, mit
zwei QuctclrcLten,
nattirlichenZahlen r und y.
Wir werdenhier zwei BeweisediesesResultatspräsentieren- beide sind
elegantund überraschend.Der ersteBeweis glänzt durch eine bemerkenswerte Anwendung des Schubtächprinzips(das schon ,,ganznebenbef' vor
Lemma 2 aufgetretenist; Kapitel 22bretet mehr davon),und durch einen
bestechenden
Übergangzu Argumenten,,modulol' und zurück. Wir verdankenihn dem norwegischenZahientheoretikerAxel Thue.
I Beweis. Wir betrachten die Paare (r',y') von ganzen Zahlen mit
0 ( z ' , t / S \ , F , d a s h e i ß t/ , A ' € { 0 , 1 , . . , l y F ) } . E s g i b t g e n a u
(LtF) + 1)z solchePaare.MitderAbschätzunglrl -| 1 > z fir r : tfp
sehenwir, dasses mehr ais p solchePaarevon ganzenZahlen gibt. Also
könnenftir ein festess € Z dte Werte r/ - sy', die man aus den Paaren
(:r:', y') erzeugt,nicht alle modulop verschiedensein.Also gibt es für jedes
s zwei verschiedenePaare
Fürp - 13, lvFl:
wir
3 betrachten
r ' , u ' € { 0 , 1 , 2 , 3 } .F ü rs : 5 n i m m t
die Summer' - sA'(mod13) die folgendenWerte an
y0
0
IruI
I
Nun nehmenwir Differenzen:Wir habenr:' - r" = s(U' - u") (modp).
wenn wir also
y :: !)' - y"l
1- '.: lt' - r"
d e f i n i e r e nd,a n ne r h a l t e nw i r
( . r .y ) € { 0 . 1 .
,lvf,)}'
mit
r : *sy (modp).
Weiterhinwissenwir, dassr und y nicht beide Null sein können.weil die
sind.
Paare(.r'. y') und (r" .y" ) ja verschieden
2
3
1.2
0 8 3
1941,2
21050
3 11 6
11
1
D er Zwei- Quadrate-Satz von FermaI
22
Sei nun s eineLösungvon ,sz= -1 (modp), die nachLemma I existieren
muss.Dann gilt 12 : s2u2= -y2 (modp), und wir erhalten
(r,y) e22
mit
0 < n2+y'<2p
und
x2 +y2 - 0(modp).
Die Primzahlp ist aberdie einzigeZahl zwischen0 und 2p, die durch p
I
teilbarist. Also gilt r,2 + y2 : p: fertigl
Unser zweiter Beweis für die Proposition- ganzsicher auch ein Beweis
aus dem BUCH - wurde von RogerHeath-Brown1971entdecktund erschien 1984.(Eine Kurzversion,,ineinem Satzj' wurde von Don Zagier
angegeben.)Er ist so elementar,dasswir dafür nicht einmal das Lemma I
brauchen.
Das Argument von Heath-Brownbasiertauf drei lnvolutionen:einer ziemund einer ganz trivialen zum
lich offensichtlichen,einer überraschenden,
Schluß.Die zweite Involution entsprichteiner verstecktenStruktur auf der
Lösungender Gleichung 4.rt1+ z2 : P.
Mengeder ganzzahligen
I Beweis. Wir untersuchendie Menge
,5 ::
{ ( r , ' A , z ) e Z 3 : 4 t ' t 1 * z 2: p .
r)0,
Y>0}.
DieseMenge ist endlich:aus r ) 1 undly > 1 folgt nämlich U < { und
r < \. Damit gibt es abernur endlichviele möglicheWertefür z und y,
n und y gibt es höchstenszwei Werte für z.
und für gegebenes
1. Die erstelineareInvolution ist
/ : S _* S,
(r,y,r) *
(lJ,x,-z),
r und y und negiere2". Dies bildet ganzoffensichtlichS
also,,vertausche
auf sich selbstab, und es ist eine Int,olution'.Zweimal angewendet,ergibt
es die Identität. Dieses / hat offenbar keine Fixpunkte, weil aus z : 0
sofortp : 4rll folgenwürde,was nicht seinkann.Schließlichbildet / die
Lösungenin
T : - { ( t : , 7 1 , 2e) S : z > 0 }
auf die Lösungenin S\7 ab, die z I 0 erfüllen.Also vertauscht/ die
Vorzeichenvon r
u und von z, und bildet somitauchdie Lösungenin
U
auf die Lösungen in S\tl ab. Dafür müssenwir nur überprüfen,dass es
keine Lösungengibt mit (r - y) + z - 0. Aber die gibt es nicht, weil
daraussofortp : 4x:ljI z2 : 4:r:t1
I (r
A')2: (r * y)2 folgen würde.
Beobachtung
Die
hauptsächliche
Was liefert uns nun die Analysevon l?
5\U in
5\7'bzw.
ist,dass/ die Mengen7 und [/ mit ihrenKomplementen
von ,9
Kardinalität
Brjektionsetzt;deshalbhaben7'und [/ beidedie halbe
also habenT undLI dieselbeKardinalitcit.
wollen,lebt auf der Menge t/:
2. Dre zweitelnvolution,die wir betr:achten
g : Lt *
U.
(r.tj, z) '_---(,r - ll + z.U.2y- z)
/.)
D er Zw'ei- Quadrate-Strtzvon Fermat
Zunächstüberprüf'enwir, dass dies überhaupteine wohldefinierteAbbildung ist: Wenn (.r. y.z') € [/ ist, dann gilt r - y + z > 0, I > 0 und
l ( t ' - y f : ) y + ( 2 y - r ) ' - h y * z 2 : p , a l s og ( r , y , z ) e S . M i t
( t - y + . ) - y + ( 2 U- z ) : r : > 0 l i e f e r - t d i egs( r , 7 1z, ) e L I .
W e i t e r h i ni s t s e i n eI n v o l u t i o ng: ( r , y . z ) - ( r - | J I 2 , U , 2 ' ! */ z ) w i r d
d u r c hg a u f ( ( . r - ! / r z ) - u + Q y - z ) , U , 2 y - ( 2 U- z ) ) : ( t , y , z )
abgebildet.
Und schließlichhat g hat genaueinenFixpunkt:
(.r,y,.)
g(x,U,z) :
(,-A*2,A,2'A-
z)
g i l t g e n a ud a n n .w e n n J l = : i s t . D a n nh a b e n , w i ra b e rp : 4 t U - ! J 2 :
(n + a)a, was nur tür u : 1 : z und , : o/ geltenkann.
Und wenn g eine lnvolutionauf U ist, die genaueinenFixpunkthat, dann
Kardinalitcit.
hat U ungercrde.
3. Die dritte,triviale,Involutionlebt auf der Menge T, und sie vertauscht
einfach.r und u:
h:T'-7,
l r , l J, z ) -
(.Y,r,z).
wohldefiniertund sie ist eine
DieseAbbildungist nun ganzoff'ensichtlich
jetzt
das
Wisseü,
daswir ausdenbeidenandeWir
kombinieren
Involution.
Kardinalitätwie L/, und
?
hat
dieselbe
haben:
abgeleitet
lnvolutionen
ren
auf
einer endlichenMeneine
Involution
Ä
somit
Aber
da
ungerade.
die ist
ge von ungeraderKardinalität ist, mrss h einen Fixpunkt haben: Es gibt
einenPunkt (1 .y, z) e T mit :I::'!,/, alsoeineLösttngvon
p :
Jt:2_F:2 :
q2t.)2+ z2.
Auf einer endlichenMenge mit ungeradel Kardinalitäthatjede Involution mindestenseinen Fixpunkt.
I
DieserBeweis liefert sogarnoch mehr - nämlich,dassdie Anzahl der
Darstellungenvon p in der Form p : 12 + (.2ü2 für alle Primzahlen
der Form 'p : 4nt * \ ungeretdeist. (Die Darstellungist sogareindeutig.
dasskeinerderbeidenBesiehe[, !j121) Wir müssenaberauchfeststellen,
y für einezehnstellige
mal,
r
und
versuche
eintäch
weiseefTektivist: man
zur
Berechnung
solcher DarstelMethoden
Primzahl zu finden! Effektive
werden
in
und
lungenals Summevon zwei Quadraten
[2]
f7] diskutiert.
nun vollständigdie Frage,mit der wir dieses
Der folgendeSatzbeantwortet
Kapitelbegonnenhatten.
Satz, Eine natürlicheZahl n kann genaudann als Summevon zwei Quadraten dctrgestelltv,erden,wennjeder Prinfaktor der Form p : 4m + 3 in
der Primfaktorzerlegungt,on n mit gerademExponentenauftritt.
I Beweis. Wir nenneneineZahl n darstellbar,wenn sie eineSummevon
zwei Quadratenist, dasheißt,wenn il : :7)2+ 112f'd'rganzzahligez,y ist.
Der Satztblgt nun ausden folgendenfünf Tatsachen.
( 1 ) 1 : 1 2 + 0 2 u n d 2 : 1 2+ 1 2 s i n d d a r s t e l l b a r . J e d e P r i m z a h l d e r F o r m
p : -htt+ 1 ist darstellbar.
24
D er Zwei-Quctdrate-Satz von Fennat
(2) Das Produkt von zwei darsteilbarenZahlen t7y : x;l
I .yl und n2 :
,3 + yi ist darstellbar
i TLft2 : (rrrz + yilt2r2 + @rar'l ,r,,)'t .
(3) Wenn n darstelibarist, n : ,2 + .gr,dann ist auchn,z2darstellbar.
wegennz2 : (rz)2 + (ar)2.
Die Tatsachen(1), (2) und (3) ergebenzusarrunen
schonden.dann,.-Teir
desSatzes.
(4) wenn p : 4m f 3 eine Primzahrist, die eine darstellbarezahrrt:
12 + y2 teilt, dann teilt p sowohl r als auchy, und damit ist n auch
durch p2 teilbar.wenn nämlich r I 0 (modp) wäre, dannkönntenwir
ein 7 finden mit ri : 1 (modp), dann die Gleichung * + yz = 0
mit :r2 multiplizieren,und damir I + a2i2 : | + (iA\2 : 0
imodp)
erhalten,was für p : 4m | 3 nachLemma I unmöglichist.
(5) Wenn n darstellbarund durch p : 4m. * 3 teiibar ist, dann ist
n auch
durch p2 teilbar, und nf p2 ist ebenfallsdarstellbar.Dies folgt aus (4)
und beendetden Beweis.
LJ
Als eine Folgerungerhaltenwir nun, dasses auch unendlich viele primzahlender Form p : 4m * 1 gebenmuss.Dafür betrachtenwir
I I n : ( 3 . S . T . . . p n ) 2+ 2 2 ,
eine zahl, die zu 1 (mod4) kongruent ist. Alle primfäktoren dieser Zahl
sind größerals p6, und nach reil (4) des vorherigenBeweiseskann,416
keine Primfaktorender Form 4m * 3 haben.Also hat ,41. einenprimfaktor
der Form 4m ,t I, der größerist als pa .
Wir schließendiesesKapitel mit zwei Bemerkungen:
o Wenn a und b zwei natürliche Zahlen sincl, die keinen gemeinsamen
Primfaktor haben, dann gibt es rnendlich viele primzahlen der Form
am t b (rn e N): dies ist ein berühmtes(und schwieriges)Resultat
von Dirichlet.
Genauerkann man zeigen,dassdie Anzahl der primzahlenp ( r von der
Formp : aTrL
+ b für großesr sehrgenaudurch die Funktion =l_ _l
beschriebenwird, wobei p(a) die AnzahlderZahlenö mit 1
Z'i'2'"
bezeichnet,die zu o teilerfremd sind. (Dies ist eine bedeutsameverfeinerungdesPrimzahlsatzes,
den wir ja auf Seite r0 besprochenhaben.)
o während es aber nun auf den erstenBlick so aussieht,dassfür
festeso
und verschiedeneb die Häufigkeit der primzahlen gleich ist, kann man
zum Beispiei für ,, : 4 trotzdem eine sehr schwache,aber dennoch
nachweisbareTendenzzu Gunsten der primzahlen vom Typ 4rn
+ 3
beobachten:Für sehr großes,zufälriges.r gibt es nämlich mit großer
Wahrscheinlichkeitmehr Primzahlenp < :x vom Typ p : 4rn
+ 3
als vom Typ p : 4m -t I. Dieser Effekt ist als ,,Chebyshev's
bias"
(,,dieParteilichkeitdes Herrn Tschebyschev,,)
bekannt;sieheRiesel [4]
und Rubinsteinund Sarnakf5l.