+ 5 + 4i + 1

HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik
Prof. Dr. M. Voigt
Mathematik I
Grundlagen
Mathematik für Bauingenieure - Übungsaufgaben
Übungsserie 4:
Komplexe Zahlen
Vorbereitungsaufgaben:
1. Berechnen Sie die algebraische Darstellung der folgenden komplexen Zahlen:
(a) z = (4 − 6i) + 2(2i + 3)
(b)
z = (3 − 7i)(−4 + 2i)
(c)
z = (1 + 2i)2 + (3 − 5i)
(d)
z=
(e)
z=
(f )
z=
(1+i)2
(1−i)2
(1+i)2
i−1
4−2i
(1−i)2
√
2. Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 = 1 + i, z2 = −2 und z3 = −2 + 2 3i.
(a) Berechnen Sie den Betrag |zk | sowie das Argument ϕk dieser komplexen Zahlen.
(b) Stellen Sie die komplexe Zahl zk und die konjugiert komplexe Zahl zk in der
Gaußschen Zahlenebene dar.
(c) Geben Sie zk und zk in trigonometrischer und exponentieller Form an.
Übungsaufgaben:
3. Bestimmen Sie die algebraischen Darstellungen der folgenden komplexen Zahlen z.
5
(a) z = 3+4i
5 + 3+4i
(c)
z=
(2+i)3
2−3i
(b)
z=
(d)
z=
1+i
4i
1−i + 1+i + 1
3+6i
10i4
−
3
2+i
(1+i)2
4. Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 = 2 − 2i, z2 = −4i und z3 = −3 +
√
3i.
(a) Berechnen Sie den Betrag |zk | sowie das Argument ϕk dieser komplexen Zahlen.
(b) Stellen Sie die komplexe Zahl zk und die konjugiert komplexe Zahl zk in der
Gaußschen Zahlenebene dar.
(c) Geben Sie zk und zk in trigonometrischer und exponentieller Form an.
5. Gegeben sind die komplexen Zahlen
√
3π
◦
z1 = 2e− 4 i ,
z2 = 3ei·150 ,
z3 = eπi ,
π
z4 = 2ei 2 ,
◦
z5 = 3e−i·70 .
Geben Sie die trigonometrische und die algebraische Darstellung dieser komplexen
Zahlen an und stellen Sie sie in der Gaußschen Zahlenebene dar.
6. Bestimmen Sie für die folgenden komplexen Zahlen z jeweils die gesuchten Größen.
(a) z = 3(cos( π3 ) − i sin( π3 ))
ges.: trigon. Form, Re(z), Im(z)
i π3
(b)
z = −3e
(c)
z= e
π
i
2
(d)
z=
ges.: z und z̄ in expon. Form
√ + 3 ·i
ges.: Re(z), Im(z), arg(z), |z|
3
1−e 2 πi
1+ie−πi
ges.: algebr. und expon. Form
Zusatz (∗):
π
2i
z = 3−4i
+2e−i 6 + 3 cos π4 + i · sin π4 −
(e)
2π
8(3+i)·e−i 3
z=
(f )
(1−i)2 ·2i
+
16(
cos π2 +i·sin π2
e−iπ
√3 (1
2
+ i)
ges.: Re(z), Im(z)
)
ges.: algebr. Form
7. Berechnen Sie die folgenden Potenzen in algebraischer Darstellung.
(a) z = i101
z = (i −
(d)
z = (1 − i)8
√
(e) z = ( 3 − 3i)100
(b)
√
3)8
z = (−2 + 2i)10
√
50
(f ) z = 23 + 21 i
(c)
8. Bestimmen Sie alle Lösungen z ∈ C der folgenden Gleichungen.
(a) z 2 + 2iz + 3 = 0
z4 − 1 = 0
(d)
2z 2 − 2z + 5 = 0
(b)
(e) z 4 + 5z 2 − 36 = 0
(c)
z 2 − 2z + 4 = 0
(f )
z 4 − 2z 2 + 4 = 0
9. Berechnen Sie sämtliche Lösungen z ∈ C der folgenden Gleichungen und stellen Sie
sie in der Gaußschen Zahlenebene dar.
√
(a) z n = −1 für n = 2, 3, 4 (b) z 5 − 32i = 0
(c) z 3 = −3 − 3i
√
2π
(d) z 4 = e 3 i
(e) z 4 = 2 + 2i
(f ) z 5 = 1 − 3i
√
3
i
2
z6 =
(g)
−
1
2
(h) z 8 − z 2 = 0
(i)
z 6 − 9z 3 + 8 = 0
Geben Sie die Lösungen von (a), (h), (i) in algebraischer Form, alle anderen in exponentieller Form an.
Lösungen:
1.
(a)
10 − 2i
(b)
2 + 34i
(c) −i
(d)
1−i
(e)
−1
(f)
√
2. (a) |z1 | = 2, |z2 | = 2, |z3 | = 4, ϕ1 = π4 , ϕ2 = π, ϕ3 =
√
√ π
(c) z1 = 2(cos π4 + i sin π4 ) = 2ei 4 ,
z2 = 2(cos π + i sin π) = 2eiπ ,
2π
z3 = 4(cos 2π
+ i sin 2π
) = 4ei 3
3
3
3. (a)
6
5
(b) 3 + 3i
(c) − 29
+
13
28
i
13
(d) −2i
2π
3
1 + 2i
√
√
√
√
4. (a) |z1 | = 8 = 2 2, |z2 | = 4, |z3 | = 12 = 2 3,
√
√
π
(c) z1 = 8(cos(− π4 ) + i sin(− π4 )) = 8e−i 4 ,
ϕ1 = − π4 , ϕ2 = − π2 , ϕ3 =
5π
6
π
5.
z2 = 4(cos(− π2 ) + i sin(− π2 )) = 4e−i 2 ,
√ 5π
√
+ i sin 5π
) = 2 3ei 6
z3 = 2 3(cos 5π
6
6
√
√
3π
z1 = 2(cos(− 3π
)
+
i
(−
))
=
−
2
−
2i
4
4
√
√
) + i sin( 5π
)) = − 23 + 23 i
z2 = 3(cos( 5π
6
6
z3 = cos π + i sin π = −1
z4 = 2(cos π2 + i sin π2 ) = 2i
z5 = 3(cos(−70◦ ) + i sin(−70◦ )) ≈ 1, 026 − 2, 819i
√
6. (a) z = 3(cos(− π3 ) + i sin(− π3 )), Re(z) = 23 , Im(z) = − 3 2 3
2π
2π
(b) z = 3e−i 3 , z̄ = 3ei 3
(c) Re(z) = −1,
Im(z) =
√
3,
|z| = 2,
2π
3
arg(z) =
π
(d) z = i = e 2 i
√
8
, Im(z) = − 19
(e) Re(z) = 3 − 25
25
√
√
(f) z = 3 − 3 + 3 3 − 5 i
7. (a) i
(b)
(c)
−32768i
(e)
1250
(−1
2
+
√
3i)
16
(d)
√
−128 + 128 3i
(f)
1
2
+
± 32 i
√
3
i
2
8. (a) −3i, i
√
(c) 1 ± 3i
(b)
1
2
(d)
(e)
±2, ±3i
(f)
±1, ±i
√ π i √ − 5π i √ − π i √ 5π i
2e 6 , 2e 6 , 2e 6 , 2e 6
(a)
n = 2 : ±i ;
9.
(b) zk = 2e
n = 3 : −1, 12 ±
π+4kπ
i
10
, k = 0, . . . 4
π+3kπ
(d) zk = e 6 i , k = 0, . . . , 3
√ −π+6kπ
(f) zk = 5 2e 15 i , k = 0, . . . , 4
(h)
0, 0, ±1, 12 ±
√
3
i, − 12
2
√
3
i
2
√
;
n=4:
3
i
2
√
±
√
2
2
i,
−
2
2
√
±
2
i
2
(e)
√
−5π+12kπ
6
12e 18 i , k = 0, 1, 2
√ π+8kπ
zk = 8 8e 16 i , k = 0, . . . , 4
(g)
zk = e
(c)
√
±
2
2
zk =
π+3kπ
i
9
, k = 0, . . . , 5
√
1, − 21 ± 23 i, 2, −1 ± 3i
√
(i)