Einige Anwendungen des Lemmas von Itô bei der Bewertung

Einige Anwendungen des Lemmas von Itô bei der
Bewertung derivativer Finanztitel
Jochen Wilhelm1
Universität Passau
AP Sept 2006
1
Professor Dr. Jochen Wilhelm, Lehrstuhl für Finanzierung, E-Mail [email protected]
Zusammenfassung
Die vorliegende Ausarbeitung stellt das Lemma von Itô im Zusammenhang mit der stochastischen
Diskontierung von Finanztiteln dar. Einige Anwendungen werden vorgeführt: Asset Pricing, Dividenden zahlende Wertpapiere, Zinsstruktur, Derivate-Bewertung und Unternehmensbewertung.
1
Grundlagen
1.1
Formulierung des Lemmas
g (t) und B (t) seien ein Vektor- und ein Matrixprozess mit Werten in Rn bzw. Rn m . Der Vektorprozess Xt werde durch folgendes System von stochastischen Di¤erentialen bestimmt:
dXt = g (t) dt + B (t) dwt
(1)
Dabei sei wt ein Vektor von unabhängigen Wiener-Prozessen. Es sei weiter eine Funktion u :
(t; x) 7! y 2 R; t 2 R; x 2 Rn gegeben, die den Prozess Yt = u (t; Xt )de…niert (auf die explizite
Abhängigkeit von der Zeit könnte verzichtet werden, wenn man unter die zu Grunde liegenden
Prozesse den speziellen Prozess dXt0 = dt; X00 = 0 aufnimmt; der besondere Charakter der
Zeit macht es aber oft sinnvoll, sie explizit aufzuführen). Wir erinnern daran, dass (1) nur die
Kurzform des Integrals
Zt
Zt
Xt = g ( ) d + B ( ) dw
(2)
0
0
darstellt.
Mit Ox u bezeichnen wir den Zeilenvektor (Gradienten) der partiellen Ableitungen nach den
Komponenten von x. Dann gilt (vgl. Øksendal (1992))
Satz 1 (Lemma von Itô)
2
1X
@u
+ Ox u g +
dYt = 4
@t
2 i;j
2
@ u
B BT
@xi @xj
i;j
3
5 dt + Ox u B dwt
Ist B sogar Diagonalmatrix (mit n=m), vereinfacht sich die Formel zu:
#
"
1 X @2u 2
@u
+ Ox u g +
B
dt + Ox u B dwt
dYt =
@t
2 i
@x2i ii
Wir formulieren das Lemma noch für den Fall, in dem der Zeitprozess nicht gesondert, sondern
im Vektorprozess X enthalten ist; die betre¤ende Zeile in der Matrix B ist dann natürlich 0, die
in g ist gleich 1:
2
3
2
X
1
@
u
T
dYt = 4Ox u g +
B B i;j 5 dt + Ox u B dwt
2 i;j @xi @xj
1.2
Eine Standardtransformation
Sehr häu…g …ndet man den Fall u (t; x) = v (x) = ex mit x 2 R vor (der Matrixprozess B wird
zum Vektorprozess b). Es gilt also
Zt
Zt
g( ) d +
Yt = e 0
0
1
b( )T dw
und daher durch Anwendung des Lemmas
dYt = Yt
g (t) +
1
2
T
kb (t)k dt + Yt b (t) dwt
2
(3)
oder auch umgekehrt, wenn
T
dYt = Yt g (t) dt + Yt b (t)
dwt
gilt, hat man als Lösung
Zt
[g(
)
1
2 kb(
)k
2
]d
Zt
+
Yt = e 0
b( )T dw
(4)
0
zu verwenden.
1.3
Spezialfall I: Quadratwurzelprozess
1
2
kxk an. Dann gilt
2
@2u
Ox u = xT ; 2 = 1
@xi
In einem ersten Spezialfall nehmen wir u (t; x) =
und folglich
"
dYt = XtT
#
1X 2
Bii dt + XtT B dwt
g+
2 i
Das kann man etwas umschreiben zu:
"
#
1X 2
1 p
T
dYt = Xt g +
Bii dt + p
Yt
2 i
2
1
X T B dwt
kXt k t
1
(t) Xt und B als Diagonalmatrix B = p (t) En mit
2
der Einheitsmatrix En und dem Skalar (t) annimmt, erhält man mit
Wenn man schließ
lich g (t) =
dYt =
2n
(t) 4 4
(t)
2
(t) +
(t)
(t)
3
Yt 5 dt + (t)
p
Yt
1
X T dwt
kXt k t
einen Prozess (sog. Quadratwurzel-Prozess), der bei der Modellierung des Zinssatzes eine Rolle
spielt (Cox et al. (1985)).
Der Ausdruck
1
X T dwt
kXt k t
ist (nach der Wahrscheinlichkeitsverteilung) identisch mit einem Wiener Prozess. Das ist Konsequenz aus dem folgenden Satz (Øksendal (1992), S. 113):
2
Satz 2 Das stochastische Integral dYt = (t) dwt mit Y0 = 0 stimmt mit einem (Vektor-)
T
Wiener Prozess überein, wenn gilt (t)
(t) = En fast sicher.
1
X T erfüllt. Daher kann
kXt k t
die dort notierte stochastische Di¤erentialgleichung auch wie folgt geschrieben werden:
2n
3
2
(t) + (t)
p
dYt = (t) 4 4
Yt 5 dt + (t)
Yt dwt
(t)
Die Voraussetzung des Satzes ist oben o¤ensichtlich mit
(t) =
mit dem ein-dimensionalen Wiener Prozess wt . Die Lösung dieser Di¤erentialgleichung kann
also, wie die hier vorgeführte Konstruktion zeigt, als Summe von Quadraten von unahängigen
normalverteilten Prozessen aufgefasst werden.
1.4
Spezialfall II: Stochastischer Diskontierungsfaktor
Für diesen zweiten Spezialfall gehen wir von irgendeinem Vektorprozess Xt , der wahlweise auch
die Zeit als Komponente enthalten möge, aus, de…nieren einen weiteren Prozess (a Skalar, b
Spalten-Vektor) durch
T
dqt = a (Xt ) dt + b (Xt )
qt
und untersuchen den „Diskontierungsfaktor” Qt = e
dQt =
e
1
a (Xt ) + e
2
qt
qt
dwt
. Das Lemma von Itô (hier: (3))liefert
2
kb (Xt )k
dt
e
T
qt
b (Xt )
dwt
was sich zur stochastischen Di¤erentialgleichung
dQt = Qt
a (Xt ) +
umschreiben lässt.
Betrachtet man nun E (Qt+
t
1
2
kb (Xt )k
2
T
dt
Qt b (Xt )
dwt
(5)
jFt ), so erhält man wegen
qt =
Zt
a (X ) d +
0
Zt
T
b (X )
approximativ (der Übergang von Qt 7! Qt+
bedingten Erwartungswert):
t
t
jFt )
(6)
ist approximativ log-normal mit entsprechendem
a(Xt )
E (Qt+
dw
0
Qt e
1
kb(Xt )k2
2
!
t
Nun muss aber im Arbitrage-Gleichgewicht
(Qt+ t jFt )
E
Qt
a(Xt )
e
3
1
kb(Xt )k2
2
!
t
gleich dem Diskontierungsfaktor für die risikofreie Anlage über das Intervall
für den Momentanzinssatz gelten
t sein, d.h. es muss
1
2
kb (Xt )k
2
1
2
a (Xt ) = r (Xt ) + kb (Xt )k
2
r (Xt ) = a (Xt )
woraus für den Diskontierungsfaktor folgt
dQt =
T
Qt r (Xt ) dt
Qt b (Xt )
dwt
bzw in Integraldarstellung
Zt
r(X
Qt = e 0
Zt
1
)+ kb(X
2
)k
2
!
Zt
d
b(X )T dw
(7a)
0
1
2
r(X ) d
ht := Qt e 0
=e
Zt
kb(X )k2 d
0
Zt
0
b(X )T dw
(7b)
Die rechte Seite von (7b) beschreibt, wie die linke Seite ausweist, einen „Diskontierungsfaktor”für
die Bewertung von Futures, d.h. für die Berechnung von Futures-Preisen (Cox et al. (1981)):
fp (t; T ) = E ( hT pT j Ft )
1.5
Konkretes Beispiel: Ein Diskontierungsfaktor mit QuadratwurzelProzess für den kurzfristigen Zinssatz
Es ist hier möglich, den oben beschriebenen Quadratwurzel-Prozess als Prozess des Momentanzinssatzes in die Konstruktion eines kompatiblen Diskontierungsfaktors zu integrieren. Dazu
legen wir einen normal verteilten Vektorprozess
dXt =
(t) Xt dt + (t) dwt
zu Grunde und setzen
2
a (Xt ) = a (t) kXt k
b (Xt ) = b (t) Xt
mit deterministischen Prozessen
a (t)
und
b (t)
4
Dann gilt für den Prozess des Momentan-Zinssatzes
1
2
kb (Xt )k
2
r (Xt ) = a (Xt )
= a (t)
1
2
b (t)
2
kXt k
2
was einen Quadratwurzel-Prozess darstellt, solange
a (t)
1
2
b (t) > 0
2
gesichert ist.
2
2.1
Diskontierungsfaktoren und Preisprozesse
Preisprozesse im Arbitrage-Gleichgewicht
Wir betrachten mit den Annahmen und Bezeichnungen der vorangehenden Abschnitte einen
Preisprozess
Zt
Zt
(X ) d +
pt = p 0 e 0
(X )T dw
(8)
0
der durch Anwendung des Lemmas von Itô als stochastische Di¤erentialgleichung wie folgt geschrieben werden kann:
dpt = pt
(Xt ) +
1
2
k (Xt )k
2
T
dt + (Xt )
dwt
Wenn nun der stochastische Diskontierungsfaktor wie oben (7a) gilt, muss ebenfalls gelten
0
d.h.
B
B
B
EB
B pt+
B
@
t
e
t+
Z t
r(X )+
1
kb(X
2
)k2
!
d
t+
Z t
b(X )T dw
t
t
5
1
C
C
C
F?t C
C = pt
C
A
pt
Zt
= p0 e 0
0
Zt
(X )T dw
(X ) d +
B
B
B
EB
Be
B
@
0
t+
Z t
(X ) d +
t
t+
Z t
t+
Z t
(X )T dw
e
t
r(X )+
1
kb(X
2
)k2
!
d
t
t+
Z t
b(X )T dw
t
1
C
C
C
F?t C
C
C
A
und daher
0
B
B
B
EB
Be
B
@
t+
Z t
(X ) d +
t
t+
Z t
(X )T dw
e
t
t+
Z t
r(X )+
1
kb(X
2
)k2
!
t+
Z t
b(X )T dw
d
t
t
im Vergleich zur Preisgleichung (8) oben. Für kurze Zeitspannen
(bedingte) log-normale Verteilung, und aus (9) folgt daher
(Xt )
r(Xt )+
e
1
kb(Xt )k2
2
!!
t+
1
k
2
1
C
C
C
Ft C
C=1
C
A
(9)
t gilt wieder approximativ die
(Xt ) b(Xt )k2
t
=1
woraus abschließ
end
(Xt ) = r (Xt ) +
1
2
kb (Xt )k
2
1
2
k (Xt ) b (Xt )k
2
1
2
b (Xt )
k (Xt )k
2
T
= r (Xt ) + (Xt )
(10)
ermittelt werden kann, so dass im Arbitrage-Gleichgewicht die Drift des Preises durch einen Kovarianzterm (das bewertete „systematische” Risiko) …xiert wird und nicht beliebig frei gewählt
werden kann (vgl. Ross (1989)). Der Preisprozess lautet nämlich im Arbitrage-Gleichgewicht
Zt
r(X )+ (X )
T
b(X )
1
k
2
(X )k
p t = p0 e 0
2
!
Zt
d +
(X )T dw
0
bzw. als Di¤erentialgleichung
dpt = pt
h
T
r (Xt ) + (Xt )
b (Xt )
6
T
dt + (Xt )
dwt
i
Für einen speziellen Preisprozess mit dem Index i 2 f1; :::; ng hat man
dpit = pit
h
<i>
r (Xt ) +
oder in Vektorschreibweise mit
T
(Xt )
<1>
(Xt ) =
b (Xt )
(Xt ) ;
<i>
dt +
<2>
<i>
(Xt ) ; :::;
T
(Xt )
<n>
dwt
i
(Xt ) , wobei die
(Xt )
m-dimensionale Spaltenvektoren mit der entsprechenden Nummer i sind:
h
i
T
T
dpt = diag (pt )
r (Xt ) 1 + (Xt ) b (Xt ) dt + (Xt ) dwt
h
i
T
T
= r (Xt ) pt + diag (pt )
(Xt ) b (Xt ) dt + diag (pt )
(Xt ) dwt
(11)
Es zeigt sich sehr deutlich, dass ein Preisprozess im Gleichgewicht bei gegebenem Diskontierungsfaktor keine beliebige Drift haben kann oder, umgekehrt, ein (multivariater) Preisprozess
im Gleichgewicht Restriktionen für den Diskontierungsfaktor setzt.
2.2
Dividenden zahlende Wertpapiere
Wir betrachten ein Wertpapier, das einen ex-Dividendenpreisprozess pt aufweist und pro Zeiteinheit die Ausschüttung
Zt
[m(X
1
2 ks(X
)
)k
2
]d
Ct = e 0
zahlt, d.h.
dCt = Ct
Zt
+
s(X )T dw
0
h
i
dwt .
T
m (Xt ) dt + s (Xt )
Der arbitragefreie Preis dieses Wertpapiers beträgt approximativ
pt
1
X
t E
Ct+i
Qt+i
Qt
t
i=1
bzw.
pt
Ct
1
X
i=1
0
B
B
B
t EB
Be
B
@
t+i
Z
t
Ft
t
[(m(X
) s(X )T b(X )) r(X )
1
2 ks(X
) b(X )k2 ] d +
t+i
Z
t
[s(X ) b(X )]T dw
t
t
(12)
(12) ist das Gegenstück zum gewöhnlichen Dividendendiskontierungsmodell. Sind die Funktionen
m; s; r; b nur zeitabhängig, ist eine Lösung durch
pt
Ct
1
X
t e
t+i
Z
t
[(m(
t
i=1
7
) s( )T b( )) r( )] d
1
C
C
C
Ft C
C.
C
A
anzugeben (vgl. auch Wilhelm (2005)). Sind die Größ
en auch noch zeitunabhängig, gilt
e
t+i
Z
t
sT b) r ] d
[(m
= ei
t
t
sT b ) r ]
[(m
und daher
pt
Ct
t
1
X
e
t
[(m
sT b ) r ]
i
t
= Ct
e
i=1
2.3
t [(m sT b) r]
!
1
Ct
für
(m sT b)
r
t!0
(13)
Zinsstruktur und stochastischer Diskontierungsfaktor
Ein besonderer Vorzug der Methode des stochastischen Diskontierens ist die Möglichkeit, sämtliche Preisprozesse eines Finanzmarktsegmentes arbitragefrei simultan zu modellieren. Insbesondere impliziert der stochastische Diskontierungsfaktor eine bestimmte Form und Entwicklung der
Zinsstruktur (Wilhelm (2001)). Für Zero-Bond-Preise mit dem Nominalwert 1 gilt nämlich
D
;t
Qt
F
Q
=E
für den Preis eines Zero-Bonds im Zeitpunkt , wenn er im Zeitpunkt t fällig ist. Betrachtet man
D ;t+
D ;t
t
=E
Qt+ t
F
E (Qt jF )
,
d.h. den Diskontierungsfaktor des Terminzinssatzes f ( ; t; t +
Dt;t+
t
t f ( ;t;t+ t)
=e
t)
,
so …ndet man
Dt;t+
t
t f ( ;t;t+ t)
=e
=E e
(qt+
t
e
qt )
E (e
Nun gilt wieder
E e
(qt+
t
e
qt )
qt
jF
h
=E E e
(qt+
t
qt )
jF?
i
qt
qt
jF )
E (e qt jF )
E (e
8
9
!
1
>
>
2
<
=
q
t a(Xt )
kb(Xt )k
e t
2
=E e
jF
,
>
>
E (e qt jF )
;
:
so dass im Grenzübergang
gilt
e
jF
qt
qt
jF )
t ! 0 für den Momentanterminzinssatz f ( ; t) = lim
8
jF
t!0
=
f ( ; t; t +
t)
f ( ; t) = E
1
2
kb (Xt )k
2
a (Xt )
qt
e
E (e
qt
bzw.
E (e
jF
qt
e
f ( ; t) = E rt
jF )
qt
jF )
jF
,
eine Beziehung, die die korrekte Variante der Erwartungshypothese darstellt.Diese Beziehung
lässt sich auch als Di¤erentialgleichung für den Zero-Bond-Preis schreiben; wegen
d
log (D
dt
f ( ; t) =
;t )
d
D ;t
dt
D ;t
=
gilt dann
qt
e
E rt
E (e
qt
und daher
jF )
jF
d
log (D
dt
=
;t )
d
D ;t
dt
Abschließ
end lässt sich sogar die explizite Integraldarstellung
E rt e
D
;t
=1
qt
Zt
jF
=
E r
e
q
jF
d
angeben.
3
3.1
Derivatebewertung
Der allgemeine Fall
Der dritte Spezialfall behandelt auf der Grundlage der Preisprozesse im Arbitrage-Gleichgewicht
des vorigen Abschnitts die Bewertung von Derivaten. Der Preisprozess des Derivats wird als
Funktion von Zeit und Vektorpreisprozess pt , d.h. als ct = u (t; pt )geschrieben. Das Lemma von
Itô liefert (wir verzichten auf die Angabe der Abhängigkeiten von den zu Grunde liegenden, die
gesamte Dynamik letztlich antreibenden Prozessen Xt , um die Notation zu entlasten):
dct
=
2
@u
= 4
+ Ox u (rt pt + diag (pt )
@t
Ox u diag (pt )
T
t
t
1X
bt ) +
2 i;j
dwt
9
@2u
diag (pt )
@xi @xj
T
t
t
diag (pt )
i;j
3
5 dt +
Der Ausdruck
T
t
diag (pt )
dwt = dpt
T
t
rt pt + diag (pt )
bt
dt
kann aus der Gleichung (11) für die Preise errechnet und hier eingesetzt werden; dabei ergibt sich
2
@u 1 X @ 2 u i
p
dct = 4
+
@t
2 i;j @pi @pj t
Substituiert man nun ct+
<j> j 5
pt dt
<i>T
+ rp u dpt
ct = dct etc., so erhält man die approximative Identität
t
2
@u 1 X @ 2 u i
ct = 4
p
+
@t
2 i;j @pi @pj t
ct+
3
3
<j> j 5
pt
<i>T
t + rp u (pt+
t
pt )
Man wendet nun auf beide Seiten das Preisfunktional an und erhält approximativ (hier ist es auf
der rechten Seite wichtig, dass auf die betre¤enden Wertpapiere keine Ausschüttungen gezahlt
werden):1
ct
1
e
rt
t
2
@u 1 X @ 2 u i
+
p
=4
@t
2 i;j @pi @pj t
3
<j> j 5
pt
<i>T
Man dividiert durch
1
e
rt
t e
rt
t
+ r p u pt 1
e
rt
t
t
und vollzieht den Grenzübergang, um zu der folgenden Beziehung zu gelangen:2
ct =
"
@u 1 P @ 2 u i
+
p
@t
2 i;j @pi @pj t
<i>T
<j> j
pt
rt
#
+ r p u pt
1 Werden auf das betre¤ende Papier je Zeiteinheit Dividenden in Höhe von C gezahlt, gilt auf der rechten
t
Qt+ t
Seite statt pt 1 e rt t der Ausdruck pt 1 e rt t
t E Ct+ t
Ft . Mit dem weiter oben
Qt
verwendeten Dividendenprozess gilt approximativ
E
2 Die
Ct+
t
Qt+
Qt
t
Ft
= Ct e(m(Xt )
s(Xt )T b(Xt ) r(Xt ))
t
in Fuß
note 1 entwickelte Einbeziehung von Ausschüttungen führt hier auf der rechten Seite zu
pt
statt pt , wobei mit
=
Ct
pt
r (Xt )
r (Xt )
die „Dividendenrendite” bezeichnet wird.
10
Daraus ergibt sich die universelle Bewertungsgleichung in der Gestalt einer partiellen Di¤erentialgleichung
rt
2
@u 1 X @ 2 u i
p
+
u (t; pt ) = 4
@t
2 i;j @pi @pj t
<i>T
3
<j> j 5
pt
+ r t r p u pt
die für jedes Derivat gilt. Es erscheint wichtig anzumerken, dass in dieser Analyse vorauszusetzen
ist, dass der Momentanzinssatz eine Funktion der Preise rt = r (t; pt ) ist (speziell also konstant
oder wenigstens deterministisch –wie im unten noch näher behandelten Black-Scholes-Fall). Das
ist deshalb erforderlich, weil ansonsten die Funktion u o¤enbar als Argument rt aufzunehmen
hätte, was wiederum eine andere Konsequenz bezüglich der zeitlichen Entwicklung der Funktion u
hätte, da der Zinssatz kein Preis ist, die Anwendung des Preisfunktionals, wie oben, bezüglich des
Zinssatzes also keine Aussage liefert. Ist hingegen die Funktion rt = r (t; pt ) auf Grund anderer
ln (Dt;T ) ln (DT;T )
Überlegungen spezi…ziert (z.B. wie im Black-Scholes-Fall r t; pit ; Dt;T =
T t
mit dem Zero-Bond-Preis Dt;T ), so folgt die Di¤erentialgleichung
2
@u 1 X @ 2 u i
+
x
r (t; x) u (t; x) = 4
@t
2 i;j @xi @xj
iT
für die Funktion
3
j j5
x
+ r (t; x) rx u x
u (t; x)
mit t 2 R; x 2 Rn .3
3.2
Die klassische Black-Scholes-Welt
Wir wollen die obigen Ausführungen am Beispiel der Black-Scholes-Welt erläutern. Dazu wählen
wir n=2 und m=1 mit der Spezi…kation:
d
pt
Dt
=
r
pt
Dt
b pt
0
+
dt +
pt
0
dwt
mit gegebenem p0 und D0 = D e r T (D > 0). Diese Spezi…kation beschreibt den logarithmisch
normalverteilten Aktienkurs (geometrisch Brownsche Bewegung) und den Preis eines in T fälligen Zero-Bonds mit Nominalwert D bei konstantem und deterministischem Momentanzinssatz.
Die universelle Bewertungsgleichung für ein Derivat in dieser Modellwelt ist mit der Funktion
u (t; x; y) durch
r u (t; x; y) =
3 Für
@u 1 @ 2 u
+
@t
2 @x2
2
x2 + r
@u
@u
x+
y
@x
@y
den Fall der Dividenden zahlenden Wertpapiere ergibt sich (siehe Fuß
noten 1 und 2)
2
3
@u
1 X @2u
j j5
r (t; x) u (t; x) = 4
+
xi iT
x + (r (t; x)
(t; x)) rx u x
@t
2 i;j @xi @xj
11
gegeben. Nun ist keine vollständige Lösung für diese Di¤erentialgleichung gesucht, sondern nur
eine für die Nebenbedingung y = D e r (T t) . Setzt man
v (t; x) = u t; x; D e
r(T
t)
so überzeugt man sich leicht, dass, wenn u die obige Di¤erentialgleichung erfüllt, v die folgende
Di¤erentialgleichung erfüllen muss:
r v (t; x) =
@v 1 @ 2 v
+
@t
2 @x2
2
x2 + r
@v
x
@x
(14)
Diese Gleichung muss jedes univariate Derivat in der Black-Scholes-Welt erfüllen. Eine Übertragung auf den Fall multivariater Derivate ist unmittelbar möglich.
3.3
Die Black-Scholes-Welt bei stochastischem Basispreis bzw. bei stochastischer Zinsstruktur
Die gerade ausgeführten Überlegungen lassen sich für eine Fallgruppe mit stochastischem Zinssatz
bzw. unter Berücksichtigung der Zinsstruktur übertragen. Die oben angeschriebene allgemeine
Di¤erentialgleichung wird nachfolgend als Di¤erentialgleichung in x,y und t geschrieben:
r (t; x; y) u (t; x; y) =
@u 1
+
@t
2
2
@ u 2
@2u
@2u 2
2
T
2
x
k
(t)k
+
2
x
y
(t)
s
(t)
+
y ks (t)k
@x2
@x@y
@y 2
@u
@u
+r (t; x; y)
x+
y
@x
@y
mit der Preisentwicklung:
d
pt
Dt
=
r
pt
Dt
T
+
T
s
b pt
b Dt
dt +
pt T
Dt sT
dwt
wobei ; s; b als nur zeitabhängig vorausgesetzt werden.
Das Bewertungsproblem lässt sich nämlich durch folgenden Ansatz einer Lösung unter Verwendung der Black-Scholes-Formel für Europäische Call-Optionen näher bringen:
u (t; x; y) = x N
log (x) log (y) 1
+ v (t)
v (t)
2
y N
log (x) log (y)
v (t)
wobei wie üblich N die Verteilungsfunktion einer Gauß
schen Einheitsvariable ist.
Für die ersten Ableitungen nach den Preisvariablen gilt
@u
log (x) log (y)
=N
+
@x
v (t)
log (x) log (y)
@u
= N
@y
v (t)
12
1
v (t)
2
1
v (t)
2
1
v (t)
2
wodurch sich die oben notierte Di¤erentialgleichung o¤enbar auf
@u 1
+
@t
2
reduziert.
Mit d =
@2u
@2u 2
2
x k (t)k + 2
x y
2
@x
@x@y
T
(t)
s (t) +
@2u 2
2
y ks (t)k
@y 2
=0
log (x) log (y)
gilt dann weiter
v (t)
@2u
= N0 d +
@x2
@2u
= N0 d
@y 2
r
y
1
=
x v (t)
x x
r
x
1
=
y v (t)
y y
1
v (t)
2
1
v (t)
2
1 p
2
v (t)
1 p
2
v (t)
log (x) log (y)
v (t)
log (x) log (y)
v (t)
N0
N0
1
v (t)
2
1
v (t)
2
N0
N0
@2u
=
@x@y
=
1
v (t)
2
N0 d
1
1
N 0 d + v (t)
2
y v (t)
p
1
log (x) log (y)
2 N0
p
x y v (t)
v (t)
1
=
x v (t)
N0
1
v (t)
2
sowie
@u
= v 0 (t)
@t
p
p
x y 2
N0
log (x) log (y)
v (t)
N0
1
v (t)
2
Führt man diese Ausdrücke in der oben angeschriebenen notwendigen Bedingung zusammen,
erhält man
p
2
N
0
log (x) log (y)
v (t)
N
0
p
1
v (t)
2
2
1 k (t) s (t)k
v (t) +
2
v (t)
0
x y
woraus die gewöhnliche Di¤erentialgleichung
2
v 0 (t) +
1 k (t) s (t)k
=0
2
v (t)
für die Funktion v(t) folgt. Eine Lösung lautet
2
v (t) =
ZT
t
k ( )
2
s ( )k
d
oder
v
u T
uZ
u
v (t) = t k ( )
t
13
2
s ( )k
d
!
=0
Damit ist insgesamt eine Lösung (im Ergebnis wie Merton (1973)) für das Derivat-Bewertungsproblem
bei zwei (log-normalen) stochastischen Preisvariablen mit nur Zeit-abhängiger Volatilität gefunden unter der Voraussetzung, dass der Momentanzinssatz als Funktion der beiden Preisvariablen
und der Zeit geschrieben werden kann:
0
B
B
B
B
log (x)
c (t; x; y) = x N B
Bv
u
B uZT
Bu
@t k ( )
v
u T
uZ
1u
+ t k ( )
2
log (y)
s ( )k
1
s ( )k
t
2
d
t
0
B
B
B
B
log (x)
y NB
Bv
u
T
B uZ
Bu
@t k ( )
2
1
v
u T
uZ
1u
t k ( )
2
log (y)
s ( )k
2
2
s ( )k
t
d
t
C
C
C
C
d C
C
C
C
A
C
C
C
C
d C
C
C
C
A
Diese Lösung stimmt mit der Black/Scholes-Gleichung für die Europäische Kaufoption überein,
wenn s(t) = 0 gilt. Allgemein erfüllt diese Lösung die Randbedingung
u (T; x; y) = max fx
y; 0g
der Europäischen Kaufoption mit Basispreis y. Der Fall eines Gauß
schen Ein-Faktor-Modells für
die Zinsstruktur ist dabei eingeschlossen (vgl. Wilhelm (2001)).
3.4
Der Spezialfall Gauß
scher Zinsstruktur
Mit dem folgenden Ansatz für den stochastischen Diskontierungsfaktor erhält man ein konsistentes Modell für die Zinsstruktur, in dem die anfängliche empirische Zinsstruktur r (0; t) korrekt
berücksichtigt wird:
1
2
qt = t r (0; t) +
(t)
2
ZT
t
2
kh ( )k
d +
(t)
ZT
T
h( )
dw
t
Die Anwendung des Lemmas von Itô zeigt, dass qt die folgende stochastische Di¤erentialgleichung
erfüllt:
dqt =
g (t) +
0
(t)
qt
(t)
dt +
T
(t) h (t)
dwt
mit
g (t) =
und daher
(t)
2
d 4 t r0;t
1
+
(t)
dt
(t)
2
14
ZT
t
2
kh ( )k
3
d 5
g (t) = f (0; t)
0
t r (0; t)
(t)
(t)
1
+
2
0
(t)
Zt
(t)
kh ( )k
2
d +
1
2
2
(t) kh ( )k
2
0
mit dem (in…nitesimalen) anfänglichen Terminzinssatz
f (0; t) .
Mit dem oben Gesagten folgt daher für den Momentanzinssatz zwingend die Entwicklung
1
rt = f (0; t) +
2
0
(t)
(t)
Zt
2
kh ( )k
d +
0
(t)
(qt
(t)
t f (0; t))
0
oder explizit
rt = f (0; t) +
1
2
0
(t)
Zt
(t)
2
kh ( )k
d +
0
(t)
0
Zt
T
h( )
dw
0
in Übereinstimmung mit Wilhelm (2001)) (daraus lässt sich nun leicht die Zinsstrukturentwicklung und damit die Preisentwicklung eines Zero-Bonds ableiten). Als stochastische Di¤erentialgleichung für den Momentanzinssatz gilt
d (rt
0
f (0; t)) = @
0
(t)
2
d 4
(t)
dt
:: +
Zt
3
2
d 5+
kh ( )k
0
0
T
(t) h (t)
00
0
1
(t)
(rt
(t)
f (0; t))A dt + ::
dwt
Wie man sieht, hat der Momentanzinssatz immer dann eine stochastische Drift-Komponente,
wenn 00 (t) 6= 0 gilt; der Fall 00 (t) = 0 ist im Wesentlichen der Ho-Lee-Fall, in dem a¢ n
linear ist (Wilhelm (2001)). Für die Preisentwicklung des Zerobonds gilt nun ()
und auch
8
< 1
exp
: 2
8
< 1
exp
: 2
Dt = D e (T t)
Zt
2
2
(t)
kh ( )k d
2
(T )
f (0;t;T )
( (T )
(t))
0
2
(T )
Dt = D e (T t)
Zt
2
2
kh ( )k d
(t)
0
15
Zt
T
h( )
0
dw
9
=
;
0 rt;T
(T )
0
(t)
(t)
(r (t)
9
=
0 rt )
;
woraus durch Bilden der Inversen die Eigenschaft des Momentanzinssatzes folgt, Funktion eines
Marktpreises zu sein.
Eine einfache Überlegung zeigt, dass die Volatilität s (t) des Zero-Bond-Preises gleich
s (t) = ( (T )
(t)) h (t)
sein muss, also, wie erwartet, gegen Null geht, wenn t ! T geht.
4
Unternehmensbewertung
Unternehmensbewertung auf den Spuren der Realoptionsmode (Dixit und Pindyck (1996))
betrachtet den Wert eines Unternehmens als Funktion des Preises eines Marktobjektes (z.B.
Erdöl). Besonderes Interesse …nden dabei Verhältnisse, bei denen von zeitlicher Homogenität
des Unternehmnswertes ausgegangen werden kann. Die Gleichung (14) für die Funktion v (x) =
u (t; x) vereinfacht sich dann zu einer gewöhnlichen Di¤erentialgleichung
r v (x)
=
d2 v 2
x
dx2
=
1 d2 v
2 dx2
2 r
2
2
x2 + (r
v (x)
dv
x
dx
) dv
x,
dx
)
2 (r
2
(15a)
(15b)
einer sogenannten Eulerschen Di¤ erentialgleichung zweiten Grades (vgl. Erwe (1972), S. 102–
104), die durch die Transformation x = et in die linear homogene Di¤erentialgleichung zweiten
Grades
2 r
2 (r
)
z= 2 z+ 1
z
2
mit den beiden linear unabhängiggen Lösungen
z
z
= e
= e
t
2
( 21
2
(r
q
))+ 2 r
2+
t
2
( 21
2
(r
))
2+
q
2r
2
( 12
2
(r
))
( 21
2
(r
))
überführt werden kann, woraus für den Unternehmenswert folgt
2
!
r
2
1
1
( 12 2 (r ))+ 2 r 2 +( 12 2 (r ))
( 12
2
2
v (x) = 4A x
+B x
2
2
(r
)
)
r
2 r
( 12
2+
2
(r
2
)
)
!
3
5
(16)
mit zwei noch durch Nebenbedingungen zu bestimmenden Konstanten A und B.
An die für die Herleitung erforderlichen Bedingungen sei erinnert:
1. Der Zinssatz muss die Zinsstruktur des Marktes determinieren.
2. Das Objekt, auf das funktionaler Bezug genommen wird, muss Preis eines keine Dividenden
zahlenden (eventuell durch Duplikation synthetisierbaren) Marktobjektes sein.
Nimmt man als Bezugsobjekt eine Investition, die, wenn sie getätigt worden ist, einen Strom
von Netto-Cash‡ows in Höhe von Zt pro Zeiteinheit liefert, ergibt sich ihr Marktwert im Zeitpunkt t zu
Z 1
Q
Mt =
Z Ft
d .
E
Qt
t
16
Wählt man
Zt
Zt
Zt
= Z0 e 0
bzw.
Zt
= Z
m(X
1
)+ ks(X
2
)k
2
!
Zt
s(X )T dw
Zt
s(X )T dw
d +
0
m(X
1
)+ ks(X
2
)k2
!
d +
e
mit s (X ) = b (X ) als Cash‡owgenerator (vgl. Goldstein et al. (2001)) (der Cash‡ow ist
also mit dem „Marktportfolio"vollständig korreliert), ergibt sich der Marktwert zu
1
0 Zt
M =Z
Z
1
B
B
B
E Be
B
@
(m(X ) r(X )) d
C
C
C
F C dt.
C
A
Für deterministische Drift m (X ) = m und deterministischen Zinssatz r (X ) = r ergibt sich
einfach der Ausdruck (vgl. oben (13))
M =
Z
r
m
als das Gegenstück zum klassischen Dividendenwachstumsmodell (Gordon und Shapiro (1956)).
Die Dividendenrendite ergibt sich zu
=
r m
bzw.
=
m
r
Im hier entwickelten Kontext kann davon ausgegangen werden, dass der Wert der Möglichkeit,
die Investition zu Anfangsauszahlungen in Höhe von I zu realisieren, nicht vom Realisationszeitpunkt selbst, sondern nur von der Zustandsvariablen M abhängt, da die Anfangsauszahlungen
zeitlich konstant und deterministisch sind und die Zustandsvariable M einem Marko¤-Prozess
folgt, d.h die Entscheidungssituation durch eine Verzögerung ändert sich nur auf Grund der geänderten Größ
e M . Folglich ist (16) eine adäquate Beschreibung des Projektwertes als Funktion
der Größ
e M . Wenn im Zeitpunkt T investiert wird, gilt
v (MT ) =
r
ZT
m
I.
(17)
i
h
ZT
bei Investition
Als zweite Bedingung wird gefordert, dass die Di¤erenz v (MT )
I
r m
maximal wird:
1
v (MT ) =
.
r m
Schließ
lich ist der Projektwert jedenfalls dann gleich 0, wenn der Wert des Cash‡owgenerators
0 wird, da er dann auf 0 …xiert bleibt. Ein Blick auf die Gleichung (16) zeigt, dass daher der
Parameter B gleich 0 sein muss:
1
2
( 12
2
)
r
m +
v (x) = A x
17
2 r
( 21
2+
2
m
2
)
!
.
(18)
Aus Bedingung (17) folgt
ZT
r m
I
ZT
r m
1
2
( 12
2
q
m)+ 2 r
1
2
v (x) =
ZT
r m
ZT
= I (r
r m
I
x (r m)
ZT
q
m
2 r
q
m)
m
2 r
( 21
( 12
2+
2
2
m)
=A
)
2
r
m +
2 r
2
+
1
2
2
m
2
+
1
2
2
m
( 21
2+
2
2
+
2
m
1
2
2
1
2
2
2
)
!
Literatur
Cox, J. C., Ingersoll, Jr., J. E. und Ross, S. A. (1981). The Relation between Forward
Prices and Futures Prices. Journal of Financial Economics 9: S. 321–346.
Cox, J. C., Ingersoll, Jr., J. E. und Ross, S. A. (1985). A Theory of the Term
Structure of Interest Rates. Econometrica 53: S. 385–407.
Dixit, A. K. und Pindyck, R. S. (1996). Investment under Uncertainty. Princeton
University Press, Princeton, 2. Auflage.
Erwe, F. (1972). Gewöhnliche Di¤ erentialgleichungen. Bibliographisches Institut, Mannheim, 2. Auflage.
Goldstein, R., Ju, N. und Leland, H. (2001). An EBIT–Based Model of Dynamic
Capital Structure. Journal of Business 74: S. 483–513.
Gordon, M. J. und Shapiro, E. (1956). Capital Equipment Analysis: The Required
Rate of Pro…t. Management Science 3: S. 102–110.
Merton, R. C. (1973). Theory of Rational Option Pricing. Bell Journal of Economics and
Management Science 4: S. 141–183.
Ross, S. A. (1989). Information and Volatility: The No–Arbitrage Martingale Approach
to Timing and Resolution Irrelevancy. Journal of Finance 44: S. 1–17.
Wilhelm, J. (2001). Option Prices with Stochastic Interest Rates - Black/Scholes and
Ho/Lee uni…ed. Arbeitspapier B-8-01, Passauer Diskussionspapiere, Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät der Universität Passau.
Wilhelm, J. (2005). Unternehmensbewertung - Eine …nanzmarkttheoretische Untersuchung. Zeitschrift für Betriebswirtschaft 75: S. 631–665.
Øksendal, B. (1992). Stochastic Di¤ erential Equations - An Introduction with Applications. Springer Verlag, Berlin –Heidelberg –New York, 3. Auflage.
18