Ramsey-Regel - Universität Münster

1
W h t
Wachstum
und
dE
Entwicklung
t i kl
Neoklassische Wachstumstheorie –
Th
Theorie
i optimalen
ti l Wachstums
W h t
Prof. Dr. Wolfgang Ströbele
In Zusammenarbeit mit Dipl.-Math. Eric Meyer
Lehrstuhl für Volkswirtschaftstheorie
Universität Münster
Variable Sparquote
Bislang wurde eine konstante Sparquote (s = const
const.)) angenommen
angenommen.
Der Konsum ist jedoch einer eigenen Optimierung unterworfen, aus
dem Konsum zieht man Nutzen, der zu maximieren ist:
∞
max ∫ U(C( t )) ⋅ e − δt dt
C( t )
0
Frage: Wie kann so ein Problem gelöst werden?
→ Dynamische Optimierung
2
Dynamische Optimierung
Problemstellung
3
Bisher:
Gegeben ist eine Funktion
f ( x ) = −( x − 2)2
die zu maximieren ist:
max − ( x − 2)2 oder max f ( x )
x
x
Jetzt:
max ∫ f ( x( t ))dt
x( t )
Zu maximieren ist ein Integral bzgl. einer Funktion (nicht wie zuvor bzgl.
einer Variablen).
Variablen)
Außerdem gibt es als Nebenbedingung eine Differentialgleichung.
Dynamische Optimierung
Die Aufgabe
Ein typisches dynamische Optimierungsproblem sieht wie folgt aus:
T
max
u(t )
s.t.:
∫ I(x(t ),u(t ), t )dt
t0
x& (t ) = f (x (t ), u(t ), t )
x (t 0 ) = x 0 , x (T ) = x T
4
Dynamische Optimierung
„Zutaten“
5
1. Die Variablen
1
Man unterscheidet Kontrollvariablen (hier u(t)) und Zustandsvariablen
(hier x(t)).
Kontrollvariablen: Sie stehen dem Optimierer jederzeit als Einflußgrößen
zur Verfügung. Mit ihrer Hilfe versucht er sein Zielfunktional zu optimieren.
Beispiele: Konsum, Investitionen, …
Zustandsvariablen: Sie werden durch die Kontrollvariablen, sich selbst
und
d u.U.
U einem
i
autonomen
t
Z
Zeitterm
itt
beeinflusst
b i fl
t und
d wirken
i k als
l B
Bestände
tä d
intertemporal.
Beispiele: Kapital, Ressourcenbestand, …
6
Dynamische Optimierung
„Zutaten“
2. Das Zielfunktional
2
Im Zielfunktional werden die Gewinne bzw. der Nutzen aus allen Perioden
Addiert. Im kontinuierlichen Fall bedeutet das die Integration.
Endlicher Zeithorizont:
T
Ohne Restwert
J(x( t ), u( t ), t ) = ∫ I(x( t ),u( t ), t )dt
t0
T
Mit Restwert
J(x( t ),
) u( t ),
) t ) = ∫ I(x( t ),
) u( t ),
) t )dt + S(x T , T )
t0
Unendlicher Zeithorizont:
∞
∞
J(x( t ), u( t ), t ) = ∫ I(x( t ),u( t ), t )dt
t0
mit
∫ I(x,u, t )dt < ∞
t0
Dynamische Optimierung
„Zutaten“
7
3. Die Bewegungsgleichung
3
Sie beschreibt die Veränderung der Zustandsvariable und wird durch den
Zustand, die Kontrollvariable und einen autonomen Zeitterm beeinflusst.
x& (t ) = f (x (t ), u(t ), t )
Dynamische Optimierung
„Zutaten“
8
4 Die End
4.
End- oder Transversalitätsbedingungen
Man unterscheidet:
a)) Feste Endzeit T,, fester Endwert x(T)
( )
b) Feste Ebndzeit T, freier Endwert x(T)
c) Erreichen einer Hyperebene f(x(T),T=0
d)) Optimale
p
Endzeit
x
x
xT
x0
x0
t0
t
T
Hyperebene
f(x,t)
xT
t0
T
t
x0
x0
t0
T
t
Die Transversalitätsbedingungen
„spannen“ die Differentialgleichungen
ein und picken die Lösungen aus einer
Kurvenschar heraus.
Analog könnte
ö
man auch S
Startbedingungen formulieren
t0
t
Dynamische Optimierung
Die Aufgabe
Das dynamische Optimierungsproblem lautet:
T
max
u(t )
s.t.:
∫ I(x(t ),u(t ), t )dt
t0
x& (t ) = f (x (t ), u(t ), t )
x (t 0 ) = x 0 , x (T ) = x T
9
Dynamische Optimierung
Hamilton-Funktion
Zur Lösung bildet man zunächst die Hamilton-Funktion
H(x (t ), u(t ), λ (t ), t ) = I(x (t ), u(t ), t ) + λ (t ) ⋅ f (x (t ), u(t ), t )
Integrand
Schattenpreis
Bewegungsbeschreibung
10
Dynamische Optimierung
Lösung
Satz: Maximumprinzip (Notwendige Bedingung für ein Maximum)
Sei u*(t) eine stückweise stetige Funktion auf [t0, T], die das obige
Optimierungsproblem löst, und sei x*(t) der mit u*(t) assoziierte Pfad der
Zustandsvariablen Dann existiert eine stückweise stetig differenzierbare
Zustandsvariablen.
Funktion λ(t), so dass für alle t ∈ [t0, T] gilt:
1.) Maximierungsbedingung
u*(t)
*(t) maximiert
i i t H(
H(x*(t),
*(t) u(t),
(t) λ(t),
λ(t) t)
∂H
=0
Meist heißt dieses, dass gilt
∂u(t )
2. ) Kanonische Gleichungen
∂H
= x& (t )
∂λ(t )
−
∂H
= λ& (t )
∂x(t )
11
Dynamische Optimierung
Lösung
12
Zur Lösung eines dynamischen Optimierungsproblems sind also drei
Dinge zu tun:
1.) Ableiten der Hamilton-Funktion nach u(t), d.h. man maximiert die
Hamilton-Funktion nach der Variablen u(t).
2.) Ableiten der Hamilton-Funktion nach dem Schattenpreis. Dieses
reproduziert die Bewegungsgleichung.
3.) Ableiten der Hamilton-Funktion nach der Bestandsgröße x(t). Man
erhält eine Bewegungsgleichung
g g g
g für den Schattenpreis.
p
Insgesamt ergeben sich damit zwei Differentialgleichungen, die die
Lösungspfade für die Kontrollvariable und den Bestand charakterisieren
charakterisieren.
Dynamische Optimierung
Interpretation
13
1 Der
1.
D Schattenpreis
S h tt
i
Der Schattenpreis λ(t) gibt zu jedem Zeitpunkt t an, welchen
„Wert“
W t“ eine
i marginale
i l V
Veränderung
ä d
d
des B
Bestandes
t d h
hat.
t
• D.h. der Schattenpreis nennt eine Preis, den man für eine weitere
Bestandseinheit bereit ist zu zahlen.
• Der Wert bemisst sich dabei aus der Zielfunktion im Integral
• Zentrale Bedeutung bei der Interpretation
• Der Schattenpreis „verknüpft“ alle Zeitpunkte.
Dynamische Optimierung
Interpretation
14
2 Di
2.
Die H
Hamilton-Funktion
ilt
F kti
(x2
H = I1
, u3
,t) + λ
f (2
x,4
u3
,t)
1⋅4
1
2
1 Aktuelle Profitrate
2 Zukünftiger Profit
x& =
dx
dt
dx: M
d
Marginale
i l Ä
Änderung
d
d
des B
Bestandes
t d
bei marginaler Änderung der Zeit
= f ( x, u, t )
λ ⋅ dx
dt : Preis für eine marginale Bestandseinheit mal eine marginale
Bestandseinheit ergibt den Wert
Hamilton-Funktion gibt den Gesamtwert zu einem Zeitpunkt t an,
bestehend aus der aktuellen Profitrate und dem zukünftigen Profit
Dynamische Optimierung
Interpretation
15
3 Die
3.
Di Maximierungsbedingung
M i i
b di
∂H
∂I
∂f
=0⇒
+λ⋅
= 0 bzw. Iu = −λ ⋅ fu
∂u
∂{
u 12∂3
u
1
2
1M
Marginale
i l Ä
Änderung
d
d
der aktuellen
kt ll P
Profitrate
fit t
2 Marginale Änderung des zukünftigen Profits
Aussage:
Eine marginale Änderung der aktuellen Profitrate muss gleich der
marginalen Änderung des zukünftigen Profits sein
sein.
Andernfalls lohnt sich eine Reallokation zwischen Gegenwart und Zukunft.
Dynamische Optimierung
Interpretation
4 Die
4.
Di kanonischen
k
i h Gleichungen
Gl i h
∂H
= x& ⇒ f ( x, u, t ) = x&
∂λ
Reproduktion der Bewegungsgleichung
−
∂H &
∂I
∂f
=λ⇒
+λ⋅
= − λ& bzw. Ix + λ ⋅ fx = −λ&
∂x
∂x 12∂3
x {
{
1
2
3
1 Marginale Änderung der aktuellen Profitrate
2 Marginale Änderung des zukünftigen Profits
3 Entwertungsrate
16
17
Momentanwertform vs.
Gegenwartswertform
Häufig
Hä
fi werden
d bei
b i dynamischen
d
i h Problemen
P bl
di
die W
Werte
t di
diskontiert,
k ti t
um Zahlungsströme besser vergleichen zu können.
Das dynamische Optimierungsproblem könnte dann diese Form annehmen:
T
max ∫ I(x, u, t ) ⋅ e − δt dt
u
s.t. :
t0
x& = f ( x, u, t )
x (t 0 ) = x 0 , x (T ) = x T
Diskontierung
Die Zielfunktion liegt hier in Gegenwartswerten vor.
Das obige Lösungsverfahren lässt sich analog mit dem Integranden
I(x,u,t)·e-δt anwenden.
Momentanwertform vs.
Gegenwartswertform
18
Grundsätzlich ist nun zwischen der Hamilton-Funktion
Hamilton Funktion in Gegenwartswerten
und in Momentanwerten zu unterscheiden.
HG = I(x, u, t )e − δt + λ ⋅ f (x, u, t )
Gegenwartswertform
Multiplikation/Aufzinsung mit eδt ergibt dann:
HM = e δtHG
= I(x, u, t ) + λe δt ⋅ f (x, u, t )
= I(x, u, t ) + μ ⋅ f (x, u, t )
Momentanwertform
δt
mit μ = e λ
Man beachte:
λ ist
i td
der S
Schattenpreis
h tt
i iin G
Gegenwartswerten
t
t und
d μ ist
i td
der S
Schattenpreis
h tt
i
in Momentanwerten
19
Momentanwertform vs.
Gegenwartswertform
Gegenwartswertform
HG = I(x, u, t )e − δt + λ ⋅ f (x, u, t )
I.
∂HG
= Iu ⋅ e − δt + λ ⋅ fu = 0
∂u
∂HG
= f (x, u, t ) = x&
∂λ
HG
III. − ∂∂H
= −Ix e − δt − λf x = λ&
∂x
II.
Momentanwertform
HM = I(x, u, t ) + μ ⋅ f (x, u, t )
∂HM
= Iu + μfu = 0
∂u
∂HM
= f (x, u, t ) = x&
∂μ
∂∂H
H
− M = −Ix − μfx = μ& − δμ
∂x
Rein technisch kann man also die Momentanwertform bilden (d
(d.h.
h man
notiert nur I(x,u,t)) und bildet dann die drei Gleichungen rechts, wobei
sich nur bei der Bewegungsgleichung des Schattenpreises etwas ändert.
Phasendiagrammtechnik
20
Häufig kommt es vor,
vor dass sich ein System von zwei Differentialgleichungen
nicht mehr geschlossen lösen lässt.
In solchen Fällen kann mit Hilfe der Phasendiagrammtechnik das qualitative
Verhalten der betrachteten Größen untersucht werden
werden.
Diese Technik soll am folgenden Beispiel erläutert werden:
x& 1 = 12 − 6 x 1 − 2x 2 =: f ( x 1, x 2 )
x& 2 = −2 + x 1 − x 2 =: g( x 1, x 2 )
Frage: Wie bewegen sich die Größen x1 und x2?
Phasendiagrammtechnik
21
Schritt 1: Isoklinen ermitteln
Id
Idee:
Eliminiere
Eli i i
di
die zeitlichen
itli h Abl
Ableitungen
it
→ Ermittle jene Punkte (x1,x2), in denen sich entweder x1 oder x2 nicht
g , mithin wo also x& 1 = 0 oder x& 2 = 0 g
gilt.
bewegen,
Im bedeutet dieses
x& 1 = 0 : 0 = 12 − 6 x1 − 2x 2
x& 2 = 0 : 0 = −2 + x1 − x 2
Diese beiden Gleichungen kann man nach x2 auflösen und erhält damit
die Funktionsgleichungen für die beiden Isoklinen x& 1 = 0 und x& 2 = 0 :
x& 1 = 0 : x 2 = 6 − 3 x1
x& 2 = 0 : x 2 = −2 + x1
22
Phasendiagrammtechnik
Schritt 2: Eintragen in ein x1-x2-Diagramm
x2
6
B
2
C
A
1
2
1
-2
x& 2 = 0
D
x1
x& 1 = 0
Phasendiagrammtechnik
23
Schritt 3: Bewegung in den vier Sektoren
Analysiere getrennt die Bewegung in x1- und x2-Richtung
Richtung mit Hilfe der
jeweils zugehörigen Differentialgleichung:
Bewegung in x1-Richtung:
i) Gehe auf die Isokline x& 1 = 0
Hi gilt
Hier
ilt für
fü die
di x1 und
d x2 x& 1 = 12 − 6 x1 − 2x 2 = 0 für
fü alle
ll x.
ii) Bewege Dich in den Sektor A hinein
Um sich von der Isokline x& 1 = 0 in den Sektor A hineinzubewegen muss
man x1 oder x2 erhöhen. Auf der Isokline galt: x& 1 = 12 − 6 x1 − 2x 2 = 0 .
Wenn man x1 oder x2 erhöht, so subtrahiert man mehr als vorher auf der
I kli
Isokline,
wo x& 1 = 0 galt.
lt Al
Also muss nun x& 1 < 0 gelten,
lt
d.h.
d h x1 schrumpft.
h
ft
Dieses symbolisiert man durch einen Pfeil nach links im Diagramm.
Phasendiagrammtechnik
24
Schritt 3: Bewegung in den vier Sektoren
Bewegung in x2-Richtung:
Richtung:
i) Gehe auf die Isokline x& 2 = 0
Hier gilt für x1 und x2: x& 2 = −2 + x − y = 0 .
ii) Bewege Dich in de Sektor A hinein
g muss
Um sich von der Isokline x& 2 = 0 in den Sektor A hineinzubewegen
man x1 erhöhen oder x2 verringern. Auf der Isokline galt:
x& 2 = −2 + x − y = 0 . Wenn man x1 erhöht oder x2 verringert, so addiert
man mehr oder subtrahiert man weniger als vorher auf der Isokline,
Isokline wo
x& 2 = 0 galt. Also muss nun x& 2 > 0 gelten, d.h. x2 wächst. Dieses
symbolisiert man durch einen Pfeil nach oben im Diagramm.
25
Phasendiagrammtechnik
Schritt 3: Bewegung in den vier Sektoren
x2
6
B
x& 2 = 0
C
2
A
1
2
1
-2
D
x1
x& 1 = 0
Modell optimalen Wachstums
((1)) U(C)
( )
(2) Y = F (K, L)
(3) w = FL
r = i = FK
(4) I = S
26
Nutzenfunktion ((abhängig
g g vom
Konsum)
Produktionsfunktion
F(K L) erfülle die
F(K,L)
Inada-Bedingungen
Faktorpreisfestlegung
(Ersatz für eine)
Investitionsfunktion
(5) K& = I = F(K,L) – C
Bewegungsgleichungen für
Kapitalstock K
(6) L& =n⋅L
Bewegungsgleichung für Arbeit L
Gegeben sind: K0, L0; n ≥ 0 (zunächst sei n=0)
Modell optimalen Wachstums
27
Es gilt,
E
ilt d
den N
Nutzen
t
aus d
dem K
Konsum zu maximieren,
i i
unter
t d
der
Nebenbedingung der Bewegungsgleichung für das Kapital. Gesucht ist
also der optimale Konsumpfad C(t).
∞
max W = ∫ e −δt ⋅ U(C( t )) dt
C( t )
0
Nebenbedingung: K& = F(K,L ) − C( t )
mit δ > 0, U′(C) > 0 , U′′(C) < 0 ,
lim U′(C) = ∞, lim U′(C) = 0
C →0
C→∞
Beachte: Zunächst wird von einer konstanten Bevölkerung ausgegangen,
also n
n=0
0.
Modell optimalen Wachstums
Die Hamilton-Funktion lautet:
H = U (C(t)) e − δt + λ (t) ⋅ [F (K(t), L ) – C(t)]
Notwendige Bedingung für ein Maximum bzgl. C:
∂H
= 0 : U′(C( t )) ⋅ e − δt = λ( t )
(1)
∂C( t )
Die kanonische Gleichung lautet:
∂H
(2)
= −λ& : λ( t ) ⋅ FK = −λ&
∂K
28
Modell optimalen Wachstums
Wir ermitteln die Wachstumsraten der Gleichung (1) durch
logarithmisches Differenzieren:
Û′(C) − δ = λˆ
(3)
Aus Gleichung (2) erhält man:
FK = −λˆ
(4)
Aus (3) und (4) ergibt sich durch Gleichsetzen
− Û′(C) = FK − δ
(5)
Û′(C) lässt sich auch schreiben als
&
U′′(C) ⋅ C
Û′(C) =
U′(C)
Damit folgt:
&
U′′(C) ⋅ C
−
= FK − δ
(6)
U′(C)
29
Modell optimalen Wachstums
Erweitern mit C und Verwendung
g der Grenznutzenelastizität
U′′(C( t )) ⋅ C
−η=
ergibt:
U′(C( t ))
(7)
Ĉ ⋅ η = FK − δ
woraus die Ramsey-Regel für die Wachstumsrate des Konsums
auf dem Optimalpfad
p
p
folgt:
g
(8)
Ĉ =
FK − δ
η
30
31
Ramsey-Regel
Investitionskalkül
Der Ramsey-Regel liegt ein Investitionskalkül zugrunde
zugrunde, ob eine Gütereinheit
heute investiert werden soll.
Heute
Investition heute führt zu einem
Nutzenverlust durch Minderkonsum
bewertet durch die Nutzenfunktion:
U′(C( t ))
Morgen
1
U′(C( t + 1)) ⋅ (1 + FK ( t + 1))
1+ δ
Durch die Investition steigt das
Einkommen: FK ( t + 1)
(1)
Außerdem wurde gestern schon
investiert, diese Einheit muss nun
nicht mehr investiert werden.
(2)
1
Insgesamt erhält man bewertet in
diskontierten Nutzeneinheiten:
32
Ramsey-Regel
Investitionskalkül
Der heutige Nutzenverlust muss genau durch den morgigen Nutzengewinn
ausgeglichen werden:
1
( ( )) =
U’(C(t+1))
( ( )) (1
( + FK ((t +1))
))
U’(C(t))
1+ δ
Der Grenznutzen U’(C(t)) lässt sich durch eine Taylor-Reiehnentwicklung
Approximieren:
pp
U′(C( t )) ≈ U′(C( t + 1)) − U′′(C( t + 1))
ΔC
1+ δ
g
Einsetzen ergibt
(1 + δ) U’(C(t+1)) - ΔC U’’(C(t+1)) = U’(C(t+1)) (1 + FK (t +1))
bzw.
ΔC⋅U′′(C)
−
= FK − δ
(10.15)
U′(C)
Ramsey-Regel
Investitionskalkül
Einsetzen der Grenznutzenelastizität:
U′′(C)⋅C
− η :=
U′(C)
ergibt wieder die Ramsey-Regel bei konstanter Bevölkerung
FK − δ
ˆ
C=
η
33
Exkurs: Grenznutzenelastizität
und isoelastische Nutzenfunktion
34
1 Die Grenznutzenelastizität ist die Inverse der intertemporalen
1.
Subsitutionselastizität:
G
Grenznutze
t nelastizit
l ti ität =
1
Intertempo rale Substitutionselastizität
D.h.: Je g
größer die Grenznutzenelastizität ist,, desto schwieriger
g ist es
den Konsum zwischen zwei Perioden hin- und herzuschieben.
Umgekehrt: Je kleiner die Grenznutzenelastizität ist desto leichter
lässt sich der Konsum zwischen den Perioden verschieben
Exkurs: Grenznutzenelastizität
und isoelastische Nutzenfunktion
Häufig wird mit isoelastischen Nutzenfunktionen gearbeitet, bei denen
die Grenznutzenelastizität konstant ist:
d(U' (C)) C
U' ' (C) ⋅ C
− η:=
⋅
=
= const.
dC
U' (C)
U' (C)
Di d
Die
daraus resultierenden
lti
d N
Nutzenfunktionen
t
f kti
h
haben
b di
die F
Form:
⎧ A
1− η
C
⋅
η≠1
⎪⎪1 − η
U(C) = ⎨
⎪
⎪⎩ A ⋅ ln C
η=1
35
36
Exkurs: Grenznutzenelastizität
und isoelastische Nutzenfunktion
Verläufe isoelastischer Nutzenfunktionen für verschiedene η
η <1
U(C)
η =1
1
η >1
C
Ramsey-Regel
37
Bewegung von Kapital und Konsum
Problem:
P
bl
Die Ramsey-Regel bestimmt zwar die Determinanten der Konsumwachstumsrate (und damit indirekt auch den Konsumpfad an. Jedoch
hängt dieser immer noch via FK von der Entwicklung des Kapitalbestandes ab.
Frage:
Wie kann man die Bewegung des Konsums und des Kapitals außerhalb
des Gleichgewichts und die gleichgewichtige Wachstumsrate bestimmen
bestimmen.
38
Ramsey-Regel
Bewegung von Kapital und Konsum
Es seien nun folgende
g
funktionelle Vereinfachungen
g angenommen
g
(1) Isoelastische Nutzenfunktion
C1− η
U(C ) =
1− η
(2) Cobb-Douglas-Produktionsfunktion
F(K, L ) = K 1−a La
D
Daraus
ergeben
b sich
i h di
die b
beiden
id B
Bewegungsgleichungen
l i h
−a a
(
)
1
a
K
L −δ
−
& =
C
⋅C
η
K& = K 1−a La − C
aus der Ramsey-Regel
aus der Kapitalbewegungsgleichung
Ramsey-Regel
39
Bewegung von Kapital und Konsum
Das Bewegungsverhalten lässt sich mit Hilfe der Phasendiagrammtechnik
ermitteln.
Bildung der Isoklinen-Gleichungen:
& = 0 : K * = ⎛⎜ δ ⎞⎟
C
⎝1− a ⎠
K& = 0 : C = K 1− a La
−
1
a
L
40
Ramsey-Regel
Bewegung von Kapital und Konsum
C
& =0
C
& =0
K
C30
C02
C10
K0
K
41
Ramsey-Regel
Bewegung von Kapital und Konsum
Ergebnisse:
1. Bei gegebenem Anfangskapitalbestand führt nur ein bestimmter
Anfangskonsum zu einem Pfad der in das Gleichgewicht führt. Für andere
Höhen des Anfangskonsums kommt es entweder zu einer Über
ÜberAkkumulation des Kapitals (C0 zu klein) oder zu einem Überkonsum
(C0 zu hoch). Wohlbemerkt: bei nutzenmaximierendem Verhalten.
2 IIm Gleichgewicht
2.
Gl i h
i ht nehmen
h
K
Konsum und
dK
Kapital
it l kkonstante
t t W
Werte
t an:
⎛ δ ⎞
K* = ⎜
⎟
−
1
a
⎝
⎠
−
1
a
L
a−1
⎞a
⎛ δ
C* = ⎜
⎟
1
−
a
⎝
⎠
L
3. Der Kapitalbestand
p
p
passt sich so an,, dass der Zinssatz ((GrenzProduktivität des Kapitals) langfristig im Gleichgewicht gleich der
Zeitpräferenzrate δ ist.
Ramsey-Regel
42
Bewegung von Kapital und Konsum
4. Außerhalb des Gleichgewichts wird die Wachstumsrate beeinflusst
durch die Zeitpräferenzrate, die Grenznutzenelastizität und indirekt durch
die Produktionselastizität.
Ramsey-Regel bei
wachsender Bevölkerung
43
Es sei nun angenommen
angenommen, dass die Bevölkerung mit der Rate n wachse
wachse,
also:
L& = nL bzw. L( t ) = L 0 ent
Entsprechend werden alle Größen wieder pro Kopf angegeben:
y=
Y
K
C
; k= ; c=
L
L
L
Für die Bewegungsgleichung der Kapitalintensität gilt dann:
k& = f (k ) − c − nk
Ramsey-Regel bei
wachsender Bevölkerung
D it ergibt
Damit
ibt sich
i h nun d
das ffolgende
l
d O
Optimierungsproblem:
ti i
bl
∞
max W = ∫ e − δt ⋅ U(c( t )) dt
c( t )
0
Nebenbedingung: k& ( t ) = f (k( t )) − c( t ) − n ⋅ k( t )
mit δ > 0, U′(c ) > 0 , U′′(c ) < 0 ,
lim U′(c ) = ∞, lim U′(c ) = 0
C →0
C→∞
44
Ramsey-Regel bei
wachsender Bevölkerung
Die Hamilton-Funktion
Hamilton Funktion lautet dann:
H = U (c(t)) e − δt + λ (t) ⋅ [f(k(t))– c(t) – nk(t)]
Notwendige Bedingung für ein Maximum bzgl. C:
∂H
= 0 : U′(c( t )) ⋅ e − δt = λ( t )
(1)
∂c( t )
Die kanonische Gleichung lautet:
∂H
(2)
= −λ& : λ( t ) ⋅ (f ′(k ) − n) = −λ&
∂k
45
Ramsey-Regel bei
wachsender Bevölkerung
46
Damit erhält man wie zuvor:
(3)
Û′(c ) − δ = λˆ
Aus Gleichung (2) erhält man:
(4)
f ′(k ) − n = −λˆ
Aus (3) und (4) ergibt sich durch Gleichsetzen
−U
(5)
Û′(c ) = f ′(k ) − n − δ
Mit dem Einsetzen der Grenznutzenelastizität ergibt sich dann für die
Ramsey-Regel bei wachsender Bevölkerung:
(6)
f ′(k ) − n − δ
ĉ =
η
47
Ramsey-Regel
Bewegung von Pro-Kopf-Kosum und
Kapitalintensität
Die Bewegung wird nun wieder durch zwei Differentialgleichungen
Gesteuert. Wieder wird eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion und
Ei konstante
Eine
k
t t Grenznutzenelastizität
G
t
l ti ität unterstellt.
t t llt
Bewegung des Pro-Kopf-Konsums:
(
1 − a )k −a − n − δ
c& =
⋅c
η
Bewegung der Kapitalintensität:
k& = k 1−a − c − nk
Ramsey-Regel
48
Bewegung von Pro-Kopf-Kosum und
Kapitalintensität
Damit erhält man die folgenden Isoklinen für die Phasendiagrammanalyse:
1
⎞a
⎛ 1− a
c& = 0 : k * = ⎜
⎟
⎝n + δ⎠
k& = 0 : c = k 1− a − nk
49
Ramsey-Regel
Bewegung von Pro-Kopf-Kosum und
Kapitalintensität
c
c& = 0
P
c
max
c*
k& < 0
(b)
(a)
cIII
cII
cI
k& = 0
k& > 0
0
0
0
k0
k∗
k max
k
k
50
Ramsey-Regel
Bewegung von Pro-Kopf-Kosum und
Kapitalintensität - Ergebnisse
1. Steady-State-Wachstumsrate ist n.
g des Steady-State-Niveaus
y
ist die Bedingung:
g g
2. Die Charakterisierung
f ′(k *) = n + δ mit k * = Steady − State − Kapital int ensität
→„Goldener Nutzenpfad
Nutzenpfad“
3. Für eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion ist die Steady-StateKapitalintensität:
1
⎛ 1− a ⎞a
k* = ⎜
⎟
+
δ
n
⎠
⎝
4. Für die maximal mögliche Kapitalintensität erhält man die Bedingung:
f ′(k max ) = n
Ramsey-Regel
51
Bewegung von Pro-Kopf-Kosum und
Kapitalintensität
Parametervariationen:
g von δ:
Erhöhung
Gleichgewichtige Kapitalintensität und der gleichgewichtige Pro-KopfKonsum sinken.
Erhöhung von n:
Isokline für c verschiebt sich nach links, Isokline für k wird „nach unten
gebogen :
gebogen“:
→ Niveau des Pro-Kopf-Konsums im Steady-State verringert sich, SteadyState-Kapitalintensität verringert sich.
Ramsey-Regel mit technischem
Fortschritt
52
Es sei nun arbeitsvermehrender technischer Fortschritt unterstellt, der
mit der Rate m wächst. Für die Produktionsfunktion heißt das:
Y = F(K, AL ) = F(K,Le mt )
Entsprechend werden die Pro-Kopf-Größen in Effizienzeinheiten notiert:
y=
Y
K
C
; k=
; c=
AL
AL
AL
Intensitäten in „natürlichen
natürlichen“ Einheiten werden so notiert:
y nat =
Y
K
C
; k nat = ; c nat =
L
L
L
Ramsey-Regel mit technischem
Fortschritt
D O
Das
Optimierungsproblem
ti i
bl
iistt d
damit:
it
∞
max W = ∫ e − δt ⋅ U(c nat ( t )) dt
c( t )
0
Nebenbedingung: k& ( t ) = f (k( t )) − c( t ) − (n + m) ⋅ k( t )
Beachte:
Bewegungsgleichung in Effizienzeinheiten
Aber: Maximierung in natürlichen Einheiten
53
Ramsey-Regel mit technischem
Fortschritt
Die Hamilton-Funktion
Hamilton Funktion lautet dann:
H = U (cnat(t)) e − δt + λ (t) ⋅ [f(k(t))– c(t) – (n+m)·k(t)]
Notwendige Bedingung für ein Maximum bzgl. c:
∂H
= 0 : U′(c nat ( t )) ⋅ A ⋅ e − δt = λ( t )
(1)
∂c( t )
Die kanonische Gleichung lautet:
∂H
(2)
= −λ& : λ( t ) ⋅ (f ′(k ) − (n + m)) = −λ&
∂k
54
Ramsey-Regel mit technischem
Fortschritt
55
(1) formt man um in Wachstumsraten und erhält:
Û′(c nat ) + Â − δ = λˆ
(3)
⇒ λˆ = −η ⋅ c
ĉ natt + m − δ
Aus (2) erhält man.
(4)
λˆ = (n + m) − f ′(k )
Gleichsetzen der Wachstumsraten für λ ergibt dann folgende modifizierte
Ramsey-Regel:
f ′(k ) − δ − n
(5) ĉ nat =
Ramsey-Regel mit technischem Fortschritt
η
In Effizienzeinheiten lautet die Regel:
f ′(k ) − δ − n − ηm
(6) ĉ =
η
Ramsey-Regel mit technischem
Fortschritt
56
Frage mit welchen Raten wachsen Kapital
Kapital, Sozialprodukt und Konsum
im Steady-State:
Im Steady
Steady-State
State müssen die Wachstumsraten konstant sein
sein. Unterstellt
man eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion gilt:
ĉ nat
⎛ K ⎞
(1 − a)⎜ mt ⎟
⎝ Le ⎠
=
η
−a
−δ−n
Das kann nur gelten, wenn gilt:
k̂ nat = K̂ − L̂ = m
= const.
Ramsey-Regel mit technischem
Fortschritt
57
Aus der Produktionsfunktion erhält man dann die Wachstumsrate des
Sozialproduktes
Yˆ = (1 − a) ⋅ Kˆ + a ⋅ (Lˆ + m) = (1 − a) ⋅ (n + m) + a ⋅ (n + m)
= n+m
Aus der Verwendungsgleichung des Sozialproduktes folgt:
Y C K&
&
Y = C+K ⇒ = +
K K K
D it erhält
Damit
hält man
Ĉ = K̂ = n + m
pro natürlichen Kopf
p m sein
Also muss die Wachstumsrate des Konsums p
ĉ nat = m
58
Ramsey-Regel mit technischem
Fortschritt
c
c nat
f ′( k ) = δ + n + ηm
W-rate
m
f ′(k ) = δ + n + m
W-rate m
Steady-State-Bedingung ist:
k nat
k
Ramsey-Regel mit technischem
Fortschritt - Ergebnis
59
Bei exogen gegebenem technischen Fortschritt ist im Steady-State die
Veränderung der Kapitalausstattung und des Konsums pro effizienter
Arbeitseinheit gleich Null
Null. Im Steady
Steady-State
State gilt dann f ′(k ) = δ + n + ηm .
Der Konsum pro natürlichem Kopf kann hingegen mit der Rate m des
technischen Fortschritts gesteigert werden.
Sowohl der Anpassungspfad von C0 bis zum letztendlich erreichten C*
y
als auch die Niveauwerte Y*,, K* und C* hängen
g
im Steady-State
endogen von den Parametern der Produktions- und Nutzenfunktion ab.
Die Steady-State-Wachstumsrate in K* ist hingegen immer von den
exogen
e
oge gegebe
gegebenen
e Parametern
a a ete m + n ab
abhängig.
ä gg
Modell optimalen Wachstums
Die Marktlösung
(1)
∞
max W = ∫ U(c( t )) ⋅ e
c( t )
0
− δt
dt
60
Intertemporale Nutzenmaximierung
der Haushalte
(2) a& ( t ) = w + ra( t ) − c( t ) − na( t ) Bewegungsgleichung des Vermögens
der Haushalte
Produktionsfunktion der Unternehmen
(3) Y=F(K,L)
Y=F(K L)
(erfüllt die Inada-Bedingungen)
Bewegungsgleichung der
(4) L& = nL
Bevölkerungszahl
61
Modell optimalen Wachstums
Die Marktlösung
Haushalte:
1.) Maximieren ihren Nutzen aus dem Konsum
g g g
g des Vermögens
g
((a = Pro-Kopf-Vermögen)
p
g )
2.)) Bewegungsgleichung
a& ( t ) = w + ra( t ) − c( t ) − na( t )
Pro-KopfPro-KopfPro-KopfLohneinkommen Kapitaleinkommen Konsum
„Assetwidening“
Aus dem Hamiltonansatz ergibt sich dann die Ramsey-Regel
ĉ =
r −n−δ
η
Modell optimalen Wachstums
Die Marktlösung
62
Unternehmen:
Die Unternehmen maximieren ihren Gewinn (statisch).
max G = F(K,L ) − (rK + wL )
k
= L ⋅ ( f (k ) − (rk + w ))
Ableiten von G nach k und Nullsetzen ergibt als Bedingung für eine
gewinnmaximierende Kapitalintensität k:
f ′(k ) = r
Modell optimalen Wachstums
Die Marktlösung
63
Da in einer geschlossenen Volkswirtschaft der Kapitalstock immer irgendjemandem gehören muss, muss gelten:
a=kk
Dann folgt jedoch für die Bewegungsgleichung und die Ramsey-Regel:
k& = w + rk − c − nk
f ′(k ) − n − δ
ĉ =
c
η
Da w + rk = f(k) ist, entspricht dieses dem Ergebnis für den
gesamtwirtschaftlichen Optimierer.