Transformator

Technische Universität Dresden
Physikalisches Praktikum
Fachrichtung Physik
L. Jahn 03/ 1996
bearbeitet 04/ 2004
Versuch:
TR
Transformator
Inhaltsverzeichnis
1 Aufgabenstellung
2
2 Stromdurchossene Spule
2
2.1
Spule mit Eisenkreis
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.2
Spule im Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3 Modell des idealen Trafos
3
3.1
Idealer Trafo im Leerlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.2
Idealer Trafo mit Ohmscher Last
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Streu-Trafo mit Ohmscher Last
4.1
Ströme und Phasenwinkel
4.2
Leerlauf und Kuzschluÿ
4.3
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4.2.1
Leerlaufspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4.2.2
Kurzschluÿstrom
4.2.3
Primärer Leerlaufstrom
Ortskurve
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
5 Experimente
7
5.1
Leerlauf-und Kurzschluÿ-Versuche
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
5.2
Bestimmung des Phasenwinkels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
5.3
Aufnahme des Heylandkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
5.4
Bestimmung der Permeabilität
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Anhang
6.1
8
Gegeninduktivität, Leistung, Widerstandstransformation . . . . . . . . . . . . . . . .
8
6.1.1
Zur Gegeninduktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
6.1.2
Leistung des belasteten Streu-Trafos
6.1.3
Widerstandstransformation beim idealen Trafo
. . . . . . . . . . . . . . . . .
8
6.1.4
Zum Heylandkreis des Streu-Trafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
6.1.5
Zum Primärstrom des Streu-Trafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Realer Trafo
7.1
7.2
8
9
Leerlauf-Verluste des realen Trafos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
7.1.1
Wirbelstromverluste
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
7.1.2
Hysterese-Verluste
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
7.1.3
Eisen-Verluste und Verlustwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
7.1.4
Verlust-Winkel und komplexe Permeabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abschätzung des Eisenquerschnittes
8 Fragen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
11
12
2
STROMDURCHFLOSSENE SPULE
1 Aufgabenstellung
1. Aus Leerlauf- und Kurzschluÿ-Versuchen werden die Induktivitäten und der Streufaktor für
verschiedene Luftspalte bestimmt.
2. Für eine veränderliche Ohmsche Last
R
im Sekundärkreis ist für den Primärstrom der Hey-
landkreis aufzunehmen und mit dem berechneten zu vergleichen.
µr
3. Bestimmung der Permeabilität
des Trafo-Blechs.
2 Stromdurchossene Spule
2.1
Spule mit Eisenkreis
Eine Spule mit der Windungszahl
n
sei nach
Abb. 1 auf ein ringförmiges Ferromagnetikum
mit dem Querschnitt
A
und der Länge
l
ge-
wickelt. Die Hystereseschleife sei nur so weit
ausgesteuert
∆B
µ0 ∆H
≈
(Abb.
1
c(i)),
dass
gilt:
µr =
konstant. Wir unterscheiden:
Fall 1: Der Eisenkreis ist geschlossen.
Fall 2: Im Eisenkreis ist ein Luftspalt
d = 2s.
Durch die Spule nach Fall 1 bzw. Fall 2 ieÿt
der (Gleich-oder Wechsel-) Strom
Aus dem
Hs ds = nI folgt für Fall 1
HF e l = nI . Die Feldstärke im Ei-
Durchutungsgesetz
die Beziehung
I.
H
sen berechnet sich für die beiden Fälle aus:
Abb. 1: Spule mit Eisenkreis für die Fälle 1. und 2. (a,b);
(c) mögliche Aussteuerungen (i; j; k ) einer Hystereseschleife. N: Neukurve
HF e =
nI
l
(Fall 1) bzw. HF e l + HL d = n I
(Fall 2) .
(1)
HF e und die in Luft
HL ). HDie notwendige zweite Beziehung liefert die Qellenfreiheit von
B,
Bn dA = 0. Die Induktion (und der Fluss; Näherung für groÿen Querschnitt A und geringen
Luftspalt d) in Luft und Eisen sind gleich: µr µ0 HF e = BF e = BL = µ0 HL . Damit folgt für die
magnetische Feldstärke HF e bzw. den Fluss Φ für Fall 2:
Die zweite Gleichung von (1) enthält zwei Unbekannte (die Feldstärke im Eisen
HF e =
nI
nI
=
l + µr d
l(1 + µrl d )
(a);
ΦL = ΦF e = µ0 µr AHF e = µ0 A
nI
µr
l (1 + µr d )
(b).
(2)
l
Aus (2) wird ersichtlich, dass die Feldstärke im Eisen (und damit die Aussteuerung der Hystereseschleife) sowie der Fluss und die eektive Permeabilität
Luftspalt
d
µef f
bei gleichem Strom
abnehmen:
µef f =
µr
(1 + dl µr )
2
.
(3)
I
mit zunehmenden
2
STROMDURCHFLOSSENE SPULE
2.2
2.2
Spule im Wechselstromkreis
Spule im Wechselstromkreis
U = Û ejωt
Legt man eine harmonische Wechselspannung
einem Widerstand
R
U −L
Mit dem Ansatz
zwischen
U
und
dI
=IR
dt
ˆ j(ωt−ϕ) ergibt sich für die
I = Ie
I im eingeschwungenen Zustand
Iˆ = √
Û
2
R + ω 2 L2
als Induktivität. Für
an die Reihenschaltung der Spule mit
(z. B. Wicklungswiderstand), so lautet der Maschensatz
R ωL
(a);
wird
(4)
Amplitude des Stromes bzw. den Phasenwinkel
bzw. tanϕ =
ϕ ≈ π/2
.
ωL
n2 A
(b) mit L = µo µef f
(c)
R
l
und es ieÿt nur der Blindstrom
rungsstrom). Sein Betrag kann bei sehr groÿem
µr
I = Im
(5)
(Magnetisie-
(s. idealer Trafo) beliebig klein sein (Abb. 2 b).
Er hält aber phasengleich den endlichen harmonisch wechselnden magnetischen Fluss
Φ
aufrecht
(s. Abb. 1 c). Als Folge dieses Wechselusses wird in der Spule die Gegenspannung
−U = U i = −n
dIm
µ0 µef f n2 A dI m
d
Φ=−
= −L
= −jωLI m
dt
l
dt
dt
(6)
Bei konstanter Spannung U steigt der
Blindstrom I in dem Maÿe an, wie L mit µ , z. B. bei Verbreiterung des Luftspaltes, abnimmt.
induziert, die schon im Maschensatz (4) berücksichtigt wurde.
ef f
m
3 Modell des idealen Trafos
Wird eine zweite Spule auf den Eisen-Ring gewickelt
und
damit
von
dem
gleichen
magnetischen
Fluss
durchsetzt, so hat man einen Transformator (Abb. 2).
Transformatoren werden vor allem groÿtechnisch genutzt für den
im Mittel 6 mal benötigten Wechsel der Spannungsstufen bei der
Energieversorgung im Leistungsbereich von einigen Watt bis zu
vielen hundert Megawatt, die die meiste Zeit (ca. 75%) nahezu
im Leerlauf arbeiten.
In der Meÿtechnik wird z. B. die Möglichkeit der Potentialtrennung oder die Widerstandsanpassung (Impedanzwandler)
ausgenutzt. Im Zeigerdiagramm (Abb. 2 b) zeigt wie in allen folgenden Zeigerdiagrammen U stets (willkürlich) vertikal (reele
Achse).
1
Abb. 2: Idealer Transformator: (a) im Leerlauf bzw. mit mit Ohmscher Last;
(b) Zeigerdiagramm für Primärspannung
U 1,
Magnetisierungsstrom
I 1,m
und magnet. Fluss
Φ.
Unter einem idealen Trafo [6, 9, 1] soll folgendes Modell verstanden werden:
1. Die konstante Permeabilität
µr
des Trafo-Kerns ist sehr groÿ (∞), wodurch die Induktivitäten
ebenfalls sehr groÿ und die Blindströme sehr klein werden (ωL
R;
im Betrieb wird dann
nahezu im Kurzschluÿ gearbeitet). Es gibt keine Hysterese und damit verbundene Verluste
und Nichtlinearitäten.
2. Das Ferromagnetikum sei elektrisch ein Isolator (λ
= 0). Damit entfallen Wirbelstromverluste.
3. Die Kopplung zwischen beiden Spulen, ausgedrückt durch die Gegeninduktivität
M
(s. An-
hang), sei ideal. Es entfällt die Streuung des magnetischen Flusses. Für die Gegeninduktivität
gilt:
k2
=
M =
M2
L1 L2
√
L1 L2 .
Damit wird der Streufaktor
= 1 − σ = 1.
3
σ = 1−
M2
L1 L2
=0
und der Kopplungsfaktor
3.1
Idealer Trafo im Leerlauf
3
MODELL DES IDEALEN TRAFOS
4. Die Wicklungswiderstände sind zu vernachlässigen (keine Kupferverluste).
Bei streuarmen Netz-Leistungs-Trafos liegen die Wicklungen übereinander. In der Starkstromtechnik wird bezüglich
der Kupfer- und Eisen- Verlustleistungen auf ein ausgewogenes Verhältnis von etwa
P /P
≈ 5 : 1 geachtet, da die Trafos die meiste Zeit im Leerlauf arbeiten .
Cu
3.1
Fe
Idealer Trafo im Leerlauf
An die Primär-Wicklung wird im folgenden stets die bezüglich Amplitude und Phase unveränderliche
harmonische Wechsel-Spannung
angelegt. Nach Gl. (5 a) ieÿt durch die Primärspule
I 1,m = U 1 /jωL1 und baut die phasengleichen
und der Wechsel-Fluss
Gröÿen auf: Feldstärke H F e = n1 I 1,m /l, Induktion B = µ0 µef f HF e
Φ = B A. Infolge der zeitlichen Flussänderung (jωΦ) werden nach Gl. (6) in beiden Spulen die
phasengleichen Spannungen (U i,1 ; und U i,2 ) induziert (U 1 = −U i,1 ; U 2 = +U i,2 ). Ihre Beträge
sind den Windungszahlen proportional: Mit dem Übersetzungsverhältnis ü = n2 /n1 gilt also
r
dI1,m
dI1,m
U i,2 Û2
L2
n2
=
=
= ü .
(7)
Ûi,1 = −L1
; Ûi,2 = −L2
bzw. =
dt
dt
U i,1 Û1
L1
n1
der um
3.2
π/2
U 1 = Û1 ejωt
nacheilende Magnetisierungs-Strom
Idealer Trafo mit Ohmscher Last
Verbindet man die Klemmen der Spule 2 mit dem Belastungswiderstand
Rb
(Abb. 2 b), so ieÿt durch den Ohm-
U 2 phasengleiche Wirk-Strom I 2 =
j(ωt−ψ
)
2
ˆ
U 2 /Rb = I2 e
. Wegen µr → ∞ gilt bei endlichem
H
Wechseluss Φ = µ0 µr (A/l)(n1 I 1 + n2 I 2 ):
H F e ds = 0 =
(H 1 + H 2 )l = n1 I 1 + n2 I 2 . Es entsteht durch die Bela-
schen Widerstand der zu
stung beim idealen Trafo keine Zusatzdurchutung und kein
Zusatzuss. Für das Verhältnis von Primär-und SekundärStrom ndet man
Abb. 3: Belasteter idealer Trafo: Phasenlage der
I1
Spannungen und Ströme
(H 1 +
H2 ) l = I 1 n1 + I 2 n2 = 0 d. h.
I 2 Iˆ2
I = ˆ = nn12 = Û1 = ü1 .
1
I1
und
I 2.
(8)
Û2
Beim idealen Trafo ist das Strom-Verhältnis der Kehrwert des Spannungsverhältnisses.
4
4
STREU-TRAFO MIT OHMSCHER LAST
4 Streu-Trafo mit Ohmscher Last
Läÿt man beim Übergang zur Realität endliche Induktivitäten und Streuung zu, so hat man einen
Streu-Trafo.
Ohmsche und Eisen-Verluste werden nicht betrachtet. Der ideale Trafo folgt dann für
σ = 0.
Transformatoren mit groÿer Streuung werden,
wie z. B. beim Klingeltrafo, zur Verhinderung
von Schäden im Kurzschluÿfall eingesetzt. Bei
der Signalübertragung mit höheren Frequenzen
oder beim Netztrafo mit gröÿeren Luftspalten ist
die Kopplung der Spulen oft gering. Nur noch
der Hauptuss
Φh ,
nicht aber der Streuuss
Φσ ,
erreicht die andere Spule.
4.1
Ströme und Phasenwinkel
An die Sekundärspule wird der Belastungswiderstand
Rb angeschlossen. Der Strom I 2 ieÿt auch
durch die Spule 2 und baut einen Fluss auf, der
teilweise die Spule 1 durchsetzt.
Abb. 4: Nutz-und Streuuss beim realen Trafo (a);
Ersatzschaltbild für Streu-Verluste (b).
U1 entgegenwirkt. Der damit verbundene Primärstrom I1
hat eine geringere Wirkkomponente mit 0 < ψ1 < π/2; im Vergleich zum idealen Trafo. Die (nicht
√
ideale) Kopplung wird durch die Gegeninduktivität (s. Anhang) L12 = L21 = M = k L1 L2 mit
(k < 1) ausgedrückt. Die Amplituden und Phasen der gekoppelten harmonischen Gröÿen berechnen
Dabei wird eine Spannung induziert, die
sich aus dem Maschensatz, angewandt auf beide Spulen und den Sekundär-Kreis:
dI 1
dI
+ M 2 (a)
dt
dt
dI
dI 2
+ M 1 (b) ;
0 = U2 + L2
dt
dt
U 1 = L1
U2 = R b I 2
(c) .
(9)
U 1 = Û1 ejωt und dem Ansatz I 1 = Iˆ1 ej(ωt−ψ1 )
Û1 (Rb + jωL2 ) = jωL1 Rb − ω 2 L1 L2 + ω 2 M 2 Iˆ1 e−jψ1 .
(10)
Setzt man die Gln.(9 b,c) in Gln.(9 a) ein, so folgt mit
2
σ = (1 − LM
) = (1 − k 2 )
1 L2
jωL1 Rb − ω 2 L1 L2 σ
ωL1
=
=
Rb ωL2 (1 − σ) + j(Rb2 + ω 2 L22 σ)
2
2
2
(Rb + jωL2 )
(Rb + ω L2 )
Daraus ergibt sich mit dem Streufaktor
Û1 jψ1
e
Iˆ1
schlieÿlich die Amplitude (s. Anhang) bzw. der Phasenwinkel des
Û1
Iˆ1 =
ωL1
s
Rb2 + ω 2 L22
Rb2 + ω 2 L22 σ 2
(a) bzw. tanψ1 =
Primärstromes
Rb2 + ω 2 L22 σ
Rb ωL2 (1 − σ)
(b) .
(12)
Die entsprechenden Gröÿen auf der
Iˆ2 =
M Û1
q
L1 Rb2 + ω 2 L22 σ 2
(ψ bezieht sich auf U .
2
1
I2
Sekundärseite sind mit I2 = Iˆ2 ej(ωt−ψ2 ) :
(a) ; tan ψ2 =
und U sind in Phase (13 c).
2
5
(ωL2 σ)
Rb
(b)
U2 = Rb I2
(c) .
(13)
(11)
4.2
4.2
Leerlauf und Kuzschluÿ
4
STREU-TRAFO MIT OHMSCHER LAST
Leerlauf und Kuzschluÿ
Folgende Spezialfälle sind besonders geeignet, die Induktivitäten und den Streu- bzw. Koppelfaktor
zu messen:
4.2.1 Leerlaufspannung
Aus Gl.(13 a,c) ergibt sich die Leerlaufspannung für
M
Û1
r
Û2 =
L1
ω 2 L2 σ 2
1 + R22
→ U2,Leer
Rb → ∞:
M Û1
M
=
=√
L1
L1 L2
r
L2
Û1 = küÛ1 .
L1
(14)
b
4.2.2 Kurzschluÿstrom
Primärer Kurzschluÿstrom: Mit Gl.(12 a) wird für Rb = 0
Iˆ1,kurz =
Û1
ω L1 σ
.
(15)
Sekundärer Kurzschluÿstrom: Er folgt aus Gl.(13) für Rb = 0:
Iˆ2,kurz =
M Û1
L1 ω L2 σ
.
(16)
Die Kurzschluÿströme werden durch den Streufaktor begrenzt und würden in der Grenze σ → 0 (idealer Trafo) zu ∞.
4.2.3 Primärer Leerlaufstrom
Û1
Iˆ1,leer =
ω L1
.
(17)
Der Leerlaufstrom I
ist eine Folge der endlichen Induktivität L . Er baut als Blindstrom das Magnetfeld auf
(und wird beliebig klein beim idealen Trafo; dort I ). Durch die hier nicht betrachteten Eisen-(=Leerlauf-) Verluste
erhält I eine Wirk-Komponente (cosψ > 0).
1
1,leer
1,m
1
4.3
1
Ortskurve
Sowohl Leerlaufstrom I 1,leer als auch Kurzschluÿstrom
I1,kurz sind beim reinen Streutrafo Blindströme (ψ1 =
π/2; vergl. (12 b)). Erhöht man aber, z. B. beginnend
mit dem Kurzschluÿstrom, schrittweise den Ohmschen
Rb , so veringert sich ψ1 auf ein Minimum
√
bei Rψ,1,min = ωL2 σ . Die Amplitude und Phase des
primären Stromes I 1 in Abhängigkeit von 0 ≤ Rb ≤ ∞
Widerstand
durchläuft beim reinen Streutrafo als Ortskurve den
Heylandkreis (Abb. 5; s. Anhang).
Abb. 5: Heylandkreis für den Streutrafo.
6
5
EXPERIMENTE
5 Experimente
5.1
Leerlauf-und Kurzschluÿ-Versuche
Der Luftspalt
d
wird durch Plast-Beilagen der Dicke
s = d/2
im Eisenjoch variiert. Die Abnahme
der Induktivitäten (und eektiven Permeabilität) sowie die Zunahme von
σ
(bzw. Abnahme von
k)
können durch Messung der Amplituden (bzw. der Eektivwerte) von Strom und Spannung anhand
der Gln.(14;15;16;17) bestimmt werden. Durch Vertauschung von Primär-und Sekundärseite können
sowohl
5.2
ü
als auch
k
ermittelt werden.
Bestimmung des Phasenwinkels
Strom und Spannung werden primärseitig mit nebenstehender Schaltung bestimmt (Abb. 6).
Der Phasenwinkel
ψ1
kann
1. nach der Drei-Instrumenten-Methode (Abb. 6 a)
ermittelt werden: Es werden die drei Spannungen: Gesamtspannung
Ures ;
gemessen. Es gilt:
2.
mit
einem
UL
Rv : URv
Spannung an der Primärspule
sowie der Spannungsabfall am Vorwiderstand
q
cos ψ1 = UL / UR2 v + UL2 ;
Zweistrahl-Oszillographen,
dessen
y-
Buchsen einmal am Ohmschen Vorwiderstand (StromSignal) und zum anderen an
L1
(Spannungs-Signal)
liegen, bestimmt werden. Man vergleicht die Nulldurchgänge der Schwingungen, nachdem diese am Oszillographen auf gleiche Amplituden abgeglichen wurden;
P 1 bestimmt
= U1,efPf 1I1,ef f .
3. mit einem Wirkleistungsmesser
berechnet werden:
cos ψ1 =
2P 1
Û1 Iˆ1
und
Abb. 6: Bestimmung von
ψ1
nach Drei-Instrumenten-
Methode (a) und mittels Zweistrahloszillograph
(b).
5.3
Aufnahme des Heylandkreises
Den Belastungswiderstand
Rb
regelt man, ausgehend vom Kurzschluÿ (Maximalwerte einstellen), in
ca. 12 geeigneten nichtlinearen Stufen bis zum Leerlauf. Für jede Einstellung bei konstanter (bzw.
nachgeregelter) Primär-Spannung wird der Primärstrom und der Phasenwinkel nach Einstellung
gleicher Amplituden am Oszillographen durch Auszählen der Abszissen-Abstände der Nulldurchgänge ermittelt.
5.4
Bestimmung der Permeabilität
Im Leerlauf ergibt sich nach Umformung der Gl. (6) für
d = 0 aus dem Verhältnis von Primär-Strom
und -Spannung die (im allgemeinen komplexe, s. Anhang) Permeabilität (µr ):
µr =
Û1,leer
l
2
ω µ0 , n A Iˆ1,leer
.
(18)
Dazu muÿ die Geometrie des Eisenjochs (Querschnitt und mittlere Eisenlänge), die Windungszahl
und die Frequenz bekannt sein. Es empelt sich eine Meÿreihe für verschiedene Aussteuerungen,
d. h. verschiedene Primärspannungen, anzufertigen.
7
6
ANHANG
6 Anhang
6.1
Gegeninduktivität, Leistung, Widerstandstransformation
6.1.1 Zur Gegeninduktivität
Man betrachte zwei beliebige, auch von der Geometrie unterschiedliche Spulen (1;2) ohne Ohmsche
I1
Widerstände, die von den Wechselströmen
U 1 = L1
dI1
dI2
+ L21
dt
dt
I 2 durchossen werden
L21 6= L12 angenommen:
und
Spulen Spannungen induzieren. Es wird zunächst
U 2 = L2
;
dI1
dI1
+ L12
dt
dt
und dabei in beiden
.
(19)
Geht man zur Leistung über und addiert die beiden Anteile, so folgt
dI 1
dI
dI
dI
I1 + L21 2 I1 ; U 2 I2 = L2 2 I2 + L12 1 I2 ;
dt
dt
dt
dt
dI 1
dI 2
dI 2
dI 1
ΣU I = U1 I 1 + U2 I 2 = L1
I1 + L21
I1 + L2
I2 + L12
I2 .
dt
dt
dt
dt
U 1 I 1 = L1
(20)
Diese Leistung muÿ der zeitlichen Änderung der magnetischen Feldenergie entsprechen:
d
d 1
1
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Wmagn =
L1 I1 + L2 I2 + M I1 I2
dt
dt 2
2
M = L12 = L21
Das ist nur möglich, wenn
.
(21)
ist, wie man sich durch Vergleich von (20 und 21)
überzeugt.
6.1.2 Leistung des belasteten Streu-Trafos
Beim reinen Streutrafo geht keine Energie verloren. Die Wirkleistung wird vollständig übertragen.
Mit Gl. (12 a,b) und wegen
1
arc tan x = arc cos √1+x
2
ist zunächst
Rb ωL2 (1 − σ)
cosψ1 = q
(Rb2 + ω 2 L22 σ 2 )(Rb2 + ω 2 L22 )
.
(22)
Damit folgen die beiden Leistungen:
1
1 Û12
P 1 = Û1 Iˆ1 cos(ψ1 ) =
2
2 ωL2
P1 =
Û12 Rb ωL2 (1 − σ)
2ωL2 (Rb2 + ω 2 L22 σ 2 )
;
Beide Leistungen sind identisch wegen
s
Rb2 + ω 2 L22
Rb ωL2 (1 − σ)
q
Rb2 + ω 2 L22 σ 2 (R2 + ω 2 L2 σ 2 )(R2 + ω 2 L2 )
b
2
2
b
1
1
M 2 Û12
P 2 = Rb Iˆ22 = Rb 2 2
2
2 L1 (Rb + ω 2 L22 σ 2 )
.
(23)
L1 L2 (1 − σ) = M 2 .
6.1.3 Widerstandstransformation beim idealen Trafo
Aus der Wirk-Leistung
P1
des Primärstromes
1
1
L2
1 Û12 2 1 Û22
P 1 = Û1 Iˆ1 cos ψ1 = Û12
=
ü =
2
2 L1 Rb
2 Rb
2 Rb
folgt die
.
Übersetzung der Impedanzen; Widerstandsanpassung; Impedanzwandler.
∗
Primärseite wird ein übersetzter Widerstand R1 zugeordnet, für den gilt
∗
∗
R1
Z
n2
L1
1
= 1 = 12 =
= 2 .
Rb
Zb
L2
ü
n2
8
(24)
Der
(25)
7
REALER TRAFO
6.1.4 Zum Heylandkreis des Streu-Trafos
Es soll gezeigt werden, dass der Radius
f (U1 , ωL1 , σ)
ρ
der Ortskurve unabhängig von
Rb
und nur eine durch
bestimmte Konstante ist. Die Ortskurve muÿ daher ein Kreis sein:
Û1 (σ+1)
I1,kurz ; I1,leer und deren Mittelwert I0 = ωL
gegeben. Der
2σ
1
cos-Satz in dem durch ρ ; I0 und I1 aufgespannten Dreieck lautet unter Verwendung von Gl. (12 a,b)
x
:
und arctan x = arc sin √
1+x2
Enstprechend der Abb. (6) sind
ρ2 = I02 + I12 − 2I0 I1 cos(π/2 − ψ1 ) = I02 + I12 − 2I0 I1 sin ψ1



s
Rb2 +ω 2 L2 σ

Rb2 + ω 2 L2
Rb2 + ω 2 L2
σ+1
Û 2  (σ + 1)2
Rb ωL2 (1−σ)


r
−
·
= 21 2 
+

σ  Rb2 + ω 2 L2 σ 2
ω L1  4σ 2
Rb2 + ω 2 L2 σ 2
(Rb2 +ω 2 L2 σ)2
1 + R2 ω2 L2 (1−σ)2
b
(26)
2
und nach Auösen der Binome unter der Wurzel
ρ2 =
Rb2 + ω 2 L2
Û12
1
(σ + 1)2
σ + 1 Rb2 + ω 2 L2 σ
Û12
(σ + 1)2
+
−
.
−
=
4σ 2
σ Rb2 + ω 2 L2 σ 2
4σ 2
σ
ω 2 L21
Rb2 + ω 2 L2 σ 2
ω 2 L21
Der Belastungswiderstand
Rb
ist in der Gl. (27) für
ρ
(27)
also nicht mehr enthalten.
6.1.5 Zum Primärstrom des Streu-Trafos
Aus Gl.(11) folgt die Beziehung (12 b) für den Phasenwinkel. Zur Berechnung des AmplitudenQuadrats
(R2 + ω 2 L22 )
Û 2
Iˆ12 = 2 1 2 · b √
ω L1
Z2
führt man die Abkürzung
Z2
(28)
ein und ndet:
2
Z 2 = Rb2 + ω 2 L2 σ + Rb2 ω 2 L22 (1 − σ)2
und
(29)
Z 2 = Rb4 + ω 4 L42 σ 2 + R2 ω 2 L22 (1 + σ 2 ) = Rb2 (Rb2 + ω 2 L22 ) + ω 2 L22 σ 2 (ω 2 L22 + Rb2 ) ;
(30)
und nach Zusammenfassung die Gl. (12 a).
7 Realer Trafo
Beim realen Trafo wären noch 1. die Ohmschen Verluste an den Wicklungs-Widerständen von
Primär-und Sekundärspule (R1 und
R2 ;
formal im Gl.-System (9) durch
I 1 R1
sowie
I 2 R2 )
und
2. die Leerlauf-Verluste zu berücksichtigen.
7.1
Leerlauf-Verluste des realen Trafos
Bei niedrigen Frequenzen haben die Leerlauf- oder magnetischen Verluste zwei Ursachen:
1. die
Wirbelströme und 2. die Hysterese. Durch beides wird das Eisenjoch erwärmt, was einer unerwünschten Wirkleistung entspricht. Im Ersatzschaltbild werden die mit der Frequenz ansteigenden Verluste
zweckmäÿig mit einem zur Primärspule parallel liegenden Ohmschen Widerstand
Einuss mit steigender Frequenz gröÿer wird (Abb. 7 a).
9
RF e
erfaÿt, dessen
7.1
Leerlauf-Verluste des realen Trafos
7
REALER TRAFO
7.1.1 Wirbelstromverluste
In Abb. 7 ist der Querschnitt eines Elektrobleches skizziert mit der Flussrichtung, dem Querschnitt
A = ab
Iwb .
und einer ktiven Richtung eines Wirbelstromes
Iwb soll im folgenden Modell in einer Richtung den halben Querschnitt einnehmen. Für die induzierte Span-
U wb λA/l = U wb λ a b/l ∼ b.
nung im Blech gilt
Der
Ohmsche Widerstand der angenommenen Strombahn
nimmt bei gegebener (sehr groÿer) Blechbreite mit der
Blechdicke
mit
b
b
ab. Der Wirbelstrom nimmt demzufolge
zu. demzufolge gilt
Pwb ∼ b2 .
Abb. 7: Elektroblech mit Wirbelströmen
Zur Verringerung der Wirbelströme werden Netz-Trafos aus Elektroblechen (b
≈ 0, 35
mm) herge-
stellt. Für die verbleibende Verlustleistung gilt [6, 8]
Pwb ∼ Ûwb · Iwb ∼ A l λ ω 2 b2 B 2
.
(31)
7.1.2 Hysterese-Verluste
Die bei einem Zyklus im Eisen umgesetzte Hysteresearbeit berechnet sich zu
wobei
H
· BdH
H
H
V · HdB = V · BdH ,
die von der Hystereseschleife eingeschlossene Fläche darstellt. Diese Fläche steigt
nach Abb. 1 c stark mit der Aussteuerung anfangs proportional zu
H
und zu
B,
d. h.
∼ B2,
an.
Daher gilt
Phy ∼ A l ω · Φ2
.
(32)
Bei konstanter Frequenz und Blechdicke sind daher die beiden Anteile
so dass nur die
gesamten Eisen-Verluste PF e = Pwb + Phy
Pwb und Phy
nicht zu trennen,
bestimmt werden können.
7.1.3 Eisen-Verluste und Verlustwinkel
PF e
wird durch eine Parallelschaltung von Primärin-
RF e berücksichjωt
Û1 e
ieÿt der Strom
duktivität und dem Eisen-Widerstand
tigt. Nach Anlegen von
I 1,leer = Iˆ1 ej(ωt−ϕ1 ) ;
I 1,leer =
U1 =
U
U1
Û1
ωL1
+ 1 d. h. Iˆ1,leer =
(1+j
) .
RF e jωL1
ωL1
RF e
(33)
Abb. 8: Eisenwiderstand
RF e
(a); Zeiger
für den primären Leerlaufstrom (b)
Für Amplitude bzw. Phasenwinkel (s. Abb. 8) folgt aus (33)
Iˆ1,leer
Û1
=
ωL1
s
1+
Der meistens sehr kleine Wert
ω 2 L2
RF2 e
(a) bzw. tan(
tan( π2 − ϕ1 ) = tan δ ≈ δ
π
ωL1
− ϕ1 ) =
1 (b) .
2
RF e
(34)
wird Verlustwinkel genannt. Er ist propor-
tional den (in unserem Fall Leerlauf-) Verlusten.
Damit ergibt sich für die Leerlaueistung (=Eisenverlust-Leistung)
1
U12
1
P F e = Iˆ1,leer Û1 cosϕ1 =
≈ Iˆ1,leer Û1 tan δ
2
2RF e
2
PFe
steigt mit der Aussteuerung (Ĥ
∼ Iˆm ∼ Û1 )
.
(35)
und wird im Leerlauf mit einem Wattmeter oder
durch Amplituden- und Phasen-Messung bestimmt.
10
7
REALER TRAFO
7.2
Abschätzung des Eisenquerschnittes
7.1.4 Verlust-Winkel und komplexe Permeabilität
Durch Umstellung von Gl. (33) und Gl. (39) ergeben sich
2
Iˆ1,leer
Û12
=
1
1
+
RF2 e ω 2 L21
Iˆ1,leer
1
=
sin δ
RF e
Û1
(a);
RF e
(b)
und
L1
über ihre Kehrwerte:
Iˆ1,leer
1
=
cos δ
ω L1
Û1
(c) .
(36)
Mit (36 b,c) und anhand der Gln. (40) können Real- und Imaginärteil der Permeabilität berechnet
werden. Man kann die Gl. (33) unter Beachtung von
Û1 = n1 ω Φ̂1
so umstellen, dass links der
Kehrwert der Permeabilität steht und man erkennt, dass infolge der Verluste (d. h.
die Permeabilität komplex wird (µr
Iˆ1,leer j ω RF e L1
Û1
→ µ).
e−jϕ1 =
RF e 6= ∞)
auch
Aus
Iˆ1,leer ω RF e L1
n1 ω Φ̂1
e(π/2−jϕ1 ) = RF e + jωL1
(37)
folgt
1
µµ0 n21 A
l
e
jδ
1
ω
=
+j
L1
RF e
1 jδ
µ0 n21 A 1
ω
e =
+j
µ
l
L1
RF e
oder
.
(38)
Damit ergeben sich (in unserem Falle des parallel angesetzten Verlustwiderstands; Indexp ) die Kehrwerte von Real-und Imaginärteil der komplexen Permeabilität sowie der Verlustwinkel
1 jδ
1
1
e = 0 + j 00
µ
µp
µp
bzw
tan (
1/µ00p
µ0p
π
ωL
− ϕ1 ) = tan δ =
=
=
0
00
2
1/µp
µp
RF e
δ:
.
(39)
Stellt man Gl. (39) um, so folgt aus den durch Messungen bestimmten Gröÿen (ωL1
; RF e )
der
00
0
Real (µp )- und Imaginär-Teil (µp ) der Permeabilität:
µ0p =
l
· L1
µ0 n21 A
Der Realteil ist proportional zur Induktivität
RF e
7.2
L1
l
RF e
·
2
µ0 n 1 A ω
.
(40)
entsprechend (18). Ein groÿer Parallelwiderstand
bedeutet einen groÿen Imaginärteil der Permeabilität und geringe Verluste.
Abschätzung des Eisenquerschnittes
µr ≈
etwa 80%
Da
µ00p =
;
∆B
µ0 ∆H endlich ist und die maximale Feldstärke bzw. Induktion den zum Erreichen von
der Sättigungsinduktion notwendigen Wert nicht übersteigen sollte, wird auf die für eine
Dimensionierung eines Trafos wichtige Beziehung hingewiesen:
Û1 = n1 ω Φ̂ = n1 A ω B̂
bzw. B̂ =
Û1
n1 A ω
Û1
n1 ω B̂max
.
(41)
B̂max ≈ 1, 5 T für Elektrobleche bei gegebener Primärspannung,
notwendigen Eisenquerschnitt A abschätzen.
Anhand der Gl. (41) kann man mit
Windungszahl und Frequenz den
oder Amin ≥
11
LITERATUR
8 Fragen
1. Wie erklären Sie die Wirkung eines idealen Trafos anhand des Induktions- und DurchutungsGesetzes?
2. Wie berechnen sich Ohmscher, induktiver und kapazitiver Widerstand im Wechselstromkreis?
3. Wie berechnet man den Eektivwert und Leistung von Wechsel-Strömen?
4. Was versteht man unter dem magnetischen Widerstand?
5. Wie berechnet sich beim idealen Trafo mit Ohmscher Last das Spannungs- und Strom-Verhältnis?
6. Was besagt der Maschensatz? Wie lautet er für die Primär-und Sekundär- Spannungen (Ströme) beim idealen Trafo?
7. Wie transformieren sich beim idealen Trafo Spannungen, Ströme, Widerstände und Leistungen?
8. Wie berechnen sich die Induktivitäten und die Gegeninduktivität beim idealen Trafo?
9. Wie ändern sich beim idealen Trafo Amplitude und Phase im Sekündarkreis bei induktiver
Last?
10. Berechnen Sie in der Vorbereitung einen Heylandkreis für die Werte:
σ = 0, 8; U1
f=
50 Hz;
L1 =
0,3 H;
= 50 V.
11. Wie kann man experimentell den Streufaktor bestimmen?
12. Wie wirkt sich ein Luftspalt im magnetischen Kreis aus?
13. Welche Verluste treten beim realen Trafo auf ?
14. Was versteht man unter Hystereseschleife ? Welchen prinzipiellen Verlauf zeigt die Feldabhängigkeit der Permeabilität?
15. Was sind Wirbelströme?
16. Wie kann man Wechselspannungen, Wechselströme, Phasenverschiebungen und WechselstromLeistungen messen?
Literatur
[1] Gerthsen, Physik (H. Vogel), Springer Berlin 1995
[2] A. Recknagel, Physik, III, El.-Lehre
[3] E.-H. Lämmerhirt, El. Maschinen .., V. Hanser, 1989
[4] H. Feldtkeller, Spulen und Übertrager, 1949
[5] K. Lunze, Berechnung elektrischer Stromkreise, V.Techn.,Bln.1979
[6] G. Müller, Elektrische Maschinen, V. Technik, Bln. 1985
[7] H.-O. Seinsch, Grundlagen elektrischer Masch. u. Antriebe, V.Teubner 1988
[8] K. Simony, Theoretische Elektrotechnik, Berlin, 1956
[9] H.-J. Paus, Physik in Experimenten und Beispielen, V. C.-Hanser München 1995
12