Halbleiter im semiklassischen Nichtgleichgewicht: Driftstrom

Kapitel 9
Halbleiter im semiklassischen
Nichtgleichgewicht: Driftstrom,
Diffusionsstrom und
Halbleitergleichungen
9.1
Zusammenfassung
Im thermischen Gleichgewicht werden die Ladungsträger in einem Halbleitersystem durch die Fermiverteilung beschrieben. Wird ein Halbleitersystem als Bauelement betrieben, kommt eine externe Störung hinzu.
Diese Störung kann eine einfallende elektromagnetische Strahlung oder das Anlegen einer äußeren Spannung sein, die einen Strom als Reaktion hervorruft. Durch diese externe Störung wird die Fermiverteilung
aufgehoben. Bei schnellen Intrabandprozessen können die entstehenden Nichtgleichgewichtsverteilungen
durch quasi-Fermienergien beschrieben werden. In der semiklassischen Näherung für die Dynamik von
Ladungsträger-Wellenpaketen entsteht aus der Kontinuitätsgleichung im Phasenraum die Boltzmanngleichung, die in linearisierter Form gelöst werden kann. Das Resultat sind Ausdrücke für den Drift- und
den Diffusionsstrom. Unter Verwendung der quasi-Fermienergien können diese Ausdrücke zu den Halbleitergleichungen vereinheitlicht werden. Die Halbleitergleichungen werden in den folgenden Kapiteln auf
Standardbauelemente wie die pn-Diode, Solarzellen, Bipolartransistoren und Feldeffekttransistoren angewendet.
Die Darstellung der semiklassischen Theorie des Nichtgleichgewichts in diesem Kapitel geht auf die Mitschrift einer Vorlesung von Herrn Prof. Dr. H. Heyszenau an der Universität Hamburg zurück.
9.2
Teilchendichte im Phasenraum und verallgemeinerte Fermiverteilung mit quasi-Fermienergien
Im Gleichgewichtszustand folgen die Elektronen im Kristall der Fermi-Verteilung
f (E) =
1
exp( E−µ
kB T ) + 1
1
.
(9.1)
2
KAPITEL 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN
Abbildung 9.1: (a) Zweidimensionaler Festkörper mit dem kleinen Volumen V = L x Ly = dxdy am Orte
~r. In einem inhomogenen Festkörper wird dieses kleine Volumen als Teilvolumen gedeutet, in dem der
Festkörper als homogen angenommen werden kann (s. Gl. (9.20)). (b) Gitter der nach periodischen Randbedingungen erlaubten Wellenvektoren ~k mit Einheitszellengröße (2π)2 /(L x Ly ) (rot). Betrachtetes rechteckiges Volumen im k-Raum mit Grundseitenlängen dk x und dky (cyanblau). Die Anzahl der Gitterpunkte, d. h. die Anzahl der erlaubten Zustände ist dk x dky /[(2π)2 /(L x Ly )]. Es wird also angenommen, dass
2π/L x < dk x < κ x und 2π/Ly < dky < κy . Hier sind κ x und κy typische Impulsraumlängen, auf denen ein
k-abhängiger Integrand variiert, über den wie in Gl. (9.8) integriert werden soll.
Mit Hilfe der Verteilungsfunktion f können wir Teilchenzahlen berechnen: In einem homogenen System
mit dem Ortsraumvolumen V ergibt sich mit E = E(~k) für die Teilchenzahl dN(~k) im k-Raumvolumen d3 k
V
dN(~k) = f [E(~k)]Dk d3 k = f [E(~k)] 3 d3 k.
4π
(9.2)
Hier ist Dk die bereits in Gl. (??) eingeführte Zustandsdichte im k-Raum, die inklusive Spinentartung mit
periodischen Randbedingungen gegeben ist durch 2V/(2π)3 = (L x Ly Lz )/(4π3 ) (s. Abb. 9.1 (b)). Für die
Leitungsbandelektronen gilt in Effektifmassennäherung Für ein parabolisches Leitungsband in einem homogenen Halbleiter
~2 2
E(~k) =
k + EL
(9.3)
2mL
mit der effektiven Masse mL .
Für einen in Abb. 9.1 (a) dargestellten kleinen Festkörper mit dem Volumen V = d3 r am Orte ~r lässt sich in
Abwandlung von (9.2) formal schreiben
f [E(~k)] 3 3
dN(~k) =
d rd k ≡ ρ(~k)d3 rd3 k ≡ ρ(u)d6 u.
4π3
(9.4)
Hier ist
dN(~r, ~k, t)
= ρ(u, t) = ρ(~r, ~k, t)
(9.5)
d6 u
die Teilchendichte im sechsdimensionalen Phasenraum u = (~r, ~k) mit dem Volumenelement d6 u = d3 rd3 k,
wobei zusätzlich eine Orts- und eine Zeitabhängigkeit zugelassen haben. Im homogenen System im thermischen Gleichgewicht gilt mit (??)
f [E(~k)]
ρ(u, t) = ρ(~k) =
.
4π3
(9.6)
9.2. PHASENRAUMDICHTE UND QUASI-FERMIENERGIEN
3
Durch externe Störungen wird die Teilchendichte im sechsdimensionalen Phasenraum i. A. orts- und zeitabhängig.
Abbildung 9.2: Quasistationärer Zustand bei der Einstrahlung von Licht, schnelle Intra-Band Relaxation
durch wiederholte Phononenemission.
Ein typisches Beispiel für die Störung des thermischen Gleichgewichts ist die Einstrahlung von Licht (s.
Abb. 9.2). Bei Einstrahlung von Licht werden Elektronen zunächst in höhere Bänder gehoben. Durch Abgabe der Energie z. B. an Gitterschwingungen können sie wieder ’herunterfallen’ (relaxieren). Bei zeitlich konstanter Lichteinwirkung gehen wir von einer konstanten Anregungsrate G (= Generationsrate) der
Elektronen-Lochpaare aus, so dass sich nach einer Einschwingphase mit zeitabhängiger Phasenraumdichte
ρ(~r, ~k, t) ein stationäres Fließgleichgewicht einstellen wird. Dieses wird durch eine zeitunabhängige Teilchendichte ρ(~r, ~k) beschrieben, die nicht der Gleichgewichtsverteilung entspricht. Bei örtlich homogener
Verteilung der Strahlung ist eine ortsunabhängige Phasenraumdichte zu erwarten, ρ(~r, ~k) = ρ(~k).
Im Allgemeinen sind die Intrabandprozesse sehr schnell und die Interbandprozesse langsam. Bei Intrabandprozessen ist nämlich die Emission von niederenergetischen Gitterschwingungsquanten (Phononen)
möglich, bei Interbandprozessen wegen der Größe der Bandlücke nicht. Wichtige Interbandprozesse sind
strahlende Rekombination (Aussendung eines Photons), Auger-Rekombination (Anregung eines Elektrons)
und Rekombination über Störstellen (Shockley-Read-Hall-Prozesse). Wegen der Schnelligkeit der Intrabandprozesse nehmen die Elektronen innerhalb eines Bandes sehr schnell eine thermische Verteilung an.
Wegen der Langsamkeit der Interbandprozesse stimmt die Gesamtzahl der Elektronen weder im LB noch
im VB mit derjenigen im thermischen Gleichgewicht überein. Im Nichtgleichgewichtsfall kann daher angenommen werden, dass analog zu (9.5) die Phasenraumdichte durch eine Fermiverteilungsfunktion bestimmt
ist, in der jedoch an Stelle von µ eine quasi-Fermi-Energie µn eingesetzt wird,
ρ(~r, ~k, t) → ρ(~r) =
fn (~k)
4π3
mit
fn [E(~k)] =
1
n
exp( E−µ
kB T )
+1
.
Bei der so angesetzten Verteilung gilt für die Ortsraumdichte n(~r) nach Gl. (9.4)
Z
Z
3
3
~
dN(~r) ≡
d kdN(~r, k) = d r d3 kρ(~r, ~k)
Z
Z
dN(~r)
1
⇒ n(~r) = 3 =
d3 kρ(~r, ~k) = 3
d3 k fn [E(~k)] = n.
d r
4π
(9.7)
(9.8)
4
KAPITEL 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN
Abbildung 9.3: Quasi-Ferminiveaus µn und µ p im intrinsischen Halbleiter, n0 = p0 = ni bei stationärer,
ortsabhängiger Beleuchtung. Im thermischen Gleichgewicht ohne Beleuchtung gelten n0 = p0 = ni und
µn = µ p µ.
Dieser Ausdruck entspricht dem bereits behandelten Gleichgewichtsfall mit µ ↔ µn . Es wurde für ein
parabolisches Leitungsband mit der Dispersion (9.3) hergeleitet
!
Z ∞
µn − E L
1
E−µ ∼ NL exp
n=
.
(9.9)
dE D(E)
n
kB T
EL
+1
exp
kB T
Hier gilt wie in Gl. (??) gezeigt
d3 k
= D(E)dE
4π3
mit der energieabhängigen Zustandsdichte in drei Dimensionen
√ 3/2
L 2m
D(E) = Nv
(E − E L )1/2 Θ(E − E L )
π2 ~3
(9.10)
(9.11)
und die Valley-Entartung im Leitungsband NvL . Weiterhin ist nach Gl. (??) die effektive Zustandsdichte des
Leitungsbandes
!3
mL k B T 2
NL = 2NvL
.
(9.12)
2π~2
Das Ergebnis (9.9) ist identisch mit dem bereits abgeleiteten Resultat im thermodynamischen Gleichgewicht, wenn man µn = µ setzt. Bei gegebener Nichtgleichgewichts-Elektronendichte im Leitungsband berechnet sich das quasi-Fermienergie gemäß
!
n
.
(9.13)
µn = E L + kB T ln
NL
Für Löcher setzt man eine Nichtgleichgewichtsverteilung
f (E) = 1 −
1
E−µ
exp( kB Tp )
+1
(9.14)
9.2. PHASENRAUMDICHTE UND QUASI-FERMIENERGIEN
an und erhält analog
p = NV exp
5
!
!
EV − µ p
p
⇒ µ p = EV − kB T ln
.
kB T
NV
Im thermischen Gleichgewicht gelten µn = µ p = µ und n = n0 , p = p0
!
!
n0
p0
µ = E L + kB T ln
= EV − kB T ln
.
NL
NV
(9.15)
(9.16)
Somit erhalten wir mit (9.13)
µn = µ + ln
n
n0
!
und
µ p = µ − ln
p
p0
!
(9.17)
bei Beleuchtung. Das chemische Potenzial µ im thermischen Gleichgewicht spaltet dann wie in Abb. (9.3)
dargestellt, in zwei quasi-Fermienergien µn und µ p auf,
 
!
 np 
n
µn − µ p = ln  2  = 2 ln
(9.18)
n0
n0
mit n = p. In Abbildung (9.3) ist die Beleuchtung inhomogen und daher n = n(~r) und ρ = ρ(~k,~r). Die
einfachste Berücksichtigung dieses Umstands ist der Ansatz
!
!
n(~r)
p(~r)
µn → µn (~r) = µ + ln
und µ p (~r) = µ − ln
.
(9.19)
n0
p0
Bei inhomogener Beleuchtung treten jedoch weitere Phänomene wie die laterale Ladungsträgerdiffusion
und laterale elektrische Felder auf. Daher brauchen wir eine komplexere Theorie zur Bestimmung der
Nichtgleichgewichts-Phasenraumdichte, die auf der im Folgenden dargestellten Boltzmanngleichung beruht.
6
KAPITEL 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN
9.3
Ladungsträger als quantenmechanische Wellenpakete mit semiklassischer Dynamik
Im Transportproblem wird zwischen Sourcekontakt und Drainkontakt eine Spannung VD angelegt. Es entsteht hierdurch im Festkörper ein elektrostatisches Potential U(~r), welches einen Teilchenstrom treibt, d. h.
entsteht ein offenes System. Für ein solches System soll die stationäre Phasenraumdichte ρ(~r, ~k) berechnet
werden. Hierzu wird der Phasenraum in Zellen eingeteilt:
Abbildung 9.4: (a) Ortsraum-Einteilung einer n − i − n-Struktur in Teilvolumen entlang der x-Achse. In
den n++ -dotierten Kontakten ist die Leitfähigkeit so hoch, dass φn = φ p = φS im Sourcekontakt und
φn = φ p = φD im Drainkontakt, wobei φD = φS − eVD mit der angelegten Drainspannung VD . Durch
die angelegte Spannung variiert die Lage der Bänder E L/V (~ri ). Aus dem Ansatz Gl. (9.54) zur Lösung der
Boltzmanngleichung folgen ortsabhängige quasi-elektrochemische Potenziale für Elektronen und Löcher.
(b) Phasenraumeinteilung in Zellen der Breite dx und dk. In einer Phasenraumzelle sei das Potenzial konstant. Die Teilchen werden durch im Orts- und Impulsraum mit den Breiten l x und lk um das Zentrum bei
x und k lokalisierte Wellenpakete (Kreise in Magenta) repräsentiert. Im vorliegenden Beispiel sind in der
Phasenraumzelle bei u vier Wellenpakte lokalisiert, die Phasenraumdichte beträgt daher ρ(u) = 4/(dxdk).
Wie wir sehen werden, bewegen sich alle diese Wellenpakte mit derselben Geschwindigkeit w = ( ẋ, k̇), die
nur von u abhängt.
1. Zur Erfassung der ortsabhängigen Verteilungsfunktion wird, wie in Kapitel ’6. Der pn-Übergang im
Gleichgewicht’ (s. Abb. ?? mit Ψ(x) ↔ U(~r)), eine Ortsraum-Zerlegung in Teilvolumen dxdydz →
9.3. LADUNGSTRÄGER ALS WELLENPAKETE MIT SEMIKLASSISCHER DYNAMIK
7
d3 r bei den Orten ~r eingeführt. Diese Teilvolumen sind groß gegen die Gitterkonstante, aber klein gegen die typische Länge der Potentialveränderung des äusseren Feldes. In jedem Teilvolumen schreiben wir wie in Gl. (??) in Erweiterung von (9.3)
E L/V (~r) = E L/V (~r) = E L/V + U(~r)
(9.20)
für die Bandkantenenergien. Die quasi-Fermienergie geht im elektrischen Potenzial U über in zunächst
unbekannte ortsabhängige quasi-elektrochemisches Potenziale für Elektronen und Löcher
µn → φn (~r)
µ p → φ p (~r).
(9.21)
2. Zusätzlich wird der k-Raum in Zellen d3 k diskretisiert. Wie in Abb. 9.3 (b) für eine Dimension gezeigt. wird damit der Phasenraum in Zellen d6 u = dxdydzdk x dky dkz = d3 rd3 k eingeteilt. Wie in Gl.
(9.2) ist für jede Phasenraumzelle eine zu bestimmende Phasenraumdichte definierbar mit
dN(~r, ~k, t) = ρ(~r, ~k, t)d3 rd3 k = ρ(u, t)d6 u.
(9.22)
Hier ist dN die Anzahl der Elektronen, die sich in der Phasenraumzelle um den Phasenraum-Ortsvektor
u = (~r, ~k) = (x, y, z, k x , ky , kz ) = (r1 , r2 , r3 , k1 , k2 , k3 )
(9.23)
im Volumenelement d6 u befinden.
3. Die Teilchen werden durch Wellenpakete beschrieben, die innerhalb einer Phasenraumzelle bei u
lokalisiert sind, d. h. sowohl im Orts- wie auch im Impulsraum mit den Breiten l x und lk beschränkt
sind. Es muss nach der Heisenbergschen Unschärferelation für jedes Teilchen (s. Pauli-Prinzip) in
allen Raumrichtungen gelten, wie in x-Richtung
l x lk > 2π.
(9.24)
Es sollen, wie in Abb. 9.3 (b) dargestellt, in jeder Phasenraumzelle einige Teilchen enthalten sein,
was nach (9.24) bedeutet, dass dxdk 1. El wird jedoch weiterhin vorausgesetzt, dass die Phasenraumzelle dxdk klein genug ist, dass sich alle Wellenpakte in einer Phasenraumzelle mit annähernd
derselben Phasenraumgeschwindigkeit
˙
w = (~r˙, ~k) = ( ẋ, ẏ, ż, k̇ x , k̇y , k̇z ) = w(u) = u̇
(9.25)
bewegen, die dann nur von u abhängt. In Appendix 1 und 2 ist gezeigt, dass unter bestimmten Bedingungen die Dynamik eines quantenmechanischen Wellenpakets gegeben ist durch


~ r) 
 ~~k F(~


w(u) =  ,
(9.26)
m ~ 
~ r) = −∇U(~r) = −eE,
~ wobei E~ das externe elektrische Feld ist. Gleichung (9.26) beschreibt die
mit F(~
Phasenraumdynamik. In Anhang 1 und Anhang 2 zu diesem Kapitel wird gezeigt, dass für Wellenpakete wie für klassische Teilchen die semiklassischen Bewegungsgleichungen
~p
~
~r˙ = ~v =
= ~k
m m
(9.27)
und
~˙
~v˙ = ~k = F~
(9.28)
m
gelten. In der Tat hat Boltzmann in der später behandelten Boltzmanngleichung (9.50) klassische
Teilchen behandelt.
8
9.4
9.4.1
KAPITEL 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN
Stromdichte und Kontinuitätsgleichung in Phasenraum
Stromdichte
Wir definieren im Phasenraum die Stromdichte
j = ρw.
(9.29)
Dieser Ausdruck lässt sich anhand der Bewegung in einer Dimension x illustrieren (s. Abb. 9.5 (a)): Es ist
u = (x, k) und w = ( ẋ, k̇). Für die durch die blaue Begrenzungslinie mit der Länge d f im Zeitintervall dt
Abbildung 9.5: Zur Stromdichte im Phasenraum.
laufende Teilchenzahl gilt
dN = ρ(u)wdtd f ⇒ j =
dN
= ρ(w)w
d f dt
und vektoriell
j = ρw.
(9.30)
Hier ist w der Betrag von w. Weiterhin steht das Linienelement d f senkrecht auf w.
9.4.2
Kontinuitätsgleichung
Die Herleitung der Kontinuitätsgleichung im Phasenraum erfolgt wie in Abbildung 9.6 (a) gezeigt: Es ist
j x,ein
=
j x,aus
=
jk,ein
=
jk,aus
=
dx
, k) ∼ j x (x, k) −
2
dx
j x (x + , k) ∼ j x (x, k) +
2
dx ∂
j x (x, k)
2 ∂x
dx ∂
j x (x, k)
2 ∂x
dk
) ∼ jk (x, k) −
2
dk
jk (x, k + ) ∼ jk (x, k) +
2
dk ∂
jk (x, k)
2 ∂k
dk ∂
jk (x, k).
2 ∂k
j x (x −
(9.31)
sowie
jk (x, k −
(9.32)
Sodann ergibt sich
∂
∂ jx
∂ jk
N = dk( j x,ein − j x,aus ) + dx( jk,ein − j x,aus ) = −dkdx
− dkdx
.
∂t
∂x
∂k
(9.33)
Es folgt die Kontinuitätsgleichung im Phasenraum
∂
ρ = −∇ j = −∇ ρw
∂t
(9.34)
9.4. STROMDICHTE UND KONTINUITÄTSGLEICHUNG IN PHASENRAUM
9
Abbildung 9.6: (a) Zur Kontinuitätsgleichung im Phasenraum und (b) zur Teilchendichte und Stromdichte
in Ortsraum.
mit dem sechskomponentigen Nablaoperator
∇=
!
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
, , ,
.
,
,
∂x ∂y ∂z ∂k x ∂ky ∂kz
(9.35)
10
9.5
KAPITEL 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN
Ortsraumgrößen durch Phasenraumdichte
Durch die Boltzmanngleichung wird die Teilchendichte im Phasenraum bestimmt. Die Beschreibung von
Halbleiterbauelementen erfordert jedoch die Kenntnis von Ortraumgrößen.
Zur Herleitung der Dichte n(~r) im Ortsraum summieren wir, wie in Abbildung 9.6 (b) dargestellt, sämtliche
Rechtecke mit gleichem x und unterschiedlichem k → ki = idk auf. Mit dN → dNi wird die Gesamtteilchenzahl in allen Rechtecken
X
X
dN(x, t) ≡
dNi =
dxdkρ(x, ki , t)
(9.36)
i
i
Es folgt für die Dichte im Ortsraum
n(x, t) ≡
dN(x, t)
=
dx
Z
dkρ(x, k, t).
(9.37)
Zur Herleitung der Stromdichte im Ortsraum
Aus Gl. (9.33) ergibt sich mit (9.37)
X
X ∂ j x (x, ki , t)
∂N(x, t) X ∂Ni
∂ j x (x, ki , t)
∂n(x, t)
=
=−
dkdx
⇒
=−
dk
∂t
∂t
∂x
∂t
∂x
i
i
i
(9.38)
Der zweite Summand in (9.33) entfällt, weil für zwei übereinanderliegende Rechtecke gilt jik,aus = ji+1
k,ein . Im
Limes dk → 0 folgt
Z
Z
X ∂ j x (x, ki , t)
∂ jx
∂
∂
dk
→
dk
=
dk j x (x, k, t) =
J.
(9.39)
∂x
∂x
∂x
∂x
i
Hier ist die Stromdichte im eindimensionalen Ortsraum
Z
Z
~k
J=
dk j x (x, k, t) =
dkρ(x, k, t) ,
m
(9.40)
wobei im zweiten Schritt (9.29) und (9.26) angewendet wurden. Aus (9.38) und (9.39) folgt die Kontinuitätsgleichung im eindimensionalen Ortsraum
∂
∂
n+
J = 0.
∂t
∂x
(9.41)
Der Ausdruck für die Stromdichte im Ortsraum Gl. (9.40) lässt sich in drei Dimensionen verallgemeinern
zu
Z
~~k
~
J(~r, t) =
d3 kρ(~r, ~k, t) .
(9.42)
m
Dieses entspricht der Projektion des sechsdimensionalen Stromdichteoperators im Phasenraum (9.29) auf
die ersten drei Ortskomponenten.
9.6. DIE BOLTZMANNGLEICHUNG
9.6
11
Boltzmanngleichung zur Berechnung der Phasenraumdichte
Zur Berechnung der ortsabhängigen Verteilungsfunktionen ρ gehen wir zunächst auf die bereits behandelte
Enveloppen-Näherung zurück, für die wir mit der effektiven Masse m im Leitungsband schreiben
" 2
#
~
(H − E)ψ(~r) = − ∆ + E L + U(~r) − E ψ(~r) = 0.
(9.43)
2m
Hier ist U(~r) die potenzielle Energie einer negativen Ladung in einem extern angelegten elektrischen Feld,
welches wir der Einfachheit halber als zeitunabhängig annehmen. Im Teilvolumen um ~r wird das Potenzial
als konstant angenommen, sodass die Eigenfunktionen ψ(~r) durch ebene Wellen mit der Wellenzahl ~k gegeben sind. In der Eigenfunktionsdarstellung von H können daher ersetzen ∆ → −k2 = −k2x − ky2 − kz2 , sodass
der Hamiltonoperator eine einfache skalare Funktion wird,
H=
~2 2
k + E L + U(~r) = E(~r, ~k).
2m
(9.44)
mit E L (~r) = E L + U(~r). Mit den semiklassischen Bewegungsgleichungen (9.27) und (9.28) gilt für ein in
der Phasenraumzelle um (~r, ~k) lokalisiertes Wellenpaket (s. Abb. 4 (b))
und
~~k 1 ∂H
~r˙ =
=
m
~ ∂~k
(9.45)
~k˙ = 1 F~ = − 1 ∂H ,
~
~ ∂~r
(9.46)
~ wobei E~ das externe elektrische Feld ist. In diesen Grundgleichungen sind die Komit F~ = −∇U(~r) = −eE,
ordinaten des sechsdimensionalen Einteilchen-Phasenraums u = (~r, ~k) die Orts- und Impuls-Schwerpunktkoordinaten von Wellenpaketen. Mit (9.45) und (9.46) folgt für die Geschwindigkeit eines Teilchens im
6-dimensionalen Phasenraum
!
1 ∂H ∂H
˙
w = u̇ = (~r˙, ~k) =
,−
= w(u).
(9.47)
~ ∂~k
∂~r
Es gilt daher
∇w =
3
3
3
3
X
X
X
X
∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
ṙ j +
k̇ j =
H−
H = 0.
∂r j
∂k j
∂r j ∂k j
∂k j ∂r j
j=1
j=1
j=1
j=1
(9.48)
Dies bedeutet die Quellen- und Senkenfreiheit des Geschwindigkeitsfeldes. Weiterhin finden wir
w∇ρ =
6
X
j=1
3
wj
3
∂ρ X ∂ρ X ∂ρ
˙
=
ṙ j
+
k̇ j
= ~r˙∇~r ρ + ~k∇~k ρ.
∂u j
∂r
∂k
j
j
j=1
j=1
(9.49)
Mit ∇ j = ∇ ρw = w∇ρ(u, t) + ρ(u, t)∇w = w∇ρ(u, t) erhält man aus der Kontinuitätsgleichung (9.34)
∂ρ/∂t = −∇ j die Boltzmanngleichung
~ r)
∂
F(~
ρ(~r, ~k, t) + ~v∇~r ρ(~r, ~k, t) +
∇~ ρ(~r, ~k, t) = Q
∂t
~ k
(9.50)
zur Bestimmung der Nichtgleichgewichtsverteilungsfunktion. Hierbei gelten
~v =
~~k
m
und für die negativ geladenen Elektronen
~
F~ = −∇U(~r) = −eE.
(9.51)
12
KAPITEL 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN
Auf der rechten Seite von (9.50) wurde ein zusätzlicher Quellterm Q per Hand eingeführt. Er repräsentiert
im Folgenden diskutierte zusätzliche Streuprozesse, herein oder haraus aus dem betrachteten Volumenelement d6 u, deren Dynamik nicht vom Hamiltonoperator in Gl. (9.44) und daher nicht von den Gln. (9.45)
und (9.46) beschrieben wird.
9.7. LINEARISIERTE BOLTZMANNGLEICHUNG IN RELAXATIONSZEITNÄHERUNG: DRIFT- UND DIFFUSIONSTRO
9.7
Linearisierte Boltzmanngleichung in Relaxationszeitnäherung: Driftund Diffusionstrom
Für den Quellterm in der Boltzmanngleichung nehmen wir an, dass er sich aus einem Kollisionsterm (Phononen und Verunreinigungen) und einem Generations/Rekombinationsterm (Photonen) zusammensetzt,
Q{ρ} =
∂ρ(~r, ~k, t)
|coll + G(~r, ~k, t) − R(~r, ~k, t),
∂t
(9.52)
wobei G die Generationsrate und R die Rekombinationsrate ist. Für den Kollisionsterm machen wir weiterhin den Relaxationszeit-Ansatz, d.h. die inelastischen Stöße treiben das System mit einer konstanten
Relaxationszeit τ auf ein lokales thermische quasi-Gleichgewicht zu
ρ(~r, ~k, t) − ρ0 (~r, ~k)
∂ρ(~r, ~k, t)
|coll = −
.
∂t
τ
(9.53)
Die ’Zielphasenraumdichte’ ρ0 (~r, ~k) wird in einem zeitunabhängigen externen elektrischen Feld als ebenfalls zeitunabhängig angesetzt. Es wird weiterhin in Verallgemeinerung von Gl. (9.7) angenommen, dass die
Ladungsträger einer Sorte durch schnelle inelastische Stöße entsprechend einem kleinem τ in ein lokales
Fließgleichgewicht kommen, welches durch ortsabhängige quasi-elektrochemische Potentiale φi beschrieben wird. Für die Elektronen im Leitungsband nehmen wir daher analog zu (9.7) in Boltzmannnäherung
an


 E(~r, ~k) − φn (~r) 
1
1
1
~

,
∼
exp −
(9.54)
ρ0 (~r, k) = 3
kB T
4π exp E(~r,~k)−φn (~r) + 1 4π3
kB T
wobei E(~r, ~k) in Gl. (9.44) definiert ist. Dann folgt aus der Boltzmanngleichung
⇒
∂ρ
eE~
ρ − ρ0
+ ~v∇~r ρ −
∇~ ρ = −
+G−R
∂t
~ k
τ
~
∂ρ
~ ~r ρ + τ eE ∇
~ ~ ρ.
−τ~v∇
ρ = ρ0 +
τ(G − R) − τ
∂t}
~ k
|
{z
(9.55)
0 zeitliche Veränderung
von ρ und G − R langsam auf
τ-Skala
Es erfolgt eine Linearisierung in τ, indem rechts ρ0 eingesetzt wird,
ρ ' ρ0 − τ~v∇~r ρ0 + τ
eE~
∇~ ρ0 = ρ(~r, ~k),
~ k
(9.56)
d. h. ρ unterscheidet sich von ρ0 nur durch eine kleine Korrektur. Wegen der Vernachlässigung von ∂ρ/∂t
in (9.55) wird ρ zeitunabhängig, was im sationären Limit exakt ist.
Mit der Phasenraumdichte ρ aus Gl. (9.56) können wir im Prinzip sämtliche interessierende Erwartungswerte berechnen. Beispielsweise gilt für die Ortsabhängigkeit der Teilchendichte nach (9.8) in führender
Ordnung
!
Z
Z
E L (~r) − φn (~r)
,
(9.57)
n(~r) =
d3 kρ(~r, ~k) ∼
d3 kρ0 (~r, ~k) = n0 (~r) ∼ NL exp −
kB T
wobei im letzten Schritt wie in Gl. (9.9) vorgegangen wurde mit µn ↔ φn (~r). Es ist ersichtlich, dass die Orstraumdichte n(~r) im Fließgleichgewicht direkt diejenige ist, die aus n0 (~r) folgt. Die elektrische OrtsraumStromdichte im Leitungsband J~n kann mit (9.42) berechnet werden. Hier verschwindet der Beitrag des
14
KAPITEL 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN
ρ0 -Terms in führender Ordnung τ aus Symmetriegründen,
Z
~
Jn = −e d3 k~vρ
Z
Z
Z
h
i
e2
3
3
~ ~ ρ0 ,
+eτ d k~v ~v∇~r ρ0 − τ
'
−e d k~vρ0
d3 k~v E∇
k
~
| {z }
= 0, ρ0 symmetrisch in ~k
"Z
#
Z
e2
3
3
~
= eτ d k ~v ⊗ ~v ∇~r ρ0 − τ
d k~v ⊗ ∇~k ρ0 E.
~
(9.58)
(9.59)
~B
~ C)
~ = (A
~ ⊗ B)
~ C,
~ wobei A
~⊗B
~ das dyadische
Hierbei benutzen wir die leicht zu verifizierende Identität A(
~ und B
~ ist, entsprechend der Matrix (A
~ ⊗ B)
~ i j = (A)
~ i ( B)
~ j . Es resultiert
Produkt von A
R
R
τ d3 k~v ⊗ ~vρ0
eτ d3 k~v ⊗ (∇~k ρ0 )
R
R
J~n = e
∇n − e
nE~
d3 kρ0
~ d3 kρ0
|
{z
}
|
{z
}
−µ̂n
D̂n
=
eD̂n ∇n
+
eµ̂n nE~
| {z }
| {z }
Diffusionsstrom
Driftstrom
∝ ∇n
∝ E~
,
(9.60)
mit dem Diffusionstensor
~2
(D̂n )i j = τ 2
m
R
R
d3 kki k j ρ0
d3 kvi v j ρ0
R
=τ R
≡ τ < 0|vi v j |0 >≡ τvi v j
d3 kρ0
d3 kρ0
(9.61)
und dem Beweglichkeitstensor
d3 kki ∂k∂ j ρ0
R
.
(9.62)
d3 kρ0
R
Zur Herleitung des Driftstroms erweitern wir (9.59) mit n = d3 kρ0 . Zur Herleitung des Diffusionsstroms
wurde der erste Summand auf der rechten Seite von (9.59) genähert
Z
Z
Z
(9.63)
d3 k ~v ⊗ ~v ∇~r ρ0 ∼
d3 k~v ⊗ ~v∇~r ρ0 = ~v ⊗ ~v d3 k∇~r ρ0 = ~v ⊗ ~v∇~r n(~r).
R
eτ
(µ̂n )i j = −
m
Im ersten Schritt wird die ~k-abhängige Funktion ~v ⊗~v im Integranden durch die über die Verteilungsfunktion
gemittelte (~k-unabhängige)
R
d3 k~v ⊗ ~vρ0 1
~v ⊗ ~v = R
= D̂n
(9.64)
τ
d3 kρ0
ersetzt. In den Übungen rechnen wir leicht nach, dass die im k-Raum isotrope Dispersion (9.44) und der
Normierungsnenner in (9.61) zu einem fundamentalen, ortsunabhängigen und diagonalen Tensor
R
22 R
E(~r,~k)−φn (~r)
3
~ k
3
d
kk
k
exp
−
2
i
j
k
T
B
~
~2 d kki k j exp − 2mkB T
=τ 2 R
2 2 = δi, j Dn
(D̂n )i j = τ 2 R
(9.65)
~
m
m
d3 k exp − ~ k
d3 k exp − E(~r,k)−φn (~r)
kB T
führen mit
R∞
E
5/2 −
2τ 0 dEE e kB T
τkB T
Dn =
=
.
R
3m ∞ dEE 3/2 e− kBET
m
0
2mkB T
(9.66)
9.8. DIE HALBLEITERGLEICHUNGEN
9.8
9.8.1
15
Die Halbleitergleichungen
Gleichungen für den Strom als Gradient des elektrochemischen Potenzials
Mit der Boltzmannverteilung (9.54) und (9.44) gilt
~2 k j ρ0
∂
∂ρ0 ∂E
∂ρ0 ~2 k j
ρ0 =
=
=− ∗
,
∂k j
∂E ∂k j
∂E m
m kB T
(9.67)


2 X
2 X


~
~2
2
 = ~
E L + U(~r) +
0 δ j j0 =
k
2k
kj
0
j
j


2m∗ j0
2m∗ j0
m∗
(9.68)
wobei für das Leitungsband
∂E
∂
=
∂k j ∂k j
und
"
#
~
n (~r)
n (r)
∂ρ0
1 − E−φ
1 1 − E−φ
1
∂
kB T
kB T
=
−
=−
e
e
=
ρ0 .
∂E
∂E 4π3
kB T 4π3
kB T
Einsetzen in (9.62) führt mit (9.61) auf
R
R
R
∂
3
3
d3 kki k j ρ0
eτ~2
eτ d k(~v ⊗ ~v)i j ρ0
eτ d kki ∂k j ρ0
R
R
= 2
=
(µ̂n )i j = − ∗ R
m
kB T
m kB T
d3 kρ0
d3 kρ0
d3 kρ0
e
e
=
(D̂n )i j =
Dn δi, j ≡ µn δi, j .
kB T
kB T
(9.69)
(9.70)
Es folgt die Einsteinrelation
kB T
µn .
e
Aus (9.66) erhält man temperturunabhängig und fundamental
Dn =
µn =
e τkB T
eτ
= ∗.
∗
kB T m
m
(9.71)
(9.72)
Aus Gl. (9.60) ergibt sich aus der Diagonalität und Isotropie von D̂n und µ̂n und der Einsteinrelation
J~n
=
=
eD̂n ∇n + eµ̂n nE~ = eDn ∇n + eµn nE~
µn (neE~ + kB T ∇n).
(9.73)
Es gilt weiterhin nach (9.57)
∇n(~r) =
=
!
!
E L (~r) − φn (~r)
E L (~r) − φn (~r) 1 = −NL exp −
∇E L (~r) − ∇φn (~r)
kB T
kB T
kB T
n(~r) ∇φn (~r) − ∇E L (~r) .
kB T
∇NL exp −
Wir finden somit vermöge
∇E L (~r) = ∇[E L + U(~r)] = eE~
(9.74)
(s. Gl. (9.51)) die Beziehung
J~n
=
µn n(~r)eE~ + µn kB T ∇n(~r) = µn n(~r)∇E L (~r) + µn n(~r) ∇φn (~r) − ∇E L (~r)
=
µn n(~r)∇φn (~r),
(9.75)
d. h. die treibende Kraft für den Strom ist der Gradient des elektrochemischen Potenzials. Analog gilt
J p = µ p p∇φ p .
(9.76)
16
KAPITEL 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN
9.8.2
Gleichungen für die Ladungsträgerdichte
Für die Elektronen im Leitungsband wurde hergeleitet
"
!#
Z
E L + U(~r) − φn (~r)
n(~r) ∼
d3 kρ0 (~r, ~k) = NL exp −
kB T
(9.77)
Für die lokale Dichte der Löcher gilt analog
#
"
φ p (~r) − EV + U(~r)
.
p(~r) = NV exp −
kB T
9.8.3
(9.78)
Poissongleichung
Es wird die Poissongleichung für das elektrostatische Potential aufgestellt,
e2
e[p + ND+ − n − NA− ]
0 mit Randbedingungen und physikalischen Annahmen für ND+ und NA− .
∆U =
9.8.4
(9.79)
Kontinuitätsgleichungen
Die Kontinuitätsgleichung für den elektrischen Strom der Leitungsbandelektronen lautet
∂n 1 ~
− ∇ Jn = G − R,
(9.80)
∂t e
wobei G − R die Differenz der Generations- und Rekombinationsrate von Elektron-Lochpaaren ist. Der
durch Verunreinigungen und Phononenstöße verursachte Kollisionsterm (∂ρ/∂t)col spielt hier keine Rolle,
da er die Elektronendichte im Ortsraum unverändert lässt. Für Löcher gilt analog
∂p 1 ~
+ ∇ J p = G − R.
∂t
e
9.8.5
(9.81)
Zusammenfassung:
Es liegt mit den Stromgleichungen Gln. (9.75) und (9.76), den Ladungsträgergleichungen (9.77) und (9.78),
der Poissongleichung (9.79) sowie den Kontinuitätsgleichungen (9.80) und (9.81) ein vollständiges Gleichungssystem, die Halbleitergleichungen, vor:
1. Vorgegeben werden die Beweglichkeiten µn = eτn /mn und µ p = eτ p /m p mit den ladungsträgerspezifichen Relaxationszeiten und effektiven Massen. Weiterhin müssen systemabhängige Annahmen für
G, R, ND+ und NA− gemacht werden (s. folgende Beispiele).
2. Die Gln. (9.77) und (9.78) zeigen, dass n = n(U, φn ) und p = p(U, φ p ).
3. Die Gleichungen (9.75) und (9.76) können in die Kontinuitätsgleichungen eingesetzt werden, um die
Stromdichten zu eliminieren. Man erhält im statischen Limes (∂n)/∂t = 0 = ∂p/(∂t)
µp
µn
− ∇[n(U, φn )∇φn ] = G − R
bzw.
∇[p(U, φ p )∇φ p ] = G − R.
(9.82)
e
e
4. Zusammen mit der Poissongleichung
e2
(9.83)
e[p(U, φ p ) + ND+ − n(U, φn ) − NA− ]
0 erhält man mit (9.82) drei gekoppelte Gleichungen zur Bestimmung der drei unbekannten Felder
U, φn und φ p .
∆U =
9.9. ANHANG 1: SEMIKLASSISCHE GESCHWINDIGKEIT VON WELLENPAKETEN
9.9
17
Anhang 1: Semiklassische Geschwindigkeit von Wellenpaketen
Wir gehen auf die Gleichung (16) im Abschnitt ’3. Elektronenzustände im periodischen Potenzial’ dieser
Vorlesung zurück:





 ~2 
~ 2
~k + ∇

 + V(~r) u~ (~r) = E(~k)u~ (~r),
(9.84)
k
 k
 2m 
i
wobei wir ein gegebenes Band n voraussetzen und dann diesen Index fortlassen. Vorsicht: In Gl. (9.84)
hat ~r die Bedeutung der mikroskopischen Ortskoordinate von der das schnell variierende Gitterpotenzial
V(~r) abhängt. Dagegen hat in Gl. (9.44), (9.45) und (9.46) das Symbol ~r die Bedeutung des Aufpunkts
eines Teilvolumens. Deswegen ist in Gl. (9.84) die Eigenenergie E(~k) unabhängig von ~r. Die in Gl. (9.44)
definierte Größe E(~k,~r) ist daher zu identifizieren mit
E(~k,~r) = E(~k) + U(~r).
(9.85)
Wir wählen als Aufpunkt ~k0 das Zentrum des Wellenpakets in Abb. 4 (b) und betrachten einen kleine
Variation ~k = ~k0 + ~q mit q << k0 . Für die Funktion E(~k) können wir eine Taylorentwicklung schreiben
~ ~ E(~k)~ .
E(~k) = E(~k0 ) + ~q∇
(9.86)
k
k
0
~ ~ E(~k) wenden wir eine Störungstheorie für ~k = ~k0 + ~q, q sehr klein (q << k0 ) an.
Zur Bestimmung von ∇
k
Wir schreiben unter Vernachlässigung von Termen mit q2 :








~ 2
~ 



∇
∇
 ~2 ~


k0 +  + 2~q ~k0 +  + V(~r)
u (~r) = E(~k)u~k (~r).
(9.87)



 2m
 ~k
i
i
In nullter Ordnung q: ~k = ~k0






~ 2


∇

 ~2 ~
u = E(~k0 )u~k0 (~r)
k0 +  + V(~r)



 ~k0
 2m
i
(9.88)
⇒ Störoperator
~
~2 ~
∇
~q(k0 + ).
m
i
Durch die Energieänderung in erster Ordnung finden wir im Vergleich mit Gl. (9.86)


Z
~ 
1
~2 ~
∇
3
∗
~
~
E(k) − E(k0 ) =
d r u ~ (~r) ~q k0 +  u~k0 (~r)
nk 0
VGZ GZ
m
i
H1 =
(9.89)
~ ~ E(~k)|~ ,
= ~q∇
k
k0
(9.90)
mit
1 ~2
∇~k E(~k)|~k0 =
VGZ m


~

∇


d3 r u~∗k (~r) ~k0 +  u~k0 (~r).
0
i
GZ
Z
(9.91)
Setze ein:
ψ~k0 (~r) =
⇒
~
∇
ψ~ (~r) =
i k0
1
√ exp(i~k0~r)u~k0 (~r)
V


~ 
1
∇
~
~
√ exp(ik0~r) k0 +  u~k0 .
i
V
(9.92)
18
KAPITEL 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN
⇒
2
~ ~k)|~ = ~ N
∇E(
k0
m i
Z
~ ~ = ~
d3 rψ~∗ ∇ψ
k0
k0
m
GZ
Z
V
d3 rψ~∗ ~pψ~k0 =
k0
~
h~p~ i = ~~v0 ,
m k0
(9.93)
wobei N die Anzahl der Gitterzellen ist. Es gilt also
~v0 =
1
1
h~p~ i = ∇~k E(~k)|k0
m k0
~
(9.94)
die mittlere Geschwindigkeit im Blochzustand |~k >, entspricht der Geschwindigkeit eines Wellenpaketes
mit Zuständen im Intervall um ~k.
Anwendung die ebenen Wellenzustände im Teilvolumen bei ~r mit Gl. (9.44) erbringt
[~v]i =
.
1 ∂ ~
1 ∂
~
1 ∂ ~
E(k) =
E(k,~r) =
H = ki .
~ ∂ki
~ ∂ki
~ ∂ki
mi
(9.95)
9.10. ANHANG 2: SEMIKLASSISCHE BESCHLEUNIGUNG VON WELLENPAKETEN
9.10
19
Anhang 2: Semiklassische Beschleunigung von Wellenpaketen
Legen wir z. B. eine Spannung an den Festkörper an oder setzen wir ihn einer Strahlung aus, treten zusätzlich zu dem gitterperiodischen Potential noch nichtperiodische Kräfte auf. Hier betrachten wir den einfachsten Fall eines einfachen Zusatzpotentials ϕ(~r), das z. B. durch eine externe Spannung erzeugt wird.
Für die semiklassische Theorie ist es ganz entscheidend, das ϕ(~r) auf der Skala der Gitterzelle nur schwach
veränderlich ist. Dieses ist bei vielen Bauelementen gegeben. Wir haben:
Ĥ =
p̂2
+ V(~r) −eϕ(~r).
2m {z }
|
(9.96)
Ĥ0
Wir lösen formal die zeitabhängige Schrödingergleichung:
!
∂ψ
Ĥ
i~
= Ĥψ ⇒ ψ(~r, t) = exp −i t ψ(~r, t = 0).
∂t
~
(9.97)
Betrachte die zeitliche Entwicklung einer Wellenfunktion ψ~k (~r, t) , die zum Zeitpunkt t = 0 im Blochzustand
ψ~k0 (~r), d. h. im Eigenzustand des Hamiltonoperators mit V(~r) ohne ϕ(~r) vorlag (der Bandindex wird der
Einfachheit halber fortgelassen) .
ψ~k (~r, dt) = exp −i
!
i
Ĥdt
ψ~k (~r, t = 0) ≈ (1 − Ĥdt)ψ~k0 (~r),
~
~
wobei dt ein infinitesimales Zeitinkrement darstellt.
Wir betrachten die Translationseigenschaften des Zustandes nach dt, wobei ~a : ein Gittervektor ist.
T̂~a ψ~k (~r, dt) =
=
i
T̂~a (1 − Ĥdt)ψ~k0 (~r)
~
i
i
(1 − Ĥdt)T̂~a ψ~k0 (~r) − dt[T̂~a , Ĥ]ψ~k0 (~r)
~
~
(9.98)
Weiterhin
[T̂~a , Ĥ] =
=
[T̂ a , −eϕ(~r)] = −eT̂~a ϕ(~r) + eϕ(~r)T̂~a
−e (T̂~a ϕ(~r)T̂~a−1 ) T̂~a + eϕ(~r)T̂~a
| {z }
ϕ(~r+~a)
=
=
−e[ϕ(~r + ~a) − ϕ(~r)]T̂~a ≈ −e~a∇ϕT̂~a
+e~aE~ T̂~a = −~aF~ T̂~a .
(9.99)
Wir setzen eine schwache Veränderlichkeit von φ im Bereich der Ausdehnung des Wellenpakets voraus,
sodass F~ eine Konstante ist. Auch ist ~a durch die Bedingung limitiert, dass a kleiner als die Ausdehnung
der Wellenfunktion ist.
Man hat
(T̂~a ϕ(~r)T̂~a−1 ) f (~r) =
⇒
Insgesamt
T̂~a ϕ(~r)T̂~a−1
=
T̂~a ϕ(~r) f (~r − ~a) = ϕ(~r + ~a) f (~r)
ϕ(~r + ~a)
(9.100)
20
KAPITEL 9. DIE DRIFT-DIFFUSIONSGLEICHUNGEN
T̂~a ψ~k (~r, dt)
i
~ a)dt]T̂~a ψ~ (~r)
= [1 − (Ĥ − F~
k0
~
i~
i
= exp( Ĥdt + F~adt) exp(i~k0~a)ψ~k0 (~r)
~
~
(9.101)
~ a als auch ~k0~a einfache Zahlen sind, die mit dem Operator Ĥ kommuJetzt wird ausgenutzt, dass sowohl F~
tieren. Dann ist
T̂~a ψ~k (~r, dt) =
=
i
exp[i~k~a] exp[− Ĥdt]ψ~k0 (~r)
~
exp[i~k~a]ψ~k (~r, dt),
(9.102)
~
mit ~k = ~k0 + F~ dt. Aus der letzteren Beziehung folgt (9.46)
˙ ~
~~k = F.
(9.103)