§8 Algebren

Algebra II, SS 2009
Mittwoch 10.6
$Id: algebren.tex,v 1.2 2009/06/10 14:01:57 hk Exp $
§8
Algebren
Definition 8.1: Eine Algebra über einem Körper K ist ein Paar (A, ·) bestehend aus
einem Vektorraum A über K und einer bilinearen Abbildung · : A × A → A.
Gelegentlich ist es bequem auch Algebren über einem kommutativen Ring K zu definieren, und hierfür kann man die obige Definition wörtlich übertragen. Ausgeschrieben
bedeutet die Bilinearität der Multiplikation die folgenden vier Bedingungen:
1. Für alle x, y, z ∈ A ist (x + y) · z = x · z + y · z (Rechtsdistributivgesetz).
2. Für alle x, y, z ∈ A ist x · (y + z) = x · y + x · z (Linksdistributivgesetz).
3. Für alle x, y ∈ A, c ∈ K ist (cx) · y = c · (x · y).
4. Für alle x, y ∈ A, c ∈ K ist x · (cy) = c · (x · y).
Die letzten beiden Bedingungen werden häufig auch in der Form (cx) · y = c · (x · y) =
x · (cy) für x, y ∈ A, c ∈ K benutzt. Als allererstes wollen wir einige Beispiele von
Algebren vorstellen. Sei K im folgenden ein Körper.
1. Für jedes n ∈ N bilden die n×n Matrizen über K mit der üblichen Multiplikation
von Matrizen eine Algebra Mn (K).
2. Ist V ein Vektorraum über K, so bilden die Endomorphismen von V mit der
Hintereinanderausführung als Multiplikation eine Algebra, die sogenannte Endomorphismenalgebra End(V ) von V . Im Fall eines endlichdimensionalen Vektorraums entsprechen die Endomorphismen von V nach Wahl einer Basis gerade
den n × n Matrizen über K, wobei n := dim V ist. Dies wird zugleich eine Isomorphie der Algebren End(V ) und Mn (K) sein, allerdings müssen wir dazu den
Isomorphiebegriff für Algebren überhaupt erst einmal einführen.
3. Ist L ⊇ K eine Körpererweiterung, so ist L eine Algebra über K.
4. Der R3 versehen mit dem Vektorprodukt ist eine Algebra über R.
5. Sind M eine Menge und · : M × M → M irgendeine Verknüpfung auf M , so
betrachten wir den von M frei über K erzeugten Vektorraum K[M ] := K (M )
und setzen die auf der Basis M gegebene Multiplikation bilinear auf ganz K[M ]
fort. Dass dies möglich ist, wird eine Übungsaufgabe sein. Diese Algebra wird als
die Algebra der Verknüpfungsstruktur (M, ·) bezeichnet. Die Schreibweise K[M ]
ist dabei üblich auch wenn die Gefahr der Verwechslung mit einem Polynomring
besteht.
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6. Der Polynomring K[x], und auch der Polynomring K[T ] für eine beliebige Menge T , sind Algebren über K. Diese Algebren kann man auch als spezielle über
Verknüpfungsstrukturen definierte Algebren ansehen. Als Verknüpfungsstruktur
muss man dabei die Menge M der Monome mit der Multiplikation von Monomen
verwenden.
Tatsächlich gibt es keinen Mangel an Algebren über K, da wir bis auf die Bilinearität
der Multiplikation ja keinerlei Bedingungen fordern. Über allgemeine Algebren kann
man daher auch nichts Interessantes aussagen. Dementsprechend werden wir uns schon
bald auf spezielle Klassen von Algebren beschränken. Die für uns wichtigste spezielle
Klasse von Algebren sind die assoziativen Algebren.
Definition 8.2: Eine Algebra (A, ·) heißt assoziativ wenn a(bc) = (ab)c für alle a, b, c ∈
A gilt.
Die obigen Beispiele (1,2,3,6) sind alle assoziativ und die Algebra K[M ] einer Verknupfungsstruktur ist genau dann assoziativ wenn die Verknüpfungsstruktur assoziativ
ist. Hierzu muss man nur einsehen, dass es ausreicht, das Assoziativgesetz auf den Elementen einer Basis zu überprüfen, und dies wird eine Übungsaufgabe sein. Assoziative
Verknüpfungsstrukturen nennt man auch Halbgruppen, und für jede Halbgruppe G
haben wir dann eine assoziative Algebra K[G]. Das Vektorprodukt ist dagegen nicht
assoziativ, anstelle der Assoziativität erfüllt es die sogenannte Jacobi Identität
(u × v) × w + (v × w) × u + (w × u) × v = 0
für alle u, v, w ∈ R3 . Weitere Beispiele von Algebren werden durch die diversen Standardkonstruktionen von Algebren aus anderen vorgegebenen Algebren heraus geliefert.
Die wichtigsten dieser Konstruktion sind:
1. Ist (Ai )i∈I eine FamilieQvon Algebren über einem Körper K, so wird der Produktvektorraum A := i∈I Ai mit komponentenweise definierter Multiplikation
wieder eine Algebra über K, genannt das direkte Produkt der Algebren Ai (i ∈ I).
Sind die Algebren Ai (i ∈ I) alle assoziativ, so ist offenbar auch A wieder assoziativ.
2. Seien A1 , A2 zwei Algebren über einem Körper K. Da die Algebrenmultiplikation
· : Ai × Ai → Ai für i = 1, 2 eine bilineare Abbildung ist, haben wir für i =
1, 2 auch eine lineare Abbildung µi : Ai ⊗ Ai → Ai . Mit der Kommutativität
und Assoziativität des Tensorprodukts §7.Lemma 2 konstruieren wir eine weitere
lineare Abbildung
µ1 ⊗µ2
∼
µ : (A1 ⊗ A2 ) ⊗ (A1 ⊗ A2 ) −→ (A1 ⊗ A1 ) ⊗ (A2 ⊗ A2 ) −→ A1 ⊗ A2 ,
die auf Elementartensoren als
(a1 ⊗ a2 )a ⊗ (b1 ⊗ b2 ) 7→ (a1 ⊗ b1 ) ⊗ (a2 ⊗ b2 ) 7→ µ1 (a1 ⊗ b1 ) ⊗ µ2 (a2 ⊗ b2 )
= (a1 b1 ) ⊗ (a2 b2 )
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für alle a1 , b1 ∈ A1 , a2 , b2 ∈ A2 wirkt. Hiermit definieren wir die bilineare Abbildung
· : (A1 ⊗ A2 ) × (A1 ⊗ A2 ) → A1 ⊗ A2 ; (x, y) 7→ µ(x ⊗ y),
also
(a1 ⊗ a2 ) · (b1 ⊗ b2 ) = (a1 b1 ) ⊗ (a2 b2 )
für alle a1 , b1 ∈ A1 , a2 , b2 ∈ A2 . Damit wird A1 ⊗A2 eine Algebra über K genannt
das Tensorprodukt der Algebren A1 und A2 . Durch Betrachtung von Elementartensoren sieht man, dass A1 ⊗ A2 assoziativ ist wenn A1 und A2 assoziativ
sind.
3. Seien A eine assoziative Algebra über K und n ∈ N. Dann betrachten wir die
Menge Mn (A) aller n × n Matrizen mit Einträgen aus A. Durch komponentenweise Addition und Multiplikation wird Mn (A) ein Vektorraum über K. Mit der
üblichen Matrixmultiplikation
!
n
X
(aij )1≤i,j≤n · (bij )1≤i,j≤n :=
aik bkj
k=1
1≤i,j≤n
wird Mn (A) zu einer assoziativen Algebra über K.
4. Ist A eine Algebra, so definieren wir die entgegengesetzte Algebra Aop durch die
Multiplikation
a ·op b := ba
für a, b ∈ A. Ist A assoziativ, so ist auch Aop assoziativ.
Es fehlt noch die Quotienten oder Faktoralgebra, die wir bald einführen werden. Wir
haben die üblichen Standardbegriffe und Standardsätze, die wir jetzt einmal durchgehen wollen.
Definition 8.3: Sei A eine Algebra über einem Körper K. Eine Unteralgebra von A
ist ein Teilraum B von A mit B · B ⊆ B. Dann kann man natürlich B selbst als eine
Algebra über K auffassen.
Definition 8.4: Sei A eine Algebra über einem Körper K. Ein Ideal von A ist ein
Teilraum I ≤ A mit I · A ⊆ I und A · I ⊆ I. Wir schreiben dann I A.
Wie bei Ringen können wir zu gegebener Algebra mit einem Ideal I A auch eine
Quotientenalgebra, beziehungsweise Faktoralgebra wenn Ihnen dieser Name lieber ist,
definieren. Die Projektion auf den Quotienten wird dann ein Homomorphismus im
Sinne der folgenden Definition sein.
Definition 8.5: Seien A, B zwei Algebren über einem Körper K. Ein Algebrenhomomorphismus von A nach B ist eine lineare Abbildung f : A → B mit f (ab) = f (a)f (b)
für alle a, b ∈ A.
Es gilt der übliche Kleinkram, also:
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1. Hintereinanderausführungen von Algebrenhomomorphismen sind wieder Algebrenhomomorphismen. Weiter ist die identische Abbildung einer Algebra ein Homomorphismus, und die Inverse eines bijektiven Algebrenhomomorphismus ist
wieder ein Algebrenhomorphismus.
2. Ein Isomorphismus zwischen zwei Algebren ist ein bijektiver Algebrenhomomorphismus und gibt es einen solchen, so heißen die beiden Algebren isomorph, geschrieben als A ' B. Die Isomorphie von Algebren ist dann transitiv, symmetrisch und reflexiv. Weiter bilden die Automorphismen einer Algebra A, also die
Isomorphismen f : A → A eine Gruppe Aut(A), die sogenannte Automorphismengruppe von A.
3. Sind f : A → B ein Algebrenhomomorphismus und U ≤ A eine Unteralgebra,
so ist auch f (U ) eine Unteralgebra von B. Insbesondere ist das Bild von f eine
Unteralgebra von B.
4. Sind f : A → B ein Homomorphismus und U ≤ B eine Unteralgebra, so ist auch
f −1 (U ) ≤ A eine Unteralgebra.
Nun können wir Quotientenalgebren konstruieren.
Definition 8.6: Seien A eine Algebra über einem Körper K und I A ein Ideal von
A. Dann bilden wir den Quotientenvektorraum A/I, und definieren auf diesem eine
Multiplikation
· : (A/I) × (A/I) → A/I; (a + I, b + I) 7→ ab + I.
Dies ist tatsächlich von der Wahl der speziellen Repräsentanten unabhängig, denn sind
a, b ∈ A, u, v ∈ I, so haben wir
(a + u) · (b + v) = ab + av
{z + uv}
| + ub
∈I
da av ∈ A · I ⊆ I, ub ∈ I · A ⊆ I und uv ∈ I · I ⊆ I sind. Bezüglich dieser
Algebrenstruktur auf A/I ist die Projektion
p : A → A/I; a 7→ a + I
ein Algebrenhomomorphismus mit Kern(p) = I.
Wie gewohnt sind die Ideale genau die Kerne von Algebrenhomomorphismen und wir
haben einen Homomorphiesatz:
Satz 8.1 (Homomorphiesatz)
Seien A, B zwei Algebren über einem Körper K und f : A → B ein Algebrenhomomorphismus. Dann sind Bild(f ) eine Unteralgebra von B und Kern(f ) ein Ideal von
A. Weiter induziert f einen Algebrenisomorphismus
f : A/ Kern(f ) → Bild(f ); a + Kern(f ) 7→ f (a).
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Beweis: Dass Bild(f ) eine Unteralgebra von B ist haben wir bereits festgehalten. Nach
dem Homomorphiesatz für Vektorräume ist Kern(f ) ein Teilraum von A und f ist ein
Vektorraumisomorphismus. Für a ∈ Kern(f ), b ∈ A haben wir f (ab) = f (a)f (b) = 0
und ebenso f (ba) = 0, d.h. Kern(f ) A ist ein Ideal von A. Für alle a, b ∈ A gilt auch
f ((a + Kern(f )) · (b + Kern(f ))) = f (ab + Kern(f )) = f (ab) = f (a)f (b)
= f (a + Kern(f )) · f (b + Kern(f )).
Damit ist f ein Algebrenisomorphismus.
Bevor wir jetzt den zweiten und dritten Homomorphiesatz herleiten, wollen wir kurz
innehalten und als ein Beispiel für den Isomorphiebegriff die zweidimensionalen Algebren über einem Körper K klassifizieren. Etwas genau sind wir nur an Algebren mit
Eins interessiert, wobei eine Eins einer Algebra wie üblich definiert wird.
Definition 8.7: Sei A eine Algebra über einem Körper K. Eine Eins in A ist ein Element
1 ∈ A mit 1 · a = a · 1 = a für alle a ∈ A. Gibt es ein solches Einselement, so sagt man
die Algebra hat eine Eins, oder ist eine Algebra mit Eins.
Es gibt immer höchstens ein Einselement, denn sind 1, 10 ∈ A zwei Einsen, so haben
wir sofort 1 = 1 · 10 = 10 , daher kann man auch einfach von der Eins von A sprechen.
Im Fall einer Algebra mit Eins betrachtet man nur noch Unteralgebren, die die Eins
von A enthalten. In der Notation wird dies aber nicht kenntlich gemacht, ob das Wort
Unteralgebra“ eine beliebige Unteralgebra B oder eine Unteralgebra B mit 1 ∈ B
”
meint ist immer nur aus dem Kontext heraus klar. Entsprechend betrachtet man auch
nur Homomorphismen f : A → B zwischen Algebren mit Eins, die f (1) = 1 erfüllen.
Gelegentlich wird für eine Eins auch noch 1 6= 0 gefordert, was offenbar zu A 6= 0
äquivalent ist. Dies ist aber nur eine Geschmacksfrage und kein wesentlicher Punkt. Im
Fall A 6= 0 ist die Abbildung
ν : K → A; x 7→ x · 1
ein injektiver Algebrenhomomorphismus über den wir K als eine Unteralgebra von A
auffassen. Für alle x ∈ K, a ∈ A gilt dann
ν(x) · a = (x · a) · a = 1 · (ax) = ax.
Wir können also K über ν mit einer Unteralgebra von A identifizieren so, dass die
Multiplikation mit Skalaren im Vektorraum A zur Multiplikation in der Algebra A
wird.
Wir kommen jetzt zu den zweidimensionalen Algebren mit Eins über einem Körper
K. Wegen 1 6= 0 können wir eine solche Algebra mit einer Basis 1, a ansetzen, also
A = h1, ai schreiben. Wegen 1 · a = a · 1 = a, 12 = 1 ist die gesamte Multiplikation
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durch Angabe von a2 festgelegt. Beachte weiter das die Multiplikation in A kommutativ
ist, denn es reicht das Kommutativgesetz auf der Basis 1, a zu überprüfen, und dort
ist es offenbar erfüllt. Mit dem Kommutativgesetz und den beiden Distributivgesetzen
ergibt sich weiter die Gültigkeit der binomischen Formel
(x + y)2 = (x + y) · (x + y) = x · (x + y) + y · (x + y) = x2 + xy + yx + y 2 = x2 + 2xy + y 2
für alle x, y ∈ A. Wir schreiben jetzt a2 = λ + µa mit λ, µ ∈ K. Es gibt dann drei
verschiedene Fälle.
Fall A. Das Polynom x2 − µx − λ hat in K zwei verschiedene Nullstellen. Dann können
wir
x2 − µx − λ = (x − θ1 ) · (x − θ2 ) = x2 − (θ1 + θ2 ) + θ1 θ2
mit geeigneten θ1 , θ2 ∈ K, θ1 6= θ2 schreiben. Wir erhalten das Element
b :=
θ1
1
−
·a∈K
θ1 − θ2 θ1 − θ2
und wegen b ∈
/ K ist auch 1, b eine Basis von A. Weiter gilt
b2 =
θ12
2θ1
λ
µ
θ12 + λ
µ − 2θ1
−
·
a
+
+
·
a
=
+
·a
2
2
2
2
(θ1 − θ2 )
θ1 − θ2
(θ1 − θ2 )
(θ1 − θ2 )
(θ1 − θ2 )
(θ1 − θ2 )2
θ 2 − θ1 θ2
θ2 − θ1
θ1
1
= 1
+
·
a
=
−
· a = b.
(θ1 − θ2 )2 (θ1 − θ2 )2
θ1 − θ2 θ1 − θ2
Damit ist die Algebra A bis auf Isomorphie festgelegt. Schließlich können wir noch zu
der Basis b, 1 − b von A übergehen. Wegen
b · (1 − b) = b − b2 = 0, (1 − b) · b = b − b2 = 0, b2 = b, (1 − b)2 = 1 − 2b + b2 = 1 − b
ist
ϕ : K × K → A; (x, y) 7→ xb + y(1 − b)
ein Algebrenisomorphismus.
Fall B. Das Polynom x2 − µx − λ hat eine doppelte Nullstelle in K, also
x2 − µx − λ = (x − θ)2 = x2 − 2θx + θ2
für ein θ ∈ K. Dann setzen wir b := a − θ ∈ A und 1, b ist eine Basis von A mit
b2 = (a − θ)2 = a2 − 2θa + θ2 = λ + µa − 2θa + θ2 = λ + θ2 + (µ − 2θ)a = 0.
Die Multiplikation in A ist damit gegeben durch die Formel
(x + yb) · (x0 + y 0 b) = xx0 + xy 0 b + yx0 b + yy 0 b2 = xx0 + (xy 0 + x0 y)b.
Die Algebra A ist damit isomorph zur sogenannten Algebra der Dualzahlen, die wir
über jedem Körper als
(x, y) · (x0 , y 0 ) = (xx0 , xy 0 + x0 y)
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definieren können.
Fall C. Das Polynom x2 −µx−λ ist über K irreduzibel. Dann ist der Zerfällungskörper
L von x2 − µx − λ eine quadratische Erweiterung von K nämlich L = K(α) mit
α2 = λ + µα. Folglich wird
ϕ : L → A; x + yα 7→ x + ya
ein Algebrenisomorphismus A ' L.
Damit haben wir drei Typen zweidimensionaler Algebren mit Eins. Die genaue
Aufteilung nach Isomorphietypen im Fall C hängt von der Struktur des Körpers K
ab. Ist K algebraisch abgeschlossen, so gibt es überhaupt keine Algebren in Fall C. Ist
dagegen K = R, so haben wir genau eine Algebra in Fall C, nämlich die komplexen
Zahlen. Auf jeden Fall sind die Algebren in den drei verschiedenen Fällen allesamt
nicht isomorph. Das Produkt K × K und die Dualzahlen haben Nullteiler, können also
keine Körper sein. Die Dualzahlen sind auch nicht zu K × K isomorph, denn in den
Dualzahlen gibt es ein Element a 6= 0 mit a2 = 0, aber in der Algebra K × K existieren
keine solchen Elemente.
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