Klausur 1

Klausur zur Theoretischen Physik I (Mechanik)
Aufgabe 1
11.06.2004
schriftl., 4 Punkte
Kräfte
1. Prüfen Sie ob die Kraft F = α e3 × r (α konstant) konservativ ist.
2. Berechnen Sie das zur Kraft F = 2r cos r 2 gehörige Potential
Lösung
1. Via Rotation:
[rotF ]i =ijk ∇j Fk = α ijk ∇j klm [e3 ]l rm
=α(δil δjm − δim δjl )[e3 ]l δjm = α (δil 3 − δil )[e3 ]l = 2α[e3 ]i 6= 0
(1)
2. Man bemerke, dass
2
F = 2r cos r =
d
2
cos r ∇r 2 = ∇ sin r 2
dr2
(2)
Potential durch radiale Integration.
Aufgabe 2
Rückschluß von Bahnkurve auf Potential in der Ebene schriftl., 4 Punkte
Welches Zentralpotential V (r) muss auf ein Punktteilchen der Masse m wirken, damit
sich als Bahnkurve eine logarithmische Spirale r = a eb ϕ ergibt?
1. Stellen Sie dazu zunächst die Lagrangefunktion in Polarkoordinaten für ein beliebiges Zentralpotential V (r) auf. Berechnen Sie die Bewegungsgleichungen und lesen
Sie daraus eine Erhaltungsgröße ab.
2. Berechnen Sie unter Verwendung der Bewegungsgleichungen und der Erhaltungsgröße das zur Bahnkurve r(t) = a eb ϕ(t) gehörige Potential V (r).
Lösung
1. Die Lagrangefunktion lautet:
L=
m 2
(ṙ + r2 ϕ̇2 ) − V (r)
2
Daraus erhält man die Bewegungsgleichungen:
• für r:
d ∂L ∂L
dV
−
= mr̈ − mrϕ̇2 +
=0
dt ∂ ṙ
∂r
dr
also
mr̈ − mrϕ̇2 = −
dV
dr
• für ϕ:
d
(mr2 ϕ̇) = 0
dt
und damit also der Drehimpuls mr 2 ϕ̇ = L = const erhalten.
2. Wir haben
r(t) = a eb ϕ(t)
und damit
ṙ = a eb ϕ b ϕ̇ = r b ϕ̇
r̈ = a eb ϕ b2 ϕ̇2 + a eb ϕ b ϕ̈ == r b2 ϕ̇2 + r b ϕ̈
mit
m r2 ϕ̇ = L
erhalten wir
ϕ̇ =
und
ϕ̈ = −
2L2 b
2 L b ϕ̇
2 L ṙ
−
−
=
=
m r3 |{z}
m r2 |{z}
m2 r 4
L
ṙ=rbϕ̇
Damit ist
r̈ − mrϕ̇2 =
also
Aufgabe 3
L
m r2
ϕ̇=
m r2
b2 L2 2 L 2 b2
L2
L2
2
−
−
=
−(b
+
1)
m r3
m r3
m r3
m r3
dV
L2
= (b2 + 1)
dr
m r3
L2
V (r) = −(b2 + 1)
2 m r2
Teilchen auf Kreiskegel, Teil 1
schriftl., 4 Punkte
Ein Massenpunkt der Masse m bewegt sich unter dem Einfluß konstanter Schwerkraft,
parametrisiert durch die Gravitationskonstante g, auf der Oberfläche eines auf seiner
Spitze stehenden Kegels (Öffnungswinkel 2α < π), dessen Achse parallel zur Richtung
des Schwerefelds ausgerichtet ist.
1. Geben Sie die Zwangsbedingung an. Zeigen Sie, dass damit für die Lagrangefunktion
L in Kugelkoordinaten die Form
L=
m 2
(ṙ + r2 ϕ̇2 sin2 α) − mgr cos α
2
annimmt.
2. Wie lauten die Bewegungsgleichungen?
3. Geben Sie die Erhaltungsgrößen in Kugelkoordinaten für dieses System an. Begründen Sie Ihre Wahl.
4. Geben Sie das effektive (Radial-) Potential an. Parametrisieren Sie es mit Hilfe seines
Minimums r0 . Skizzieren Sie das effektive Potential. Beschreiben Sie die Bewegung
des Teilchens. Welche Bewegung entspricht dem Minimum des effektiven Potentials?
5. Entwickeln Sie das effektive Potential um sein Minimum und bestimmen Sie die
Frequenz der radialen Bewegung für kleine Auslenkungen aus dem Minimum.
Lösung
1. Kugelkoordinaten mit Zwangsbed. ϑ = α fest:
m 2
(ṙ + r2 ϑ̇2 + r2 sin2 ϑϕ̇2 )
2
V =mgz
T =
L=T −V =
⇒T =
m 2
(ṙ + r2 sin2 αϕ̇2 )
2
⇒ V = mgr cos α
m 2
(ṙ + r2 sin2 αϕ̇2 ) − mgr cos α
2
(3)
(4)
(5)
2. BGLn:
mr̈ − mr sin2 αϕ̇2 + mg cos α =0
d
(mr2 sin2 ϕ̇2 ) =0
dt
2ṙϕ̇ + rϕ̈ =0
(6)
(7)
(8)
Aus Gl. (7)
mr2 sin2 ϕ̇2 = l
const.
(9)
in Gl (6)
r̈ −
l2
+ g cos α = 0
m2 r3 sin2 α
(10)
3. Erhaltungsgrößen:
• Wegen Rotationssymmetrie bezügl. z-Achse: ϕ zykl., z-Komponente des Drehimpulses erhalten (oben l genannt)
• Setze l in L ein:
m 2 2 2 2
m
l2
(ṙ + r sin αϕ̇ ) − mgr cos α = ṙ2 +
− mgr cos α
2
2
2mr2 sin2 α
(11)
L hängt nicht explizit von der Zeit ab und ist homogen quadratisch in ṙ, also
ist die Energie
L = T −V =
E =T +V =
m 2
l2
ṙ +
+ mgr cos α
2
2mr2 sin2 α
(12)
erhalten.
4. Effektives Potential
l2
Veff (r) =
+ mgr cos α = mg cos α
2mr2 sin2 α
l2
+r
2m2 gr2 sin2 α cos α
(13)
Das Minimum liegt dort, wo
0
(r)
mr̈ = −Veff
(14)
verschwindet. Dies lesen wir also aus Gl. (10) ab:
0=
0
Veff
(r0 )
⇒ r0 =
l
m2 g sin2 α cos α
1/3
(15)
Um in Veff einzusetzen lösen wir dies nach l2 auf
l2 = gm2 r03 sin2 α cos α
(16)
und setzen ein
Veff (r) = mg cos α
Der Plot zeigt
Veff (r)
mg cos α
l2
+r
2m2 gr2 sin2 α cos α
= mg cos α
r03
+r
2r2
(17)
in Einheiten von r0 .
3
2.75
2.5
2.25
2
1.75
1.5
1.25
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
Für eine gegebene Energie ist die Bewegung gebunden und vollzieht sich auf einem
Kegelabschnitt zwichschen den Umkehrradien rmin und rmax .
Bei r0 ist r constant. Da mit l auch ϕ̇ konstant ist liegt hier eine Kreisbewegung auf
dem Kegel vor.
5. Taylor
r03
3
3
2
Veff (r) =mg cos α
+ r = mg cos α
r0 +
(r − r0 ) + . . .
2r2
2
2r0
m
=Veff (r0 ) + ωr2 (r − r0 )2
2
(18)
(19)
also
3
m
= ωr2
2r0
2
r
3g cos α
ωr =
r0
mg cos α
(20)