Blatt 2 Kapitel 1 Mengen, Ungleichungen, Beträge

Blatt 2
Kapitel 1
Mengen, Ungleichungen, Beträge
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Aufgabe 5
Welche Zahlen gehören überhaupt zu den Mengen?
Geometrisch: Für einen Term A ist |A| der Abstand von A zu 0.
Für a ∈ R mit a ≥ 0 gilt also
• |A| ≤ a ⇔ −a ≤ A ≤ a
• |A| ≥ a ⇔ A ≤ −a oder a ≤ A
M1 : |x + 1| ≤ 1
M2 : |2x| ≥ 1
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M1 :
M2 :
Vereinigung: M1 ∪ M2 = M2 ∪ M1 =
Durchschnitt: M1 ∩ M2 = M2 ∩ M1 =
Differenz: M1 \ M2 =
Differenz: M2 \ M1 =
Aufgabe 5
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Lineare Ungleichung
4(2x − 1) − 3(x − 2) < 2(1 − 12 x)
Lösungsmenge: L =
Aufgabe 6a
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Aufgabe 6b
Ungleichung mit Brüchen
1
1
>
x
x −1
Weder äquivalent zu x > x − 1 noch zu x < x − 1.
Die Relation zwischen zwei Zahlen muss für die zugehörigen Reziproken nicht
unbedingt gelten.
Eine Fallunterscheidung ist notwendig.
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Aufgabe 6b
Welche Fälle?
•
1
x
>
1
x−1
1
x
>
1
x−1
•
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Aufgabe 6b
•
1
x
>
1
x−1
Lösungsmenge: L =
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Ungleichung mit Brüchen
1
1
1
1
·
≤
+
x +1 x −2
x +1 x −2
Spezialfall der Standardungleichung: A · B ≤ A + B
Vereinfachung:
Aufgabe 6c
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Aufgabe 6c
Fallunterscheidung:
•
1
(x+1)(x−2)
≤
2x−1
(x+1)(x−2)
1
(x+1)(x−2)
≤
2x−1
(x+1)(x−2)
•
Lösungsmenge: L =
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Aufgabe 6d
Ungleichung mit Brüchen
x +2
≥ −1
2 + x − x2
Welches Vorzeichen hat der Nenner 2 + x − x 2 ?
Wie liegt die Parabel y = 2 + x − x 2 in der (x, y )-Ebene?
• Schnittpunkte mit x-Achse:
• Schnittpunkte mit y -Achse:
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Aufgabe 6d
Fallunterscheidung:
•
x+2
2+x−x 2
≥ −1
x+2
2+x−x 2
≥ −1
•
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Wie liegt die Parabel y = x 2 − 2x − 4 in der (x, y )-Ebene?
• Schnittpunkte mit x-Achse:
• Schnittpunkte mit y -Achse:
Aufgabe 6d
Blatt 2
Lösungsmenge:
Aufgabe 6d
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Aufgabe 7
Betragsungleichungen
(
|A| =
A
für A ≥ 0
−A für A ≤ 0
Wo wechselt der Term A das Vorzeichen?
Löse zunächst A = 0, um die Fallgrenzen zu bestimmen.
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|1 − x| ≥ −x
Offensichtlich: Alle x ≥ 0 lösen die Ungleichung.
Gibt es unter den negativen Zahlen x Lösungen?
A = 1 − x wechselt Vorzeichen bei x =
•
•
Lösungsmenge: L =
Aufgabe 7a
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Aufgabe 7b
|5 − x| ≤ 10 − |2x + 1|
A = 5 − x wechselt Vorzeichen bei x =
•
, B = 2x + 1 bei x =
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|5 − x| ≤ 10 − |2x + 1|
•
•
Lösungsmenge: L =
Aufgabe 7b
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Aufgabe 7c
|4 − x| · |4 + x| ≥ 1
A = 4 − x wechselt Vorzeichen bei x =
Binomische Formel: (a + b)(a − b) = a2 − b 2
•
, B = 4 + x bei x =
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|4 − x| · |4 + x| ≥ 1
•
•
Lösungsmenge: L =
Aufgabe 7c
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2 − |1 − x| >
Aufgabe 7d
1
x+1
A = 1 − x wechselt Vorzeichen bei x =
•
•
, B = x + 1 bei x =
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2 − |1 − x| >
Aufgabe 7d
1
x+1
•
Lösungsmenge: L =
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Aufgabe 8
Seien x1 , x2 , . . . , xn ∈ R nichtnegative Zahlen.
• arithmetischer Mittelwert (Mittel der Addition):
A = n1 (x1 + x2 + . . . + xn )
• geometrischer Mittelwert (Mittel der Multiplikation):
G=
√
n
x1 x2 · · · xn
Für alle n ∈ N gilt G ≤ A.
n = 2:
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Aufgabe 8
Beweis:
√
xy ≤ 12 (x + y ) ⇔ xy ≤ 14 (x + y )2
⇔ 4xy ≤ x 2 + 2xy + y 2
⇔ 0 ≤ x 2 − 2xy + y 2
⇔ 0 ≤ (x − y )2
Erhält Quadrieren die Relation?
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Aufgabe 8
Geometrischer Beweis:
Höhensatz des Euklid
Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hypotenuse x + y
beträgt
Satz des Thales
Die drei Eckpunkte liegen auf dem Rand eines Kreises.
Der Radius des Kreises ist