Lassen wir dieses Programm laufen, ergibt sich folgende Ausgabe

Effiziente Algorithmen
Lösen NP-vollständiger Probleme
Abschätzung der Suchbaumgröße
Der Schätzwert für die Suchbaumgröße war 3529.
Lassen wir das Programm laufen, ergibt sich, daß
1830 gültige Positionen getestet werden.
Insgesamt gibt es 92 Lösungen.
263
Effiziente Algorithmen
Lösen NP-vollständiger Probleme
Folgendes Programm schätzt die Suchbaumgröße automatisch:
#includehstdio.hi
#includehstdlib.hi
#define N 8
int c[N ], d1 [2 ∗ N − 1], d2 [2 ∗ N − 1], t[N ];
int main(void)
{
int k = 0, i, z , r = 1, m = 1;
while(1) {
z = 0;
for(i = 0; i < N ; i++)
if (!c[i] && !d1 [k − i + N − 1] && !d2 [i + k ]) t[z ] = i, z ++;
if (z == 0) break;
m += r ∗= z ;
i = t[random()%z ];
printf ("%2d %2d %d\n", i, z , m);
c[i] = d1 [k − i + N − 1] = d2 [i + k ] = 1;
k ++;
}
return 0;
}
264
Effiziente Algorithmen
Lösen NP-vollständiger Probleme
Lassen wir dieses Programm laufen, ergibt sich folgende Ausgabe:
5
7
4
6
3
8
5
4
3
2
9
49
209
689
1649
Die mit Hand geschätzte Zahl war 1609 und die tatsächliche
Suchbaumgröße 1830.
265
Effiziente Algorithmen
Lösen NP-vollständiger Probleme
0Z0Z0L0Z
7
Z0Z0Z0ZQ
6
0Z0ZQZ0Z
5
Z0Z0Z0L0
4
0Z0L0Z0Z
3
Z0Z0Z0Z0
2
0Z0Z0Z0Z
1
Z0Z0Z0Z0
8
a
b
c
d
e
f
g
h
Dies ist die geratene Belegung des Programms.
266
Effiziente Algorithmen
Lösen NP-vollständiger Probleme
Für N = 16 ergibt sich diese Ausgabe:
13
1
10
4
15
0
12
9
6
8
14
16
13
10
10
7
5
7
3
3
3
1
17
225
2305
23105
168705
896705
5992705
21280705
67144705
204736705
342328705
267
Effiziente Algorithmen
Lösung für N = 80:
Lösen NP-vollständiger Probleme
268
Effiziente Algorithmen
Lösen NP-vollständiger Probleme
Erfüllbarkeitsproblem
Die Lösung für N = 80 kann nicht mehr durch den normalen
Backtracking-Algorithmus gefunden werden.
Sie wurde tatsächlich durch Lösung eines Erfüllbarkeitsproblem
gefunden.
Die zugehörige Formel hat für jedes Feld eine Variable.
Es gibt Klauseln die sicherstellen, daß jede Zeile mindestens eine
Dame enthält.
Es gibt Klauseln die verhindern, daß eine Spalte, Zeile oder
Diagonale mehr als eine Dame enthält.
269
Effiziente Algorithmen
Lösen NP-vollständiger Probleme
270
Erfüllbarkeitsproblem
Diese Formel sieht so aus:
n
n ^
n
n _
^
^
xij ∧
(¬xij ∨ ¬xkj )∧
i=1 j=1
i,j=1
k=i+1
n
^
(¬xij ∨ ¬xik )∧
k=j+1
min{n−i,n−j}
^
(¬xij ∨ ¬xi+k,j+k )∧
k=1
min{n−i,j−1}
^
(¬xij ∨ ¬xi+k,j−k )
k=1
Diese Formel ist in konjunktiver Normalform.
Effiziente Algorithmen
Lösen NP-vollständiger Probleme
Literatur
Dieses Buch behandelt eher die
mathematische Theorie der Linearen
und Ganzzahligen Programmierung
und ist geeignet, sich in dieses Gebiet
genauer einzuarbeiten.
Alexander Schrijver: Theory of Linear and Integer Programming.
John Wiley & Sons.
Preis: US $60.90, Paperback.
271
Effiziente Algorithmen
Lösen NP-vollständiger Probleme
Literatur
Dieses Buch ist anders aufgebaut als
die meisten Algorithmenbücher. Es ist
nach Lösungstechniken gegliedert.
Insbesondere enthält es viel
Information über das Lösen von
NP -vollständigen Problemen.
Horowitz, Sahni, Rajasekaran: Computer Algorithms. Computer
Science Press.
Preis: US $79.95, Hardcover (oder Rs 279 als Indian Edition).
272
Effiziente Algorithmen
Lösen NP-vollständiger Probleme
Branch-and-Bound
Wir betrachten allgemein Probleme, deren Suchraum durch Bäume
dargestellt werden kann.
Innerhalb des Suchraums suchen wir
1. nach einer Lösung oder
2. nach einer Lösung mit minimalen Kosten.
Beispiel: Beim N -Damen-Problem wird nach einer Lösung gesucht.
Beispiel: Beim Problem des Handlungsreisenden wird nach der
kürzesten Rundreise durch gegebene Orte gesucht.
273
Effiziente Algorithmen
Lösen NP-vollständiger Probleme
Branch-and-Bound
Die Klasse der Branch-and-Bound-Algorithmen, die wir jetzt
betrachten, haben folgendes gemeinsam:
• Es gibt stets eine Menge von lebendigen Knoten des Suchraums,
unter deren Unterbäumen noch nach Lösungen gesucht wird.
• Zu Beginn ist genau die Wurzel lebendig.
• Es wird stets ein lebendiger Knoten, der E-Knoten ausgesucht,
und durch all seine Kinder zu den lebendigen Knoten
hinzugefügt.
• Lebendige Knoten können durch bounding functions entfernt
werden.
• Die lebendigen Knoten werden in einer geeigneten
Datenstruktur gehalten.
• Zur Auswahl des E-Knotens gibt es verschiedene Strategien.
274
Effiziente Algorithmen
Lösen NP-vollständiger Probleme
Branch-and-Bound
Werden die lebendigen Knoten mit einer Warteschlange
(FIFO-queue) implementiert, dann entspricht dies einer
Breitensuche.
Verwenden wir für die lebendigen Knoten dagegen einen Keller
(LIFO-queue, stack), dann erhalten wir im wesentlichen eine
Tiefensuche.
Allgemeiner können wir jedem Knoten x einen Wert ĉ(x) zuordnen
und als E-Knoten das lebendige x mit kleinstem ĉ(x) wählen. Diese
Variante wird least-cost-search (LC-search) genannt.
275
Effiziente Algorithmen
Lösen NP-vollständiger Probleme
Terminierung
Falls der Suchbaum endlich ist, dann terminieren alle
Branch-and-Bound-Verfahren.
Falls der Suchbaum unendlich ist, aber eine Lösung enthält, dann
terminiert die Breitensuche.
Die Tiefensuche muß nicht terminieren!
Bei LC-Suche kommt es auf die Funktion ĉ(x) an. Wenn man den
Aufwand x zu erreichen mit einbezieht, kann man Terminierung
garantieren.
276
Effiziente Algorithmen
Lösen NP-vollständiger Probleme
Beispiel
277
Effiziente Algorithmen
Lösen NP-vollständiger Probleme
Beispiel: DFS
51
50
45
44
41
40 139 141 142 143 151 150 152 153 154
52
49
46
43
42
39
53
48
47 137 138 122 37
54
55
60
61 123 121 120 131 117 33 149
136 56
59
62 124 125 119 118 116 32
135 57
58
63 127 126 132 110 111 112 30
134 69
68
64 128 129 130 109 114 113 29
133 70
67
65
98
99 100 108 104 115 28
38 140
36
144 145 146
35
34 148 147
31
72
71
77
66
97
96 101 102 103 107 27
73
75
76
78
79
95
94
93 105 106 26
25
81
80
82
83
87
88
19
20
23
24
5
6
84
85
86
89
18
21
22
7
8
92
91
90
17
16
9
10
11
12
13
14
74
4
2
1
3
15
158 159 161 163 164
155 156 157 160 162
278
Effiziente Algorithmen
Lösen NP-vollständiger Probleme
279
Beispiel: BFS
77
73
59
57
53
50
47
52
56
58
71
68
72
76
80
91
88
90
94
96 100
81
69
61
55
51
48
46
49
62
60
63
65
75
78
82
84
86
93
97
99
83
66
64
45
44
43
42
70
67
79
85
87
41
74
40
39
89
98
92
95
54
37
36
38
35
34
5
7
4
6
8
2
3
18
9
10
1
17
15
13
11
12
14
16
33
32
31
26
27
30
25
28
29
23
21
24
19
20
22
Effiziente Algorithmen
Lösen NP-vollständiger Probleme
280
Beispiel: LC
42
44
41
43
40
39
45
46
47
38
50
48
49
37
36
35
33
32
31
34
30
29
5
4
2
1
3
6
7
8
9
10
11
12
13
28
27
26
21
22
25
20
23
24
19
16
17
14
15
18
51
52
53
54
57
55
56
58
59
60
61
Effiziente Algorithmen
Lösen NP-vollständiger Probleme
Beispiel
281
Effiziente Algorithmen
Lösen NP-vollständiger Probleme
Beispiel: DFS
282
Effiziente Algorithmen
Lösen NP-vollständiger Probleme
Beispiel: BFS
283
Effiziente Algorithmen
Lösen NP-vollständiger Probleme
Beispiel: LC
284