9. Übung zur Vorlesung Quadratische Formen Sommersemester 2013

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Universität des Saarlandes
FR 6.1 Mathematik
Prof. Dr. R. Schulze-Pillot
9. Übung zur Vorlesung Quadratische Formen
Sommersemester 2013
Aufgabe 1.
a) Für
L
sei ein reguläres
p 6= 2
Zp -Gitter
auf dem quadratischen Raum
L∼
= h1, . . . , 1, det(L)i, dabei ist h1, 1, 1, 1i
p ≡ 1 mod 4, anisotrop andernfalls.
gilt
bolisch, wenn
(V, Q)
über
hyperbolisch, und
Qp .
h1, 1i
b) Für
p = 2 ist L orthogonale Summe von 2-dimensionalen Gittern
0 1
2 1
2 1 ∼ 0 1
0 1
, dabei gilt
⊥
⊥
.
=
1 0
1 2
1 2
1 0
1 0
mit Matrix
2
1
ist hyper-
1
2
oder
L sei ein reguläres Z-Gitter auf dem quadratischen Raum (V, Q) über Q (die Gram(L, Q) hat also Determinante ±1), sei i(V ) der Witt-Index von V (die Anzahl der
Aufgabe 2.
Matrix von
hyperbolischen Ebenen in der Witt-Zerlegung, die Dimension eines maximalen total isotropen
Unterraums).
Zeigen Sie:
dim(V ) ≡ 2i mod 8.
Hinweis: Benutzen Sie das Reziprozitätsgesetz für das Hasse-Symbol und Aufgabe 1.
Aufgabe 3.
(V, Q), (V 0 , Q0 )
seien reguläre quadratische Räume über
Q, p0
sei eine Primzahl.
Zeigen Sie:
(Vp , Q), (Vp0 , Q0 ) isometrisch über allen Qp
über Q.
Sind
Aufgabe 4.
für
p 6= p0
Primzahl oder
∞, so sind sie isometrisch
Untersuchen Sie, welche der folgenden quadratischen Formen isotrop über
a)
x21 + x22 − 15x23 − 15x24
b)
3x21 + 2x22 − 7x23
c)
3x21 + 2x22 − 11x23
d)
3x21 + 2x22 − 7x23 + 2(x2 x3 + x3 x1 + x1 x2 )
Q
sind: