Zahlen und Zahlenformate I (PPT

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Technik - Wirtschaft - Soziales
Binäre Repräsentation von Information
Bits und Bytes
Binärzahlen
ASCII
Ganze Zahlen
Rationale Zahlen
Gleitkommazahlen
Motivation
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Prinzip 8 der von-Neumann Architektur:
(8)Alle Daten werden binär kodiert
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2
Repräsentation von Information: Bits und Bitfolgen
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 Bits
 kleinstmögliche Informationseinheit, die zwei Möglichkeiten zulässt
 ja oder nein, hell oder dunkel, gross oder klein
 Zur Darstellung reicht ein Code mit zwei Zeichen, meist
 0 und 1
 technisch realisiert durch elektrische Ladung (0 = ungeladen, 1 = geladen), oder elektrische
Spannungen (0 = 0 Volt, 1 = 5 Volt)
 Bitfolgen
 Für Informationen mit mehr als zwei Möglichkeiten
 Bei drei oder vier Möglichkeiten benötigt man 2 Bits, für 5 bis 8 Möglichkeiten benötigt man 3 Bits
usw.
 Beispiel: Himmelsrichtungen
 00 = Süd, 01 = West, 10 = Nord, 11 = Ost
 Bitfolgen lassen sich als Zahlen im Dualsystem interpretieren
 Es gilt: Es gibt genau 2N Bitfolgen der Länge N
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3
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Binärziffern
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20
=
1
21
=
2
22
=
4
23
=
8
24
=
16
25
=
32
26
=
64
27
=
128
28
=
256
29
=
512
210
=
1024
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4
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Binärdarstellung positiver ganzer Zahlen
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 Will man nur positive Zahlen darstellen, so kann man mit N Bits 2N Zahlen, d.h. den Bereich der
Zahlen von 0 bis 2N - 1 darstellen
Beispiel: N = 3:
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000
001
010
011
100
101
110
111
=
=
=
=
=
=
=
=
0
1
2
3
4
5
6
7
Beispiel: N = 4:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5
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Binärdarstellung positiver ganzer Zahlen
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 Will man nur positive Zahlen darstellen, so kann man mit N Bits 2N Zahlen, d.h. den Bereich der
Zahlen von 0 bis 2N - 1 darstellen
 Die einzelnen Ziffern einer n-stelligen Zahl sind die Koeffizienten der Potenzen der Basis:
 Beispiel: Dezimalzahlen
4711 =
4 * 103 + 7 * 102 + 1 * 101 + 1 * 100
4 * 1000 + 7 * 100 + 1 * 10 + 1 * 1
 Beispiel: Binärzahlen
11012 =
1 * 23 + 1 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20
1*8+1*4+0*2+1*1
= 1310
Darstellung: Die tiefgestellt Zahl gibt die Basis der Zahl an
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Verfahren zur Umwandlung in Binärdarstellung
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
Bei fortgesetztem Dividieren durch 2 ergeben die Reste nacheinander die Ziffern der Darstellung der
ursprünglichen Zahl z im Zweiersystem

Beispiel: Die Umwandlung der Dezimalzahl 2001 ins Binärsystem ergibt 11111010001

z
z div 2
z mod 2
2001
1000
500
250
125
62
31
15
7
3
1
1000
500
250
125
62
31
15
7
3
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
Analoges gilt für die Umwandlung in andere Zahlensysteme, z.B.
 Umwandlung ins Oktalsystem: fortlaufendes Dividieren durch 8
 Umwandlung ins Haxadezimalsystem: fortlaufendes Dividieren durch 16
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Umwandlung in das Binärsystem: Hintergrund

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Bei der Division einer natürlichen Zahl durch eine andere natürliche Zahl d, so erhalten wir einen Quotienten q
und einen Rest r:
z=q*d+r
(wobei 0 < r < d)

Sei div die ganzzahlige Division und mod die Berechnung des Rest der Division
(Beispiel: 35 div 8 = 4 und 35 mod 8 = 3)

Dann gilt

Dies nutzen wir aus für die Umwandlung einer natürlichen Zahl z in die entsprechende Binärzahl bnbn-1...b1bo
z = (z div d) * d + (z mod d)
z = (bnbn-1...b1bo)2 = bn* 2n + bn-1 * 2n-1 + ... + b1 * 21 + bo
= (bn* 2n-1 + bn-1 * 2n-2 + ... + b1 * 20 )* 2 + bo
= (bnbn-1...b1)2* 2 + bo

Somit ist die letzte Ziffer b0 genau der Rest, der beim Dividieren durch 2 entsteht (z mod 2) und die restlichen
Ziffern bnbn-1...b1 muss sich als Binärdarstellung von z div 2 ergeben.
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Oktal- und Hexadezimalsystem
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Neben dem Dezimal- und Binärsystem sind in der Informatik in Gebrauch
 Oktalsystem - Zahlen zur Basis 8
 Verwendung der Ziffern 0 bis 7
 Die einzelnen Ziffern einer mehrstelligen Oktalzahl sind Koeffizienten der Potenzen zur Basis 8
 Beispiel
47118 =
4 * 83 + 7 * 82 + 1 * 81 + 1 * 80
= (2505)10
 Hexadezimalsystem - Zahlen zur Basis 16
 Verwendung der Ziffern 0 bis 9 und der Buchstaben A bis F (für 10 bis 15)
 Die einzelnen Ziffern einer mehrstelligen Hexadezimalzahl sind Koeffizienten der Potenzen zur
Basis 16
 Beispiel
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2C7316 =
2 * 163 + 12 * 162 + 7 * 161 + 3 * 160
= (11379)10
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Umrechnung Binär- in Hexadezimal- und Oktalzahlen
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 Die Bedeutung von Oktal- und Hexadezimalsystem liegt darin, dass man zwischen Binärsystem und
Oktal- bzw. Hexadezimalsystem einfach umrechnen kann
 Der einfachen Lesbarkeit wegen gruppiert man grosse Bitfolgen in 4er-Gruppen und erhält die
Hexadezimaldarstellung
 Jeder Gruppe gibt man einen Namen unter Verwendung der Ziffern 1 bis 9 und der Buchstaben A bis
F:
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101= 5
0110 = 6
0111 = 7
1000 = 8
1001 = 9
1010 = A
1011 = B
1100 = C
1101 = D
1110 = E
1111 = F
 Die Bitfolge 0100 1111 0110 0001 0110 1100 0110 11002
lässt sich dann kompakter schreiben als 4 F 6 1 6 C 6 C 16
 Analog kann man Dreiergruppen von Binärziffern zusammenfassen und erhält daraus eine Oktalzahl
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Übungsaufgaben
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 Wandeln Sie folgende Binärzahlen in Dezimalzahlen um
101 = 5
1101 = 13
11111110 = 254
11011011 = 219
11000011 = 195
 Wandeln Sie folgende Dezimalzahlen in Binärzahlen, Oktalzahlen (Basis 8) und Hexadezimalzahlen
(Basis 16) um
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101 = 1100101
=
145 = 65
255 = 11111111
=
377 = FF
167 = 10100111
=
247 = A7
4582 = 1000111100110
=
10746 = 11E6
256 = 100000000
=
400 = 100
11
Zeichendarstellung: ASCII
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
Binärzahlen werden zur Informationsspeicherung verwendet.

Information, die man mit der Tastatur eintippt wird als Text (Zeichenfolge) interpretiert.

Jedes Zeichen wird als Bitfolge codiert

Die ASCII-Codierung benutzt 7 Bits eines Byte (27 = 128 Möglichkeiten) zur Darstellung eines Zeichens

Prinzipien:
 die Kleinbuchstaben sind in der alphabetischen Reihenfolgen durchnumeriert
(ASCII 97 = „a“, ... ASCII 122 = „z“)
 die Grossbuchstaben sind in der alphabetischen Reihenfolgen durchnumeriert
(ASCII 65 = „A“, ... ASCII 90 = „Z“)
 die Ziffern 0 bis 9 stehen in der natürlich Reihenfolge
(ASCII 48 = „0“, ... ASCII 57 = „9“)
 Die Zeichen ASCII 0 bis ASCII 31 sowie ASCII 127 dienen Steuerungszwecken. Eingabe über Tastatur
durch Drücken der Steuerungstaste („Strg“ bzw „Ctrl“)
ASCII 1 = Ctrl-A, ..., ASCII 26 = Ctrl-Z
ASCII (American Standard Code for Information Exchange)
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ASCII-Tabelle
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Informationsdarstellung: Text - ASCII
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 Fortlaufenden Text kodiert man einfach durch aneinanderreihen der Codes einzelner Zeichen incl. des
Codes für Lehrzeichen (Zeichenkette = string)
 Beispiel: „Knut liest“ wird kodiert als
ASCII-Code
075 110 117 116 032 108 105 101 115 116
Bitfolge
01001011 01101110 01110101 01110100 00100000
01101100 01101001 01100101 01110011 01110100
Hexcode
4B 6E 75 74 20 6C 69 65 73 74
 Bemerkung: Wenn Sie jemand auffordert, ihm ein Dokument in ASCII zu schicken, so meint er in der
Regel: Schicken Sie mir den reinen Text ohne Formatanweisungen.
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14
ASCII-Erweiterungen
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
Das achte Bit eines Byte wurde bei ASCII früher als Kontrollbit für die Datenübertragung genutzt: Es wurde auf
0 oder 1 gesetzt, damit die Anzahl der 1en immer gerade war (even parity). Trat bei der Datenübertragung ein
kleiner Fehler auf (1 Bit gedreht), wurde dies erkannt

Wegen verbesserter Qualität der Datenübertragung wurde das Kontrollbit überflüssig. Man konnte es für die
Kodierung verwenden, so dass nun 28 = 256 Zeichen zur Verfügung stehen

Die International Standardization Organization (ISO) hat verschiedene ASCII-Erweiterungen normiert. In Europa
ist die ASCII-Erweiterung Latin-1 nützlich, die z.B. sprachspezifische Zeichen enthält, wie z.B. Umlaute („ä“, „ö“,
„ü“, „Ä“, „Ö“, „Ü“)

Probleme:
 Einige Rechner (z.B. unter UNIX-Betriebssystem) verwenden nur die genormten ASCII-Zeichen 0 bis
127 (Umlaute nicht so einfach darstellbar); andere haben eigene Erweiterungen.
 Beim Austausch von Daten, Emails usw. müssen Sender und Empfänger die gleiche ASCII-Erweiterung
verwenden (Lösung: Umcodierung einer Datei in ASCII mittels der Programme uuencode und
Dekodierung mittels uudecode)
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Unicode
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 Wegen der Problematik der ASCII-Erweiterungen entstand in den letzten Jahren ein neuer Standard:
Unicode
 Ziel: sämtliche relevanten Zeichen aus den unterschiedlichen Kulturkreisen in universellem Code
zusammenfassen
 Unicode verwendet 16-Bit-Codierung (maximal 216 = 65536 Zeichen)
 Die ersten 128 Zeichen sind identisch mit ASCII
 die nächsten 128 Zeichen sind identisch mit ISO-Latin 1
 Programmiersprachen lassen meist keine Zeichen aus ASCII-Erweiterungen zu (Ausnahme: Java)
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Bearbeitung binär codierter Information
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 ASCII, Unicode
 für Beschreibung von Daten
 nicht für Berechnung geeignet
 Datentypen in Programmiersprachen werden speziell repräsentiert, damit man mit ihnen rechnen
kann




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Ganze Zahlen (Integer): Zweierkomplement
Gebrochene Zahlen
Gleitkommazahlen
Boolesche Werte
17
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Arithmetische Operationen auf Binärzahlen: Addition
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 Zwei aus mehreren Ziffern bestehende Binärzahlen werden addiert, wie man es von Dezimalzahlen
gewohnt ist
 Ein an einer Ziffernposition entstehender Übertrag wird zur hächsthöheren Ziffernposition
addiert
 Ein Übertrag entsteht, wenn bei der Addition zweier Ziffern der Wert grösser oder gleich dem
Basiswert ist
 Bei Binärzahlen entsteht ein Übertrag schon bei 1+1
 Beispiel
Binär
Oktal
Hexadezimal
Dezimal
10010
+ 100111
= 111001
2752
4261
7233
27CA
AF 93
D75D
2752
4261
7013
 Problem: Wenn durch Übertrag die reservierten Stellen für die Zahl nicht ausreichen, kann es zu
Fehlern kommen!
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18
Darstellung ganzer Zahlen
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 Als ganze Zahlen bereichnet man die Vereinigung der natürlichen Zahlen und der negativen Zahlen
 Für positive ganze Zahlen, kann man die Binärdarstellung verwenden
 Kommen negative Zahlen hinzu, müssen wir ein Bit für das Vorzeichen verwenden
 Erste Überlegung: Vorzeichendarstellung
 Nehme gewöhnliche Binärzahlen und füge ein Bit für Vorzeichen hinzu
 Beispiel: Bei 4 Ziffern kann man den Bereich von -7 bis +7 darstellen
 Diese Darstellung hat eine Reihe von Nachteilen
 Die Null wird durch zwei Bitfolgen für +0 und -0 dargestellt: 0000 und 1000
 Addition muss berücksichtigen, welches Bit das Vorzeichen darstellt
 Alternative: Zweierkomplementdarstellung
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Die Zweierkomplementdarstellung für ganze Zahlen
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 Zahlenbereich bei N Bits: -2N-1 bis +2N-1-1
 Bei der Zweikomplementdarstellung wird das erste Bit negiert betrachtet wird. Die restlichen Bits
behalten ihre Bedeutung. Die Ziffernfolge
bnbn-1...b1b0
bezeichnet also folgende Zahl
z = -bn * 2n + bn-1 * 2n-1 + ... + b1 * 21 + b0
 Wir betrachten dies am Beispiel mit 4 Bits (Darstellung 16 ganzer Zahlen)
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
 Prinzip: Seien N Bits für die Zahlendarstellung zur Verfügung
 Zähle von 0 aufwärts bis obere Grenze (2N-1-1)
 anschliessend wird an der unteren Grenze (-2N-1) fortgesetzt bis -1
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20
Zweierkomplementdarstellung
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Zahlenbereiche für ganze Zahlen in Programmiersprachen
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 Je nach dem, wieviel Bit für die Zahlendarstellung zur Verfügung gestellt wird, können in den
einzelnen Programmiersprachen unterschiedliche Zahlenbereiche genutzt werden
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Bereich
Bits
-128...127
-32768...32767
-231...231-1
-263 .. 263-1
0...255
0...65535
8 Bit
16 Bit
32 Bit
64 Bit
8 Bit
16 Bit
Datentypen in
Delphi
Java
Shortint
Integer
Longint
byte
short
int
long
Byte
Word
22
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Gebrochene (rationale) Zahlen
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 Zwischen je zwei Zahlen gibt es unendlich viele rationale Zahlen
 Eine feste Anzahl von N Bits reicht also nicht aus, um alle rationalen Zahlen eines Intervalls exakt
darzustellen
 Rationale Zahlen werden als Kommazahlen mit einer festen Anzahl n von Stellen vor dem Komma
und m Stellen nach dem Komma repräsentiert
 Die Ziffernfolge
bn bn-1 ... b1 b0 , c1 c2 ... cm
wobei bi,ci, in {0,1}
steht dabei für den Zahlenwert
z = bn * 2n + ... b1 * 21 + b0 * 20 + c1 * 2-1 + c2 * 2-2 + ... + cm * 2-m
 Beispiele:
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gebrochene Binärzahl
gebrochene Dezimalzahl
0.1
0.01
0.11
111.111
0.0001100110011...
0.5
0.25
0.75
7.875
0.1
23
Gleitpunktdarstellung für Reelle Zahlen
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
Gesucht ist eine Darstellung, die bei festem Bitformat
 ein möglichst grosses Intervall der reellen Zahlen umfasst und
 deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr hoch ist, bei grossen Zahlen niedriger

Eine Gleitpunktzahl besteht aus drei Teilen:
 dem Vorzeichenbit V
 dem Exponenten E
 der Mantisse M

Eine normierte Gleitpunktzahl mit Vorzeichen V, Mantisse m1...mn und Exponent E stellt folgenden Zahlenwert
dar:
(-1)V * (1 + m1 * 21 + ... + mn * 2n) * 2E

Da die Null formal nicht darstellbar ist, wird die kleinste darstellbare Zahl also Null interpretiert.

Die IEEE (Institute for Electrical and Electronics Engineers) hat zwei Normen verabschiedet
 Short Real: Vorzeichen: 1 Bit, Exponent: 8 Bit, Mantisse: 23 Bit
 Long Real: Vorzeichen: 1 Bit, Exponent: 11 Bit, Mantisse: 52 Bit
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24
Zahlenbereiche für reelle Zahlen in Programmiersprachen
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 Je nach dem, wieviel Bytes für die Zahlendarstellung zur Verfügung gestellt werden, können in den
einzelnen Programmiersprachen unterschiedliche Zahlenbereiche genutzt werden
Bytes
6
4
8
10
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Datentypen in
Delphi
Java
Real
Single
Double
Extended
float
double
25
Repräsentation von Information: Bytes
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 Ein Rechner arbeitet immer mit Gruppen von Bits, entweder 8 Bits, 16 Bits, 32 Bits oder 64 Bits
 Eine Gruppe von 8 Bits nennt man Byte
 Eine Datei ist eine beliebig lange Folge von Bytes. Unter der Grösse einer Datei versteht man die
Anzahl der darin enthaltenen Bytes
 Für grosse Dateien verwendet man die bekannten Präfixe kilo (für tausend), mega (für million) usw.
allerdings für Zweierpotenzen
k = 1024 = 210 (k = Kilo)
M = 1024 * 1024 = 220 (M = Mega)
G = 1024 * 1024 * 1024 = 230 (G = Giga)
T = 1024 * 1024 * 1024 * 1024 = 240 (T = Tera)
P = 1024 * 1024 * 1024 * 1024 * 1024 = 250 (P = Peta)
E = 1024 * 1024 * 1024 * 1024 * 1024 * 1024 * 1024 = 260 (E = Exa)
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26
Codierung logischer Werte
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 Da es nur zwei Wahrheitswerte gibt, könnte man diese durch 1 Bit darstellen
 Da aber ein Byte die kleinste adressierbare Einheit ist, spendiert man ein ganzes Byte für einen
Wahrheitswert
 Gängige Codierung:
 F = 0000 0000 und T = 1111 1111
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27
Daten - Information
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 Information hat eine Bedeutung und einen Zweck
(z.B. Austausch von Nachrichten)
 Heute ist es 15° kalt
 Der Umsatz im Jahr 1999 betrug 1.530.932 Fr. und
im Jahr 2000 betrug er 2.234.432 Fr.
 Information wird im Rechner durch Daten (Folgen von Bits) repräsentiert.
 Zu den elementaren Fähigkeiten eines Rechners gehören
 das Lesen von Daten
 das Speichern von Daten (intern im Hauptspeicher oder auf externem Medium)
 die Verknüpfung von Daten durch arithmetische oder logische Operationen
 Die Tätigkeit des Rechners wird ebenfalls durch Daten (das Programm) gesteuert
 Um Informationen zu verarbeiten, muss man die informationsverarbeitenden Operationen durch
Operationen auf den entsprechenden Daten nachbilden
 Beispiel: Berechnung der Umsatzsteigerung zwischen 1999 und 2000
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28
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Informationsverarbeitung - Datenverarbeitung
Information
Informationsverarbeitung
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Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
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Datenverarbeitung
Daten
29
Repräsentation von Information
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 Um die geeignete Repräsentation hängt ab von
 der Information selbst
 der gewünschten Verarbeitung
 Um Informationen zu Vermitteln genügt die Repräsentation als Text (z.B. Versenden als Email oder
Schreiben eines Briefes)
 Um Information zu berechnen benötigt man entsprechende Datenstrukturen
 Beispiel: Umsatzentwicklung: Repräsentation als Gleitkommazahl
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30
Abstraktion bzw. Interpretation von Information
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 Information hat eine Bedeutung und einen Zweck, Daten dagegen haben keine Bedeutung
 Um aus den Daten deren Bedeutung zur erkennen muss man sie interpretieren
 Die Interpretation von Daten nennt man auch Abstraktion
 Beispiel:
0100 0100 0110 0101 0111 0010 0010 0000 0100 0010 0110 0001
0110 1100 0100 1100 0010 0000 0110 1001 0111 0011 0111 0100
0010 0000 0111 0010 0111 0101 0110 1110 0110 0100 0010 1110
 Etwas lesbarer als Hexadezimalzahl
44 65 72 20 42 61 6C 6C 20 69 73 74 20 72 75 6E 64 2E
 Interpretationsmöglichkeiten




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Als Folge 1-Byte-Zahlen: 68 101 114 32 ...
Als Folge von 2-Byte-Zahlen: 17509 29216 16993 ...
Als Folge von 8-stelligen Zweierkomplementzahlen: 68 101 114 32 ...
Als ASCII: Der Ball ist rund.
31