Energy_Bands_10

Energiebänder in Kristallen
Graphische Darstellung der erlaubten Energien als eine
Funktion des Wellenvektors
Eindimensionaler Fall
Elektron im periodischen Potential
Freies Elektron
cos k I a  cos ka  coska  2n 
k I a  ka  2n
2m
12
E

const.
E
2
k
2m
2n
E

k

2
a
100
100
90
80
80
60
Energie
Energie
70
50
40
60
40
30
20
20
10
0
-10
-8
-6
-4
-2
0
k
2
4
6
8
10
0
-10
-5
0
ka/
5
10
1
Energiebänder
100
Diskontinuierlich bei
80
Energie
ka  n , n  0,  1,  2,  3,
60
k
n
a
40
20
0
-10
-5
0
5
10
ka/
2
Energiebänder
Elektron im periodischen Potential
Periodische Lösung
35
100
30
25
80
f(kI a)
20
Energie
15
60
10
5
40
0
-5
20
-10
0
5
10
15
20
25
30
kI a
0
-10
-5
0
5
10
ka/
Diskrete Energien
100
90
80
Energie
70
60
50
40
30
20
10
0
-10
-8
-6
-4
-2
0
ka/
2
4
6
8
10
3
Darstellung der Energiebänder
2 
2n 
E
k 

2m 
a 
n  0,  1,  2,
2
4
Elementarzelle
Periodisches Motiv 2D (3D) mit der kleinsten Fläche (Volumen)
5
2D-Elementarzelle
6
Gitterparameter
C
B
c
A
Kantenlängen a, b, c
Winkel a, b, g
b
a
b
g
a
Vektoren im direkten Raum:



 
r  xa  yb  zc  T




T  n1a  n2b  n3c
7
Kristallsysteme
Triklin: a≠b≠c, a≠b≠g
Monoklin: a≠b≠c, a=g=90°≠ b
Orthorhombisch: a≠b≠c, a=b=g=90°
Tetragonal: a=b≠c, a=b=g=90°
Hexagonal: a=b≠c, a=b=90°, g=120°
Rhomboedrisch (trigonal): a=b=c, a=b=g≠90°
Kubisch: a=b=c, a=b=g=90°
8
Reziprokes Gitter
Vektoren im reziproken Raum:
Basis im reziproken Raum:
c
d(001)
b
a
 


Ghkl  ha  kb  lc



  n100   n010   n001
a 
;b 
;c 
d100
d 010
d 001




a b
 a  b
c 
   
V
a b c



c a
b    
a b c
 
b c

a    
a b c
 
xi  x j   ij ;xi , j  a, b, c
9
Beispiele – reziprokes Gitter
Kubisches Gitter:
a  b  c ; a   b  c   1 a ;
 *  *  *
a || a ; b || b ; c || c
a  b  c ; a   b  1 a ; c   1 c
Tetragonales Gitter:  
 *  *
*
a || a ; b || b ; c || c
Orthorhombisches Gitter:
a  b  c ; a   1 a ; b  1 b ; c   1 c
 *  *  *
a || a ; b || b ; c || c
2
; c  1 c
3a
Hexagonales Gitter:


 *
 *
*
 a , a  30;  b , b  30; c || c ; g *  60
a  b  c ; g  120o ; a   b 




10
Netzebenenabstände
 Abstände zwischen den Netzebenen im direkten Raum
 sind reziprok zu den Abständen im reziproken Raum
 


Ghkl  ha  kb  lc
Jeder Punkt im reziproken
Raum entspricht einer Familie
der Netzebenen
direkter Raum
c*
reziproker Raum
2


 1 
2

  Ghkl  Ghkl  Ghkl

d
 hkl 
000
003
103
203
002
102
202
001
101
201
100
200
303
302
403
402
301
401
300
400
a*
 h 2 a   k 2b   2c  2hkab cos g   2kbc cos a   2hac cos b 
2
2
2
11
2-D Brillouin Zonen
 2
k 
ky

I.
III.
G1
kx
II.
IV.
12
Analogie mit Röntgenbeugung
 
q G


q G
 

ko  ki  G
ky
G
2
kx

sin  
1
d
q
ki
ko


2d sin   
Bragg-Bedingung
Elektronen und Photonen werden an der Grenze der BrillouinZone reflektiert.
13
Wigner-Seitz Zelle
Primitive Elementarzelle in 3D
14
Reziprokes Gitter (kubisch primitiv)

t1  a 100  ;
 

t 2  t3
b1    
t1  t2  t3

i
 
t 2  t3  a 2 0


t2  a 010  ; t3  a 001
 
j k
1
0 0
   
 
3
0  i ; t1  t2  t3  a i  i  a 3
1
 1
 1
 1
b1  100  ; b2  010  ; b3  001
a
a
a
Primitiv  Primitiv
15
Reziprokes Gitter
(kubisch innenzentriert)
 a
t1  1 11 ;
2
 

t 2  t3
b1    
t1  t2  t3

i
  a2
t 2  t3 
1
4
1
 a
 a
t2  1 1 1 ; t3  11 1 
2
2
 
j k
1
1





   a3      a3
a2  
1 
j  k ; t1  t2  t3 
i  j k  j k 
2
8
4
1
 2
 2
 2
b1  011 ; b2  101 ; b3  110
a
a
a
Innenzentriert  Flächenzentriert
16
Reziprokes Gitter
(kubisch flächenzentriert)
 a
t1  110  ;
2
 

t t
b1   2 3
t1  t2  t3

i
2
  a
t 2  t3 
1
4
0
 a
 a
t2  101 ; t3  011
2
2
 
j k
0
1




  
   a3  
a2   
a3
1 
 i  j  k ; t1  t2  t3  i  j   i  j  k  
2
8
4
1
 2
 2
 2
b1  11 1  ; b2  1 1 1 ; b3  1 11
a
a
a
Flächenzentriert  Innenzentriert
17