mmps_1

Elektrische Schaltungen I
• Diese Vorlesung diskutiert die mathematische
Modellierung einfacher elektrischer linearer
Schaltungen.
• Die Modellierung führt zunächst immer auf ein
System impliziter Algebrodifferentialgleichungen,
das dann durch horizontales sowie vertikales
Sortieren auf einen Satz expliziter Algebrodifferentialgleichungen zurückgeführt werden
kann.
• Durch Elimination der algebraischen Variablen
kann sodann eine Zustandsraumdarstellung
gewonnen werden.
20. Oktober, 2004
Anfang Präsentation
Inhaltsverzeichnis
• Die Komponenten und ihre Modelle
• Die Netzwerktopologie und ihre Gleichungen
• Ein Beispiel
• Horizontales Sortieren
• Vertikales Sortieren
• Zustandsraumdarstellung
• Umformung in die Zustandsraumdarstellung
20. Oktober, 2004
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Lineare Netzwerkkomponenten I
• Widerstände
va
i
R
vb
u = va – vb
u = R·i
vb
u = va – vb
du
i = C·
dt
vb
u = va – vb
di
u = L·
dt
u
• Kapazitäten
va
i
C
u
• Induktivitäten
20. Oktober, 2004
va
i
L
u
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Lineare Netzwerkkomponenten II
U0
• Spannungsquellen
va
i
|
+
vb
U0 = vb – va
U0 = f(t)
vb
u = vb – va
I0 = f(t)
U0
I0
• Stromquellen
va
I0
u
• Erde
V0
V0
V0 = 0
- V0
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Schaltungstopologie
• Knoten
va
ia
ib
vb
ic
va = vb = vc
ia + ib + ic = 0
vc
uab
• Maschen
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va
vb
uca
vc
ubc
uab + ubc + uca = 0
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Ein Beispiel I
20. Oktober, 2004
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Regeln für Gleichungssysteme I
• Die
Komponentenund
Topologiegleichungen
enthalten eine gewisse Redundanz.
• So können z.B. sämtliche Potentialvariablen (vi) ohne
weiteres eliminiert werden.
• Die Stromknotengleichung für den Erdknoten ist
redundant und wird nicht benötigt.
• Die Maschengleichungen werden nur benötigt, falls die
Potentialvariablen eliminiert werden. Andernfalls sind
die Maschengleichungen redundant.
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Regeln für Gleichungssysteme II
• Falls die Potentialvariablen eliminiert werden,
definiert jede Netzwerkkomponente zwei Variablen:
den Strom (i) durch das Element und die Spannung
(u) über dem Element.
• Somit werden zwei Gleichungen benötigt, um diese
Variablen zu ermitteln.
• Eine der Gleichungen ist die konstituierende
Gleichung des Elements selbst, die andere stammt
von der Topologie.
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Ein Beispiel II
Komponentengleichungen:
U0 = f(t)
iC = C· duC/dt
u1 = R1· i1
uL = L· diL/dt
u2 = R2· i2
Knotengleichungen:
i0 = i 1 + i L
i1 = i 2 + i C
Das Netzwerk enthält
5 Komponenten
 Wir benötigen
10 Gleichungen in
10 Unbekannten
Maschengleichungen:
U0 = u1 + uC
uL = u1 + u2
uC = u2
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Regeln für horizontales Sortieren I
• Die Zeit t darf als bekannt angenommen werden.
• Die Zustandsvariablen (Variablen, die in abgeleiteter Form
vorkommen) dürfen als bekannt angenommen werden.
U0 = f(t)
i0 = i 1 + i L
U0 = f(t)
i0 = i 1 + iL
u1 = R1· i1
i1 = i 2 + i C
u1 = R1· i1
i1 = i 2 + i C
u2 = R2· i2
U0 = u1 + uC
u2 = R2· i2
U0 = u1 + uC
iC = C· duC/dt
uC = u2
iC = C· duC/dt
uC = u2
uL = L· diL/dt
uL = u1 + u2
uL = L· diL/dt
uL = u1 + u2
20. Oktober, 2004

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Regeln für horizontales Sortieren II
• Gleichungen, die nur eine Unbekannte enthalten, müssen
nach dieser aufgelöst werden.
• Die so ermittelten Variablen sind nun bekannt.
U0 = f(t)
i0 = i 1 + iL
U0 = f(t)
i0 = i 1 + iL
u1 = R1· i1
i1 = i 2 + i C
u1 = R1· i1
i1 = i 2 + i C
u2 = R2· i2
U0 = u1 + uC
u2 = R2· i2
U0 = u1 + uC
iC = C· duC/dt
uC = u2
iC = C· duC/dt
uC = u2
uL = L· diL/dt
uL = u1 + u2
uL = L· diL/dt
uL = u1 + u2
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
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Regeln für horizontales Sortieren III
• Variablen, die nur in einer Gleichung auftreten, müssen aus
dieser ermittelt werden.
U0 = f(t)
i0 = i 1 + iL
U0 = f(t)
i0 = i 1 + iL
u1 = R1· i1
i1 = i 2 + i C
u1 = R1· i1
i1 = i 2 + i C
u2 = R2· i2
U0 = u1 + uC
u2 = R2· i2
U0 = u1 + uC
iC = C· duC/dt
uC = u2
iC = C· duC/dt
uC = u2
uL = L· diL/dt
uL = u1 + u2
uL = L· diL/dt
uL = u1 + u2
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
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Regeln für horizontales Sortieren IV
• Alle Regeln können rekursiv angewandt werden.
U0 = f(t)
i0 = i 1 + iL
U0 = f(t)
i0 = i 1 + iL
u1 = R1· i1
i1 = i 2 + i C
u1 = R1· i1
i1 = i2 + i C
u2 = R2· i2
U0 = u1 + uC
u2 = R2· i2
U0 = u1 + uC
iC = C· duC/dt
uC = u2
iC = C· duC/dt
uC = u2
uL = L· diL/dt
uL = u1 + u2
uL = L· diL/dt
uL = u1 + u2
20. Oktober, 2004

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U0 = f(t)
i0 = i 1 + iL
U0 = f(t)
i0 = i1 + iL
u1 = R1· i1
i1 = i2 + i C
u1 = R1· i1
i1 = i2 + i C
u2 = R2· i2
U0 = u1 + uC
u2 = R2· i2
U0 = u1 + uC
iC = C· duC/dt
uC = u2
iC = C· duC/dt
uC = u2
uL = L· diL/dt
uL = u1 + u2
uL = L· diL/dt
uL = u1 + u2


Der Algorithmus wird fortgesetzt,
bis jede Gleichung genau eine
Variable definiert, die daraus
ermittelt wird.
20. Oktober, 2004
U0 = f(t)
i0 = i1 + iL
u1 = R1· i1
i1 = i2 + iC
u2 = R2· i2
U0 = u1 + uC
iC = C· duC/dt
uC = u2
uL = L· diL/dt
uL = u1 + u2
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Regeln für horizontales Sortieren V
• Das horizontale Sortieren kann nun mittels symbolischer
Formelmanipulation durchgeführt werden.
U0 = f(t)
i0 = i1 + iL
U0 = f(t)
i0 = i1 + iL
u1 = R1· i1
i1 = i2 + iC
i1 = u1 /R1
iC = i1 - i2
u2 = R2· i2
U0 = u1 + uC
i2 = u2 /R2
u1 = U0 - uC
iC = C· duC/dt
uC = u2
duC/dt = iC /C
u2 = uC
uL = L· diL/dt
uL = u1 + u2
diL/dt = uL /L
uL = u1 + u2
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
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Regeln für vertikales Sortieren
• Die Gleichungen sind unterdessen Zuweisungen. Sie
können so sortiert werden, dass keine Variable verwendet
wird, bevor sie definiert wurde.
U0 = f(t)
i0 = i1 + iL
U0 = f(t)
i2 = u2 /R2
i1 = u1 /R1
iC = i1 - i2
u1 = U0 - uC
iC = i1 - i2
i2 = u2 /R2
u1 = U0 - uC
i1 = u1 /R1
uL = u1 + u2
duC/dt = iC /C
u2 = uC
i0 = i1 + iL
duC/dt = iC /C
diL/dt = uL /L
uL = u1 + u2
u2 = uC
diL/dt = uL /L
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
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Regeln für Gleichungssysteme III
• Alternativ kann sowohl mit den Spannungen wie auch mit
den Potentialvariablen gearbeitet werden.
• In diesem Fall müssen zusätzliche Gleichungen für die
Knotenpotentiale gefunden werden. Dabei handelt es sich
um die Potentialgleichungen der Komponenten sowie um
die Potentialgleichungen der Knoten. Diese Gleichungen
sind im vorher gezeigten Verfahren ignoriert worden.
• Die Maschengleichungen sind in diesem Falle redundant
und können ignoriert werden.
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Ein Beispiel III
Komponentengleichungen:
v1
v2
v0
Das Netzwerk enthält
5 Komponenten und
3 Knoten.
 Wir benötigen
13 Gleichungen in
13 Unbekannten.
20. Oktober, 2004
U0 = f(t)
U0 = v1 – v0
u1 = R1· i1
u1 = v1 – v2
u2 = R2· i2
u2 = v2 – v0
iC = C· duC/dt
uC = v2 – v0
uL = L· diL/dt
uL = v1 – v0
v0 = 0
Knotengleichungen:
i0 = i 1 + i L
i1 = i 2 + i C
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Sortieren
•
•
•
20. Oktober, 2004
Das Sortieren geht gleich vor sich wie beim vorherigen
Algorithmus.
Der Sortieralgorithmus ist bereits rein informatisch
abstrakt und hat nichts mehr mit dem elektrischen
Schaltkreis zu tun.
Somit kann die Modellierungsaufgabe in zwei Teilaufgaben zerlegt werden:
1.
Abbildung der physikalischen Topologie auf ein differentialalgebraisches Gleichungssystem.
2.
Umformung des Gleichungssystems in eine ausführbare
Programmstruktur.
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Zustandsraumdarstellung
A n  n
• Lineare Systeme:
dx
=A· x+B · u
dt
y=C·x+D·u
;
x(t0) = x0
• Nichtlineare Systeme:
dx
= f(x,u,t)
dt
y = g(x,u,t)
;
n
u m
y p
x
x(t0) = x0
n  m
C p  n
D p  m
B
x = Zustandsvektor
u = Eingangsgrössenvektor
y = Ausgangsgrössenvektor
n = Anzahl Zustandsvariabeln
m = Anzahl Eingangsgrössen
p = Anzahl Ausgangsgrössen
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Umwandlung in Zustandsform I
U0 = f(t)
i2 = u2 /R2
u1 = U0 - uC
iC = i1 - i2
i1 = u1 /R1
uL = u1 + u2
i0 = i1 + iL
duC/dt = iC /C
u2 = uC
diL/dt = uL /L
Für jede Gleichung, welche eine
Zustandsableitung definiert, substituieren wir die Variabeln auf der
rechten Seite ihrer Definitionsgleichungen, bis die Zustandsableitungen nur noch von Zustandsvariabeln
und
Eingangsgrössen
abhängig sind.
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duC/dt
= iC /C
= (i1 - i2 ) /C

= i1 /C - i2 /C
= u1 /(R1 · C) – u2 /(R2 · C)
= (U0 - uC) /(R1 · C) – uC /(R2 · C)
diL/dt
= uL /L
= (u1 + u2) /L
= u1 /L + u2 /L
= (U0 - uC) /L + uC /L
= U0 /L
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Umwandlung in Zustandsform II
.
Wir setzen: x = u
1
1
1 .
.
x = -[
x
u
+
+
]
x =i
R ·C
R ·C
R ·C

u=U
.x = 1 . u
y=u
L
1
C
1
2
L
1
1
2
1
0
C
2
y = x1
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Ein Beispiel IV
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Referenzen
• Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling,
Springer-Verlag, New York, Chapter 3.
• Cellier, F.E. (2001), Matlab code of circuit example.
20. Oktober, 2004
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