Grundlagen aquatische Physik
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Grundlagen der aquatischen Physik W. Kinzelbach, IfU Inhalt • • • • Transportprozesse in der aquatischen Umwelt Strömungsvorgänge (Flüsse, Seen, Grundwasser) Mischungsvorgänge Chemische Reaktionen Einige Grundbegriffe • Wasser Volumen Abfluss • Schadstoffe etc. Masse Konzentration Fracht V Q m3 m3/s M c Qc g g/m3 g/s Tracereinleitung Rhein 1 Tracereinleitung Rhein 2 Abwassereinleitung Ostsee Rauchfahne Ätna Rauchfahne Schornstein Tchernobyl-Fahne (26.4.1986) CKW-Fahnen im Grundwasser Raum Heidelberg (1981) Warmwassereinleitung Donau Gemeinsamkeiten: Prozesse • Mittlere Verfrachtung: Advektion • Vermischung – Molekulare Diffusion – Turbulente Diffusion – Dispersion • Quellen und Senken – Chemische und biologische Umwandlung – Adsorption, Sedimentation Advektion bei uniformer Strömung u 1s u Einheitsfläche Volumen, das in der nächsten Sekunde die Einheitsfläche quert Masse, die pro Sekunde durch die Einheitsfläche tritt: j uc (kg/m2/s) Zeitliche und räumliche Variabilität von Strömungsfeldern Turbulente Geschwindigkeitsvariationen Heterogenität eines Aquifers Laminare Strömung Advektion bei zeitlich und/oder räumlich variabler (turbulenter) Strömung j uc u u u c c c j uc (u u )( c c) (u c u c u c u c) u c u c Mittlere Advektion J A uc Mittelung über Zeit: Turbulente Diffusion Mittelung über Raum: Dispersion Typische Advektionsgeschwindigkeiten • • • • Fluss See Grundwasser Bodenzone 1 m/s 1 mm/s 1 m/d 1 m/a Mischungsprozesse • Molekulare Diffusion (durch Molekularbewegung) • Turbulente Diffusion (durch Wirbel) • Dispersion (durch systematische räumliche Variabilität der Strömungsgeschwindigkeit) Molekulare Diffusion Durch das Ficksche Gesetz beschrieben J m Dmc Einheit: kg/m2/s Diffusionskoeffzient Dm in Wasser in der Grössenordnung 10-9 m2/s Turbulente Diffusion Wird in Analogie zum Fick‘schen Gesetz beschrieben J T c Einheit: kg/m2/s Turbulente Diffusionskoeffizienten im Fluss ungleich in vertikaler und transversaler Richtung. Näherungsformeln: transversal 0.6hu vertikal mit * 0.067hu * u* ghI E h Wassertiefe, IE Reibungsgefälle Grössenordnung: 0.01-0.1 m2/s Fickscher Diffusionsprozess J D Dc mit D constant Oder: 1 d 2 D 2 dt Schwerpunkt: xs = ut Breite der Verteilung: 2Dt 2Dxs / u Dispersion Wird in Analogie zum Fick‘schen Gesetz beschrieben J D Kc Einheit: kg/m2/s Näherungsformel für Fluss: u* ghI E 2 2 u b K 0.011 * hu mit h Wassertiefe IE Reibungsgefälle Grössenordnung: 1-100 m2/s Wirkungsweise der Dispersion Differentielle Advektion wird durch laterale turbulente Diffusion asymptotisch zu Dispersion, die dem Fickschen Gesetz folgt. Dispersion folgt aus der gemittelten Betrachtung und wird durch systematische räumliche Variationen in der Geschwindigkeit verursacht Alle Stoffflüsse in der Übersicht Advektion Molekulare Diffusion Turbulente Diffusion Dispersion Gesamtfluss J A uc J m Dm c Zeit J T u c c Raum J D u c Kc J Total J A J m JT J D Massenbilanz: in 1D Zeitintervall [t, t+Dt] Speicherung von gelöster Masse JTotal , x ( x Dx) J Total , x ( x ) Verluste aus Abbau nach Reaktion 1. Ordnung Gewinn durch Einträge V=ADx Dx x x+Dx Erhaltungsgleichung für gelöste Masse ( J total,x ( x) J total,x ( x Dx)) A Dt c V Dt q cin Dx Dt (m(t Dt ) m(t )) Transportgleichung 1D J total,x ( x Dx) J total,x ( x) qcin (c(t Dt ) c(t )) c Dx A Dt Im Limes: J total,x qcin c c x A t Nach Einsetzen der Ausdrücke für die Flüsse (u x c) qcin c c (( Dm K ) ) c x x x A t c Verallgemeinerung auf 3D: J t 1D Transportgleichung c 2c 2c 2 c c u Dm 2 2 K 2 x x x x t Advektion Molekulare Diffusion Strömungsmodell Konti.-gleichung Impulsgleichung Energiegleichung Zustandsgleichungen Turbulente Diffusion und Dispersion Diffusions/ Dispersionsmodell z.B. Ficksches Gesetz mit anisotropem Dispersionstensor Speicherung Quellen/ Senken Quellen/ Senkenmodell Z. B. Chem Abbau Bio. Umwandlung Sedimentation Adsorption Invarianten • Typische Zeitskalen – Advektion TA = L/u – Diffusion/Dispersion TD = L2/D – Chemie (Reaktion 1. Ordnung) TC = 1/ • Dimensionslose Verhältnisse – Peclet Zahl – Damköhlerzahl Pe = TD/TA = uL/D Da = TD/TC = (L2)/D Strömung in Flüssen Normalabfluss: Gleichgewicht zwischen Hangabtrieb und Reibung, Energiegefälle IE = Sohlgefälle IS uk r I 2/3 1/2 Str hy S u querschnittsgemittelte Fliessgeschwindigkeit kstr Stricklerbeiwert rhy hydraulischer Radius (Querschnittsfläche/Benetzter Umfang) Q Abfluss Verallgemeinerung für gegliedertes Gerinne ui kStr,i rhy2 /,i3 I E1/ 2 Qi Ai kStr,i rhy2 /,i3 I E1/ 2 Q Qi Geschwindigkeitsprofile • Vertikal: Logarithmisches Profil z u( z) u* ln ( z / d w ) • Horizontal: Z. B aus Normalabfluss im gegliederten Gerinne Ai, ui, Qi dw Kritischer Abfluss • Fr = 1 mit Fr u gA b u im Rechtecksgerinne : Fr gh Fr < 1 Strömen Fr > 1 Schiessen b Wasserspiegelbreite gh Flachwasserwellengeschwindigkeit Saint-Venant Gleichungen • Kontinuitätsgleichung • Impulsgleichung Q A q x t u u h u g g (I E I s ) t x x Für Rechtecksgerinne: Stationäre Gleichungen mit q = 0 und A = bh, Q = bhu liefern dh I S I E dx 1 Fr 2 Daraus: z. B. Staukurve Staukurvenberechnung Differenzenapproximation strömender Fall: Je eine Randbedingung oberstrom und unterstrom Berechnung stromauf von unterer Randbedingung her (Einstauhöhe am Wehr) Dh h( x) h( x Dx) I S I E (h) Dx Dx 1 Fr (h) 2 I S I E (h( x)) h( x Dx) h( x) Dx 2 1 Fr ( h ( x )) Starte Berechnung bei xWehr mit hWehr Bei schiessendem Abfluss, Berechnung stromab, 2 Randbedingungen oberstrom Wellendurchgang (kinematische Welle) Q A 0 x t und Annahme, dass überall Normalabfluss herrscht liefert Wellengleichung für h mit Wellengeschwindigkeit Q = uA, Normalabfluss bedeutet: Q = f(h), A=g(h) h h c 0 t x Q / h A u / h c u A / h A / h Wellengleichung mit Wellengeschwindigkeit c Wasserwelle (c) schneller als Schmutzwelle (u). Strömung in Seen • Mittlere Aufenthaltszeit t = V/Q • Seenrückhalt dV Qin (t ) Qout (t ) dt Q(t) Warum Schnittpunkt im Maximum? Qin Qout Zeit Schichtung in Seen • Dichte von Süsswasser als Funktion der Temperatur (T ) 1 7 106 (T 4) 2 mit T in C und in t / m3 • Stabile Schichtung im Sommer und eventuell im Winter, dazwischen Mischung Sommer z Epilimnion Thermokline Hypolimnion Herbst Winter Frühling T Oberflächenseichen und interne Seichen • Schwappungen • Wellengeschwindigkeit Oberflächenseiche c gh • Wellengeschwindigkeit interne Seiche c g h mit g g D 1 1 1 und h hE hH h mittlere Tiefe, hE Tiefe Epilimnion, hH Tiefe Hypolimnion • Periode erste Oberwelle der Seiche 2L 2L T bzw. T c c L Länge See Oberflächenseichen und interne Seichen z x x Epilimnion h Hypolimnion x Grundwasser: Fliessgesetz (1) • • • • Grundwasserströmung ist fast immer laminar Lineares Energieverlustgesetz Spezifischer Abfluss = Filtergeschwindigkeit v Darcy: v = kf I – kf Durchlässigkeitsbeiwert – I Piezometerhöhengefälle • Abstandsgeschwindigkeit u = v/n Darcy‘s Experiment Dh A L Beobachtung: Q proportional zu A, Dh Q invers proportional zu L Folgerung: Q = k A Dh/L oder v = Q/A = k I Q Grundwasser Fliessgesetz (2) • Spezifische Energie H = z + p/g + v2/2g = h + v2/2g • Im Grundwasser: v sehr klein, v2/2g vernachlässigbar H=h • Verallgemeinerung des Darcy-Gesetzes v -Kh K Durchlässigkeitstensor Höhengleichenplan Eingemessene Kante • Durch Interpolation aus Messungen in Messstellen (Vorsicht: Lichtlot misst Abstich, daraus durch Abstich Subtraktion von eingemessener Kante: Piezometerhöhe) GW • Einfachste Interpolation: Hydrologische Dreiecke und lineare Interpolation (siehe Übung) NN GOK h Wichtigste Formel vF A b Q = AvF= AkfI = bmkfI = bTI T Transmissivität T = mkf, b Breite, m Mächtigkeit m Brunnenformel • Radiale Zuströmung zum Brunnen – Filtergeschwindigkeit im Abstand r aus Kontinuität Q Q = vrA = vr 2p r m Daraus: vr = Q/(2prm) vr r m Superpositionsprinzip • Brunnen in Grundströmung: Pumprate Q Q b v0 xs Aquifermächtigkeit m, Filtergeschwindigkeit der Grundströmung v0 Bestimme die Entnahmebreite b und den Staupunktsabstand xs Entnahmebreite und Staupunktsabstand • Entnahmebreite aus Kontinuität: Zufluss zu Entnahmebereich = Pumprate Q = b m v0 oder b = Q/(mv0) • Staupunktsabstand aus Bedingung v = vGrund + vBrunnen = 0 für Punkt auf x-Achse v0 - Q/(2pxsm) = 0 oder xs = Q/(v02pm) Chemische Reaktionen • Reaktion 1. Ordnung, z. B. bakterieller Abbau, wenn Substrat limitierend ist dc dt c Lösung: exp-Funktion • Reaktion 0. Ordnung, z. B. bakterieller Abbau ohne Limitation durch Substrat oder Nährstoffe dc r dt (r 0, konstant) • Allgemein für bakterielle Abbau: Michaelis MentenKinetik dc ac dt cK 0. Ordnung für c » K, 1. Ordnung für c « K Chemische Reaktionen In Grundwasser (oder an Flusssediment) Adsorption Lineare Adsorptionsisotherme bei kleinen Konzentrationen ca K D c c = gelöste Konzentration, ca = adsorbierte Konzentration bewirkt Verzögerung des Transports um Retardierungsfaktor R 1 n R 1 KD matrix n Ersetze: u u R DD R Kombination aller der Transportprozesse Strömungsrichtung t=0 Advektion Advektion und Dispersion x t=Dt x Advektion, Dispersion und Adsorption x Advektion, Dispersion, Adsorption und Abbau x x Transportgleichung: 1-D Lösung • Instantaner Puls zur Zeit t = 0 am Ort x = 0 mit Masse M in eindimensionale Strömung (Säulenversuch im Labor, Fluss) 2 M ( x ut ) exp( t ) c( x, t ) exp 4 Dt 2 A pDt A durchströmter Querschnitt, D Diff./Disp.-koeffizient, u Fliessgeschwindigkeit, Abbaurate, für u = 0 rein diff. Lösung Konzentrationsverlauf in x: Profil Weitere Lösungen durch Superposition • Im Raum – Flächenquelle = Überlagerung von vielen Punktquellen – Undurchlässiger Rand durch Spiegelung • In der Zeit – Permanente Emission = Summe von instantanen Emissionen Konzentrationsverlauf in t: Durchbruchskurve Konzentration Vorsicht: nicht symmetrisch Schreibe MATLAB-Programm für Profil und Durchbruchskurve Zeit 3-D Lösung • Instantaner Puls zur Zeit t = 0 am Ort x = 0 mit Masse M in eindimensionale Strömung Fliessrichtung parallel zur x-Achse 2 2 ( x ut ) 2 M y z exp( t ) c( x, y, z, t ) exp 4Dxt 4Dy t 4Dz t 8 pDxt pDy t pDz t Dx,y,z Diff.-koeffizienten in x,y,z-Richtung u Fliessgeschwindigkeit, Abbaurate Randbedingungen durch Spiegelung Transportmodell der TA-Luft Gauss-Fahne Q y2 c ( x, y , z ) exp 2 2 ( x) 2p u y ( x) z ( x) y ( z H )2 ( z H )2 exp exp exp( x / u ) 2 2 2 ( x ) 2 ( x ) z z 2 = 2Dt Q Quellstärke u mittlere Windgeschwindigkeit H effektive Emissionshöhe z(x) = axb Diffusionsparameter y(x) = gxd a,b,g,d abhängig von Stabilitätsklasse Abbaurate (einschl. Deposition) Boxmodell (1) • See mit Qin = Qout = Q, Zuflusskonzentration cin = konstant • Anfangskonzentration c = c0 • Stoff mit Abbaureaktion 1. Ordnung, Rate l, See vollständig durchmischt • Massenbilanz • Stationäre Lösung d (Vc) Q(cin c) Vc dt 1 cin d (Vc) V 0 c t mit t 1 dt Q t • Instationäre Lösung 1 c(t ) c (c0 c ) exp ( )t t für t 0 Boxmodell (2) • Allgemeinerer Fall: Zuflusskonzentration nicht konstant 1 1 1 c(t ) c0 exp ( )t cin (t ) exp ( )(t t ) t 0t t t • Mit c0 = 0 und Startzeit t0 = werden als: kann dies geschrieben t cout (t ) cin (t ) f (t t )dt • f ist die Transferfunktion • Der gemischte See entspricht einem Exponentialmodell (siehe auch gemischter Reaktor) f (t ) 1 exp( t / t ) exp( t ) t • Andere Transferfunktion f (t ) d (t t ) exp( (t t )) (Pfropfenströmung) Boxmodell (3) • Boxmodelle werden unter anderem verwendet für die Interpretation von Umwelttracerdaten • Beispiele Altersbestimmung von Grundwasser mit Tritium, Freonen, SF6 Prinzip der Altersdatierung mit Tracern Input Resultat: Porengeschwindigkeit Output u Time Verzögerung t Time L t Mit Porosität erhält man spezifischen Abfluss q nu Mit Fläche erhält man Gesamtzufluss L Q qdA A Atmosphärische CFC Konzentrationen in der südlichen Hemisphäre F12 F11 Tritiumpeak im Niederschlag aus atmosphärischen Atombombenversuchen 3500 Bomb 3H peak at different latitudes 3000 3 annual average H (TU) 2500 Ottawa 2000 Bamako Pretoria 1500 Khartoum 1000 500 0 1950 1955 1960 1965 1970 1975 Year 1980 1985 1990 1995