V(E )

Planarisierung
von
Cluster Graphen
Bihui Dai
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Übersicht

Struktur eines Clustergraphs

Motivation

Zeichnung eines Clustergraphs

Planarisierungsalgorithmus
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Struktur eines Clustergraphs
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3
Sub-Cluster V(E)
Sub-Cluster V(E)
Root
E
A
13
2
Root
F
B
4
F
E
1
3
5
C
6
7
10
8
9
11
A
D
12
1
2
ein zugrundliegende
Ein ClusterGraph
Graph C(G, T)
C
3
6
7
B
8
9
4
D
5
13
10 11
ein Inklusionsbaum
Der von V(E ) induzierte
Teilgraph G(E)
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Motivation
 Viele Anwendungen erfordern das Zeichnen von Clustergraphen.
Zum Beispiel:
 Netzwerke :
lokale Netzwerke und Router in autonomen Systemen,
autonome Systeme als Cluster
 Informationssysteme:
Entity-Relationship Schema,
anhand ähnlicher Eigenschaften in Cluster verpacken
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Zeichnung eines Clustergraphs
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6
Zeichnung
Der Clustergraph C = ( G,T ) wird gezeichnet
 Punkte als Knoten
 Kurven als Kanten
 Regionen als Cluster
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c-planarer Clustergraph
Hat es in der Zeichnung keine diese Situationen, dann ist der
Clustergraph c-planar
1.
Kantekreuzung
2. Die Kanten
überqueren die
Regionsgrenze
mehr als einmal
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Zusammenhängender Clustergraph

Der Zusammenhang spielt auch eine bedeutende Rolle in unserem
Planarisierungsalgorithmus:
Root
In dem Planarisierungsalgorithmus
ist gegeben für nicht c-planarer
E
F
A
B
zusammenhängender
Clustergraph.
2
4
1
3
6
7
5
 Ein clustergraph
ist cluster-zusammenhängend , wenn für jeden
KnotenC  von T, G() zusammenhängend ist.
10
8
9
11
D
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Zusammenhängender
Clustergraph
Nicht zusammenhängender
Clustergraph
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Planarisierung
 Sei ein nicht planarer Graph G = (V, E) gegeben, dann ist eine
Planarisierung von G ein eingebetteter planarer Graph G = (V, E),
mit:

V  = VD; D sind unechte Knoten, jeder repräsentiert eine
Kreuzung zwischen zwei Kanten;

Ein Kanten-Pfad von G ist ein Pfad mit Knoten u,d1,…,dk,v;
(u ,v) ist eine Kante von E und di sind unechte Knoten.
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 Sei ein nicht c-planarer Clustergraph C =(G, T) gegeben, dann ist
eine Planarisierung von C ein c-planarer Clustergraph C =(G, T),
mit:
 G ist eine Planarisierung von G;
 T ist ein Baum abgeleitet aus T, wobei ein Blatt für jeden unechten
Knoten von G hinzugefügt wird.
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Planarisierungsalgorithmus
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Problem:
Gegebenein zusammenhängender nicht c-planar Clustergraph,
Wie realisiert man diese Planarisierung?
Lösung:
Ablauf:
Der Planarisierungsalgorithmus wird eingeführt.
Planarisierungsalgorithmus hat zwei Schritte
1. Maximal-cPlanar
1.1 Spannbaum
1.2 SimpleReinsertion
2.
Wiedereinfügung
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Maximal-cPlanar
 In Maximal-cPlanar wird ein maximaler c-planarer Subgraph des
gegeben Clustergraph berechnet.
 Idee:
Anfang mit einem "einfachen" zusammenhängenden c-planaren
Subgraph
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 Die Berechnung besteht aus zwei Schritten:
1. Spannbaum
Ein Subgraph wird berechnet, so dass sein
zugrundeliegender Graph ein Spannbaum von G ist.
2. SimpleReinsertion
Der maximale c-planare Subgraph wird berechnet dadurch,
dass die Kanten, die die c-Planarität nicht verletzen, in Spannbaum
eingefügt werden.
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Spannbaum

Nun konstruieren wir den Spannbaum von Cluster:
v2
F(V)
V2
F(V1)
v1
V1
F(V2 )
v3
F(V3 )
V3
v
ST(V)
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SimpleReinsertion
Idee:
Einfügen einiger Kanten in schon konstruiertem Cluster-Spannbaum,
die keine Kreuzungen verursachen können.
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 wir führen jetzt SimpleReinsertion aus:
 Durchlaufe T von unten nach oben
 Überprüft für jeden Cluster v
 Füge eine Kante aus G(v)-ST(v) hinzu
 Dabei kann keine Kreuzung entstehen
 Danach:
 Für jede noch nicht eingefügte Kante e
 Überprüfe c-Planarität wenn Kante e eingefügt wird
 Füge Kante e ein, falls planar
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Wiedereinfügen der verworfenen Kanten
 Mit Cmp = ( Gmp, T) von C =( G, T) bezeichnen wir einen maximal cplanaren zusammenhängenden eingebetteten Sub-ClusterGraph.
 Problem:
Die Kanten überqueren mehr als einmal
die Regiongrenze
Kanteneinfügen, wobei Cluster nicht c-planar bleiben
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 Lösungsidee: (Schritt für Schritt)
-- Es wird ein planarer eingebetteter dualer Graph G‘mp von Gmp
konstruiert.
--Der kürzeste Weg in G‘mp wird berechnet.
--Die Restkanten werden wiedereingefügt .
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Die Konstruktion der dualer Graph G‘mp von Gmp
Wir materialisieren die Grenze der Cluster
v2
v1
Einfügen des
kreuzungsknoten v1
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Einfügen der
Grenzkante
Die Kante überquert
die Regiongrenze
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Die Berechnung des kürzeste Weg
 Die Ausrichtung und das Entfernen der Kanten von G‘mp .
B
D
E
C
u
v
A
A
B
C
E
D
u
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v
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Ende von Planarisierungsalgorithmus

die Komplexität des ganzen Planarisierungsalgorithmus .
Gegeben:
n..... die Anzahl der Knoten von G
m..... die Anzahl der Kante von G
c.......die Anzahl der Clustern von T.
.......die Anzahl der unechten Knoten
Dann
Der Algorithmus Maximal-cPlanar benötigt O(mn²);
Der Algorithmus Wiedereinfügung benötigt O( m + m²c).
Insgesamt:
Der Planarisierungsalgorithmus berechnet eine
Planarisierung von C in O( m + m²c + mn²).
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Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit
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