Zahlensysteme

Zahlensysteme
• Zahlensysteme
• Kann man das Essen? Was ist das, und wozu brauch ich
das?
• Ein Zahlensystem wird zur Darstellung von Zahlen
verwendet. Gut, das dachtest du dir vermutlich schon.
Zahlen sind für uns so wichtig, weil sie einen Wert
ausdrücken. In einem konkreten Beispiel heißt das,
dass für uns 10 Euro doppelt so viel Wert sind wie 5
Euro. Aber wer hat eigentlich festgelegt, dass 10 das
Doppelte von 5 ist. Wäre es nicht möglich, dass ein 10
Euro Schein nur halb so viel Wert ist wie in 5 Euro
Schein?
Additionssysteme
• Das Unärsystem
• Dieses System ist normalerweise jedem geläufig, ob zum Zählen der
Stimmen bei der Klassensprecherwahl, notieren der getrunkenen
Biere auf dem Bierdeckel oder Punktezählen beim TicTacToe
spielen.
• Das einzige Symbol in diesem System ist „I" mit dem Wert 1, das nmal Hintereinandergeschrieben wird, um die Zahl n auszudrücken,
also = 4. Normalerweise macht man der Übersichtlichkeit halber
jeden fünften Strich quer durch die vorhergehenden vier. Die
dadurch gebildeten 5er-Blöcke lassen sich später leichter
zusammenrechnen.
• Beispiele:
III = 3
IIIIIII oder IIII II= 7
IIII IIII III= 13
Römische Zahlen
Die uns bekannten römischen Zahlen gingen aus einer Variante des
Kerbstocksystems hervor.
Symbol
I
1
Die Zahlen werden vom höchsten Symbol abwärts der Reihe nach
geschrieben - also z.B.
CXXI = 121
MMLI = 2051
wohingegen XXCI nicht existiert.
V (oder
U)
5
X
10
L
50
C
100
D
500
M
1000
Im Mittelalter wurde die wenig bekannte Subtraktionsschreibweise
etabliert. Diese Schreibweise setzt voraus, dass kleinere Zahlen,
die vor einer größeren stehen, von ihr abgezogen werden. So
wurde z.B. fortan die 9 nicht mehr als VIIII, sondern als IX
geschrieben, was für mehr Übersicht sorgen sollte. Weitere
Beispiele wären:
CD = 400
MCD = 1400
MCMLXXXIX = 1989
Wert
Stellenwertsyteme
•
•
•
Ein Stellenwertsystem (auch Positionssystem genannt) ist ein Zahlensystem, das im
Vergleich zu Additionssystemen mit wenigen Symbolen große Zahlen darstellen
kann. Wie die Bezeichnung schon vermuten lässt, wird der Wert einer Zahl nicht
mehr einfach durch Aufsummieren der einzelnen Symbolwerte gebildet, sondern
hängt zusätzlich von den Positionen des jeweiligen Symbols ab. Der Name der
meisten Stellenwertsysteme ist auf die sogenannte Basis des Systems
zurückzuführen. Das uns bekannteste Stellenwertsystem ist das Dezimalsystem.
Die Bezeichnung stammt von dem lateinischen Begriff "decimus" ab, was soviel
bedeutet wie "der Zehnte". Die Basis im Dezimalsystem ist demnach die 10.
Aha, die Basis ist die 10 - aber was genau ist denn eigentlich die Basis?
Simpel ausgedrückt, ist die Basis die Anzahl der Symbole (Ziffern), die man
benötigt, um alle Zahlen in diesem System bilden zu können, also im Falle des
Dezimalsystems die Symbole 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Und wie bestimme ich nun den Wert einer Zahl eines Stellenwertsystems?
Wir wissen, dass die Zahl "1234" den Wert 1234 hat - aber wie errechnet sich
dieser? Wie es die meisten vermutlich kennen, ist das Dezimalsystem in
verschiedene Stellen eingeteilt. Für die Zahl 1234 wären das:
Dezimalsystem
123410
Tausender
Hunderter
Zehner
Einer
103
102
101
100
1000
100
10
1
1
2
3
4
1 * 1000
2 * 100
3 * 10
4*1
1000
200
30
4
1000 + 200 + 30 + 4 = 123410
Dualsystem
111000102
Pos 7
Pos 6
Pos 5
Pos 4
Pos 3
Pos 2
Pos 1
Pos 0
27
26
25
24
23
22
21
20
128
64
32
16
8
4
2
1
1
1
1
0
0
0
1
0
128
64
32
0
0
0
2
0
128 + 64 + 32 + 2 = 22610
Hexadezimalsystem
E4A16
Pos 3
Pos 2
Pos 1
Pos 0
163
162
161
160
4096
256
16
1
0
E
4
A
0 * 4096
14 * 256
4 * 16
10 *1
0
3584
64
10
3584 + 64 + 10 = 365810
Umrechnung Dezimal ... Binär
Für die Umrechnung von Zahlen des Dezimalsystems in beliebige andere Systeme gibt es einen
einfachen Weg: Die Division mit Rest.
• die entsprechende Zahl wird durch die Kennzahl des Ziel-Zahlensystems geteilt
• der ganzzahlige Anteil wird wiederum durch die gleiche Zahl geteilt, bis der ganze Rest 0 beträgt
• die Divisions-Reste bilden in umgekehrter Reihenfolge abgelesen die Zahl im Zielsystem
Beispiel: Umrechnung von 5810 ins Binär-System:
58 / 2 = 29 R 0
29 / 2 = 14 R 1
14 / 2 = 7 R 0
7/2=3R1
3/2=1R1
1/2=0R1
Liest man die Reste von unten nach oben ergibt sich: 1110102
Umrechnung Dezimal ... Hexa
Umrechnung von 123410 ins Hexadezimalsystem:
1234 / 16 = 77 R 2
77 / 16 = 4 R 13 (= D)
4 / 16 = 0 R 4
Liest man die Reste von unten nach oben ergibt sich: 4D216
Übungsaufgaben
Berechne den Dezimalwert folgender Dualzahlen:
a) 11011110102
b) 10101102
c) 11111110012
d) 11001100112
Berechne den Dezimalwert folgender Hexadezimalzahlen:
a) 14F5B16
b) AB3D16
c) 5EA316
d) 9C2316
Aufgaben
Übertrage folgende Dezimalzahlen in die Dualwerte und
Hexadezimalwerte:
a) 3.78610
b) 14.87610
c) 2.24310
d) 1.02410
Übertrage die Dualzahlen in das Hexadezimalsystemzahlen:
Umwandeln:
a) 11011110102
b) 10101102
c) 11111110012
d) 11001100112
a) 43215 in ....7
b) 2677 in ....12
c) 889 in ....3