Formelsammlung für die Patentprüfung in

Lehrerseminar Solothurn
Mathematik 1BOS
Erich Peier
______________________________________________________________________________________________________
FORMELSAMMLUNG FÜR DIE PATENTPRÜFUNG IN MATHEMATIK
(nach einer Vorlage von R. Baggenstos)
Diese Formelsammlung gehört .............................................................................................
Inhalt:
Mengen
2
Trigonometrie
3
Stereometrie
4
Lineare Gleichungssysteme
5
Lineare Funktionen
6
Quadratische Gleichungen und quadratische Funktionen
7
Vektorgeometrie I (Grundbegriffe)
8
Vektorgeometrie II (Geraden und Ebenen)
9
Potenzen, Logarithmen
10
Exponentialfunktionen
11
Folgen und Reihen
12
Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit
13
Differenzialrechnung
14
Seite 1
Lehrerseminar Solothurn
Mathematik 1BOS
Erich Peier
______________________________________________________________________________________________________
THEMA:
MENGEN
Natürliche Zahlen:
Ganze Zahlen:
Rationale Zahlen:
N  {1,2,3,4,5,...}
Z  {..., 5,4,3,2,1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
Q: Alle Zahlen, welche als Bruch zweier ganzer Zahlen geschrieben werden können
Rationale Zahlen führen in der Dezimalschreibweise zu endlichen oder zu unendlichen, periodischen
Dezimalbrüchen.
Beispiele von irrationalen Zahlen
2  1.4142135623 73 ...
3  1.732050807568...
  3.1415926535 8979 ...
e  2.7182818284 5...
Eigene Notizen:
Seite 2
(Wurzel aus 2)
(Wurzel aus 3)
(Pi = Umfang:Durchmesser eines Kreises)
(Basis des natürlichen Logarithmus)
Lehrerseminar Solothurn
Mathematik 1BOS
Erich Peier
______________________________________________________________________________________________________
THEMA:
TRIGONOMETRIE
Winkelmass-Systeme:
360° ('Altgrad') = 2* ('Bogenmass')
Definitionen im rechtwinkligen Dreieck: sin  
sin 
cos 
Gegenkathete
Gegenkathete
Ankathete
; cos  
; tan  
Ankathete
Hypotenuse
Hypotenuse
sin 2   cos 2   1
Zusammenhänge:
tan  
Kosinussatz:
c 2  a 2  b 2  2ab cos
Sinussatz:
a sin 

b sin 
und
Eigene Notizen:
Seite 3
  arccos
a2  b2  c2
2ab
Lehrerseminar Solothurn
Mathematik 1BOS
Erich Peier
______________________________________________________________________________________________________
THEMA:
STEREOMETRIE
Eigene Notizen:
Seite 4
Lehrerseminar Solothurn
Mathematik 1BOS
Erich Peier
______________________________________________________________________________________________________
THEMA:
LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
Ein lineares Gleichungssystem ist höchstens dann eindeutig lösbar, wenn die Anzahl Unbekannten gleich gross
ist wie die Anzahl der gegebenen Gleichungen
a11  x  a12  y  a13  z  b1
a 21  x  a 22  y  a 23  z  b2
a 31  x  a 32  y  a 33  z  b3
Beispiel eines Gleichungssystems mit 3 Unbekannten:
Allgemein kann man solche Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren auflösen: Man löst eine der
Gleichungen nach einer der Unbekannten auf und ersetzt danach diese Unbekannte in allen übrigen
Gleichungen. Dadurch hat man ein Unbekannte (eine Gleichung) weniger.
Nach endlich vielen Schritten gelangt man so schliesslich zu einer einzigen Gleichung mit einer einzigen
Unbekannten.
Determinantenverfahren bei 2 Unbekannten:
b
e
c
f
a
d
c
f
ax  by  c
bf  ec
af  cd
x

und y 

dx  ey  f
ae  bd
ae  bd
a b
a b
d e
d e
Falls der gemeinsame Nenner dieser beiden Brüche = 0 ist, existiert keine oder keine eindeutige Lösung.
Eigene Notizen:
Seite 5
Lehrerseminar Solothurn
Mathematik 1BOS
Erich Peier
______________________________________________________________________________________________________
THEMA:
LINEARE FUNKTIONEN (GERADEN)
Allgemeine Form der linearen Funktion:
y  m x  b
Der Funktionsgraph im Koordinatensystem ist eine Gerade. Diese schneidet die y-Achse bei y = b. Die Steigung
der Geraden ist m 
y
 tan  , der Steigungswinkel gegenüber der x-Achse beträgt demnach:   arctan m .
x
Für die beiden Steigungen m1 und m2 zweier senkrecht stehender Geraden gilt: m1  m 2  1
Eigene Notizen:
Seite 6
Lehrerseminar Solothurn
Mathematik 1BOS
Erich Peier
______________________________________________________________________________________________________
THEMA:
QUADRATISCHE GLEICHUNGEN UND QUADRATISCHE FUNKTIONEN
Allgemeine Form der quadratischen Gleichung:
Für die Lösung(en) gilt:
x1,2 
0  a x2  b x  c
b D
, dabei ist D die Diskriminante, D  b 2  4  a  c
2a
Ist D>0
dann besitzt die Gleichung zwei verschiedene Lösungen ( x1  x 2 )
Ist D=0
Ist D<0
dann besitzt die Gleichung nur eine Lösung ( x1  x 2 )
dann besitzt die Gleichung keine (reelle) Lösung
Allgemeine Form der quadratischen Funktion:
y  a x2  b x  c
Der Funktionsgraph im Koordinatensystem ist eine Parabel, deren Symmetrieachse parallel zur y-Achse bei
x
b
liegt. Dies ist auch gleichzeitig die x-Koordinate des Scheitelpunktes S.
2a
Ist a>0, dann ist die Parabel nach oben geöffnet
Ist a<0, dann ist die Parabel nach unten geöffnet
Die Nullstellen der Parabel ( = Schnittpunkte mit der x-Achse) findet man beim Auflösen der quadratischen
Gleichung a  x 2  b  x  c  0 .
Eigene Notizen:
Seite 7
Lehrerseminar Solothurn
Mathematik 1BOS
Erich Peier
______________________________________________________________________________________________________
THEMA:
VEKTORGEOMETRIE I (GRUNDLAGEN)
Skalare sind Grössen mit einem bestimmten Betrag (Zahlen)
Vektoren haben ebenfalls einen Betrag, zusätzlich aber auch eine bestimmte Richtung. (Darstellung als Pfeile
möglich). Ein (freier) Vektor darf beliebig im Raum parallel verschoben werden – er bleibt "sich selbst".
Graphische Addition von Vektoren durch "Hintereinanderfügen":
Die Vektoraddition ist kommutativ und assoziativ.
Wird ein Vektor mit einem Skalar multipliziert, dann kann graphisch seine Länge mit diesem Skalar vervielfacht
werden. Ist der Skalar negativ, dann wird dabei der Vektor um 180° gedreht.
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist der Skalar (die Zahl), welcher folgendermassen entsteht:
Betrag des ersten Vektors mal Betrag des zweiten Vektors mal Kosinus des Zwischenwinkels (s. Formel unten)
Darstellung von Vektoren mit Komponenten:
Vektoraddition:
 a1 
b 
  1
  
a   a 2  und b   b2 
a 
b 
 3
 3
 a1  b1 

  
a  b   a 2  b2 
a b 
3
 3

 a1  b1 

  
Vektorsubtraktion: a  b   a 2  b2 
a b 
 3 3
 a1   p  a1 
  

skalare Vervielfachung: p  a  p   a 2    p  a 2 
Betrag eines Vektors:
a   pa 
3
 3 
Skalarprodukt:
 
 
a  b  a1  b1  a 2  b2  a 3  b3  a  b  cos 
Zwischenwinkel:
  arccos
a1  b1  a 2  b2  a3  b3
a12  a 22  a32  b12  b22  b32
Eigene Notizen:
Seite 8

a  a12  a 22  a32
Lehrerseminar Solothurn
Mathematik 1BOS
Erich Peier
______________________________________________________________________________________________________
THEMA:
VEKTORGEOMETRIE II (GERADEN UND EBENEN)
 x
  

Vektorielle Darstellung von Geraden im Raum:
 y  a  t r ,
z
 


dabei ist a ein Ortsvektor zu einem Punkt A auf der Geraden und r der Richtungsvektor der Geraden.
z.B: Gegeben sind die beiden Punkte A(a1 , a 2 , a3 ) und B(b1 , b2 , b3 ) .
 x   a1 
 b1  a1 
   


Dann lautet die Geradengleichung:  y    a 2   t   b2  a 2 
 z a 
b  a 
3
   3
 3
 x
  


Vektorielle Darstellung von Ebenen:
 y   a  u  r1  v  r2 ,
z
 



dabei ist a ein Ortsvektor zu einem Punkt A auf der Ebene und r1 und r2 zwei nicht kollineare
Richtungsvektoren in der Ebene.
Koordinatendarstellung von Ebenen:
Spezialfall: Achsenabschnittsform
Ax  By  Cz 1  0 (Ebene, die nicht durch den Ursprung geht)
x y z
   1,
a b c
dabei ist a der Abschnitt auf der x-Achse, b derjenige auf der y-Achse und c derjenige auf der z-Achse.
Eigene Notizen:
Seite 9
Lehrerseminar Solothurn
Mathematik 1BOS
Erich Peier
______________________________________________________________________________________________________
THEMA:
POTENZEN, LOGARITHMEN
Die 5 Potenzgesetze: (für beliebige Exponenten n)
Gleiche Exponenten:
a  b  (a  b) ;
n
n
Potenzieren von Potenzen:
Definitionen:
a n 
1
a
n
n
a
 
n
b
b
an
a 
a
;
a0 1;
n m
n
Gleiche Basen:
a n  a m  a nm ;
an
a
m
 a nm
nm
1
n
ak  k a ;
ak 
 a
k
n
 k an
Logarithmen:
("Logarithmus von b zur Basis a")
a x  b  x  log a b
Als Basis eines Logarithmus eignen sich nur Zahlen a mit a>0 und a  1. Gebräuchlich sind die Logarithmen zu
den Basen 10 ("Zehnerlogarithmus", log oder lg) und zur Basis e ("natürliche Logarithmus", ln)
Lösung einer Exponentialgleichung:
ax  b  x 
lg b ln b

lg a ln a
Für alle Basen gelten die folgenden Gesetze:
log( p  q)  log p  log q
log
p
 log p  log q
q
log p n  n  log p
log n p 
log 1  0
Für negative p existiert log p nicht !
Eigene Notizen:
Seite 10
1
 log p
n
Lehrerseminar Solothurn
Mathematik 1BOS
Erich Peier
______________________________________________________________________________________________________
THEMA:
EXPONENTIALFUNKTIONEN, WACHSTUM UND ZERFALL
Exponentialfunktionen:
y  a x mit a>0
Wachstum und Zerfall:
Lineares Wachstum:
In gleichen Zeiträumen nimmt die untersuchte Grösse y
um denselben Betrag zu oder ab.
Funktion: y(t )  y(0)  m  t , (y(0): Anzahl zur Zeit Null)
Exponentielles Wachstum:
In gleichen Zeiträumen nimmt die untersuchte Grösse
um denselben Anteil (Prozentsatz) zu oder ab.
Funktion: y(t )  y(0)  q t (q: Wachstumsfaktor in der
Zeiteinheit)
r ist der Wachstumsfaktor für den Zeitraum t .
q ist der Wachstumsfaktor für den Zeitraum 1.
1
Zusammenhang:
q t  r oder q  r t
Eigene Notizen:
Seite 11
Lehrerseminar Solothurn
Mathematik 1BOS
Erich Peier
______________________________________________________________________________________________________
THEMA:
FOLGEN UND REIHEN
Beschreibung einer Zahlenfolge: durch Aufzählen
27 ; 18 ; 12 ; 8 ; 5.333... ; ...
n 1
2
a n  27   
3
2
a n  a n 1  für n  1; a1  27
3
durch explizite Angabe:
durch rekursive Darstellung:
Unendliche Folgen können einen Grenzwert besitzen (wie obige), dann heissen sie konvergent, sonst
sind sie divergent.
Zahlenreihen sind endlich oder unendlich lange Summen, z.B. 27+18+12+8+5.333...+...
Endliche Reihen (Summen) besitzen auch stets einen endlichen Summenwert. Unendliche Reihen können einen
endlichen Summenwert besitzen, dann sind sie konvergent. Sonst sind sie divergent.
Spezielle Folgen und Reihen
Arithmetische Folgen:
Arithmetische Reihen:
Geometrische Folgen:
a n  a1  (n  1)  d ,
dabei ist a1 das erste Glied, d der Abstand
zwischen den einzelnen Gliedern und an
das n-te Glied der Folge
1
1
 n  (2  a1  (n  1)d )   n  (a1  a n )
2
2
dabei ist q der Quotient zwischen zwei
a n  a1  q n1
sn 
aufeinanderfolgender Glieder
Geometrische Reihen:
s n  a1 
Unendliche geometrische Reihen:
s
1 q
q 1
 a1 
1 q
q 1
n
n
a1
, falls q  1 ist
1 q
Eigene Notizen:
Seite 12
Lehrerseminar Solothurn
Mathematik 1BOS
Erich Peier
______________________________________________________________________________________________________
THEMA:
KOMBINATORIK UND WAHRSCHEINLICHKEIT
n!  1 2  3  4  ...  n und 0!  1
Fakultäten:
Für n  N gilt:
Permutationen:
n verschiedene Objekte können auf n! verschiedene Weise auf n Plätze angeordnet werden
(vertauscht werden)
Variationen:
Kombinationen:
Permutationen ohne Wiederholung:
p n  n!
Permutationen mit Wiederholung (Mississippi)
p n ( p, q, r ,...) 
n!
p!q!r!...
Es sei n>k. Aus einer Urne mit n Elementen werden k Elemente gezogen.
(Reihenfolge ist wesentlich)
n!
(n  k )!
Die gezogenen Elemente werden nicht zurückgelegt:
v n, k 
Die gezogenen Elemente werden zurückgelegt:
v n, k  n k
Es sei n>k. Aus einer Urne mit n Elementen werden k Elementen gezogen.
(Reihenfolge ist unwesentlich)
Die gezogenen Elemente werden nicht zurückgelegt:
c n, k 
 n
n!
  
(n  k )!k!  k 
Die gezogenen Elemente werden zurückgelegt:
c n, k 
(n  k  1)!  n  k  1


(n  1)!k!  k 
Binomialkoeffizienten:
n
n!
 
 k  k!(n  k )!
Binomischer Lehrsatz:
( a  b) n 
Eigene Notizen:
Seite 13
n
n
  k  a nk  b k
k 0 

Lehrerseminar Solothurn
Mathematik 1BOS
Erich Peier
______________________________________________________________________________________________________
THEMA:
DIFFERENZIALRECHNUNG
Einige Ableitungen:
1.)
f ( x)  c
f ' ( x)  0
2.)
f ( x)  a  x
3.)
f ( x) 
4.)
f ( x)  x
f ' ( x) 
5.)
f ( x)  e x
f ' ( x)  e x
6.)
f ( x)  ln x
7.)
8.)
f ( x)  sin x
f ( x)  cos x
1
x
f ' ( x)  cos x
9.)
f ( x)  tan x
r
1
x
(Steigung einer Horizontalen ist Null...)
f ' ( x)  r  a  x
f ' ( x)  
r 1
1
gilt für alle reellen r
Spezialfall von 2.) für a = 1 und r = -1 !
x2
1
Spezialfall von 2.) für a = 1 und r = 0.5
2 x
f ' ( x) 
f ' ( x)   sin x
f ' ( x) 
1
cos 2 x
 1  tan 2 x
Ableitungsregeln:
[a  f ( x)]'  a  f ' ( x)
[ f ( x)  g ( x)]'  f ' ( x)  g ' ( x)
[ f ( x)  g ( x)]'  f ' ( x)  g ( x)  f ( x)  g ' ( x)
Ein konstanter Faktor bleibt als solcher erhalten
Summenregel
Produktregel
'
 f ( x) 
f ' ( x)  g ( x)  f ( x)  g ' ( x)

 
g ( x)2
 g ( x) 
[ f ( g ( x))]'  f ' ( g ( x))  g ' ( x)
Quotientenregel
Kettenregel
Kurvendiskussion (besondere Punkte und Stellen)
Lokales Minimum oder Maximum in x0:
Wendepunkt in x0
Sattelpunkt in x0
Pole und Lücken
Asymptoten
x0 ist ungeradfache Nullstelle von f ' (x)
x0 ist ungeradfache Nullstelle von f '' (x)
x0 Wendepunkt mit f ' (x0)= 0
Nullstellen der Nenner bei gebrochenrationalen Funktionen
Näherungskurven für x  
Eigene Notizen:
Seite 14
Lehrerseminar Solothurn
Mathematik 1BOS
Erich Peier
______________________________________________________________________________________________________
Eigene Notizen:
Seite 15