Lösen von Gleichungen mit dem Ti 83 Plus am Beispiel der Parabel

Lösen von Gleichungen mit dem Ti 83 Plus am Beispiel der Parabel
Bei vielen Problemen, in denen Parabeln eine Rolle spielen, wie z. B. der schräge
Wurf, sind insbesondere
-
die Koordinaten des Scheitelpunktes,
die Nullstellen einer Funktion ,
Koordinaten möglicher Schnittpunkte zweier Funktionen,
Funktionswerte oder
Stellen bei gegebenen Funktionswerten gesucht.
Neben einer graphischen Lösung sind häufig algebraische Lösungen von Interesse.
Der Ti 83 Plus ist jedoch nur in der Lage, pro Berechnung nur jeweils eine
numerische Lösung zu liefern. Der Vorgang muss ggf. mit veränderten
Randbedingungen wiederholt werden. Das Wissen über den graphischen Verlauf von
Kurven und über die damit verbundene Anzahl möglicher Lösungen nimmt der TR
dem Benutzer nicht ab.
Ein erster Ansatz für mögliche Lösungen
liefert der Graphikmodus. Hier stehen
unter 2nd calc verschiedene
Möglichkeiten für konkrete Gleichungen
zur Verfügung.
Graphische Lösung:
Gesucht sind die Schnittpunkte von f(x) = -x² + 3x + 5 und g(x) = 2x² - 2.
1.
2.
3.
4.
Schritt: Eintragen der Funktionsterme in Y=
Schritt: Graphen zeichnen lassen
Schritt: 2nd calc 5:intersection
Schritt First curve Enter Second curve Enter Guess (Hier den Cursor in die
Nähe !! eines Schnittpunktes führen) Enter ; die Daten erscheinen.
5. Schritt: ggf. 1. bis 4. Schritt für den zweiten Schnittpunkt wiederholen.
Numerische Lösung:
Zur numerischen Berechnung der oben graphisch ermittelten Koordinaten der
Schnittpunkte muss die zu lösende Gleichung zunächst umgestellt werden.
Statt f(x) = g(x) kann der TI 83 Plus nur Gleichungen in der Form „0 = ...“ verarbeiten,
also hier „0 = f(x) – g(x)“.
Der Aufruf des Solvers erfolgt über
Math 0:Solver .
Bewegt man den Cursor in die oberste Zeile, so kann man die zu lösende Gleichung
eingeben. (Bild 1)
Über Enter gelangt man zum Lösungsmodul zurück. (Bild 2)
Unter x= sollte man eine erste Lösungsvermutung eingeben; hier reicht z. B. der
Wert x = -100 ( beim zweiten Durchlauf x = 100 ) . ( Bild 2 , Bild 3 )
Bild 1
Bild 2
Bild 3
Die Lösungen erhält man, indem man den Cursor auf die Zeile X = 100 bewegt und
dann ALPHA SOLVE wählt.
Lösung 1
Lösung 2
Die berechneten Lösungen erkennt man an den Punkten, wobei der Fehlerquotient
bei left-rt = 0 abzulesen ist: Differenz der rechten und linken Seite der Gleichungen.
Die entsprechenden Funktionswerte sind dann getrennt zu ermitteln.
Numerische Lösung mit Parametern:
Ein großer Vorteil des TI 83 Plus liegt in der Möglichkeit auch Parameter anzugeben.
Die Parameter können dann individuell vorgegebenen werden und der zu
bestimmende Parameter ist ebenfalls frei wählbar.
Als Beispiel soll die allgemeine Parabelgleichung f(x) = a x² + b x + c dienen.
Die Eingabe erfolgt wie oben beschrieben 0 = AX² + BX + C – D mit f(x) = D.
Bild 6
Bild 7
Speziell sind die folgenden Probleme für die Gleichung f(x) = -2x² + 3 x + 5 zu lösen:
1. Bestimmung eines Funktionswertes x = 2  f (2) = ? ( D = ? ).
2. Umkehrung des oberen Problems: Gesucht sind die Stellen, an denen
gilt: f(x) = 3  x = ? .
3. Bestimmung des Wertes eines Parameters f(x) = -2x² + b x + 5 ; bei
vorgegebenen Randbedingungen x = 2 ; f(2) = 4  b = ? .
zu 1: Einstellung siehe Bild 7; Cursor auf D = bewegen; ALPHA SOLVE
betätigen:
Lösung D = 3; also gilt f(2) = 3 .
zu 2: D = 3 und x = -100 wählen; Cursor auf x= ; ALPHA SOLVE ; Lösung 1;
D = 3 und x = 100 wählen; Cursor auf x= ; ALPHA SOLVE ; Lösung 2.
Lösung 1:
Lösung 2:
zu 3: A = -2 ; X = 2 ; B = ? ; C = 5 ; D = 4 ;
b = -100 wählen; Cursor auf b= ; ALPHA SOLVE ; Lösung B = 3,5 .
Hinweise: Wird kein Wert gefunden, etwa für die Gleichung 100 = -2x² + 3 x + 5 , so
erfolgt die Meldung: ERR: NO SIGN CHNG . Die Berechnung der Werte kann
beschleunigt werden, wenn man die Grenzen von vornherein einengt:
bound={-100,100}.