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Mathe Zusammenfassung II
[ Klasse 11c1 ]
1. Dieses Dokument ist eine Zusammenfassung. Sie dient nur zur Unterstützung und nicht als Ersatz.
Das Üben von Aufgaben ist unerlässlich.
2. Die Überschriften sind parallel zu denen im Heft oder im Buch.
3. Empfehlung: Die Kapitel der Zusammenfassung immer mit denen im Heft/Buch zu vergleichen.
4. Fkt = Funktion(en)
Wiederholung:
1. Grenzwertrechnung (= Limes)
1. Grenzwert für x  ∞
Grenzwerte bei sehr großem x.
Regeln zur Bestimmung von Grenzwerten gebrochenrationaler Fkt:
1. Regel: Zählergrad = Nennergrad (n = m), dann Grenzwert = an/bn
2. Regel: Zählergrad < Nennergrad (n < m), dann Grenzwert = 0
3. Regel: Zählergrad > Nennergrad (n > m), dann kein Grenzwert
[Erinnerung: 1. Regel und 3.Regel: Unecht gebrochenrational. 2. Regel: Echt gebrochenrational.]
Bsp:
limx∞ (3x – 5) / (6x + 3) = 3 / 6 = 0,5 (nach 1.Regel)
2. Grenzwert für x  – ∞
Grenzwerte bei sehr kleinem x.
Regeln zur Bestimmung von Grenzwerten sind dieselben wie bei x  ∞.
3. Rechnen mit Grenzwerten
F.S. 55/C 1
1. lim [f (x) ± g (x)] = lim f(x) ± lim g(x)
2. lim [f (x) * g (x)] = lim f(x) * lim g(x)
3. lim [f (x) / g (x)] = lim f(x) / lim g(x), falls lim g(x) ≠ 0
4. Aus lim f(x)  ∞ folgt: lim (1 / f(x)) = 0
Wichtige Grenzwerte F.S. 55 D (v anstatt x verwendet)
2. Lokale Aussagen
1. Differenzierbarkeit
1.1 Differenzquotient und Steigung
Lineare Fkt
Steigungsfaktor m = Δy / Δx = (y – y0) / (x – x0)
(x ≠ x0)
Gekrümmte Fkt
Bsp:
y = x² und P0 (1/1) ist gegeben
Differenzenquotient: mPPo = (y – y0) / (x – x0)
mPPo = (y – 1) / (x – 1)
mPPo = (x² – 1) / (x – 1)
mPPo = (x + 1) * (x – 1) / (x – 1)
mPPo = x + 1
Für Fortgeschrittene:
limx1 x + 1 = 2
m=2
(Steigung der Tangente in P0 (1/1))
Tangentengleichung:
y = mx + t
y = 2x + t
P0 (1/1) einsetzen
1=2*1+t
t = -1
 y = 2x – 1
1.2 Grenzwert einer Fkt für x  x0
x nähert sich nun nicht der Unendlichkeit, sondern einem Punkt x0
Die gleichen Rechenregeln wie bei x  ∞.
1. lim [f (x) ± g (x)] = lim f(x) ± lim g(x)
2. lim [f (x) * g (x)] = lim f(x) * lim g(x)
3. lim [f (x) / g (x)] = lim f(x) / lim g(x), falls lim g(x) ≠ 0
1.3 Ableitung einer Fkt an der Stelle x0
Vom Differenzenquotient zum Differenzialquotient (= Ableitung)
Differenzenquotient: mPPo = (y – y0) / (x – x0) = (f(x) – f(x0)) / (x – x0)
Wir wollen anstatt die Steigung eines Abschnittes (x – x0) die Steigung der Stelle x0.
Weil x ≠ x0 gilt, müssen wir also limxx0 einsetzen.
Differentialquotient/Ableitung: f’(x0) = limxx0 (f(x) – f(x0)) / (x – x0)
1.4 h-Methode (offiziell keine eigene Überschrift)
Hilfsvariable h: x = h + x0
Bsp: y = x²
Ableitung an der Stelle 4
f’(4) = limx4 (f(x) – f(4)) / (x – 4)
f’(4) = limx4 (x² – 16) / (x – 4)
h=x+4
f’(4) = limh0 ((h + 4)² – 16) / (h + 4 – 4)
f’(4) = limh0 (h² + 8h + 16 - 16) / h
f’(4) = limh0 (h² + 8h) / h
f’(4) = limh0 (h + 8)h / h
f’(4) = limh0 h + 8
f’(4) = 8
1.5 Differenzierbarkeit an der Stelle x0
Differenzierbarkeit = eindeutige Steigung in einem Punkt
limxxo+ (f(x) – f(x0)) / (x – x0) = limxxo- (f(x) – f(x0)) / (x – x0)
Bsp: y = |x|
(Betragsstriche)
(von rechts) f’(x0) = limxxo+ (|x| – 0) / (x – 0) = |x| / x = x / x = 1
(von links) f’(x0) = limxxo- (|x| – 0) / (x – 0) = |x| / x = -x / x = -1
1 und -1  nicht differenzierbar
[Erinnere: Für |x| wird bei x  0- ein –x eingesetzt.]
2. (Un-)Stetigkeit
2.1 Stetigkeit an der Stelle x0
Stetigkeit = kein Bruch in dem Graphen
limxxo+ f(x) = limxxo- f(x) = f(x0) wichtig
2.2 Unstetigkeit an der Stelle x0
Unstetigkeit gilt, wenn obiges nicht zutrifft.
Dafür in Frage kommende Fkt sind gebrochenrationale, (häufig) zusammen gesetzte und
Betragsfunktionen.
2.3 Stetig fortsetzbare Funktion
f(x)
D = R \ {x0}
Stetig fortsetzbar:
f’(x) = { f (x)
für x = D
{ limxx0 f(x) für x = x0
Bsp: f(x) = (x² + x) / x
D = R \ {0}
f(x) = x + 1
D = R \ {0}
limx0 f(x) = limx0 (x + 1) = 1

f’(x) = { (x² + x) / x für x = D
{1
für x = 0
2.4 Zusammenhang Stetigkeit und Differenzierbarkeit
differenzierbar  stetig
unstetig  nicht differenzierbar
Stetigkeit oder Undifferenzierbarkeit sagen nichts über das jeweils andere aus.
Bei der Stetigkeit vergleicht man die beiden limxxo von der Fkt f(x).
Bei der Undifferenzierbarkeit vergleicht man die beiden limxxo von dem
Differentialquotienten (f(x) – f(x0)) / (x – x0).
Extra: Ableitung der Sinusfunktion (war in der Stunde nicht da)
limx0 (sin x) / x = 1
F.S. 55 / D - rechts vierte Formel:
limx0 (sin ax) / x = a
3. Globale Aussagen
1. Stetigkeit in einem Intervall
Ist die Fkt f(x) im Intervall I = [a; b] stetig gilt:
- Extremwertsatz: Es gibt einen kleinsten und größten Funktionswert
- Zwischenwertsatz: Zu jedem y zwischen f(a) und f(b) gibt es min. ein x zwischen a und b
- Nullstellensatz: Wenn f(a) und f(b) verschieden Vorzeichen haben, gibt es mindestens eine
Nullstelle
F.S. 56/F 2,3,4
2. Differenzierbarkeit in einem Intervall
Erinnere: Differentialquotient f’(x0) = limxx0 (f(x) – f(x0)) / (x – x0)
Anstatt wie bei den lokalen Aussagen einen bestimmten Wert für x0 einzusetzen, wird x0
stehen gelassen und ausgerechnet. Ergebnis f’(x0) = Ableitungsfunktion.
- Anhang 1. K e r n a u s s a g e n
[Hintergrund: Steigungsfaktor m = (y – y0) / (x – x0)]
1. Differentialquotient/Ableitung: f’(x0) = limxx0 (f(x) – f(x0)) / (x – x0)
2. Differenzierbarkeit: limxxo+ (f(x) – f(x0)) / (x – x0) = limxxo- (f(x) – f(x0)) / (x – x0)
3. Stetigkeit: limxxo+ f(x) = limxxo- f(x) = f(x0)
4. Extremwert-, Zwischenwert- und Nullstellen-Satz
2. Zeichnen von Fkt
Das Zeichnen von Funktionen mittels Ausrechnen von bestimmten Punkten (z.B.
Schnittpunkte mit den Achsen) etc. sollte mit der Beherrschung des Lernstoffes kein Problem
darstellen.
Bei Unklarheit ist die Beispielsaufgabe im Heft vom 15.01.08 sehr zu empfehlen.
3. Allgemeine Hinweise
Ich empfehle (v.a. bei Unverständnis) für Erklärungen das Buch, in dem der gesamte
Unterrichtsstoff mit Beispielen gut veranschaulicht wird.
F.S. = siehe Formelsammlung
lim = limx∞  keine erlaubte Abkürzung
0 * ∞  keine Aussage
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Der Ersteller/CSP übernimmt keine Haftung für die Vollständigkeit und die Korrektheit der zur Verfügung gestellten Daten.