Fruehjahr07

Staatsexamensklausur für die Lehrämter L 1 (Wahlfach) / L 2 / L 5
Frühjahr 2007
Mathematik
Zugelassenes Hilfsmittel:
Einfacher nicht programmierbarer Taschenrechner
(ohne Lösemodule sowie sonstige Computeralgebrakomponenten und ohne Grafik)
Mathematischer Teil
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
Gewertet werden die drei besten Aufgaben.
1
Geometrie
Betrachten Sie die folgende Zeichnung. Für diese gelte |F1L| = |LF2|.
| AB | | CD |

| AL | | CL |
| AB | | CD |
b) Zeigen Sie, dass gilt:

| F1L | | F2 C |
1
1
1
c) Beweisen Sie diese Gleichung:


| F1L | | LC | | AL |
a) Zeigen Sie, dass gilt:
d) Es seien A = (-6  0), B = (-6  8), L = (0  0), F1 = (-2  0).
 Zeichnen Sie die Punkte in einem kartesischen Koordinatensystem.
 Konstruieren Sie analog zu obiger Zeichnung die Punkte S1, S2, F2, C und D und geben
Sie eine kurze Konstruktionsbeschreibung an.
e) Jetzt seien A = (-6  0), B = (-6  a), L = (0  0), F1 = (-2  0).
 Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte S1, S2, F2, C und D.
1
2
Algebra
a) Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem in den Unbekannten x, y und z über der
Menge aller reellen Zahlen in Abhängigkeit des Parameters d.
-(3-d)x + 15y - (2+2d)z =
41+ 5d
2(3-d)x - 47y + (7+7d)z = -144-10d
(3-d)x – 21y + (3+3d)z = -63- 5d
Geben Sie jeweils die Lösungsmenge an.
b) Berechnen Sie das inverse Element von [757] in Z2007 (also modulo 2007) sowohl bezüglich
der Addition als auch bezüglich der Multiplikation.
c) Geben Sie alle multiplikativ invertierbaren Elemente in Z15 an (ohne Beweis).
3
Analysis
a) Funktionen
Gegeben ist die Kurve H : = {(x, y): x, y  R und x·y + y  1 = 0}.
(1) Geben Sie die reelle Funktion h explizit durch einen Funktionsterm und den
Definitionsbereich an, welche als Graphen die Kurve H besitzt
(2) Zeichnen Sie die Kurve H.
(3) Bestimmen Sie die Gleichungen aller Tangenten an H, die durch den Punkt P = (1-2)
gehen.
Fügen Sie die Tangenten in Ihre Zeichnung ein.
(4) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Flächenstücks zwischen der Kurve H und dem
Graphen der Funktion f mit f(x) = 1 – x2.
Vervollständigen Sie Ihre Zeichnung.
Hinweise:
 Die Kurve H ist eine im Koordinatensystem verschobene Normalhyperbel.

Falls Sie den Funktionsterm der Funktion h nicht finden, so arbeiten Sie (bei
Punkteabzug) anstelle der Kurve H und des Punktes P
mit dem Graphen G der Funktion g mit g(x) =
1
x
1
und mit dem Punkt Q = (00).
b) Folgen
Die Zahlenfolge (xn)n1 ist rekursiv definiert durch
(a) x1 = 1 und
(b) xn+1 = a·xn + 1,
wobei a eine nicht negative reelle Zahl ist.
(1) Zeigen Sie: Die Folge (xn)n1 hat nur nicht negative Folgenglieder.
(2) Bestimmen Sie diejenigen Werte von a, für welche die Folge (xn)n1 konvergiert, und
geben Sie jeweils den Grenzwert an.
Hinweis: Betrachten Sie zunächst die Fälle a = 0 und a = 1.
(3) Geben Sie eine explizite Formel für die Folge (xn)n1 an.
2
4
Stochastik
a) Zufallsversuche
S will Blumen kaufen. Sechs Tulpen. Im Blumenladen befinden sich in einer großen Vase –
bunt durcheinander – rote, weiße und gelbe Tulpen. Zehn Stück von jeder Sorte, sagt die
Verkäuferin.
(1) Wie viele verschiedene Sträuße sind für S denkbar, wenn ihn nicht die Anordnung der
Blumen im Strauß, sondern nur die Anzahl der roten, weißen und gelben Tulpen im
Strauß interessiert?
(2) Wie viel Prozent der (in (1) beschriebenen) Möglichkeiten sind (genau) zweifarbig?
(3) S zieht „blind“ (also rein zufällig) sechs Tulpen aus der Vase. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit wird der Strauß „genau zweifarbig“?
(4) Wie oft (mindestens) müsste S (rein zufällig) nacheinander je eine Tulpe aus der Vase
ziehen, damit er dabei mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% wenigstens
eine weiße Tulpe gezogen hat,
(a) wenn er die gezogene Tulpe jeweils wieder zurücksteckt,
(b) wenn er die gezogene Tulpe jeweils nicht zurücksteckt?
b) Binomialverteilung
Gegeben ist eine reelle Zufallsvariable X, die binomial verteilt ist nach b6; 0,2.
(1) Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung (der Verteilung) von X.
(2) Beschreiben Sie ein Zufallsexperiment und eine dabei beobachtbare Zufallsgröße Y,
die binomial verteilt ist nach b6; 0,2.
3
Mathematikdidaktischer Teil
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
Beide Aufgaben sind zu bearbeiten.
Hinweis: Alle Teile der Aufgaben 5 und 6 lassen sich unabhängig voneinander bearbeiten.
5
Konstruieren und Beweisen im Geometrieunterricht
a) Konstruieren
Aufgabe:
Zu einer gegebenen Strecke soll das Mittellot (die Mittelsenkrechte) konstruiert werden.
(1) Erläutern Sie an dieser Aufgabe, was eine geometrische Konstruktionsaufgabe ist.
(2) Beurteilen Sie die folgende Lösung der Aufgabe:
 Lege die Hypotenuse eines GEO-Dreiecks so an die Strecke, dass an deren
Endpunkten A, B dieselben Maßzahlen des Längenmaßstabes stehen.
 Markiere auf der Strecke den Punkt M zur „0“ des Längenmaßstabes.
 Lege die Symmetrieachse eines GEO-Dreiecks
so auf die Strecke, dass die „0“ des
Längenmaßstabes mit dem Punkt M
zusammenfällt.
 Zeichne längs der Hypotenuse des GEOMittellot
Mittellot
Dreiecks das Mittellot der Strecke.
P
A
R
M
00
0
Q
B
A
B
M
0
b) Beweisen
(1) Formulieren Sie den Satz über die Winkelsumme in Vierecken.
(2) Was leistet die folgende Handlung, um die Richtigkeit des Satzes aus (1) einzusehen?
 Schneide aus Papier ein Viereck ABCD aus.
 Reiße die Ecken des Vierecks ab.
 Lege die abgerissenen Ecken zu einem Vollwinkel zusammen.
D
C
A
B
(3) Erklären Sie anhand des Satzes über die Winkelsumme in Vierecken,
 weshalb in der Geometrie bewiesen wird,
 was als Beweis zählt (wie man beweisen soll), und was kein Beweis ist.
4
6
Arithmetik in der Sekundarstufe I
Im Mathematikunterricht bis Klasse 10 begegnen dem Schüler
• natürliche Zahlen,
• Bruchzahlen (in der Form von „Kommazahlen“, gewöhnlichen und dezimalen Brüchen),
• positive und negative Zahlen,
• zuletzt alle reellen Zahlen,
und er lernt, mit solchen Zahlen zu rechnen (schließlich „gedankenlos“).
a) Beschreiben Sie zu den genannten Zahlarten Grundverständnisse (Grundvorstellungen),
die im Mathematikunterricht vermittelt werden sollen.
b) Welches Grundverständnis (welche Grundvorstellung) lässt sich mit dem Multiplizieren
(dem Produkt)
(1) zweier natürlicher Zahlen,
(2) zweier Bruchzahlen,
(3) zweier positiver / negativer Zahlen
verbinden?
c) Wie kann man dem Schüler klar machen, dass die Setzungen
(1) m/n · p/q
def=
(2) Plus · Minus
Minus · Plus
Minus · Minus
def=
m
/n von p/q
Minus
Minus
def= Plus
def=
vernünftig sind?
5