Proseminar-Inhalt hier als

Institut für Politikw issenschaft ,
Universität Innsbruck
SS 2014
Ass.Prof. Dr.Christian Traweger
Universität Innsbruck
Institut für Politikwissenschaft
[email protected]
Grundlagen der empirischen Sozialforschung
 Problemformulierung
 Bestimmung der Erhebungsmethode
 Fragebogenerstellung
 Stichprobenplanung/-größe
 Datenerhebung
 Prüfung auf Plausibilität bzw. Interviewerkontrolle
 Prüfung auf Repräsentativität
 Datenanalyse und Auswertung
 Ergebnisbericht
 Interpretation und Umsetzung der Ergebnisse
2
PROBLEMFORMULIERUNG:
Im ersten Stadium soll festgelegt werden, was recherchiert, analysiert bzw. erhoben
werden soll (Projekterfassung). Ziel dieser Phase ist es, ein klares und verständliches Bild
dessen zu erhalten, was letztendlich abgefragt werden soll. Was sind die Ziele?
Parteipräferenzen, Politikerimages, Sachthemen, Bürgermeisterdirektwahl, …..
BESTIMMUNG DER ERHEBUNGSMETHODE:
Welche Erhebungsmethode im Einzelnen gewählt wird, richtet sich natürlich nach dem
jeweiligen Untersuchungsanliegen und hier speziell danach, ob und wie der
Informationsbedarf am ergiebigsten, ökonomischsten und/ oder schnellsten durch eine
Erhebung gedeckt werden kann. Einen wesentlichen Einflussfaktor auf die Bestimmung
der Erhebungsmethode bildet das zur Verfügung stehende Budget.
Grundsätzlich unterscheidet man 4 Arten von Interviews:
Vorteile
Nachteile
Persönliches Interview
Schriftliches Interview
Telephoninterview
Onlinebefragung
Der Trend geht immer mehr zu Telefoninterviews. (CATI=Computer Assisted Telephone
Interviews). Dabei werden die Interviews in Telefonlabors durchgeführt, im Rahmen der
Stichprobenplanung werden die anzurufenden Personen ausgewählt,
die
Telefonverbindung wird entweder manuell oder direkt vom Computer hergestellt und der
Interviewer liest den Fragebogen vom Bildschirm ab und kodiert die Ergebnisse sofort in
den Computer.
3
FRAGEBOGENERSTELLUNG:
Es gibt:
- offene Fragestellungen: jede Antwort ist denkbar; Gruppenbildung für Auswertung;
Vorsicht: nicht zu viele, da keine statistischen Tests durchgeführt werden können!!
z.B.: Nehmen wir an, Sie wären in Ihrer Gemeinde in der Politik tätig, welches Problem
bzw. welche Maßnahme würden Sie sofort angehen ? …………………………
- geschlossene Fragestellungen:
- dichotome Fragen: zwei Antworten zur Auswahl
z.B: Fühlen Sie sich über das Gemeindegeschehen ausreichend informiert?
 Ja  Nein
- Multiple choice, Alternativfragen: drei oder mehr Alternativen stehen zur Auswahl,
entweder 1 oder mehrere Antwortmöglichkeiten
z.B: Aus welchen Printmedien beziehen Sie die Informationen über die Politik im Land
Tirol? (Nennen Sie die zwei häufigsten Informationsquellen)
 Tiroler Tageszeitung
 Standard
 Kronenzeitung
 andere Tageszeitung
 Kurier
 Sonstige Wochenzeitungen
- Likert-Skala: eine Aussage, mit der die Befragten den Grad ihrer
Zustimmung bzw. Ablehnung angeben können.
z.B: In Österreich wird derzeit eine gute Politik gemacht.
Stimme ich
Stimme ich
UnentStimme
Stimme ich
überhaupt nicht zu
nicht zu
schieden
ich zu
voll zu





- Semantisches Differential: Bipolare Skala mit adjektivischen Gegensatzpaaren. Der
Befragte sucht sich eine Stelle aus, die tendenziell oder graduell seine Meinung anzeigt.
(!! Auswertung nicht eindeutig, Verwendung mehr in Psychologischen Bereichen!!)
z.B: Die Politik ist: modern ------------- altmodisch
- Beurteilungsskala: vorgegebene Beurteilungswerte
z.B: Wie beurteilen Sie die Möglichkeit, dass man bereits ab 16 Jahre wählen kann ?
 sehr gut  gut  mittelmäßig  schlecht  sehr schlecht
4
Finden sich im Fragebogen sogenannte "Antwortbatterien", das heißt, viele Fragen mit
den gleichen Antwortmöglichkeiten hintereinander (z.B. Einstellungs-, Polaritätsprofile),
dann kann beim Interviewten ein Drang und "Zwang" nach Vollständigkeit beim
Beantworten entstehen, der in der Folge leicht zu willkürlichen Angaben führt.
Skalierungen:
Im Rahmen der Fragebogenerstellung sollte man sich bereits Gedanken über die
verschiedenen Skalierungen zu machen:
- nominal (z.B.: Haarfarbe, ja/nein-Fragen, Codierung spielt keine Rolle)
- ordinal (es liegt eine Ordnung vor, z.B.: Schulnoten, Beurteilungen,...)
- metrisch bzw. quantitativ (Intervallskala, Verhältnisskala, z.B.: Gewicht,
Alter, Einkommen - nicht gruppiert)
5
STICHPROBENPLANUNG:
Eine Stichprobe ist ein Teil der Grundgesamtheit (z.B.: Tiroler Bevölkerung). Damit die
Ergebnisse der Erhebung auf die Grundgesamtheit bezogen werden können (repräsentativ
sind), muß die Stichprobe, hinsichtlich verschiedener Merkmale, ein genaues Abbild der
Grundgesamtheit sein. (verkleinert aber wirklichkeitsgetreu)
Wie wählt man nun einen bestimmten Teil der Grundgesamtheit aus ?
Man unterscheidet :
- Systematische Verfahren:
- Quotenverfahren
- systematische Auswahl
- Zufallsstichprobe:
- Einfache Zufallsstichprobe
- geschichtete Zufallsstichprobe
- Klumpenstichprobe
Quotenauswahl: Verteilung der Merkmalsausprägungen wird gezielt erreicht
z.B. Gesamtzahl der Interviews: 10
Stadtteil:
A
5
B
3
C
2
Geschlecht: männl.
6
Weibl.
4
Alter:
18- 30J
3
31- 50 J
4
über 50J
3
Beruf:
Arbeiter/Angest.
2
Jahreseinkommen: - 15.000
Beamter/VB
1
15.001- 30.000
Selbst.
1
über 30.000
Hausf/-m
2
Pension
2
Ausbildg
1
Sonstiges(K/AL) 1
3
5
2
6
systematische Auswahl: typische Auswahl
(!!ist kein methodisch gesichertes, den Repräsentationsschluss ermöglichendes
Verfahren!!)
Man greift nach freiem Ermessen solche Elemente aus der Grundgesamtheit heraus, die
als besonders charakteristisch und typisch erachtet werden und schließt von den erzielten
Ergebnissen entsprechend auf die Grundgesamtheit. (Welche Elemente sind typisch?; in
welchem Umfang kann verallgemeinert werden???)
Einfache Zufallsstichprobe:
(Urnenmodell)
Die Elemente, die in das
Stichprobensample eingehen, werden unmittelbar aus der Grundgesamtheit gezogen.
Voraussetzung: Vollständigkeit der Grundgesamtheit, gleiche Auswahlchance.
- Systematische Zufallsauswahl: Startpunkt t, s = N/ n
- Schlussziffernverfahren: aus durchnummerierten Datei werden jene Elemente mit
best. Schlußziffer genommen
- Buchstabenauswahl: Stichprobe = all jene Elemente, deren Nachname best.
Anfangsbuchstaben hat
Geschichtete Zufallsstichprobe: Grundgesamtheit wird in mehrere Untergruppen
(Schichten) aufgeteilt, aus denen dann jeweils die, in die Gesamtstichprobe eingehenden
Elemente, mittels eines reinen Zufallsverfahrens ausgewählt werden.
z.B: nach Altersgruppen
Klumpenauswahl: Grundgesamtheit wird in Klumpen (Flächen) unterteilt und dann
wird rein zufällig eine bestimmte Zahl dieser Klumpen ausgewählt und mit allen ihren
Elementen in das Sample einbezogen. Nicht einzelne Elemente, sondern ganze Gruppen
bilden die Auswahleinheit – !! die Grundgesamtheit muß vollständig vorliegen.
z.B: (Städteplanung) Planquadrate eines Stadtplans, oder Häuserblocks
( Die gezogenen Klumpen gehen entweder als Gesamtheit in die Stichprobe ein, oder es
werden aus ihnen wiederum Teilstichproben nach einfacher Zufallsauswahl gezogen)
Als ein besonders verbreitetes Beispiel für ein mehrstufig geschichtetes
Auswahlverfahren wird der folgende Musterstichprobenplan (mit 3 Auswahlstufen), der
von zahlreichen
führenden Marktforschungsinstituten für repräsentative
Bevölkerungsumfragen entwickelt wurde, angeführt:
7
1) Auswahl von sample-points: Dabei erfolgt ein sogenanntes area sampling, das
heißt es werden im Rahmen einer Zufallsauswahl Gemeinden oder Bezirke
ausgewählt.
2) Auswahl von Haushalten in den gezogenen sample-points (Zufällige Auswahl der
Haushalte aus Adressenlisten oder Telefonbüchern)
3) Auswahl der Zielpersonen in den gezogenen Haushalten (z.B.: Auswahl der Person
fortlaufend nach dem Alter oder Vornamensalphabetisch)
Eine wesentliche Bedingung für die Durchführung einer Zufallsauswahl ist, daß das
„Personenmaterial“ vollständig katalogisiert sein muß:
„Jedes Element muß die gleiche Chance haben ausgewählt zu werden“.
(Beginn der Auswahl über eine Zufallszahl).
Die Größe der Stichprobe ist meist aus finanziellen Überlegungen determiniert. Ein
wesentlicher Indikator zur Bestimmung der Größe der Stichprobe ist jedoch der
Stichprobenfehler: Das heißt, wie exakt sind die Ergebnisse bzw. wie exakt sollen die
Ergebnisse sein ? (Nicht zu verwechseln mit der Repräsentativität !!!)
(Totalerhebung) Vollerhebung vs. Teilerhebung
Stichprobenfehler:
da man noch keine Ergebnisse vorliegen hat, geht man von
einem Antwortverhalten 50:50 aus. („ungünstigster Fall“)
Stichprobenfehler e =
1,96 2  p  (1  p)
n
p = Anteile in %
z.B: Umfrage in Innsbruck; N=300 Wie groß ist Stichprobenfehler? +/-......%
Beträgt der Stichprobenumfang mehr als 5% der Grundgesamtheit, so wird die
Schwankungsbreite mit Hilfe der Endlichkeitskorrektur (EK) berechnet
StichprobenfehlerEK =
1,96 2  p  (1  p)  ( N  n)
n  ( N  1)
p = Anteile in %, N = Grundgesamtheit
8
Stichprobenumfang:
Der Marktforscher weiß von den Umständen der jeweiligen Aufgabenstellung her und in
Abstimmung mit dem jeweiligen Auftraggeber.......
- wie genau das Stichprobenergebnis sein muß (Intervall)
- mit welcher Sicherheit diese Aussage getroffen werden soll (95% Sicherheit.)
n = 1,962
.
p  (1  p)
e2
n......Stichprobenumfang
p......Anteil der Befragten, die eine best.Antwort gaben
e......Stichprobenfehler, Schwankungsbreite
z.B. Umfrage Innsbruck: Wie groß muss Stichprobe sein, bei e = +/-5,6%
9
Die anschließende Tabelle gibt Aufschluß über den Stichprobenfehler bei
unterschiedlichen Stichprobenumfängen und Anteilen: (ohne Endlichkeitskorrektur, nur
für große Grundgesamtheiten)
p........Anteil (Soviele Prozent geben eine bestimmte Antwort)
n........Stichprobenumfang
Stichprobenfehler in %
Anteile in %
10 / 90 15 / 85 20 / 80 25 / 75 30 / 70 35 / 65 40 / 60 45 / 55 50/50
=0,1
=0,15
=0,2
=0,25
=0,3
=0,35
=0,4
=0,45
=0,5
n=
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1500
2000
2500
3000
5,88%
4,16%
3,39%
2,94%
2,63%
2,40%
2,22%
2,08%
1,96%
1,86%
1,52%
1,31%
1,18%
1,07%
7,00%
4,95%
4,04%
3,50%
3,13%
2,86%
2,65%
2,47%
2,33%
2,21%
1,81%
1,56%
1,40%
1,28%
Stichprobenfehler =
7,84%
5,54%
4,53%
3,92%
3,51%
3,20%
2,96%
2,77%
2,61%
2,48%
2,02%
1,75%
1,57%
1,43%
8,49%
6,00%
4,90%
4,24%
3,80%
3,46%
3,21%
3,00%
2,83%
2,68%
2,19%
1,90%
1,70%
1,55%
8,98%
6,35%
5,19%
4,49%
4,02%
3,67%
3,39%
3,18%
2,99%
2,84%
2,32%
2,01%
1,80%
1,64%
1,96 2  p  (1  p)
n
9,35%
6,61%
5,40%
4,67%
4,18%
3,82%
3,53%
3,31%
3,12%
2,96%
2,41%
2,09%
1,87%
1,71%
9,60%
6,79%
5,54%
4,80%
4,29%
3,92%
3,63%
3,39%
3,20%
3,04%
2,48%
2,15%
1,92%
1,75%
9,75%
6,89%
5,63%
4,88%
4,36%
3,98%
3,69%
3,45%
3,25%
3,08%
2,52%
2,18%
1,95%
1,78%
9,80%
6,93%
5,66%
4,90%
4,38%
4,00%
3,70%
3,46%
3,27%
3,10%
2,53%
2,19%
1,96%
1,79%
p = Anteile in %
Beispiel:
Bei einer Umfrage unter 500 Innsbruckern geben rund 25% an, daß sie ÖVP wählen. Man
kann nun behaupten, daß der tatsächliche Anteil jener Personen, die ÖVP wählen, mit
einer Wahrscheinlichkeit von 95%, zwischen 21,2% und 28,8% liegt (=+- 3,8%).
Beträgt der Stichprobenumfang mehr als 5% der Grundgesamtheit, so wird die
Schwankungsbreite mit Hilfe der Endlichkeitskorrektur (EK) berechnet
StichprobenfehlerEK =
1,96 2  p  (1  p)  ( N  n)
n  ( N  1)
p = Anteile in %, N = Grundgesamtheit
10
DATENERHEBUNG:
In dieser Phase werden nun die Interviews
- persönlich
- telefonisch
durch geschulte Interviewer
- oder postalisch durchgeführt.
Dieser Abschnitt wird auch als Feldarbeit bezeichnet.
Werden mehrer Auftraggeber in einer Umfrage mit verschiedenen Themen
zusammengefasst, so spricht man von ein OMNIBUSUMFRAGE.
PRÜFUNG AUF PLAUSIBILITÄT bzw. INTERVIEWERKONTROLLEN:
Dies ist sowohl eine visuelle wie auch computergestützte Kontrolle der erhobenen
Interviews. Dabei handelt es sich einerseits um einen Vergleich von eingebauten
Kontrollfragen (z.B.: Haushaltstyp, Haushaltsgröße, Familienstand, Kinder,...) bis hin zur
direkten Kontaktaufnahme der interviewten Person und Befragung zur
Interviewdurchführung und zum Verhalten des Interviewers.
In modernen Interviewcallcenters wird diese Überprüfung unter anderem auf die
entsprechende Telefonsoftware ausgeweitet, wo alle Interviews (=Gespräche) hinsichtlich
ihrer Dauer und Rufnummer genau aufgezeichnet werden.
(Nur zur internen Kontrolle, DATENSCHUTZ!!)
PRÜFUNG AUF REPRÄSENTATIVITÄT:
Ziel einer repräsentativen Umfrage ist es, ein möglichst exaktes Abbild der zu
befragenden Bevölkerung zu erhalten: (z.B.: bei politischen Umfragen  ein Abbild der
wahlberechtigten Bevölkerung). Anders ausgedrückt: die Untersuchung soll Aufschlüsse
über die Grundgesamtheit bringen und um dies zu erreichen muß aus dem Ergebnis der
Teilerhebung möglichst sicher und exakt auf die Verhältnisse der Gesamtmasse
geschlossen werden können. Die Grundgesamtheit soll sich also in Bezug auf
verschiedene Merkmale in der Stichprobe wiederfinden.
In der Regel wird die Repräsentativität in Bezug auf die Merkmale
Geschlecht, Alter und Bildung
überprüft.
11
DATENANALYSE UND AUSWERTUNG:
Bei der Datenanalyse ist auf das vorliegende Skalenniveau zu achten; dementsprechend
werden Modus, Median oder Mittelwert zur Interpretation verwendet. Bei den
durchzuführenden Testverfahren ist ebenfalls auf diese Unterscheidung zu achten.
Welche Maßzahlen und Graphiken sinnvoll sind richtet sich nach dem Variablentyp bzw.
dem Skalenniveau:
Variablentyp
Nominal
Ordinal
Metrisch
Maßzahlen
Häufigkeitstabelle, Modus
Häufigkeitstabelle,
Modus, Median, Quantile
Min., Max., Median,
Mittelwert, Std.Dev., Std. Err.;
Graphische Darstellung
Balken-/Kreisdiagramm
Balkendiagramm
Kreisdiagramm
Boxplots
Histogramm,....
Hinsichtlich graphischer Aufbereitung von Daten sind dem Marktforscher nahezu keine Grenzen gesetzt;
obenstehende Tabelle erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit sondern dient lediglich als ein
möglicher Leitfaden.
So wie an dieser Stelle im Rahmen der deskriptiven Statistik die einzelnen Maßzahlen
nach Variablentypen unterschieden werden, so müssen bei der bivariaten statistischen
Analyse (Sommersemester) auch die unterschiedlichen Testverfahren berücksichtigt
werden.
ERGEBNISBERICHT:
Der Ergebnisbericht sollte die Auswertung (tabellarisch, graphisch und verbal) jeder
einzelnen Frage beinhalten. In weiterer Folge sollen bei jeder Fragestellung zu
interessierende Hypothesen überprüft werden.
INTERPRETATION UND UMSETZUNG DER ERGEBNISSE:
In dieser Phase sollten mit dem Auftraggeber noch die Ergebnisse der Erhebung analysiert
werden und eventuell eine schriftliche Kurzfassung der wesentlichen Ergebnisse erfolgen.
Bei der Hilfe zur Umsetzung empfiehlt sich eine interdis-ziplinäre Zusammenarbeit mit
entsprechenden Fachleuten.
12
Deskriptive Statistik:
Häufigkeitsverteilungen:
Beispiel: Beurteilung der derzeitigen politischen Situation in Österreich
(mit Schulnoten; n=24)
Note:
xi (absolute
hi (relative Häufigkeit)
Häufigkeit)
Hi (kumulierte
Häufigkeit)
1
2
8,3
8,3
2
4
16,7
25,0
3
9
37,5
62,5
4
6
25,0
87,5
5
3
12,5
100,0
Summe
24
100,0
Berechnung der relativen Häufigkeit:
Berechnung von h2 = (x2/N)*100 = 16,7 %
Berechnung der kumulierten Häufigkeiten:
Berechnung von %H3 = h1 + h2 + h3 = 8,3 + 16,7 + 37,5 = 62,5 %
Die Verteilungskurve ergibt sich aus:
Ausgangshistogramm
Kurvenpolygon in Histogramm eintragen
Glätten des Kurvenpolygons ergibt eine Dichtekurve
13
Statistische Maßzahlen:
Maßzahlen sind Kenngrößen einer Verteilung, mit denen sich deren charakteristische
Eigenschaften in komprimierter Form darstellen lassen.
A) Maßzahlen der Lage
Modus: xModus  hi max
Definition: Der Modus ist der häufigste Wert der absoluten (Mess)-werte
Arithmetisches Mittel :
x
1 N
*  xi
N i 1
Def: Der Mittelwert (Mean; arithm. Mittel) ist die Summe aller Messwerte, geteilt durch
ihre Anzahl.
Exkurs : arithmetisches Mittel bei vorgegebenen Klassenbreiten:
x
1 k
*  xi * xmi
N i 1
Bsp:
Klasse
1
2
3
4
x
IQ-Intervall
80 – 100
101 – 121
122 – 142
143 – 163
Klassenmitte xmi
90
111
132
153
xi
4
9
9
3
Σ= 25
xi xmi
360
999
1188
459
Σ= 3006
1 k
*  xi * xmi = 1/25 * 3006 = 120,24
N i 1
Median :
n ist ungerade: z  x( n 1) / 2
n ist gerade: z 
xn / 2  x( n / 2)1
2
Def: Der Median (auch als Zentralwert bezeichnet) ist derjenige Punkt der Messwertskala,
unterhalb und oberhalb dessen jeweils die Hälfte der Messwerte liegen.
14
Quantile:
In der Praxis werden meist spezielle Quantile verwendet:
Quartile: Einteilung in vier Abschnitte zu je 25%
Dezile: Einteilung in 10 Abschnitte zu je 10%
Perzentile: Einteilung in 100 Abschnitte zu je 1%
Die besonders häufig verwendeten Quartile sind:
Q1 : 1.Quartil = x 0,25
Q2 : 2.Quartil = x 0,5 = z (Zentralwert) =Median
Q3 : 3.Quartil = x 0,75
Mit Hilfe der Werte min, Q1, z, Q3, max. lässt sich ein Box-Plot-Diagramm zeichnen, das
einen guten Einblick über die Verteilung der Daten gibt.
Schiefe und Wölbung:
Die Schiefe gibt Auskunft darüber inwiefern eine vorliegende metrische Verteilung
rechtsschief, symmetrisch oder linksschief ist.
gm= 0  symmetrisch
gm > 0  linkssteil (rechtsschief)
gm < 0  rechtssteil (linksschief)
Die Wölbung erklärt, ob eine Verteilung sehr steil oder eher flach ist.
γ = 0  Normalverteilung
γ > 0  spitze Verteilung
γ < 0  flache Verteilung
15
B) Maßzahlen der Streuung (nur sinnvoll bei metrischen Merkmalen)
Interquartilsabstand: Ist die Differenz zwischen oberem und unterem Quartil
IQR = x 0,75 – x 0,25
Empirische Varianz: s2 =
1 k
*  ( xi  x ) 2
N i 1
k

1
* ( xi  x ) 2
N  1 i 1
Varianz der Stichprobe: s2 =
Def: Varianz s2 von N- Messwerten xi ist definiert als die Summe der quadrierten
Differenzen (xi - x ) dividiert durch ihre Anzahl.
Standardabweichung: s = s 2
Def: Die Standardabweichung s ist definiert als Quadratwurzel aus der Varianz.
Normalverteilung: Messwertverteilung unter der Glockenkurve
x ±s
= ca. 68% der Meßwerte
x ±2s
= ca. 95% der Meßwerte
x ±3s
= ca. 99,7% der Meßwerte
Standardfehler des Mittelwertes:
sx =
s
N
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegt der wahre Mittelwert in einem Intervall von
x ± 2 sx
.
Variationskoeffizient: VK =
s  100
%
x
Def: Der Variationskoeffizient ist ein Maß, inwieweit die Verteilung homogen ist. Bei
einem Variationskoeffizient von über 50% ist die Verteilung so inhomogen, dass man den
Mittelwert als Maßzahl besser nicht verwendet.
16
Grafische Darstellungen von Verteilungen
 Boxplot (Kasten-Diagramm)
1600,00
ek
1400,00
1200,00
1000,00
Die Fünf-Punkte Zusammenfassung einer metrischen Verteilung führt
zur komprimierten Visualisierung einer Verteilung durch den BoxPlot. Es lässt sich schnell ein Eindruck darüber gewinnen, ob die
Beobachtungen z.B. annähernd symmetrisch sind, oder ob Ausreißer
in dem Datensatz auftreten.
Der Box-Plot besteht aus:
- x0,25 = Anfang der Schachtel ("box")
- x0,75 = Ende der Schachtel
- Der Median wird durch einen Punkt oder eine Linie in der Box
markiert
- Zwei Linien "whiskers" außerhalb der Box gehen bis zu xmin und
xmax,
17
Der modifizierte Box-Plot berücksichtigt etwaige Ausreißer, die
unterhalb bzw. überhalb der bestimmter Grenzen liegen, quasi
außerhalb der Zäune (zu und zo) sich befinden.
Zur Berechnung der Zäune benötigt man den Interquartilsabstand:
(dQ = x0,75 - x0,25 )
Die oberen und unteren Grenzen für Ausreißer errechnen sich aus:
zu = x0,25 – 1,5* dQ
zo = x0,75 + 1,5* dQ
Auf diese Weise werden die sogenannten Ausreißer, außerhalb der
Zäune im Box-Plot markiert.
18
Statistisches Testen:
Mit Hilfe statistischer Tests überprüft u.a. ob zwischen Gruppen wie
z.B. Männer und Frauen im Antwortverhalten auf eine zu
untersuchende Fragestellung hin statistisch signifikante Unter-schiede
bestehen, oder ob zwischen zwei Variablen (Frage-stellungen)
Zusammenhänge existieren.
Folgende Tabelle zeigt eine Auswahl statistischer Tests zur
Überprüfung von Unterschieden zwischen Gruppen und zur
Überprüfung von Zusammenhängen zwischen Variablen bzw.
Fragestellungen:
Skalierung Unterschiedsverfahren
Zusammenhangsverfahren
Nominal
Chiquadrattest
Kontingenzkoeffizient
Ordinal
N=2 Stichproben: Mann Whitney U-Test
Rangkorrelationskoeffizient
nach Spearman
n>2 Stichproben: Kruskal-Wallis Test
Metrisch
Varianzanalyse;
Voraussetzungen zur Durchführung:
Normalverteilung
Varianzhomogenität
Korrelationskoeffizient nach
Pearson
19
Hypothesenformulierung:
Im Rahmen der bivariaten Analyse stellt sich die Frage durch welche
demographischen Merkmale die Antworten besonders beeinflußt
werden. Unterscheiden sich z.B.: Männer und Frauen im Hinblick auf
ihren Wunschurlaub.
Dabei interessiert man sich nicht nur für die Unterschiede in der
Stichprobe, sondern man will prüfen, ob die in der Stichprobe
festgestellten Unterschiede auch für die Grundgesamtheit Gültigkeit
haben. Man kann also über die Grundgesamtheit nur Vermutungen
anstellen. Dieses Vermutungen bezeichnet man als Hypothesen.
Es gibt zwei Arten von Hypothesen:
- Nullhypothese: H0
- Alternativhypothese: H1
Im Rahmen der Nullhypothese vermutet man, daß z.B. zwischen
Männern und Frauen kein (=Null) Meinungsunterschied besteht und
als Alternativhypothese nimmt man an, daß dieser Unterschied
gegeben ist. Die Ergebnisse der Stichprobe der Befragten dienen
dazu, sich für eine der beiden Hypothesen zu entscheiden. Bei der
Entscheidung für die Alternativhypothese möchte man möglichst
sicher sein; d.h. man möchte sich bei der Entscheidung für die
Alternativhypothese
"möglichst
wenig
irren".
Diese
Wahrscheinlichkeit, dass man sich irrt und die Alternativhypothese
gewählt hat, obwohl in der Realität (bezogen auf die
20
Grundgesamtheit) doch die Nullhypothese zutrifft, bezeichnet man als
Irrtumswahrscheinlichkeit. Diese wird von den meisten StatistikSoftware-Produkten exakt berechnet.
Das gängigste Verfahren dazu sind die Signifikanztests.
Zur Überprüfung der
herangezogen werden:
Hyppothesen
kann
folgendes
Schema
In der Grundgesamtheit gilt
H0
H1
H0 richtig Entsch. Beta-Fehler
Entscheidung auf Grund
der Stichprobe zugunsten
der:
H1 Alpha-Fehler richtige Entsch.
Als Signifikanzniveau wird in der klassischen Statistik ein =0.05
herangezogen, das heißt: beträgt das errechnete Signifikanzniveau
0.05, dann wird die Nullhypothese verworfen. Dieses Alpha
bezeichnet man auch als Irrtumswahrscheinlichkeit.
21
Unterschiedsverfahren:
Der Chiquadrattest:
Mit Hilfe der Chiquadrattests untersucht man, ob bei nominalen
Variablen Unterschiede zwischen Stichproben bestehen.
Der Chiquadratwert nach Pearson wird nach folgender Formel
berechnet:
n
2  
i 1
(O  E ) 2
E
O....... sind die beobachteten Häufigkeiten (=observed values)
E....... sind die erwarteten Häufigkeiten (=expected values), das
sind jene Häufigkeiten, die man sich bei völliger Unabhängigkeit zwischen den Stichproben erwartet hätte.
Die erwarteten Häufigkeiten werden nach folgender Formel
berechnet:
e
ij

ci*r j
N
c......Spaltensumme
r.......Zeilensumme
N......Gesamtstichprobe
22
Fragestellung:
Unterscheiden sich Männer von Frauen hinsichtlich Ihrer
Parteipräferenz ?
H0: Es gibt keine Unterschiede zwischen Männern und Frauen in der
Parteipräferenz
H1: Es gibt signifikante Unterschiede zwischen Männern und Frauen
hinsichtlich der Parteipräferenz.
SPSS-Output:
Geschlecht * Gemeinderatswahl Innsbruck Kreuztabelle
Geschlecht
männlich
weiblich
Gesamt
Liste für
Innsbruck
47
Freie Liste
5
(andere Liste /
Partei)
24
Gesamt
238
47
SPÖ
43
19,7%
19,7%
18,1%
21,8%
4,2%
4,2%
2,1%
10,1%
100,0%
% von GRW
Anzahl
% von Geschlecht
47,5%
52
42,7%
63
43,0%
57
47,7%
57
71,4%
4
55,6%
8
35,7%
9
42,9%
32
45,8%
282
18,4%
22,3%
20,2%
20,2%
1,4%
2,8%
3,2%
11,3%
100,0%
% von GRW
Anzahl
% von Geschlecht
52,5%
99
57,3%
110
57,0%
100
52,3%
109
28,6%
14
44,4%
18
64,3%
14
57,1%
56
54,2%
520
19,0%
21,2%
19,2%
21,0%
2,7%
3,5%
2,7%
10,8%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
Anzahl
% von Geschlecht
% von GRW
ÖVP
Gemeinderatswahl Innsbruck
Liste Soziales
Die Grünen
FPÖ
Innsbruck
52
10
10
Chi-Quadrat-Tests
Wert
Chi-Quadrat nach
Pearson
Likelihood-Quotient
Zusam menhang
linear-m it-li near
Anzahl der gültigen Fälle
As ymptotisch
e Signi fikanz
(2-seiti g)
df
a
6,170
7
,520
6,242
7
,512
,001
1
,974
520
a. 0 Zellen (,0%) haben eine erwartete Häufigkeit kleiner 5. Die
mi nimale erwartete Häufigkeit ist 6,41.
Da das Singnifikanzniveau größer als 0,05 ist, wird die Nullhypothese nicht verworfen und man entscheidet sich für H0.
23
Eine Sonderform des Chiquadrattests ist die Auswertung von 2x2
Tabellen; hier wird die sogenannte Kontinuitätskorrektur angewandt.
Fragestellung: Unterscheiden sich Männer von Frauen hinsichtlich der
allgemeinen Zufriedenheit mit der Politik in Innsbruck?
H0: Es gibt keine Unterschiede zwischen Männern und Frauen in der
Beurteilung der Zufriedenheit mit der Stadtpolitik
H1: Es gibt signifikante Unterschiede zwischen Männern und Frauen
hinsichtlich der Beurteilung der Zufriedenheit mit der Stadtpolitik.
Allgemeine Zufriedenheit mit Politik in Innsbruck * Geschlecht Kreuztabelle
Allgemeine Zufriedenheit
mit Politik in Innsbruck
eher zufrieden
eher unzufrieden
Gesamt
Anzahl
% von Allgemeine
Zufriedenheit mit
Politik in Innsbruck
% von Ges chlecht
Anzahl
% von Allgemeine
Zufriedenheit mit
Politik in Innsbruck
% von Ges chlecht
Anzahl
% von Allgemeine
Zufriedenheit mit
Politik in Innsbruck
% von Ges chlecht
Geschlecht
männlich
weiblich
130
131
Gesamt
261
49,8%
50,2%
100,0%
54,9%
107
47,5%
145
50,9%
252
42,5%
57,5%
100,0%
45,1%
237
52,5%
276
49,1%
513
46,2%
53,8%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
Chi-Quadrat-Tests
W ert
Chi-Quadrat nach
Pears on
a
Kontinuitätskorrek tur
Lik elihood-Quotient
Ex akt er Test nach Fis her
Zusammenhang
linear-mit-linear
Anzahl der gültigen Fälle
As ymptotisch
e S ignifikanz
(2-seit ig)
df
b
2,785
1
,095
2,497
2,788
1
1
,114
,095
Ex akt e
Signifikanz
(2-seit ig)
,111
2,780
1
Ex akt e
Signifikanz
(1-seit ig)
,057
,095
513
a. W ird nur für eine 2x2-Tabelle berechnet
b. 0 Zellen (, 0%) haben eine erwartete Häufigkeit kleiner 5. Die minimale erwartete Häufigkeit
ist 116,42.
Da das Singnifikanzniveau größer als 0,05 ist, wird die Nullhypothese nicht verworfen und man entscheidet sich für H0.
24
PARAMETERFREIE PRÜFVERFAHREN
Die folgenden beiden statistischen Testverfahren, der MannWhitney-U-Test und der Kruskal-Wallis Test dienen zum
Vergleich unabhängiger Stichproben, die entweder ordinal
skaliert oder nicht normalverteilt sind.
 Mann-Whitney U-Test:
Der U-Test von Mann und Whitney dient zum Vergleich zweier
unabhängiger Stichproben, hinsichtlich ordinalskalierter Variable
bzw. solcher, die die Voraussetzung der Normalverteilung nicht
erfüllen. Das Prinzip dieses Tests ist die Ersetzung der gegebenen
erfassten Werte durch Rangplätze. Es handelt sich dabei praktisch um
eine ordinal skalierte Variable (wie z.B. Beurteilung nach Schulnoten)
oder um eine metrische Variable, welche nicht normalverteilt ist;
dabei werden sämtliche auftretenden Werte durch Ränge ersetzt, die
Abstände zueinander werden dabei völlig vernachlässigt. Auf
Ordinalskalenniveau
erhobene
Daten
lassen
lediglich
Rechenoperationen zu, in denen Rangplätze (ordinale Informationen)
verarbeitet werden. Mittelwerte, Varianzen können nicht berechnet
werden, weil das Kriterium der Äquidistanz nicht gegeben ist.
Stattdessen werden Summen der Rangplätze berechnet, denen die
Fälle in den Substichproben zuzuordnen sind.
25
Die Vorgangsweise beim Mann-Whitney U-Test wird durch folgendes
Beispiel erörtert:
Untersucht wird die Fragestellung ob sich die Innsbrucker Männer
von Frauen hinsichtlich der Beurteilung einer möglichen rot-grünen
Koalition nach den Wahlen unterscheiden.
Die beiden zu überprüfenden Hypothesen sind:
H0: Zwischen Männern und Frauen besteht kein Unterschied
hinsichtlich der Beurteilung einer rot-grünen Koalition in
Innsbruck.
H1: Zwischen Männern und Frauen besteht ein signifikanter
Unterschied hinsichtlich ……….
.(Irrtumswahrscheinlichkeit max.5%)
Folgende Tabelle zeigt die zusammengefassten Ergebnisse:
Beurteilung Männlich Weiblich
ti
(ti3-ti)
Sehr gut
19
18
37
50616
Gut
78
99
177
5545056
Weniger gut
65
90
155
3723720
Schlecht
61
50
111
1367520
Gesamt
n1=223
n2=257 N=480 =10686912
Im ersten Schritt werden nun den einzelnen Werten, geordnet nach
männlich/weiblich und den Beurteilungen, Rangplätze zugewiesen
und so für die Gruppe der Männer und Frauen Rangsummen
berechnet: Es ergeben sich also insgesamt 480 Rangplätze, von der
ersten Person männlich+sehr gut-Beur-teilung bis zur letzten (480sten) Person weiblich+schlecht-Beurteilung.
26
Die Rangsummen werden nach Ermittlung der Rangziffern und
anschließender Gewichtung nach der jeweiligen Anzahl von Frauen
und Männern berechnet.
Beurteilung
Männlich
Weiblich
1=Sehr Gut
1+2+3+…
19 x 19=361
…+35+36=703/37=19
19 x 18=342
38+39+…
126 x 78=9828
215+216+…
292 x 65=18980
370+371+…
425 x 61=25925
…213+214=22302/177=126
126 x 99=12474
…368+369=45260/155=292
292 x 90=26280
…479+480=47175/111=425
425 x 50=21250
Rangsummen R
R1=55094
R2=60346
Mittlerer Rang
55094/223=247,06
60346/257=234,81
2=Gut
3=Weniger gut
4=Schlecht
Es gilt:
R1 + R2 = [N*(N+1)]/2
55094+60346 = (480*481)/2
In weiterer Folge wird die Testmaßzahl U bestimmt:
U1 = R1 – [n1*(n1+1)]/2
U1 = 55094-(223*224)/2 = 30118
U2 = R2 – [n2*(n2+1)]/2
U2 = 60346-(257*258)/2 = 27193
Die Prüfgröße U des U-Testes ist nun der kleinere der beiden UWerte: U = Minimum (U1, U2) = 27193
Laut Tabelle beträgt der kritische U-Wert:
U;n1;n2 = U0,05;223;257 = 18514
Da der errechnete U-Wert größer als U-tabelliert ist, wird H0
beibehalten; es folgt keine Interpretation von H1.
27
Zur Bestimmung der exakten Irrtumswahrscheinlichkeit muß zuerst z
bestimmt werden; dann kann die asymptotische significance berechnet
werden:
Zur Berechnung von z benutzt man folgende korrigierte Formel:
Warum korrigiert ? Da Messwerte auftreten, die wiederholt
vorkommen, wird in die Formel ein Korrektur-Term eingebaut:
U
z=
n1* n2
2
n1* n2
* (N 3  N 
12 * N * ( N  1)
m
 (t
3
i
 ti )
i 1
z = - 1,015
Exkurs:-------------------------------------------------------------------Tritt jeder Messwert nur einmal auf, so wird zur Berechnung von
z die folgende unkorrigierte Formel herangezogen:
n1* n2
2
n1* n2 * (n1  n2  1)
12
U
z=
------------------------------------------------------------------------------Berechnung der Irrtumswahrscheinlichkeit: sig
z
2
x
1
1
2

2
0,310
e d x  0.028307
z
sig = 0,310 = 31%
Da 0,310 > 0,05  H0 ; d.h. H0 wird angenommen !!
28
Schlussfolgerung:
Zwischen Männern und Frauen besteht kein signifikanter Unterschied
hinsichtlich der Beurteilung einer möglichen rot-grünen Koalition in
Innsbruck
WÜRDE
ein Unterschied bestehen, dann würde man die
mittleren Ränge interpretieren müssen:
Man betrachtet die mittleren Ränge:
Mittlerer Rang
Männer
Frauen
247,06
234,81
Der einzelne mittlere Rang sagt nichts aus und wird so auch nicht
interpretiert. Betrachtet man jedoch die Höhe des mittleren Ranges, so
kann festgestellt werden, dass der mittlere Rang bei den Männern
deutlich höher ist als jener, der Frauen.
Die ursprüngliche Codierung der Beurteilung war:
1 = sehr gut
2 = gut
3 = weniger gut
4 = schlecht
Ein höherer Wert sagt also aus, dass "schlechter beurteilt" wurde. Bei
H1 (ist in unserem Beispiel nicht der Fall !!!) hieße das, dass
Männer die rot-grüne Koalition etwas schlechter als Frauen
beurteilen.
29
Das Statistikpaket SPSS liefert folgenden Output:
Ausgangsfrage: Beurteilung der rot-grünen Koalition:
Koalition ROT-GRÜN in Innsbruck wäre ...
Gültig
Fehlend
Gesamt
sehr gut
gut
weniger gut
gar nicht gut
Gesamt
System
Häufigkeit
37
177
155
111
480
40
520
Prozent
7,1
34,0
29,8
21,3
92,3
7,7
100,0
Gültige
Prozente
7,7
36,9
32,3
23,1
100,0
Kumulierte
Prozente
7,7
44,6
76,9
100,0
Frage: Besteht in der Beurteilung ein Einfluß durch die Variable Geschlecht ?
Mann-Whitney-Test
Ränge
Koalition ROT-GRÜN
in Inns bruck wäre ...
Geschlecht
männlich
weiblich
Gesamt
N
223
257
480
Mittlerer Rang
247,06
234,81
Rangs umme
55094,00
60346,00
Statistik für Te sta
Mann-Whit ney -U
W ilcox on-W
Z
As ymptotis che
Signifik anz (2-s eitig)
Koalition
ROT-GRÜN
in Inns bruc k
wäre .. .
27193, 000
60346, 000
-1, 015
,310
a. Gruppenvariable: Geschlecht
Zur Festlegung ob H0 oder H1 betrachtet man die Asymptotische
Signifikanz und interpretiert, wenn H0 verworfen wird und man sich für
H1 entscheidet, die mittleren Ränge.
30
 Kruskal-Wallis H-Test:
Der H-Test von Kruskal und Wallis dient zum Vergleich mehr als
zweier (n>2) unabhängiger Stichproben, hinsichtlich ordinalskalierter Variable bzw. solcher, die die Voraussetzung der
Normalverteilung nicht erfüllen. Das Prinzip dieses Tests ist die
Ersetzung der gegebenen erfassten Werte durch Rangplätze.
Es handelt sich dabei praktisch um eine ordinal skalierte Variable
(wie z.B. Beurteilung nach Schulnoten) oder um eine metrische
Variable, welche nicht normalverteilt ist; dabei werden sämtliche
auftretenden Werte durch Ränge ersetzt, die Abstände zueinander
werden dabei völlig vernachlässigt.
Auf Ordinalskalenniveau erhobene Daten lassen lediglich
Rechenoperationen zu, in denen Rangplätze (ordinale Informationen)
verarbeitet werden. Mittelwerte, Varianzen können nicht berechnet
werden, weil das Kriterium der Äquidistanz nicht gegeben ist. Statt
dessen werden Summen der Rangplätze berechnet, denen die Fälle in
den Substichproben zuzuordnen sind.
31
Die Vorgangsweise beim Kruskal-Wallis H-Test ist bis hin zur
Berechnung der mittleren Ränge gleich jener beim M-W U-Test.
Untersucht wird die Fragestellung ob sich die 4 Altersgruppen
hinsichtlich der Beurteilung rot-grünen Koalition unterscheiden.
Die beiden zu überprüfenden Hypothesen sind:
H0: Zwischen den 4 Altersgruppen besteht kein Unterschied
hinsichtlich der Beurteilung rot-grünen Koalition
H1: Zwischen den 4 Altersgruppen besteht ein signifikanter
Unterschied hinsichtlich der Beurteilung der rot-grünen
Koalition
(Irrtumswahrscheinlichkeit max.5%)
Die Berechnung der Rangsummen und mittleren Ränge erfolgt gleich
wie beim Mann Whitney U-Test.
Die für den Kruskal-Wallis Test zu berechnende Prüfgröße H ist
chiquadrat-verteilt, mit
Df = k-1 Freiheitsgraden ,
wobei k= die Anzahl der Klassen/Gruppen (=4 Altersgruppen)
Im vorliegenden Beispiel errechnet sich durch:
DF = 4 – 1 = 3
Die angeführte Formel H bezieht sich auf die Berechnung in dem Fall,
dass jeder Messwert nur einmal auftritt;
H=
12
*
N * ( N  1)
Ti2
 3 * ( N  1)
i 1 n
i

k
Die vorliegende Problemstellung zeigt jedoch, dass bei den 4
Altersgruppen die gleichen Beurteilungen zum Teil häufiger als nur
32
einmal auftreten, daher verwendet man beim Kruskal Wallis Test,
ähnlich wie beim U-Test, eine korrigierte Formel:
H´ =
H

1
m
(t 3
i 1 i
3
 ti )
N N
H´err.= 36,276
Ein Blick auf die Chiquadrattabelle (siehe Fahrmeier) zeigt, dass
H´1-;DF = H´0,95;3 = 7,8147
Da der errechnete H-Wert größer dem H-Wert aus der Chiquadrattabelle ist, wird H0 verworfen; man entschließt sich für H1 und
interpretiert die mittleren Ränge.
Über den H-Wert wird wie beim Chiquadrattest z errechnet und
daraus wiederum die exakte Irrtumswahrscheinlichkeit.
33
Das Statistikpaket SPSS liefert folgenden Output:
Kruskal-Wallis-Test
Rä nge
Koalition ROT-GRÜN
in Inns bruc k wäre . ..
Alter
bis 25 Jahre
26 bis 40 Jahre
41 bis 60 Jahre
über 60 Jahre
Gesamt
N
73
143
141
123
480
Mittlerer Rang
228,16
200,35
238,59
296,69
Statistik für Testa,b
Chi-Quadrat
df
As ymptotische Signifikanz
Koalition
ROT-GRÜN
in Inns bruck
wäre ...
36,276
3
,000
a. Kruskal-Wallis-Test
b. Gruppenvariable: Alter
Zur Festlegung ob H0 oder H1 betrachtet man die Asymptotische
Signifikanz und interpretiert, wenn H0 verworfen wird und man sich für
H1 entscheidet, die mittleren Ränge.
34
 Varianzanalyse:
1. Varianzanalyse mit Hilfe des F-Tests
Will man untersuchen inwiefern sich zwei oder mehrere Gruppen
einer nominalen oder ordinalen Variable in Bezug auf ein metrisches
Merkmal unterscheiden, so wendet man die einfaktorielle
Varianzanalyse an. Um den Einfluß mehrerer nominaler bzw.
ordinaler Variable auf eine metrische Variable zu überprüfen, wird
die mehrfaktorielle Varianzanalyse durchgeführt.
Von Interesse ist also der Einfluß eines sogenannten Faktors auf eine
eigentlich metrische Zielgröße.
Es ist darauf hinzuweisen, dass bei Überprüfung zweier Gruppen
(z.B. Männer/Frauen) hinsichtlich eines metrischen Merkmals (z.B.
Zeit pro Tag zur Aufnahme politischen Geschehens) häufig der t-Test
Anwendung findet.
Bei mehr als 2 Gruppen (n>2) findet der F-Test seine Anwendung,
da der t-Test nur im Zweistichprobenfall zu verwenden ist. Da der FTest jedoch auch im Zweistichprobenfall anwendbar ist, ist seine
Verbreitung wesentlich häufiger.
Wichtige Voraussetzungen für die Durchführung der Varianzanalyse
sind:
- Normalverteilung (K-S Test)
- Varianzhomogenität (Levene-Statistik)
NUR in Bezug auf die metrische Variable !!!
35
Die Normalverteilung, mit den Hypothesen
H0: Es liegt Normalverteilung vor
H1: Es liegt keine Normalverteilung vor,
wird in SPSS mit dem K-S Test überprüft und ergibt folgenden
Output:
Kolmogorov-Smi rnov-Anpassungste st
N
Parameter der a,b
Normalvert eilung
Ex tremste Differenzen
Mittelwert
St andardabweichung
Absolut
Positiv
Negativ
Kolmogorov-Smirnov-Z
As ymptotische Signifik anz (2-s eitig)
Zeit zur
Aufnahme
politisc her
Informatino
pro Tag
10
30,5000
8,95979
,178
,122
-,178
,562
,910
a. Die zu tes tende Verteilung ist eine Normalverteilung.
b. Aus den Daten berechnet.
Da sig=0,910 > 0,05 ist wird die H0 angenommen und man kann
behaupten, dass die Voraussetzung der Normalverteilung der
metrischen Variable vorliegt.
Die Voraussetzung der Varianzhomogenität wird im Rahmen der
Varianzanalyse (bei 2 Gruppen m/w könnte auch ein t-Test
angewendet werden) überprüft. Hier lauten die zu überprüfenden
Hypothesen:
H0: Es liegt Varianzhomogenität vor
H1: Es liegt keine Varianzhomogenität vor
36
Der entsprechende SPSS-Output ist:
Test der Homogenität der Varianzen
Zeit zur Aufnahme politis cher Informatino pro Tag
LeveneStatistik
,122
df1
df2
1
8
Signifikanz
,736
Da sig=0,736 > 0,05 ist wird die H0 angenommen und man kann
behaupten, dass die Voraussetzung der Varianzhomogenität gegeben
ist.
Liegen diese Voraussetzungen nicht vor, so wird in der Regel auf
Unterschiedsverfahren für ordinal skalierte Variable zurück-gegriffen.
Die Varianzanalyse geht ihrem Prinzip nach von einer Zerlegung der
Varianzen aus. Diese Gesamtvarianz wird zerlegt in eine Varianz
innerhalb der Gruppen und eine Varianz zwischen den Gruppen.
Welche Hypothesen werden überprüft:
H0 : 1 = 2 = ...... = n
H1 : 1 ≠ 2 ≠ ...... ≠ n
Da die Varianzanalyse ein Mittelwertvergleich ist, wird untersucht, ob
die Mittelwerte der einzelnen Gruppen in etwa gleich, oder ob die
Mittelwerte voneinander signifikant verschieden sind.
37
Die zu berechnende F-Teststatistik(Ferrechnet)ergibt sich aus:
SQE  2
Ferr = SQR *  1 , wobei
SQR = Summe der Streuung innerhalb der Gruppen
SQR =  (n 1) * s ;
si2=Varianz innerhalb der einzelnen Gruppen
I
2
i
i
i 1
T = Gesamtstreuung
T =  ( x  x)
N
2
i
i 1
SQE = Summe der Streuung zwischen den Gruppen
SQE =  (n *  ( x  x) ) ;
I
ni
2
i
i 1
i
j 1
d.h. rechentechnisch =
SQE =T(Gesamtstreuung)–SQR(Streuung innerhalb der Gruppen)
Zur Berechnung der Freiheitsgrade:
 1 = I – 1, wobei I ist gleich die Anzahl der Gruppen
 2 = N – I, wobei N gleich dem Stichprobenumfang
Eine andere Möglichkeit zur Berechnung der Teststatistik F ist
folgende:
W
T * 2
W
1
T
1
Fer =
r
wobei
,
T = Gesamtstreuung und W die Streuung innerhalb der Gruppen ist.
38
Diese Vorgangsweise wird anhand folgendem Beispiel erörtert:
In nachstehender Tabelle sind die Daten einer Erhebung zur Zeit, die
der/die Befragte pro Tag zur Aufnahme politischer Information
angeführt:
Zeit in Minuten
1= männlich
40
Gruppenmittelwert
Berechnung
von
T
Berechnung
von SQE
36
(40-30,5)2
(36-30,5)2
(45-30,5)2
(36-30,5)2
(30-30,5)2
(36-30,5)2
(35-30,5)2
(36-30,5)2
(30-30,5)2
(36-30,5)2
(30-30,5)2
(25-30,5)2
(35-30,5)2
(25-30,5)2
(20-30,5)2
(25-30,5)2
(25-30,5)2
(25-30,5)2
(15-30,5)2
(25-30,5)2
Summe = 722,5
Summe=302,5
45
1
30
1
35
1
30
1
2=weiblich
30
25
35
2
20
2
25
2
15
2
Gesamtmittelwert
30,5
Aus den Daten ergeben sich folgende Varianzen:
s12 =42,5;
s22 =62,5;
SQR = 4 * 42,5 + 4 * 62,5 = 420
SQE = 5*(36-30,5)2+5*(25-30,5)2 = 302,4
 1 = I – 1 = 2 – 1 = 1;
 2 = N – I = 10 – 2 = 8
302,5 8
Ferr = 420 * 1 = 5,760
39
Das auf diese Weise errechnete F wird nun, wie bereits bei anderen
statistischen Tests aufgezeigt, mit dem tabellierten F-Wert verglichen:
(Irrtumswahrscheinlichkeit 5%)
F tab 0,05; 1; 8 = 5,32
Da Ferr ≥ Ftab. wird die H0 verworfen und man kann mit großer
Wahrscheinlichkeit davon ausgehen, dass sich die Mittelwerte der
einzelnen Gruppen signifikant voneinander unterscheiden.
Zur Interpretation der signifikanten Ergebnisse werden die
Mittelwerte der einzelnen Gruppen (Gruppenmittelwerte – siehe
Tabelle) herangezogen.
Das Statistikpaket SPSS liefert folgenden Output:
ONEWAY deskriptive Statistiken
Zeit zur Aufnahme politis cher Informatino pro Tag
N
männlich
weiblich
Gesamt
5
5
10
Mittelwert
36,0000
25,0000
30,5000
Standardab
weichung
6,51920
7,90569
8,95979
Standardf
ehler
2,91548
3,53553
2,83333
95%-Konfidenzintervall für
den Mittelwert
Untergrenze Obergrenze
27,9053
44,0947
15,1838
34,8162
24,0906
36,9094
Minimum
30,00
15,00
15,00
Maximum
45,00
35,00
45,00
ONEW AY ANOVA
Zeit zur Aufnahme politischer Informatino pro Tag
Zwischen den Gruppen
Innerhalb der Gruppen
Gesamt
Quadrats
umme
302,500
420,000
722,500
df
1
8
9
Mittel der
Quadrate
302,500
52,500
F
5,762
Signifikanz
,043
Nach der Entscheidung für H0 oder H1 auf Basis der von der Software
errechneten exakten Signifikanz (größer oder kleiner gleich 0,05),
werden bei H1 die Mittelwerte interpretiert.
40
2. Varianzanalyse mit Hilfe des T-Tests
Will man untersuchen inwiefern sich NUR zwei Gruppen einer
nominalen oder ordinalen Variable in Bezug auf ein metrisches
Merkmal unterscheiden, so wendet man den T-Test an.
Von Interesse ist also der Einfluß eines sogenannten Faktors auf eine
eigentlich metrische Zielgröße.
Wichtige Voraussetzungen für die Durchführung der Varianzanalyse
sind, so wie auch beim F-Test:
- Normalverteilung (K-S Test)
- Varianzhomogenität (Levene-Statistik)
NUR in Bezug auf die metrische Variable !!!
Die Normalverteilung, mit den Hypothesen
H0: Es liegt Normalverteilung vor
H1: Es liegt keine Normalverteilung vor,
wird wie beim F-Test mit Hilfe des Kolmogorov-Smirnoff Test auf
Normalverteilung überprüft. (siehe Punkt 1. Normalverteilungsüberprüfung beim F-Test).
Der wesentliche Unterschied zum F-Test zeigt sich bei der
Voraussetzung der Varianzhomogenität. Hier bietet SPSS die
Möglichkeit mit dem T-Test auch fortzufahren, wenn Varianzhomogenität nicht vorliegt, indem eine entsprechende Korrektur
durchgeführt wird.
41
Die Formel des T-Test sieht folgenermaßen aus:
Für folgendes Beispiel ergibt sich nachstehende Berechnung:
Geschlecht (1=m/ 2=w)
Ausgaben für Geschenke
1
65
1
70
1
80
1
75
1
65
2
50
2
45
2
55
2
60
2
35
Die Mittelwerte der einzelnen Gruppen sind 71,- für die Männer und
49,- für die Frauen; die Varianz für die Gruppe der Männer beträgt
42,5 und jener für die Gruppe der Frauen 92,5. Der
Stichprobenumfang beträgt pro Gruppe 5.
Unter der Voraussetzung, daß Normalverteilung gegeben ist,
berechnte sich der t-Wert wie folgt:
T= (71-49) / √(42,5/5 + 92,5/5) = 4,23
42
Für den tabellarischen T-Wert werden die Freiheitsgrade (DF) wie
folgt berechnet:
DF = n1 + n2 – 2 = 8
Bei einem Alpha von 0,95 und DF=8 ergibt sich bei einem
zweiseitigen Test ein kritischer Wert von 2,306.
Der T-Test kann, sofern Normalverteilung gegeben ist, auch
durchgeführt werden, wenn die Voraussetzung der Varianzhomogenität verletzt ist (siehe dazu untenstehenden SPSS-Output).
(Zitat: If the variances are relatively equal, that is one sample variance is no larger than twice the size of
the other, then you can assume equal variances.)
Da der errechnete t-Wert (4,23) größer dem tabellierten t-Wert (2,306)
ist, kann die H0 verworfen und H1 herangezogen werden.
Anders ausgedrückt: Es besteht ein signifikanter Unterschied
zwischen Männern und Frauen bezüglich der Ausgaben für
Geschenke; insgesamt geben die Befragten 60,-€ aus. Männer geben
71,-€ aus, während Frauen nur 49,-€ ausgeben.
43
SPSS-Output:
Group Statistics
sex
money
N
Mean
Std. Deviation
Std. Error Mean
male
5
71,0000
6,51920
2,91548
female
5
49,0000
9,61769
4,30116
Levene's Test for
Equality of
Variances
95% Confidence Interval
Std. Error
F
money
Equal variances
,549
Sig.
,480
t
df
Sig. (2-tailed)
Difference
of the Difference
Lower
Upper
4,234
8
,003
5,19615
10,01765
33,98235
4,234
7,035
,004
5,19615
9,72543
34,27457
assumed
Equal variances
not assumed
Die T-Test sig=0.003, d.h. sie ist ≤ 0.05. Man verwirft in diesem Fall
die Nullhypothese und entscheidet sich daher für die
Alternativhypothese. Es besteht ein signifikanter Unterschied
zwischen Männern und Frauen in Bezug auf die Ausgaben für
Geschenke.
44
Zusammenhangsverfahren:
 Kontingenzkoeffizient: (0 bis 1)
Für nominale Merkmale wird als Zusammenhangsmaß der
Kontingenzkoeffizient (C) verwendet. Dieser Wert liegt zwischen 0
und 1 und drückt die Stärke des Zusammenhangs aus. Der
Kontingenzkoeffizient misst nur die Stärke des Zusammenhangs, eine
Richtung der Wirkungsweise wird nicht erfasst.
Als Basis zu Berechnung des Kontingenzkoeffizienten wird der
errechnete Chiquadratwert herangezogen:
C=
2
n2
Die beiden zu untersuchenden Hypothesen lauten:
H0 : Zwischen den beiden Variablen Bildung und
Parteipräferenz besteht kein wesentlicher Zusammenhang
H1 : Zwischen den beiden Variablen Bildung und Parteipräferenz besteht ein wesentlicher Zusammenhang
Grundlage zur Berechnung des Kontingenzkoeffizienten ist die
Berechnung des Chiquadratwertes; so ergibt sich für das vorliegende
Beispiel folgender Kontingenzkoeffizient:
45
C=
44,089
520  44,089
= 0,280
Wie auf Grund des durchgeführten Chiquadrattests ersichtlich war
(siehe untenstehenden Output) gibt es einen signifikanten Unterschied
zwischen Personen mit Pflichtschulabschluß bzw. Lehre und Personen
mit Matura bzw. höherem Schulabschluß in Bezug auf ihre
Parteipräferenz; der Zusammenhang zwischen den beiden Variablen
ist jedoch mit 0,280 als eher gering zu bezeichnend, obwohl
signifikant.
Das Statistikpaket SPSS liefert folgenden Output:
Ge me inde ratswa hl Innsbruck * Bildung Kre uztabe lle
Gemeinderatswahl
Innsbruck
Gesamt
Lis te für Innsbruck
Anzahl
% von Gemeinderatswahl
Innsbruck
% von Bildung
ÖV P
Anzahl
% von Gemeinderatswahl
Innsbruck
% von Bildung
SP Ö
Anzahl
% von Gemeinderatswahl
Innsbruck
% von Bildung
Die Grünen
Anzahl
% von Gemeinderatswahl
Innsbruck
% von Bildung
FP Ö
Anzahl
% von Gemeinderatswahl
Innsbruck
% von Bildung
Lis te S oziales Inns bruc k Anzahl
% von Gemeinderatswahl
Innsbruck
% von Bildung
Freie Liste
Anzahl
% von Gemeinderatswahl
Innsbruck
% von Bildung
(andere Lis te / Partei)
Anzahl
% von Gemeinderatswahl
Innsbruck
% von Bildung
Anzahl
% von Gemeinderatswahl
Innsbruck
% von Bildung
Bildung
Pflicht sch.
Matura/Uni/
/Lehre/FS/ HS
FHS/A kad.
64
35
Gesamt
99
64,6%
35,4%
100,0%
19,7%
75
17,9%
35
19,0%
110
68,2%
31,8%
100,0%
23,1%
72
17,9%
28
21,2%
100
72,0%
28,0%
100,0%
22,2%
43
14,4%
66
19,2%
109
39,4%
60,6%
100,0%
13,2%
13
33,8%
1
21,0%
14
92,9%
7,1%
100,0%
4,0%
8
,5%
10
2,7%
18
44,4%
55,6%
100,0%
2,5%
13
5,1%
1
3,5%
14
92,9%
7,1%
100,0%
4,0%
37
,5%
19
2,7%
56
66,1%
33,9%
100,0%
11,4%
325
9,7%
195
10,8%
520
62,5%
37,5%
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
46
Chi-Quadrat-Tests
Wert
Chi-Quadrat nach
Pearson
Likelihood-Quotient
Zusammenhang
linear-mit-linear
Anzahl der gültigen Fälle
44,089
As ymptotisch
e Signifikanz
(2-seitig)
df
a
7
,000
46,105
7
,000
,090
1
,764
520
a. 0 Zellen (,0%) haben eine erwartete Häufigkeit kleiner 5. Die
minimale erwartete Häufigkeit ist 5,25.
Symm etrische Maße
W ert
Nominal- bzgl.
Nominalmaß
Kontingenzkoeffiz ient
Anzahl der gültigen Fälle
Näherung
sweise
Signifikanz
,280
,000
520
a. Die Null-Hyphothese wird nicht angenommen.
b. Unter Annahme der Null-Hyphothese wird der asy mpt otis che
St andardfehler verwendet.
Es kann festgestellt werden, daß zwischen der Variable Bildung und
der Variable Parteipräferenz ein signifikanter Zusammen-hang besteht
(Näherungsweise Signifikanz: sig=0.000; daher wird H0 verworfen!);
der Kontingenzkoeffizient in der Höhe von 0,280 drückt die Stärke
des Zusammenhangs aus.
47
 Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman: (-1 bis +1)
Wenn man für ordinalskalierte Variable von den ursprünglichen xund y-Werten zu ihren Rängen übergeht, erhält man den Korrelationskoeffizienten nach Spearman. Dabei wird analog zum MannWhitney U-Test den Werten der x Variable aber auch den Werten der
y Variable jeweils nach ihrer Ordnung ein Rangplatz zugeordnet und
man erhält nun für jede Beobachtung sogenannte Messpaare.
Zu x1 ≤ ........ ≤xn, als bereits geordnete Werte gilt rg (xi)=i, und
zu y1 ≤ ........ ≤yn, als bereits geordnete Werte gilt rg (y i)=i;
Sowohl innerhalb der x-Werte wie auch der y-Werte können
identische Werte auftreten. Die Rangvergabe ist dann nicht eindeutig,
so werden wie bereits bei der Vorgehensweise beim Mann-Whitney
U-Test Durchschnittsränge berechnet.
Die Berechnung des Korrelationskoeffizienten nach Spearman erfolgt
über folgende allgemeine Formel:
6 d
rSP= 1 -  ;
2
i
(n 2  1) n
da jedoch häufig sogenannte Bindungen auftreten und daher eine
diesbezügliche Korrektur angewendet werden muß (nach Bindungen
korrigiert = corrected for ties), findet folgende korrigierte Formel ihre
Anwendung:
6 d
rSP corr. = 1 ;
2
i
(n 2  1)n  (T x´  T y´ )
wobei: di sind die Rangdifferenzen und n der Stichprobenumfang.
Tx´ = 12  (t
3
xi´
 t x´ )
i
; dadurch wird die Häufigkeit des Auftretens der
gleichen Bewertungen berücksichtigt.
48
Analog dazu wird Ty´ berechnet.
Gegeben sind zwei Variable:(Beurteilung: 1=sehr gut/2=gut/3=weniger gut)
x....Beurteilung der derzeitigen politischen Situation in Innsbruck
y....Beurteilung des Projekts Nordkettenbahn
Die beiden Hypothesen lauten:
H0: Zwischen der Beurteilung der politischen Situation und der Beurteilung des
Nordkettenbahnprojekts besteht kein Zusammenhang.
H1: Zwischen den beiden Variablen besteht ein Zusammenhang.
X
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
Berechnung der Rangziffern Rg(xi)
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55/10=5,5
11+12+13+14+15=65/5=13
16+17+18+19+20+21+22+23+24+25=
= 205/10=20,5
Tx´ = 12  (t
3
xi´
 t x´ )
i
Y
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
3
3
1
2
2
2
3
3
3
3
3
3
Rg (yi)
Rg (1) = 4
Rg(2) = 12,5
Rg(3) = 21,5
Berechnung der Rangdifferenzen (d)
5,5 – 4= 1,5
5,5 – 4= 1,5
5,5 – 4= 1,5
5,5 - 4 = 1,5
5,5 – 4= 1,5
5,5, - 4 = 1,5
5,5 - 12,5 = 7
5,5 - 12,5 = 7
5,5 - 12,5 = 7
5,5 - 12,5 = 7
13 – 12,5= 0,5
13 – 12,5= 0,5
13 – 12,5 = 0,5
13 – 21,5= 8,5
13 – 21,5 = 8,5
20,5 – 4 = 16,5
20,5 – 12,5= 8
20,5 – 12,5= 8
20,5 – 12,5= 8
20,5 – 21,5 = 1
20,5 – 21,5 = 1
20,5 – 21,5 = 1
20,5 – 21,5 = 1
20,5 – 21,5 = 1
20,5 – 21,5 = 1
Summe
d2
2,25
2,25
2,25
2,25
2,25
2,25
49
49
49
49
0,25
0,25
0,25
72,25
72,25
272,25
64
64
64
1
1
1
1
1
1
825
=½*[(103-10)+(53-5)+(103-10)] = 1050
49
Ty´ = ½*[(73-7)+(103-10)+(83-8)] = 915
6 * 825
rSP corr. = 1 -
(25  1)25  (1050  915 )
2
=1-
4950
113635
= + 0,6369
Der Zusammenhang zwischen der Beurteilung der politischen
Situation und der Beurteilung des Nordkettenbahnprojekts ist ein
positiver Zusammenhang. Ob dieser Zusammenhang signifikant ist
oder nicht kann über die z-Transformation mit anschließender
Berechnung der Irrtumswahrscheinlichkeit (=Signifikanzniveau)
geklärt werden:
z=ż*
n3 ,
wobei ż als Korrelationsziffer bezeichnet wird und wie folgt zu
berechnen ist:
ż = ½*ln( 1  r ) = ½ * ln
1  0,6369
1  0,6369
daraus folgt:
z = ż * n  3 = 0,753*
25  3
1 r
= 0,753
= 3,532
Das Signifikanzniveau errechnet sich aus:
z
2
x
1
1
2

e
2
d x  0.001229270561
z
Da das Signifikanzniveau ≤0,05, nämlich exakt 0,00123 ist, kann die
H0 verworfen werden und man kann behaupten, dass der Zusammenhang zwischen der Beurteilung der allgemeinen politischen
50
Situation und der Beurteilung des Nordkettenbahn- projekts statistisch
signifikant ist. Die Stärke des Zusammenhang ist +0,637. Das heißt: je
besser die politische Situation beurteilt werden, desto besser wird
auch das Nordkettenbahnprojekt beurteilt.
Das Statistikpaket SPSS liefert folgenden Output:
Korre lationen
Spearman-Rho
Beurteilung der
derzeitigen politisc hen
Situation
Beurteilung des
Nordkettenbahnprojek ts
Beurteilung der
derzeitigen
Beurteilung des
politisc hen Situation Nordkettenbahnprojek ts
Korrelationskoeffiz ient
1,000
,637**
Sig. (2-seitig)
.
,001
N
25
25
Korrelationskoeffiz ient
,637**
1,000
Sig. (2-seitig)
,001
.
N
25
25
**. Die Korrelation ist auf dem 0,01 Niveau signifik ant (zweiseitig).
Es kann festgestellt werden, daß zwischen der Variable Beurteilung
der allgemeinen politischen Situation und der Beurteilung des
Nordkettenbahnprojekts ein signifikanter Zusammenhang besteht
(Näherungsweise Signifikanz: sig=0.001; daher wird H0 verworfen!);
der Korrelationskoeffizient in der Höhe von +0,637 drückt die Stärke
des Zusammenhangs aus.
51
 Korrelationskoeffizient nach Pearson (-1 bis +1)
Der Bravais-Pearson´sche Korrelationskoeffizient ist prinzipiell nur
für metrische Variable geeignet; diese sollten zudem normal-verteilt
sein. Ist diese Voraussetzung nicht gegeben so ist der
Korrelationskoeffizient nach Spearman anzuwenden.
Zur Berechnung des Korrelationskoeffizienten nach Pearson werden
jeweils zwei metrische Variable einer Person erfasst und als
sogenannte Wertepaare dargestellt. Zu jedem x1 ,......., xn, gibt es ein
entsprechendes y1 ,.....,.yn;
Der Zusammenhang zwischen den beiden metrischen Variablen kann,
wie bereits beim Korrelationskoeffizient nach Spearman poisitiv
(~+1), negativ (~ -1) bzw. annähernd Null sein.
Im vorliegenden Beispiel wird der Zusammenhang bzw. die Stärke
des Zusammenhangs zwischen dem Einkommen (x) und den Spenden
für soziale Zwecke (y) berechnet.
Die beiden Hypothesen lauten:
H0: Zwischen dem Einkommen und den Spenden für soziale Zwecke besteht
kein Zusammenhang.
H1: Zwischen den beiden Variablen besteht ein Zusammenhang.
Die Berechnung des Korrelationskoeffizienten nach Pearson erfolgt
nach:
n
rP =
 [( x
i
 x ) * ( y i  y )]
i 1
n
 (x
i 1
n
i
 x) 2 *
(y
i
 y) 2
i 1
52
[( xi  x ) * ( y i  y )]
EINKOMMEN (x)
SPENDEN (y)
1000,00
75,00
7540,00
1050,00
80,00
5040,00
1100,00
85,00
3040,00
1200,00
90,00
840,00
1250,00
100,00
40,00
1250,00
110,00
-60,00
1250,00
110,00
-60,00
1500,00
130,00
6240,00
1400,00
120,00
2240,00
1600,00
140,00
12240,00
Mittelwert(x)=1260 Mittelwert(y)=104 Summe=37100
rP =
37100
334000 * 4290
( xi  x ) 2
67600,00
44100,00
25600,00
3600,00
100,00
100,00
100,00
57600,00
19600,00
115600,0
Su=334000
( yi  y) 2
841,00
576,00
361,00
196,00
16,00
36,00
36,00
676,00
256,00
1296,00
Su=4290
= +0,98
Der Zusammenhang zwischen dem Einkommen und den Ausgaben
für Spenden ist stark positiv und beträgt +0,98. Das heißt: je mehr
jemand verdient, desto mehr ist er auch bereit für Geschenke
auszugeben.
Das Statistikpaket SPSS liefert folgenden Output:
Korrelationen
Einkommen
Spenden
Korrelation nach Pearson
Signifikanz (2-s eitig)
N
Korrelation nach Pearson
Signifikanz (2-s eitig)
N
Einkommen
1
Spenden
,980**
,000
10
10
,980**
1
,000
10
10
**. Die Korrelation ist auf dem Niveau von 0,01 (2-seitig)
signifikant.
Es kann festgestellt werden, daß zwischen der Variable Einkommen und den Spenden für
soziale Zwecke ein signifikanter Zusammenhang besteht (Näherungsweise Signifikanz:
sig=0.000; daher wird H0 verworfen!); der Korrelationskoeffizient in der Höhe von +0,98
drückt die Stärke des Zusammenhangs aus.
53