Literatur zu Operations Research

Literatur zu Operations Research
[1] Domschke, W. und Drexl, A.: Einführung in Operations Research, Springer Verlag
[2] Domschke, W., Drexl, A. u.a.: Übungsbuch Operations Research, Springer Verlag
[3] Hillier, F.S. und Lieberman, G.J.: Operations Research, Verlag Oldenbourg
[4] Neumann, K. und Morlock, M.: Operations Research, Hanser Verlag
Die folgenden Bücher sind für spezielle Kapitel des OR interessant
[5] Aigner, Martin: Diskrete Mathematik, Vieweg Verlag
[6] Chavatal, Vasek: Linear Programming, W.H. Freeman and Company, New York
[7] Jungnickel, Dieter: Graphen, Netzwerke und Algorithmen, Springer Verlag
Inhalt der Vorlesung
1. Was ist Operations Research?
2. Graphen
2.1 Graphen und ihre Darstellung
2.2 Grundlegende Eigenschaften von Graphen
2.3 Wege und Zyklen
2.4 Bäume
2.5 Knotenfärbungen – ein Scheduling Problem
2.6 Der Greedy Algorithmus für Knotenfärbungen
3. Algorithmen auf Graphen
3.1 Die Effizienz von Algorithmen
3.2 Spanning Trees (Gerüste) und das MST-Problem
3.3 Tiefensuche – Depth first search (DFS)
3.4 Breitensuche – Bredth first search (BFS)
3.5 Das Kürzeste-Wege-Problem
4. Gerichtete Graphen und Netzwerke
4.1 Gerichtete Graphen und Turniere
4.2 Netzwerke und kritische Wege
4.3 CPM – Critical-Path-Method
4.3.1 Ermittlung frühester und spätester Zeitpunkte
4.3.2 Pufferzeiten, kritische Vorgänge und Wege
4.3.3 Strukturanalyse mit CPM, Scheinvorgänge
4.4 MPM – Metra-Potential-Method
4.4.1 Zeitliche Minimal- und Maximalabstände
4.4.2 Zeitplanung mit MPM
5. Flussprobleme
5.1 Flüsse und Schnitte – Das Max-flow-Problem (MFP)
5.2 Das Max-flow Min-cut Theorem von Ford und Fulkerson
5.3 Ein Markierungsalgorithmus für das MFP
5.4 Komplexität und Varianten des Markierungsalgorithmus für das MFP
5.5 Lineare Algebra auf gerichteten Graphen
5.6 Das Min-cost-flow Problem (MCFP)
5.7 Ein primaler Simplexalgorithmus für das MCFP
6. Matchings – Zuordnungen
6.1 Hall Bedingung – Der Heiratssatz
6.2 Maximale Matchings
7. Kombinatorische Optimierungsprobleme
7.1 Lösungsprinzipien
7.2 Das Branch-and-bound Verfahren (B&B)
7.2.1 Das Prinzip
7.2.2 Beispiel
7.2.3 Komponenten von B&B
7.3 Analyse des Travelling-Salesman-Problems (TSP)
7.4 Heuristiken für das symmetrische TSP
7.4.1 Eröffnungsverfahren
7.4.2 Ein Verbesserungsverfahren – 2opt
7.5 Untere Schranken – Relaxationen
7.5.1 MST und 1-Baum Relaxation
7.5.2 Lagrange Relaxation
7.5.3 B&B für das symmetrische TSP
8. Nichtlineare Optimierung
8.1 Problemstellung und Beispiele
8.2 Bezeichnungen und Definitionen
8.3 Optimierungsprobleme ohne Nebenbedingungen – Gradientenverfahren
8.4 Konvexe Mengen und konvexe Funktionen
8.5 Konvexe Optimierungsprobleme
8.6 Verfahren der zulässigen Anstiesrichtungen – ein modifiziertes Gradientenverfahren
8.7 Lagrange Funktion und Kuhn-Tucker-Bedingungen
8.8 Quadratische konvexe Optimierung
Vorschläge für den Beleg
1. Zum Verschlüsseln von Daten bedient man sich oft Public Key Verfahren. Erläutern Sie die
Arbeitsweise solcher Verfahren an Hand des RSA-Verfahrens.
2. Will man RSA verschlüsselte Botschaften entziffern, muß man große Zahlen in Faktoren
zerlegen. Dazu hat J. M. Pollard 1974 bzw. 1975 zwei Verfahren angegeben, die heute unter
den Namen n-1 Verfahren bzw. Pollard Rho bekannt sind. Beide Verfahren sind verständlich
und leicht mit Mathematica oder sogar mit dem Taschenrechner programmierbar.
Programmieren Sie eins dieser Verfahren und erläutern Sie, wieso es funktioniert. Geben Sie
die Primzahlzerlegung von 8.388.607 und 10.266.001 an.
3. Für RSA braucht man große Primzahlen. Es ist aber viel einfacher die Zerlegbarkeit großer
Zahlen nachzuweisen als ihre Unzerlegbarkeit. In diesem Zusammenhang treten
Pseudoprimzahlen auf. Um was für Zahlen handelt es sich dabei? Wie funktioniert der
Pseudoprimzahltest. Wenden Sie diesen Test auf einige große Zahlen an und stellen Sie
gegebenenfalls ihre Zerlegbarkeit fest.
4. In welchem Zusammenhang tritt der Chinesische Restsatz auf? Beweisen Sie ihn. Welche
Phänomene treten auf, wenn die Module nicht teilerfremd sind, und wie geht man damit um?
5. In der Vorlesung haben Sie die Formel von Cayley
t(n) = nn-2
und einen von Pflüger
(1918) stammenden Beweis über die Anzahl der Gerüste im vollständigen Graphen K n
kennengelernt. Geben Sie zwei weitere Beweise Sie dieses Satzes an.
6. Der Satz von Kuratowski sagt sinngemäß, dass jeder nichtplanare Graph den K5 oder den K3,3
enthält. Erklären Sie, was unter „enthält“ zu verstehen ist. Vom Petersen Graphen wissen wir,
dass er nicht planar ist. Welchen der beiden Graphen enthält er?
7. Was sind Matroide und welche Bedeutung haben Sie für den Greedy Algorithmus?
8. Was sind Steiner Bäume und wozu werden Sie verwendet? Geben Sie einen Algorithmus zur
Konstruktion eines minimalen Steiner Baums an.
9. Worin besteht die Idee von Edmonds und Karp zur Konstruktion maximaler Flüsse? Wie
funktioniert ihr Algorithmus?
10. Erläutern Sie die Primal-Dual Methode für das Minimum cost flow problem.
11. Welche Idee von Cunningham schließt das Kreisen im Entartungsfall in der Network Simplex
Methode für das Minimum cost flow problem aus und warum?
12. Erklären Sie die Grundgedanken der Dynamischen Optimierung. Geben Sie einen
Algorithmus für das TSP mit Dynamischer Optimierung an. Welche Ordnung hat dieser
Algorithmus?
13. Erläutern Sie den Algorithmus von Christofides zur Konstruktion guter Rundreisen.
14. In der Optimierung spielt das Farkas-Lemma eine große Rolle. Geben Sie einen Beweis des
Farkas-Lemmas und einige Varianten dieses Lemmas an.
Literatur:
Für die Themen 1 bis 4
Besonders die Bücher [AIG] [BRE], [CHI], [CHV] [JUN] sind verständlich geschrieben. Sie finden
darin auch Anregungen für weitere Themen.
[BRE] Bressoud, David M.: Factorization and Primality Testing, Springer Verlag
[CHI] Childs, Lindsay N.: A Concrete Introduction to Higher Algebra, Springer Verlag
[FOS] Foster, Otto: Algorithmische Zahlentheorie, Vieweg Verlag
Für Thema 5
[DIE] Diestel, Reinhard: Graph Theory, Springer Verlag
Für die Themen 5, 6, 7
[JUN] Jungnickel, Dieter: Graphs, Networks and Algorithms, Springer Verlag
[LIN] Van Lint and Wilson: A course in Combinatorics, Cambridge Univercity Press
Für die Themen 10, 11
[CHV] Chvatal, Vasek: Linear Programming, W.H. Freeman and Co., ISBN 0-7167-1587-2
Für Thema 12
[AIG] Aigner, Martin: Diskrete Mathematik, Vieweg Verlag