Beziehung zwischen Fibonacci

Beziehung zwischen Fibonacci-Folge und Goldener Schnitt
Der Lehrer zeigt folgende Abbildung auf einer Overhead-Folie:
Die Blätter dieser Pflanze sind durchnummeriert nach ihrer Höhe, in der sie
liegen. Nun soll der Winkel zwischen zwei nacheinander
gewachsenen Blättern gemessen werden. Dazu verwendet
der Lehrer zwei Hilfslinien und misst den Winkel φ1, den
sie einschließen, mit einem Geodreieck:
1 138
Diese Prozedur wird für die Blätter 2 und 3 wiederholt.
Es ergibt sich der Winkel φ2.
2 138
Dieses Spiel könnte man für alle Blätter weiterspielen. Es
zeichnet sich jedoch schon ab:  Dieser eingeschlossene Winkel beträgt immer
etwa 138°.
1
Würde man den Winkel zwischen den beiden Geraden andersherum messen, so
kommt man auf einen Winkel von 222° (=360° - 138°).
Welcher Anteil am Vollwinkel ist das?
360  x  222
Tafelbild:
x  0,61

≈ Φ-1
222° nennt man deswegen auch den „Goldenen Winkel“ ψ
Def: ψ := 360° / Φ
Bei den Pflanzen in der Natur taucht allerdings niemals exakt dieser Winkel auf.
Beispiele:

Linden: 180°

Buchen: 240°

Apfelbäume: 216°

Birnbäume: 225°

Weiden: 221,5°
Welchen Anteilen am Vollwinkel entsprechen diese Winkel?
Hinweis für den Lehrer: Die Aufzählung wird zu einer Tabelle erweitert
Pflanze
Anteil am Vollwinkel (Bruch)
in Dezimalschreibweise
Linden: 180°
1/2
0,5
Buchen: 240°
2/3
0,67
Apfelbäume: 216°
3/5
0,6
Birnbäume: 225°
5/8
0,625
Weiden: 221,5°
8/13*
0,6153
* in dieser Zeile wird zuerst die Dezimalzahl berechnet und dann den Bruch „8/13“
hingeschrieben, der die Dezimalzahl sehr gut annähert.
2
Frage an die Schüler: Was fällt euch in dieser Tabelle auf?

2. Spalte: In jeder Zeile steht ein Bruch, dessen Zähler und Nenner
zwei aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen sind.

3. Spalte: Dieser Wert nähert sich immer mehr der Zahl Φ-1 (=
Kehrwert der Goldenen Zahl) an.
Führt man die Tabelle nach diesem Muster weiter, so werden die Näherungen
für Φ-1 immer besser.
Φ-1 = 0,618033989…
Bruchschreibweise
Dezimalschreibweise
13/21
0,6190
21/34
0,6176
34/55
0,6182
55/89
0,6180
usw.
Zusammenhang Fibonacci-Folge  Goldener Schnitt (rechnerisch)
Division von zwei aufeinander folgenden Gliedern der Fibonacci-Folge:
fk … k-tes Glied der Fibonacci-Folge
Def
fk
f k 1

fk
1

f k  f k 1 1  f k 1
fk
Wir haben in der letzten Tabelle gesehen, dass das Verhältnis fk/fk+1 für k  ∞
konvergiert (gegen eine unbekannte Zahl g). Dann konvergiert auch fk-1/fk, und
zwar gegen denselben Grenzwert. Wenn k gegen unendlich geht, dann sieht die
obige Gleichung so aus (nur die beiden äußeren Terme angeschrieben):
g
1
1 g
mit
3
g  lim
k 
fk
f
 lim k 1
f k 1 k  f k
oder äquivalent dazu
g 2  g 1  0
mit den Lösungen
g1 
1 5
 0,6180
2
g2 
1  5
 1,6180
2
Wir haben in der Tabelle gesehen, dass die Folge der Quotienten gegen eine
positive Zahl konvergiert, deswegen ist g1 der Grenzwert. Das ist der Kehrwert
der Goldenen Zahl Φ.
Resümee:
Die Natur dreht jedes ihrer Blätter ungefähr um den Goldenen Winkel weiter.
Botaniker nennen dieses Phänomen Phyllotaxis, die Lehre der Blattstellungen.
So kann die Pflanze das einfallende Sonnenlicht und das Regenwasser optimal
nutzen, weil sich die Blätter gegenseitig möglichst wenig verdecken. Allerdings
entsprechen die Winkel nicht genau dem Goldenen Winkel, sondern etwa jenen
aus der Tabelle auf Seite 2 unten. Deren Anteil am Vollwinkel ist das Verhältnis
zweier aufeinander folgenden Fibonacci-Zahlen.
4