Gleichungen

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Schuljahr 2006/07
Gleichungen
Was ist eine Gleichung?
Eine Gleichung ist eine Aussageform:
f(x,y,z, …) = 0
x, y, z sind die Variablen
Was ist eine Lösung einer Gleichung?
Setzt man erlaubte Zahlen (aus der
Grundmenge) für die Variablen der
Gleichung, dann entsteht eine Aussage.
Ist diese Aussage wahr, dann heißt die
Gesamtheit dieser Zahlen eine Lösung der
Gleichung.
Was ist eine lineare Gleichung in einer
Variablen?
Wenn nur eine Variable in einer
Gleichung vorkommt (meistens x), dann
heißt sie Gleichung in einer Variable.
Eine Gleichung, die auf die Form
ax + b = 0 gebracht werden kann, heißt
lineare Gleichung.
Was ist eine Äquivalenzumformung?
Eine Äquivalenzumformung ist eine
Umformung (eine Rechenoperation), die
die Lösungsmenge (sie enthält alle
Lösungen) unverändert lässt. Eine
Äquivalenzumformung erzeugt weder
neue Lösungen, noch vernichtet oder
ändert sie bestehende.
© Mag. Wolfgang Streit
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Welche Operationen sind
Äquivalenzumformungen? (Was darf ich mit
einer Gleichung machen?)
Man darf zu beiden Seiten einer Gleichung Zahlen
(auch negative) addieren!
f(x) = c  f(x) + a = c + a mit
aR
Man darf beide Seiten einer Gleichung mit der
gleichen Zahl multiplizieren. Diese Zahl darf aber
nicht 0 sein. Die Zahl kann auch kleiner als 1 sein!
f(x) = c  a f(x) = a c mit
a  R \ {0}
Wie löse ich eine lineare Gleichung?
1. Beide Seiten der Gleichung so weit wie möglich
vereinfachen, d.h. alle Klammern auflösen und
alle Produkte ausmultiplizieren
2. Alle Terme mit „x“ auf eine Seite bringen – alle
Konstanten auf die andere.
3. Links und rechts zusammenfassen.
4. Wenn notwendig durch den Koeffizienten der
Variable dividieren.
© Mag. Wolfgang Streit
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Beispiel 1:
Löse über N:
(3x + 2)2 – (2x + 4)(2x – 4) = (3x + 4)(2x – 3) – (x2 – 71) =
Was ist eine Bruchgleichung?
Kommen in einer Gleichung Bruchterme
vor, in deren Nenner Variable vorkommen,
dann heißt sie Bruchgleichung.
Worauf muss ich bei einer
Bruchgleichung achten?
Es müssen alle Wert für die Variable
ausgeschlossen werden, für die die Nenner
den Wert 0 annehmen.
Wie löse ich eine Bruchgleichung?
Zuerst alle Einzelbrüche so weit wie
möglich vereinfachen!
Einen möglichst kleinen gemeinsamen
Nenner aller Einzelnenner bilden, den
Hauptnenner.
Mit diesem Hauptnenner die beiden Seiten
der Gleichung multiplizieren – die Nenner
fallen jetzt alle weg.
ACHTUNG:
weil mit einem Term multipliziert wird, ist
nicht gesichert, dass man, ohne es zu wissen,
mit 0 multipliziert!!
© Mag. Wolfgang Streit
Error!
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Die Nenner sind jetzt weg und man kann fortsetzen wie bei einer normalen Gleichung.
Die „Lösungen“ dieser Prozedur müssen am Ende auf ihre „Tauglichkeit“ überprüft werden, d.h.
man muss testen, ob nicht irgendein Nenner in der Angabe den Wert 0 annimmt, wenn man diese
Lösung einsetzt.
Wie forme ich eine Formel um?
Beispiel 2:
Löse über R:
Error!
Eine Formel ist ein Zusammenhang
zwischen verschiedenen Größen (den
Parametern).
Dieser Zusammenhang ist meist als
Gleichung formuliert, in der ein Parameter
auf einer Seite alleine steht. Dieser Parameter ist
die explizite Größe. Alle anderen heißen implizit.
In der Gleichung
O = 2 (r  h + r2 )
sind die Parameter r und h implizit, der
Parameter O ist explizit angegeben.
Beim Umformen von Formeln soll eine implizite Variable explizit gemacht werden:
1. alle Brüche wegmultiplizieren
2. ausmultiplizieren aller Produkte
3. alle Summanden, die den gesuchten Parameter enthalten auf eine Seite der Gleichung bringen,
alle anderen Summanden auf die andere.
4. Herausheben der gesuchten Variable
© Mag. Wolfgang Streit
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5. dividieren
Beispiel 3:
Die Formel für die Addition von Geschwindigkeiten in der Relativitätstheorie ist
u = Error! . Wie lautet die Formel für w?
Lösungen:
Beispiel 1:
Löse über N:
(3x + 2)2 – (2x + 4)(2x – 4) = (3x + 4)(2x – 3) – (x2 – 71) =
9x2 + 12x + 4 – 4x2 + 16 = 6x2 + 8x – 9x – 12 – x2 + 71 =
5x2 + 12x + 20 = 5x2 – x + 59
dies ist noch keine lineare Gleichung, aber die quadratischen Terme fallen weg
12 x + 20 = –x + 59
man rechnet auf beiden Seiten: +x – 20:
13 x = 39
man rechnet auf beiden Seiten: : 13
x =3
Probe: (9 + 2)2 – (6 + 4)(6 – 4) = (9 + 4)(6 – 3) – (9 – 71)
112 – 10 · 2 = 13 · 3 – 9 + 71
121 – 20 = 39 – 9 + 71
101 = 101
daher ist 3 wirklich eine Lösung, und 3  N.
Beispiel 2:
Löse über R:
Error! 
© Mag. Wolfgang Streit
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Error! 
Error! multipliziert mit x (x – 3)2 
x2 – (x – 3) = (x – 3)2 
x2 – x + 3 = x2 – 6x + 9 
5x = 6 
x = Error!
wenn es eine Lösung gibt, dann x = Error!. x darf nicht 3 oder 0 sein, weil dann ein Nenner den
Wert 0 annehmen würde!
Beispiel 3:
Die Formel für die Addition von Geschwindigkeiten in der Relativitätstheorie ist
u = Error! . Wie lautet die Formel für w?
u = Error! = Error! 
uc2 + uvw = c2v + c2w

uvw – c2w = c2v – uc2 
w(uv – c2) = c2v – uc2 
w = Error!
Dies ist eine erlaubte Lösung, in diesem Fall ist aber eine interessante Variante:
Zähler und Nenner durch –c2 dividiert:
w = Error!
das ist also gleich wie die Originalformel, wenn man u durch v und w durch – v ersetzt. Hier sind
man das Grundprinzip der Speziellen Relativitätsprinzip (jedes Naturgesetz nimmt in jedem
Inertialsystem die gleiche Form an. Ein Wechsel des Bezugsystems ändert nichts an den
grundlegenden Zusammenhängen)
© Mag. Wolfgang Streit
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