3. Schriftliche Wiederholung aus Physik Donnerstag, 27. Februar 1997

2. Schularbeit aus Mathematik und angewandter Mathematik
5 ck – hiebaum
Dienstag, 11. März 2014
Gruppe A
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
Beispiel 1:
a)
Die Produktionsleistung P(t) einer chemischen Synthese verläuft wie
in der Skizze angegeben. Ermitteln Sie für diesen
Funktionsgraphenverlauf einen geeigneten Ansatz und begründen Sie
Ihre Wahl.
y = k t2 (t – m) = at3 + bt2 weil die Funktion eine Doppelnullstelle
an der Stelle 0 hat und deswegen (t – 0)2 ein Faktor in der
Funktionsgleichung sein muss. (t – m) muss ebenso ein Faktor sein,
weil eine Einfachnullstelle an der Stelle m vorliegt.
k muss als Faktor auftreten, weil die y – Werte nicht festgelegt sind.
b)
Die Firma ermittelt folgende Daten für die Produktionsleistung:
t
2
4
6
in Stunden
P
30
80
50
in Liter/Stunden (L/h)
Ermitteln Sie mit der Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende Funktion der Form
P(t) = at3 + bt2.
F(a,b) =
50 816 a + 8 832 b = 16 160 und
daher P(t) = 11,87 t2 – 1,745 t3
8 832 a + 1 568 b = 3 200 ⇒ a = –1,745 und b = 11,87
c)
Die Produktionsleistung sei P(t) = 12t2 – 2t3. P in Liter/Stunden (L/h), t in Stunden (h).
Berechnen Sie die Gleichung für die Gesamtmenge und die produzierte Gesamtmenge nach 5 Stunden.
Die Gesamtproduktion läuft 6 Stunden lang.
Berechnen Sie den Anteil der unbrauchbaren Menge, wenn die Produktion der ersten halben und der letzten
halben Stunde unbrauchbar ist.
M(t) = Error! = 4t3 – 0,5t4
M(5) = 187,5
Anteil brauchbar = Error! = Error! = 0,96 also 4 % der Produktion unbrauchbar
d)
Die Gleichung für die Gesamtmenge sei M(t), t in Stunden (h), M in Liter (L).
Kreuzen Sie an, welche der folgenden Aussagen zutreffen:
Der Term M(b) – M(a) berechnet die produzierte Gesamtmenge zwischen den Zeitpunkten b und a.
x
Mit M(t) < k berechnet man den Zeitpunkt, für den die Gesamtmenge kleiner als k ist
x
Die Ableitung Error!(s) gibt die durchschnittliche Produktionsleistung zwischen den Zeitpunkten 0 und
s an.
Die Ableitung Error!(f) gibt die momentane Produktionsleistung in L/h für den Zeitpunkt f an.
x
A
Beispiel 2:
a)
Die Benutzerzahlen (täglich) für öffentliche Verkehrsmittel in einer Stadt mit 2 Mio. Einwohnern ergeben
folgendes Bild:
Jahr
Benutzer pro Tag in Tausend
2000
300
2005
450
2010
620
2013
600
Berechnen Sie für diese Daten eine lineare Regression. Benutzen Sie t = 0 für das Jahr 2000 und t = 1 für das
Jahr 2001.
Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten. Geben Sie die durchschnittliche Wachstumsrate (= Zunahme der
täglichen Benutzer pro Jahr) an. Interpretieren Sie den fallenden Wert von 2010 auf 2013. Berechnen Sie mit der
Regressionsgeraden, wann alle Einwohner dieser Stadt mit öffentlichen Verkehrsmitteln unterwegs sind. Ist das
realistisch?
b)
B(t) = 25, 102 t + 316,8 mit r = 96 %
durchschnittliche Wachstumsrate = 25 102 Benutzer / Jahr
2 000 = 25,102t + 316,8 ⇒ t = 67 im Jahr 2067 lineares Wachstum kann nicht immer so weitergehen
Die Anzahl der Fahrgäste in einem bestimmten Zeitintervall streut normal mit einer Streuung von 60 um den
Mittelwert 500. Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit
mehr als 600 Leute
weniger als 550 Leute
befördert werden müssen.
W(x ≥ 600) = 1 – normal(600, 500, 60) = 4,8 % W(x ≤ 550) = normal(550, 500, 60) = 79,8 %
c)
Die Anzahl der Fahrgäste in einem bestimmten Zeitintervall streut normal mit einer Streuung von 60 um den
Mittelwert 500. Berechnen Sie, welche Kapazität bereit gestellt werden muss, damit mit 90 %-iger
Wahrscheinlichkeit alle Fahrgäste befördert werden können.
normal(x, 500, 60) = 0,9 ⇒ x = 577 Es muss eine Kapazität von 577 Personen bereitgestellt werden.
d)
40 % aller Befragten einer Stichprobe geben an, mit der Qualität des öffentlichen Verkehrs zufrieden zu sein. Ein
95 % - Konfidenzintervall ergibt sich dann mit [38 % / 42 %]. Berechnen Sie die Anzahl der Befragten.
2 normal(z) – 1 = 0,95 ⇒ z = 1,96
1,96 Error! = 0,02 ⇒ n = 2 305
Beispiel 3:
a)
In einer Produktion kühlt eine Schmelze auf die Temperatur 80° C exponentiell ab. Die Messdaten sind:
Zeit in Stunden
0
2
4
6
Temperatur in Grad Celsius
480
200
150
100
Ermitteln Sie eine möglichst gut passende Funktion T(t) für diesen Vorgang. T in °C, t in Stunden.
Grundpegel 80 abziehen: T(t) = 378 ⋅ e–0,476 t + 80
b)
c)
d)
Ein radioaktives Element verliert mit der Gleichung A(t) = A0 e λt seine Aktivität. A in Kilobecquerel (kBq), t in
Jahren. Berechnen Sie A0 und λ aus folgenden Daten: nach 10 Jahre ist die Aktivität 20 kBq, die Halbwertszeit
beträgt 25 Jahre.
20 = A0 e λ 10
2 = e λ 25 ⇒ λ = –0,0277 und A0 = 26,4
Die Kosten für die Herstellung einer Substanz verlaufen progressiv mit folgenden Daten:
Menge x in ME
5
6
7
9
Kosten in GE
1.200
1.400
1.700
2.200
Berechnen Sie eine quadratische Regression für diese Daten.
K(x) = 4,55x2 + 190x + 125,45
Die Kosten für die Herstellung einer Substanz verlaufen progressiv mit folgender Kostenfunktion:
K(x) = 5x2 + 190x + 125 für x ∈ [0 / 25]. x in ME und K in GE. Die Nachfragefunktion für dieses Produkt ist
linear mit: p(x) = 500 – 10x, x in ME, p in GE/ME.
Berechnen Sie die langfristige Preisuntergrenze und den maximalen Gewinn. Berechnen Sie den Preis, bei dem
dieser maximale Gewinn auftritt.
BO: Error! = Error! = 0 
x=5
LPU = Error!(5) = 240 GE/ME
G(x) = p(x) x – K(x) = –15x2 +310x – 125 Error! = 0  x = 10,33 G(10,33) = 1 476,67 GE p(10,33)
= 396,67 GE/ME
A
Beispiel 4:
a)
Die produzierte Windenergieleistung W(v) in Kilowatt (kW) ist von der Windgeschwindigkeit v in Meter pro
Sekunden (m/s) mit der dritten Potenz von v abhängig. Es gilt W(v) = Error!, wobei k ein von der Form des
Windradpropellers abhängiger Parameter ist. Berechnen Sie den Parameter k durch Regression aus folgenden
Daten:
Windgeschwindigkeit in m/s
produzierte Leistung in kW
2
15
4
30
10
250
1 004 160 a = 252 040  a = Error! = 0,251  k = 1,992
b)
Die Errichtungskosten pro Windenergieanlage sind mit K(n) = Error! von der Menge n der Windräder
abhängig. K sind die Kosten in GE/Stk., n ist die Stückzahl der errichteten Windenergieanlagen. Berechnen Sie
aus folgenden Daten eine möglichst gut passende Kostenfunktion der obigen Form. Erweitern Sie den Bruch so,
dass im Nenner keine Dezimalzahlen stehen.
n
K
in Stk.
in GE/Stk.
Transformation y =
c)
10
2.000
20
700
Error! = a n + b
30
500
liefert y = 0,000075n – 0,00019 daher K(n) =
Error!
Ein Profil eines Bauteils ist wie y(x) = ax3 + b geformt.
Das Form dieses Profil ist in der Grafik rechts abgebildet.
Berechnen Sie eine möglichst genaue Gleichung der
Funktion. Die Methode unterliegt ihrer Wahl, beschreiben
Sie jedoch ihre Rechenmethode.
Y(x) = 3x3 + 2 500
entweder Regression mit 2 oder mehr Punkten
oder
Y(0) = 2 500 und Y(8) = 4 000  4 000 = a 83 + 2 500
 a = 2,93
d)
Die nachgefragte Menge n und die angebotene Menge a hängen vom Marktpreis p so ab:
p
in GE/ME
10
20
30
n
in ME
20
13
5
a
in ME
12
15
22
Rechnen Sie für die Nachfragefunktion p(n) eine Regression der Form p(n) = Error! und für die
Angebotsfunktion p(a) eine lineare Funktion mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate.
p(n) =
1;0
=
004742 n
p(a) = 1,9 a – 11
Error!
2. Schularbeit aus Mathematik und angewandter Mathematik
5 ck – hiebaum
Dienstag, 11. März 2014
Gruppe B
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
Beispiel 1:
a)
Die Produktionsleistung P(t) einer chemischen Synthese verläuft wie
in der Skizze angegeben. Ermitteln Sie für diesen
Funktionsgraphenverlauf einen geeigneten Ansatz und begründen Sie
Ihre Wahl.
y = k t2 (t – m) = at3 + bt2 weil die Funktion eine Doppelnullstelle
an der Stelle 0 hat und deswegen (t – 0)2 ein Faktor in der
Funktionsgleichung sein muss. (t – m) muss ebenso ein Faktor sein,
weil eine Einfachnullstelle an der Stelle m vorliegt.
k muss als Faktor auftreten, weil die y – Werte nicht festgelegt sind.
b)
Die Firma ermittelt folgende Daten für die Produktionsleistung:
t
2
4
6
in Stunden
P
300
800
500
in Liter/Stunden (L/h)
Ermitteln Sie mit der Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende Funktion der Form
P(t) = at3 + bt2.
50 816 a + 8 832 b = 161 600 und
daher P(t) = 118,7 t2 – 17,45 t3
8 832 a + 1 568 b = 32 000 ⇒ a = –17,45 und b = 118,7
c)
Die Produktionsleistung sei P(t) = 6t2 – t3. P in Liter/Stunden (L/h), t in Stunden (h).
Berechnen Sie die Gleichung für die Gesamtmenge und die produzierte Gesamtmenge nach 5 Stunden.
Die Gesamtproduktion läuft 6 Stunden lang.
Berechnen Sie den Anteil der unbrauchbaren Menge, wenn die Produktion der ersten halben und der letzten
halben Stunde unbrauchbar ist.
M(t) = Error! = 2t3 – 0,25t4
M(5) = 93,8
Anteil brauchbar = Error! = Error! = 0,96 also 4 % der Produktion unbrauchbar
d)
Die Gleichung für die Gesamtmenge sei M(t), t in Stunden (h), M in Liter (L).
Kreuzen Sie an, welche der folgenden Aussagen zutreffen:
Der Term M(b) – M(a) berechnet die produzierte Gesamtmenge zwischen den Zeitpunkten b und a.
x
Mit M(t) < k berechnet man den Zeitpunkt, für den die Gesamtmenge kleiner als k ist
x
Die Ableitung Error!(s) gibt die durchschnittliche Produktionsleistung zwischen den Zeitpunkten 0 und
s an.
Die Ableitung Error!(f) gibt die momentane Produktionsleistung in L/h für den Zeitpunkt f an.
x
A
Beispiel 2:
a)
Die Benutzerzahlen (täglich) für öffentliche Verkehrsmittel in einer Stadt mit 200 000 Einwohnern ergeben
folgendes Bild:
Jahr
Benutzer pro Tag in Tausend
2000
30
2005
45
2010
62
2013
60
Berechnen Sie für diese Daten eine lineare Regression. Benutzen Sie t = 0 für das Jahr 2000 und t = 1 für das
Jahr 2001.
Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten. Geben Sie die durchschnittliche Wachstumsrate (= Zunahme der
täglichen Benutzer pro Jahr) an. Interpretieren Sie den fallenden Wert von 2010 auf 2013. Berechnen Sie mit der
Regressionsgeraden, wann alle Einwohner dieser Stadt mit öffentlichen Verkehrsmitteln unterwegs sind. Ist das
realistisch?
b)
B(t) = 2,5102 t + 31,68 mit r = 96 %
durchschnittliche Wachstumsrate = 2 510 Benutzer / Jahr
200 000 = 2,5102t + 31,68 ⇒ t = 67 im Jahr 2067 lineares Wachstum kann nicht immer so weitergehen
Die Anzahl der Fahrgäste in einem bestimmten Zeitintervall streut normal mit einer Streuung von 60 um den
Mittelwert 500. Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit
mehr als 600 Leute
weniger als 550 Leute
befördert werden müssen.
W(x ≥ 600) = 1 – normal(600, 500, 60) = 4,8 % W(x ≤ 550) = normal(550, 500, 60) = 79,8 %
c)
Die Anzahl der Fahrgäste in einem bestimmten Zeitintervall streut normal mit einer Streuung von 60 um den
Mittelwert 500. Berechnen Sie, welche Kapazität bereit gestellt werden muss, damit mit 90 %-iger
Wahrscheinlichkeit alle Fahrgäste befördert werden können.
normal(x, 500, 60) = 0,9 ⇒ x = 577 Es muss eine Kapazität von 577 Personen bereitgestellt werden.
d)
70 % aller Befragten einer Stichprobe geben an, mit der Qualität des öffentlichen Verkehrs zufrieden zu sein. Ein
95 % - Konfidenzintervall ergibt sich dann mit [68 % / 72 %]. Berechnen Sie die Anzahl der Befragten.
2 normal(z) – 1 = 0,95 ⇒ z = 1,96
1,96 Error! = 0,02 ⇒ n = 2 017
Beispiel 3:
a)
In einer Produktion kühlt eine Schmelze auf die Temperatur 80° C exponentiell ab. Die Messdaten sind:
Zeit in Stunden
0
2
4
6
Temperatur in Grad Celsius
480
200
150
100
Ermitteln Sie eine möglichst gut passende Funktion T(t) für diesen Vorgang. T in °C, t in Stunden.
Grundpegel 80 abziehen: T(t) = 378 ⋅ e–0,476 t + 80
b)
c)
d)
Ein radioaktives Element verliert mit der Gleichung A(t) = A0 e λt seine Aktivität. A in Kilobecquerel (kBq), t in
Jahren. Berechnen Sie A0 und λ aus folgenden Daten: nach 10 Jahre ist die Aktivität 20 kBq, die Halbwertszeit
beträgt 25 Jahre.
20 = A0 e λ 10
2 = e λ 25 ⇒ λ = –0,0277 und A0 = 26,4
Die Kosten für die Herstellung einer Substanz verlaufen progressiv mit folgenden Daten:
Menge x in ME
5
6
7
9
Kosten in GE
12.000
14.000
17.000
22.000
Berechnen Sie eine quadratische Regression für diese Daten.
K(x) = 45,5x2 + 1 900x + 1254,5
Die Kosten für die Herstellung einer Substanz verlaufen progressiv mit folgender Kostenfunktion:
K(x) = 50x2 + 1 900x + 1 250 für x ∈ [0 / 25]. x in ME und K in GE. Die Nachfragefunktion für dieses Produkt
ist linear mit: p(x) = 5 000 – 100x, x in ME, p in GE/ME.
Berechnen Sie die langfristige Preisuntergrenze und den maximalen Gewinn. Berechnen Sie den Preis, bei dem
dieser maximale Gewinn auftritt.
BO: Error! = Error! = 0 
x=5
LPU = Error!(5) = 2 400 GE/ME
G(x) = p(x) x – K(x) = –150x2 +3100x – 1250 Error! = 0  x = 10,33 G(10,33) = 14 766,7 GE
p(10,33) = 3966,7 GE/ME
A
Beispiel 4:
a)
Die produzierte Windenergieleistung W(v) in Kilowatt (kW) ist von der Windgeschwindigkeit v in Meter pro
Sekunden (m/s) mit der dritten Potenz von v abhängig. Es gilt W(v) = Error!, wobei k ein von der Form des
Windradpropellers abhängiger Parameter ist. Berechnen Sie den Parameter k durch Regression aus folgenden
Daten:
Windgeschwindigkeit in m/s
produzierte Leistung in kW
2
15
4
30
10
250
1 004 160 a = 252 040  a = Error! = 0,251  k = 1,992
b)
Die Errichtungskosten pro Windenergieanlage sind mit K(n) = Error! von der Menge n der Windräder
abhängig. K sind die Kosten in GE/Stk., n ist die Stückzahl der errichteten Windenergieanlagen. Berechnen Sie
aus folgenden Daten eine möglichst gut passende Kostenfunktion der obigen Form. Erweitern Sie den Bruch so,
dass im Nenner keine Dezimalzahlen stehen.
n
K
in Stk.
in GE/Stk.
Transformation y =
c)
10
2.000
20
700
Error! = a n + b
30
500
liefert y = 0,000075n – 0,00019 daher K(n) =
Error!
Ein Profil eines Bauteils ist wie y(x) = ax3 + b geformt.
Das Form dieses Profil ist in der Grafik rechts abgebildet.
Berechnen Sie eine möglichst genaue Gleichung der
Funktion. Die Methode unterliegt ihrer Wahl, beschreiben
Sie jedoch ihre Rechenmethode.
Y(x) = 3x3 + 2 500
entweder Regression mit 2 oder mehr Punkten
oder
Y(0) = 2 500 und Y(8) = 4 000  4 000 = a 83 + 2 500
 a = 2,93
d)
Die nachgefragte Menge n und die angebotene Menge a hängen vom Marktpreis p so ab:
p
in GE/ME
10
20
30
n
in ME
20
13
5
a
in ME
12
15
22
Rechnen Sie für die Nachfragefunktion p(n) eine Regression der Form p(n) = Error! und für die
Angebotsfunktion p(a) eine lineare Funktion mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate.
p(n) =
1;0
=
004742 n
p(a) = 1,9 a – 11
Error!
2. Schularbeit aus Mathematik und angewandter Mathematik
5 ck – hiebaum
Dienstag, 11. März 2014
Gruppe A
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
Beispiel 1:
a)
Die Produktionsleistung P(t) einer chemischen Synthese verläuft
wie in der Skizze angegeben. Ermitteln Sie für diesen
Funktionsgraphenverlauf einen geeigneten Ansatz und begründen
Sie Ihre Wahl.
b)
Die Firma ermittelt folgende Daten für die Produktionsleistung:
t
2
4
6
in Stunden
P
30
80
50
in Liter/Stunden (L/h)
Ermitteln Sie mit der Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende Funktion der Form
P(t) = at3 + bt2.
c)
Die Produktionsleistung sei P(t) = 12t2 – 2t3. P in Liter/Stunden (L/h), t in Stunden (h).
Berechnen Sie die Gleichung für die Gesamtmenge und die produzierte Gesamtmenge nach 5 Stunden.
Die Gesamtproduktion läuft 6 Stunden lang.
Berechnen Sie den Anteil der unbrauchbaren Menge, wenn die Produktion der ersten halben und der letzten
halben Stunde unbrauchbar ist.
d)
Die Gleichung für die Gesamtmenge sei M(t), t in Stunden (h), M in Liter (L).
Kreuzen Sie an, welche der folgenden Aussagen zutreffen:
Der Term M(b) – M(a) berechnet die produzierte Gesamtmenge zwischen den Zeitpunkten b und a.
Mit M(t) < k berechnet man den Zeitpunkt, für den die Gesamtmenge kleiner als k ist
Die Ableitung Error!(s) gibt die durchschnittliche Produktionsleistung zwischen den Zeitpunkten 0 und
s an.
Die Ableitung Error!(f) gibt die momentane Produktionsleistung in L/h für den Zeitpunkt f an.
A
Beispiel 2:
a)
Die Benutzerzahlen (täglich) für öffentliche Verkehrsmittel in einer Stadt mit 2 Mio. Einwohnern ergeben
folgendes Bild:
Jahr
Benutzer pro Tag in Tausend
2000
300
2005
450
2010
620
2013
600
Berechnen Sie für diese Daten eine lineare Regression. Benutzen Sie t = 0 für das Jahr 2000 und t = 1 für das
Jahr 2001.
Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten. Geben Sie die durchschnittliche Wachstumsrate (= Zunahme der
täglichen Benutzer pro Jahr) an. Interpretieren Sie den fallenden Wert von 2010 auf 2013. Berechnen Sie mit der
Regressionsgeraden, wann alle Einwohner dieser Stadt mit öffentlichen Verkehrsmitteln unterwegs sind. Ist das
realistisch?
b)
Die Anzahl der Fahrgäste in einem bestimmten Zeitintervall streut normal mit einer Streuung von 60 um den
Mittelwert 500. Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit
mehr als 600 Leute
weniger als 550 Leute
befördert werden müssen.
c)
Die Anzahl der Fahrgäste in einem bestimmten Zeitintervall streut normal mit einer Streuung von 60 um den
Mittelwert 500. Berechnen Sie, welche Kapazität bereit gestellt werden muss, damit mit 90 %-iger
Wahrscheinlichkeit alle Fahrgäste befördert werden können.
d)
40 % aller Befragten einer Stichprobe geben an, mit der Qualität des öffentlichen Verkehrs zufrieden zu sein. Ein
95 % - Konfidenzintervall ergibt sich dann mit [38 % / 42 %]. Berechnen Sie die Anzahl der Befragten.
Beispiel 3:
a)
In einer Produktion kühlt eine Schmelze auf die Temperatur 80° C exponentiell ab. Die Messdaten sind:
Zeit in Stunden
0
2
4
6
Temperatur in Grad Celsius
480
200
150
100
Ermitteln Sie eine möglichst gut passende Funktion T(t) für diesen Vorgang. T in °C, t in Stunden.
b)
Ein radioaktives Element verliert mit der Gleichung A(t) = A0 e λt seine Aktivität. A in Kilobecquerel (kBq), t in
Jahren. Berechnen Sie A0 und λ aus folgenden Daten: nach 10 Jahre ist die Aktivität 20 kBq, die Halbwertszeit
beträgt 25 Jahre.
c)
Die Kosten für die Herstellung einer Substanz verlaufen progressiv mit folgenden Daten:
Menge x in ME
5
6
7
9
Kosten in GE
1.200
1.400
1.700
2.200
Berechnen Sie eine quadratische Regression für diese Daten.
d)
Die Kosten für die Herstellung einer Substanz verlaufen progressiv mit folgender Kostenfunktion:
K(x) = 5x2 + 190x + 125 für x ∈ [0 / 25]. x in ME und K in GE. Die Nachfragefunktion für dieses Produkt ist
linear mit: p(x) = 500 – 10x, x in ME, p in GE/ME.
Berechnen Sie die langfristige Preisuntergrenze und den maximalen Gewinn. Berechnen Sie den Preis, bei dem
dieser maximale Gewinn auftritt.
A
Beispiel 4:
a)
Die produzierte Windenergieleistung W(v) in Kilowatt (kW) ist von der Windgeschwindigkeit v in Meter pro
Sekunden (m/s) mit der dritten Potenz von v abhängig. Es gilt W(v) = Error!, wobei k ein von der Form des
Windradpropellers abhängiger Parameter ist. Berechnen Sie den Parameter k durch Regression aus folgenden
Daten:
Windgeschwindigkeit in m/s
produzierte Leistung in kW
b)
2
15
4
30
10
250
Die Errichtungskosten pro Windenergieanlage sind mit K(n) = Error! von der Menge n der Windräder
abhängig. K sind die Kosten in GE/Stk., n ist die Stückzahl der errichteten Windenergieanlagen. Berechnen Sie
aus folgenden Daten eine möglichst gut passende Kostenfunktion der obigen Form. Erweitern Sie den Bruch so,
dass im Nenner keine Dezimalzahlen stehen.
n
K
in Stk.
in GE/Stk.
10
2.000
20
700
30
500
c)
Ein Profil eines Bauteils ist wie y(x) = ax3 + b geformt. Das Form dieses Profil ist in der Grafik rechts
abgebildet.
Berechnen Sie eine möglichst genaue Gleichung der Funktion. Die Methode unterliegt ihrer Wahl, beschreiben
Sie jedoch ihre Rechenmethode.
d)
Die nachgefragte Menge n und die angebotene Menge a hängen vom Marktpreis p so ab:
p
in GE/ME
10
20
30
n
in ME
20
13
5
a
in ME
12
15
22
Rechnen Sie für die Nachfragefunktion p(n) eine Regression der Form p(n) = Error! und für die
Angebotsfunktion p(a) eine lineare Funktion mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate.
2. Schularbeit aus Mathematik und angewandter Mathematik
5 ck – hiebaum
Dienstag, 11. März 2014
Gruppe B
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
Beispiel 1:
a)
Die Produktionsleistung P(t) einer chemischen Synthese
verläuft wie in der Skizze angegeben. Ermitteln Sie für
diesen Funktionsgraphenverlauf einen geeigneten Ansatz
und begründen Sie Ihre Wahl.
b)
Die Firma ermittelt folgende Daten für die
Produktionsleistung:
t
2
4
6
P
300
800
500
Ermitteln Sie mit der Methode der kleinsten Quadrate
eine möglichst gut passende Funktion der Form
P(t) = at3 + bt2.
in Stunden
in Liter/Stunden (L/h)
c)
Die Produktionsleistung sei P(t) = 6t2 – t3. P in Liter/Stunden (L/h), t in Stunden (h).
Berechnen Sie die Gleichung für die Gesamtmenge und die produzierte Gesamtmenge nach 5 Stunden.
Die Gesamtproduktion läuft 6 Stunden lang.
Berechnen Sie den Anteil der unbrauchbaren Menge, wenn die Produktion der ersten halben und der letzten
halben Stunde unbrauchbar ist.
d)
Die Gleichung für die Gesamtmenge sei M(t), t in Stunden (h), M in Liter (L).
Kreuzen Sie an, welche der folgenden Aussagen zutreffen:
Der Term M(b) – M(a) berechnet die produzierte Gesamtmenge zwischen den Zeitpunkten b und a.
Mit M(t) < k berechnet man den Zeitpunkt, für den die Gesamtmenge kleiner als k ist
Die Ableitung Error!(s) gibt die durchschnittliche Produktionsleistung zwischen den Zeitpunkten 0 und
s an.
Die Ableitung Error!(f) gibt die momentane Produktionsleistung in L/h für den Zeitpunkt f an.
B
Beispiel 2:
a)
Die Benutzerzahlen (täglich) für öffentliche Verkehrsmittel in einer Stadt mit 200 000 Einwohnern ergeben
folgendes Bild:
Jahr
Benutzer pro Tag in Tausend
2000
30
2005
45
2010
62
2013
60
Berechnen Sie für diese Daten eine lineare Regression. Benutzen Sie t = 0 für das Jahr 2000 und t = 1 für das
Jahr 2001.
Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten. Geben Sie die durchschnittliche Wachstumsrate (= Zunahme der
täglichen Benutzer pro Jahr) an. Interpretieren Sie den fallenden Wert von 2010 auf 2013. Berechnen Sie mit der
Regressionsgeraden, wann alle Einwohner dieser Stadt mit öffentlichen Verkehrsmitteln unterwegs sind. Ist das
realistisch?
b)
Die Anzahl der Fahrgäste in einem bestimmten Zeitintervall streut normal mit einer Streuung von 60 um den
Mittelwert 500. Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit
mehr als 600 Leute
weniger als 550 Leute
befördert werden müssen.
c)
Die Anzahl der Fahrgäste in einem bestimmten Zeitintervall streut normal mit einer Streuung von 60 um den
Mittelwert 500. Berechnen Sie, welche Kapazität bereit gestellt werden muss, damit mit 90 %-iger
Wahrscheinlichkeit alle Fahrgäste befördert werden können.
d)
70 % aller Befragten einer Stichprobe geben an, mit der Qualität des öffentlichen Verkehrs zufrieden zu sein. Ein
95 % - Konfidenzintervall ergibt sich dann mit [68 % / 72 %]. Berechnen Sie die Anzahl der Befragten.
Beispiel 3:
a)
In einer Produktion kühlt eine Schmelze auf die Temperatur 80° C exponentiell ab. Die Messdaten sind:
Zeit in Stunden
0
2
4
6
Temperatur in Grad Celsius
480
200
150
100
Ermitteln Sie eine möglichst gut passende Funktion T(t) für diesen Vorgang. T in °C, t in Stunden.
b)
Ein radioaktives Element verliert mit der Gleichung A(t) = A0 e λt seine Aktivität. A in Kilobecquerel (kBq), t in
Jahren. Berechnen Sie A0 und λ aus folgenden Daten: nach 10 Jahre ist die Aktivität 20 kBq, die Halbwertszeit
beträgt 25 Jahre.
c)
Die Kosten für die Herstellung einer Substanz verlaufen progressiv mit folgenden Daten:
Menge x in ME
5
6
7
9
Kosten in GE
12.000
14.000
17.000
22.000
Berechnen Sie eine quadratische Regression für diese Daten.
d)
Die Kosten für die Herstellung einer Substanz verlaufen progressiv mit folgender Kostenfunktion:
K(x) = 50x2 + 1 900x + 1 250 für x ∈ [0 / 25]. x in ME und K in GE. Die Nachfragefunktion für dieses Produkt
ist linear mit: p(x) = 5 000 – 100x, x in ME, p in GE/ME.
Berechnen Sie die langfristige Preisuntergrenze und den maximalen Gewinn. Berechnen Sie den Preis, bei dem
dieser maximale Gewinn auftritt.
B
Beispiel 4:
a)
Die produzierte Windenergieleistung W(v) in Kilowatt (kW) ist von der Windgeschwindigkeit v in Meter pro
Sekunden (m/s) mit der dritten Potenz von v abhängig. Es gilt W(v) = Error!, wobei k ein von der Form des
Windradpropellers abhängiger Parameter ist. Berechnen Sie den Parameter k durch Regression aus folgenden
Daten:
Windgeschwindigkeit in m/s
produzierte Leistung in kW
b)
2
15
4
30
10
250
Die Errichtungskosten pro Windenergieanlage sind mit K(n) = Error! von der Menge n der Windräder
abhängig. K sind die Kosten in GE/Stk., n ist die Stückzahl der errichteten Windenergieanlagen. Berechnen Sie
aus folgenden Daten eine möglichst gut passende Kostenfunktion der obigen Form. Erweitern Sie den Bruch so,
dass im Nenner keine Dezimalzahlen stehen.
n
K
in Stk.
in GE/Stk.
10
2.000
20
700
30
500
c)
Ein Profil eines Bauteils ist wie y(x) = ax3 + b geformt. Das Form dieses Profil ist in der Grafik unten abgebildet.
Berechnen Sie eine möglichst genaue Gleichung der Funktion. Die Methode unterliegt ihrer Wahl, beschreiben
Sie jedoch ihre Rechenmethode.
d)
Die nachgefragte Menge n und die angebotene Menge a hängen vom Marktpreis p so ab:
p
in GE/ME
10
20
30
n
in ME
20
13
5
a
in ME
12
15
22
Rechnen Sie für die Nachfragefunktion p(n) eine Regression der Form p(n) = Error! und für die
Angebotsfunktion p(a) eine lineare Funktion mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate.