Gleichungssysteme

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Gleichungsysteme
Schuljahr 2005 / 06
Gleichungssysteme
Was ist ein Gleichungssystem?
Mehrere Gleichungen, deren Variablen in
jeder Gleichung den gleichen Wert
repräsentatieren, heißen
Gleichungssystem.
Was ist eine Lösung eines
Gleichungssystems?
Setzt man erlaubte Zahlen (aus der
Grundmenge) für die Variablen der
Gleichung, dann entstehen so viele
Aussagen wie Gleichungen vorhanden
sind. Sind alle diese Aussagen wahr, dann
heißt die Gesamtheit dieser Zahlen eine
Lösung des Systems.
Was ist ein lineares Gleichungssystem
Wenn alle Gleichungen des Systems
linear sind, dann heißt das
Gleichungssystem linear.
Was ist eine Äquivalenzumformung?
Eine Äquivalenzumformung ist eine
Umformung (eine Rechenoperation), die
die Lösungsmenge (sie enthält alle
Lösungen) unverändert lässt. Eine
Äquivalenzumformung erzeugt weder
neue Lösungen, noch vernichtet oder
ändert sie bestehende.
© Mag. Wolfgang Streit
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Welche Operationen sind Äquivalenzumformungen?
(Was darf ich mit einem Gleichungssystem machen?)
Man darf zu beiden Seiten einer Gleichung Zahlen (auch
negative) addieren!
f(x) = c  f(x) + a = c + a mit
aR
Man darf beide Seiten einer Gleichung mit der gleichen
Zahl multiplizieren. Diese Zahl darf aber nicht 0 sein.
Die Zahl kann auch kleiner als 1 sein!
f(x) = c  a f(x) = a c mit
a  R \ {0}
Man darf je zwei Gleichungen eines Systems addieren.
Wie löse ich ein lineares Gleichungssystem?
(Der Gaußsche Eliminationsalgorithmus)
1. Jede einzelne Gleichung so weit wie möglich
vereinfachen
2. Alle Terme mit Variablen auf die linke Seite bringen,
alle Konstanten auf die rechte Seite bringen. Diese
Darstellung heißt Normalform.
3. Eine Variable zur Elimination auswählen. Sie muss in
wenigstens 2 Gleichungen vorkommen und sollte
einfache oder kleine Koeffizienten haben.
4. Eine Gleichung auswählen, in der die gewählte
Variable vorkommt.
5. Durch geeignete Multiplikation mit Faktoren und
Addition von Gleichungen die Variable mit Hilfe der
ausgewählten Gleichung aus allen anderen „wegrechnen“ (eliminieren).
6. Wenn das geschehen ist, hat sich das
Gleichungssystem um eine Gleichung und eine
Variable reduziert.
7. Mit 3. fortsetzen, bis nur mehr 1 Gleichung in einer
Variablen übrig ist. Jetzt kennt man im allgemeinen
den Wert einer Variablen.
8. Diesen Wert in eine Gleichung mit 2 Variablen
einsetzen und die zweite Variable ausrechnen, usw.
bis alle Werte bekannt sind.
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Beispiel 1:
5x + 2y = 35
2x – 3y = –24
Beispiel 2:
2 x1 + 3 x2 –
x3
x1 + x2 + 4 x3
x1 + 2 x2 + 10 x3
–3 x1
+ 5 x3
© Mag. Wolfgang Streit
+
+2
–5
+2
x4
x4
x4
x4
=
7
= –5
= 32
= –19
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Was geschieht, wenn weniger
Gleichungen als Variable da sind?
Dann hat das Gleichungssystem nicht nur
eine Lösung, sondern unendlich viele.
Man kann dann nur sogenannte
Parameterlösungen angeben.
Beispiel 3:
x +2 y – 3 z
2 x + y – 9 z
=
=
5
7
Was geschieht, wenn mehr
Gleichungen als Variable da sind?
Dann hat das Gleichungssystem im
Allgemeinen keine Lösung, weil sich
Gleichungen widersprechen werden.
© Mag. Wolfgang Streit
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Beispiel 4:
x +2 y
2 x + y
x –4 y
=
=
=
7
8
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Was ist ein linear abhängiges System?
Lassen sich eine oder mehrere
Gleichungen durch Linearkombinationen
der anderen (z.Bsp. C = 5A + 3B)
darstellen, dann heißt das System linear
abhängig. Im Eliminationsverfahren erhält
man irgendwann die Zeile 0 = 0.
Meistens ist dann das System nicht mehr
eindeutig lösbar.
Beispiel 5:
x +2 y – 2 z
x +3 y +
z
3 x +8 y
=
=
=
7
8
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Was ist ein widersprüchliches System?
Sind die linken Seiten von Gleichungen
durch Linearkombinationen der anderen
darstellbar, die rechten aber nicht, dann
entstehen Widersprüche im System und es
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wird unlösbar. Im Eliminationsverfahren entsteht irgendwann eine falsche Aussage.
Beispiel 6:
x +2 y
3 x +6 y
=
=
7
8
Lösungen:
Beispiel 1:
5x + 2y = 35
2x – 3y = –24
15x + 6y = 105
4x – 6y = –48
19x = 57  x = 3
Einsetzen liefert: 2 · 3 – 3y = – 24  6 + 24 = 3y  30 = 3y  y = 10
Lösung ist das geordnete Paar (2-tupel) (3 / 10)
Beispiel 2:
2 x1 + 3 x2 –
x3
x1 + x2 + 4 x3
x1 + 2 x2 + 10 x3
–3 x1
+ 5 x3
– x1
x1
–3 x1
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+
+2
–5
+2
x4
x4
x4
x4
=
7
= –5
= 32
= –19
A
B
C
D
– 13 x3 – 5 x4
– 32 x3 +17 x4
+ 5 x3 + 2 x4
= 22
= –82
= –19
A – 3B
2A – 3C
D
E
F
G
– 45 x3 +12 x4
– 44 x3 –17 x4
= –60
= 85
E+F
3E – G
H
I
–1293x3
=
17H+12I
0
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x3
=
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0
Einsetzen in H: – 45 · 0 + 12 x4 = – 60  x4 = –5
Einsetzen in F: x1 – 32 · 0 + 17 · (–5) = – 82  x1 = 3
Einsetzen in B: 3 + x2 + 4 · 0 + 2 · (–5) = –5  x2 = 2
Das Lösungquadrupel lautet (3 / 2 / 0 / –5)
Beispiel 3:
x +2 y – 3 z
2 x + y – 9 z
=
=
5
7
3 Variable und 2 Gleichungen, d.h. es entsteht eine 1-parametrige Lösung. Wir wählen z als
Parameter und eliminieren zuerst x:
–3y – 3z = –3 oder y = 1 – z
dann y:
–3x + 15z = – 9 oder x = 3 + 5z
d.h. für z kann eine beliebige Zahl aus der Grundmenge gewählt werden, x und y müssen dann
ausgerechnet werden:
x
y
z
3
1
0
8
0
1
13
–1
2
18
–2
3
38
–6
7
253
–49
50
503
–99
100
–17
5
–4
Beispiel 4:
x +2 y
2 x + y
x –4 y
=
=
=
7
8
10
A
B
C
Eliminiert man aus A und B die Variable y, dann ist A – 2B: –3x = –9  x = 3 und 3 + 2y
=7  y=2
in C eingesetzt ergibt das aber: 3 – 4 · 2 = 10 und das ist falsch.
Dieses System hat keine Lösung, es ist widerspruchsvoll.
Beispiel 5:
x +2 y – 2 z
x +3 y +
z
3 x +8 y
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=
=
=
7
8
23
A
B
C
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3 x +8 y
3 x +8 y
Gleichungsysteme
=
=
23
23
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A + 2B
C
D
E
D–E
0=0
d.h. die Gleichung C lässt sich durch A und B darstellen, kann daher aus dem System
weggelassen werden. Wir haben eigentlich nur 2 Gleichungen in 3 Variablen und können
eventuell eine einparametrige Lösung ermitteln.
wie in Bsp. 3:
B – A  y + 3z = 1  y = 1 – 3z
3A – 2B  x – 8z = 15  x = 15 + 8z
Beispiel 6:
x +2 y
3 x +6 y
=
=
7
8
Eliminieren von x ergibt 0 = 13 !!!
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